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2016年秋九年级数学上册 22.2 相似三角形的判定(第2课时)导学案

2016年秋九年级数学上册 22.2 相似三角形的判定(第2课时)导学案
2016年秋九年级数学上册 22.2 相似三角形的判定(第2课时)导学案

相似三角形的判定

【学习目标】

1.经历三角形相似的判定定理1的探索及证明过程.

2.能应用定理1判定两个三角形相似,解决相关问题.

【学习重点】

三角形相似的判定定理1及应用.

【学习难点】

三角形相似的判定定理1的证明.

情景导入生成问题

旧知回顾:

1.全等三角形的判定方法有哪几种?

解:SSS、SAS、ASA、AAS、(HL)一共五种.

2.如何判定两个三角形相似?

解:需证明对应角相等,对应边成比例.

3.△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,剪个△ABC,将∠A和∠A′两边重合,顶点A,A′重合,你有什么结论?

解:两个三角形相似,因为BC∥B′C′.

自学互研生成能力

知识模块一相似三角形判定定理1的证明

阅读教材P78页的内容,回答以下问题:

相似三角形的判定定理1是什么?如何推导?

相似三角形判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.(简称:两角分别相等的两个三角形相似).

探究:已知:如图在△A′B′C′和△ABC中,∠A′=∠A,∠B′=∠B.求证:△A′B′C′∽△ABC.

证明:在△ABC 的AB 上截BD =B′A′,过D 作DE∥AC,交BC 于E.∴△ABC∽△DBE.∵∠BDE=∠A,∠A =∠A′,∴∠BDE =∠A′.∵∠B=∠B′,BD =B′A′,∴△DBE ≌△B ′A ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.

范例:判断题

(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.( √ )

(2)所有的直角三角形都相似.( × )

(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似.( × )

(4)顶角相等的两个等腰三角形相似.( √ )

知识模块二 相似三角形判定定理1的应用

范例1:如图:点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ,则△AGD∽△EGC ∽△EAB . 范例2:已知:如图,AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,垂足分别为点B 、点D ,C 在线段BD 上,AC ⊥CE.求证:AB·DE=BC·CD.

【分析】欲证AB·DE=BC·CD,可证AB CD =BC DE

,则证明△ABC∽△CDE 即可,由题意可知∠1+∠2=90°,∠1+∠A =90°,则∠2=∠A.于是Rt △ABC∽Rt △CDE.

证明:∵AB⊥BD,E D⊥BD,AC ⊥CE ,∴∠B =∠D=90°,又∠1+∠A=90°,∠1+∠2=90°,∴∠A =∠2,∴

△ABC ∽△CDE ,∴AB CD =BC DE

,即AB·DE=BC·CD. 范例3:如图所示,在四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ACD =∠ABC,求证:AC 2

=AB·AD.

证明:∵AC 平分∠DAB,∴∠DAC =∠CAB,又∵∠ACD=∠ABC,∴△ADC ∽△ACB ,∴AD AC =AC AB

,∴AC 2=AB·AD. 交流展示 生成新知

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.

知识模块一 相似三角形判定定理1的证明

知识模块二 相似三角形判定定理1的应用

检测反馈 达成目标

1.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,DE ⊥AB 于点E ,BD =10,AC =34

BC ,DE =6.

,(第1题图)) ,(第2题图))

2.如图,等边三角形ABC 的边长为3,P 为BC 上一点,且BP =1,D 为AC 上一点,当∠APD =60°时,CD 的长为23

. 3.如图,已知∠1=∠2=∠3,求证:△ABC∽△ADE.

证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠3+∠DA C ,即∠BAC=∠DAE.∵∠2=∠3,∠AFE =∠DFC,∴180°-∠2-∠DFC=180°-∠3-∠AFE,即∠E=∠C,∴△ABC ∽△ADE.

课后反思 查漏补缺 1.收获:____________________________________________________________________

_

2.困惑:________________________________________________________________________

浙教版数学九年级上册相似三角形加强练习.docx

相似三角形加强练习 一填空: 1.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=_____. 2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对. 3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,则BM=______. 4.ΔABC的三边长为,,2,ΔA'B'C'的两边为1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________. 5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____. 6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为 __. 7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______. 8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________. 9.如图7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______. 10.如图8,梯形ABCD中,AD∥BC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF= . 11.如图9,ΔABC中,DE∥BC,AD∶DB=2∶3,则S ΔADE ∶S ΔABE =___________. 12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG =_________. 14.如图12,ΔABC中,中线BD与CE相交于O点,S ΔADE =1,则S 四边形BCDE =________.

27.2.1相似三角形的判定导学案

27.2.1相似三角形的判定(一) 学习目标:会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''' 知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时, △C B A '''与△ABC 的相似比为1/k . 理解平行线分线段成比例定理的探究过程,并掌握该定理的应用。 学习过程: 活动一:类似相似多边形,我们如何给相似三角形下定义?请用几何语言给相似三角形下定义: 活动二:相似三角形与全等三角形有何内在联系? 活动三:你知道判定三角形全等的方法有哪些?把它写出来。 类似地,判定两个三角形相似,也有简便的方法。 活动四:DE 是△ABC 的中位线,DE 与BC 有什么位置关系?你能写出一个比例式吗? B ’ C ’

活动五 (1)两条直线l 1 , l 2 被三条平行线l 3 , l 4, l 5所截, l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上 截得的两条线段DE, EF,猜想 成立吗? 如何来验证你的猜想? (2)你还能写出其他的比例式吗? (3) 归纳总结: 平行线分线段成比例定理 : 两条直线被一组________所截,所得的________ 线段成比例。 请用几何语言写出定理 (4)平行线分线段成比例定理推论 思考:1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交,交点A 刚落到l 3上,如图27.2-2(1),,所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么? L 5 L 3 L 4 A D E F H B L 2 EF DE BC AB L 1

(2)、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交,交点A 刚落到l 4上,如图27.2-2 (2),所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么? 活动五: 归纳总结: 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延 长线),所得的_______线段的比_________. 练习: 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,AC=4 ,AB=3,EC=1. 求AD 和BD. 活动六: 1.谈谈本节课你有哪些收获. “三角形相似的预备定理”.这个定理揭示了有三角形一边的平行线,必构成相似三角形,因此在三角形相似的解题中,常作平行线构造三角形与已知三角形相似. 2.相似比是带有顺序性和对应性的:如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比 k A C CA C B BC B A AB =''=''='',那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k 1 CA A C BC C B AB B A =''=''='',它们的关系是互为倒数. 四、达标测评 1.如图,△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ,找出对应角并写出对应边的比例式. 2.如图,△ABC ∽△AED ,其中∠ADE=∠B ,找出对应角并写出对应边的比例式. 活动七: 活动八: 活动:

相似三角形证明的方法与技巧

相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系:两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写,一般说来,相等的角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理:判定相似三角形依据是五个定理,即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用: 1.证比例式; 2.证等积式; 3.证直线平行; 4.证直线垂直; 5.证面积相等; 三、经典例题: 例1.如图,在ΔABC 中,D 是BC 的中点,E 是AC 延长线上任意一点,连接DE 与AB 交于F ,与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证: CE AE BF AF = . 变式1:如图,在ΔABC 中,A ∠与B ∠互余,CD ⊥AB ,DE//BC ,交AC 于点E ,求证: AD:AC=CE:BD. 例2:如图:已知梯形ABCD 中,AD//BC ,?=∠90ABC ,且BD ⊥CD 于D 。 求证:①DCB ABD ??~ ;②BC AD BD ?=2

例3.如图,在ΔABC 中,?=∠90BAC ,M 是BC 的中点,DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ,交AC 于E 。 求证:ME MD MA ?=2 例4.已知:在ΔABC 中,AD 是BAC ∠的平分线,点E 在AD 上,点F 在AD 的延长线 上,且 AC AB DF ED = 求证:BE//FC 。 例5.如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别为AB 、AC 上一点,切BE=BF ,BP ⊥CE ,垂足为P 。 求证:PD ⊥PF.

九年级数学下册相似三角形测试题人教新课标版

相似三角形测试题 一、选择题(40分) 1. 如图1,已知AB CD EF ∥∥,那么下列结论正确的是() A. AD BC DF CE =B. BC DF CE AD = C. CD BC EF BE =D. CD AD EF AF = 图4 图2 图3 2. 如图2所示,给出下列条件:①B ACD ∠=∠;②ADC ACB ∠=∠;③ AC AB CD BC =;④ 2 AC AD AB =.其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 3. 如图3,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:() A.0个B.1个C.2个D.3个 4. 若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为() A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D 5. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4 及x,那么x的值() A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有 无数个 6. 美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图4,某女 士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高 度大约为() A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 7. 如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC △相似的是() 8. 在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图5所示的方式折叠,使点 A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为() A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5 9. 如图6,在Rt ABC △中,90 ACB ∠=°,3 BC=,4 AC=,AB的垂直平分 线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为() A. 3 2 B. 7 6 C. 25 6 D.2 图6 图7 10. 如图7,AB是O ⊙的直径,AD是O ⊙的切线,点C在O ⊙上,BC OD ∥,23 AB OD == ,, 则BC的长为() A. 2 3 B. 3 2 C D 二、填空题(30分) 11.如图8是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割.已知AB=10cm,则AC的长 约为cm.(结果精确到0.1cm) 图8 图9 图10 12. 如图9,ABC △与AEF △中,AB AE BC EF B E AB ==∠=∠ ,,,交EF于D.给出下 列结论:①AFC C ∠=∠;②DF CF =;③ADE FDB △∽△;④BFD CAF ∠=∠. 其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号). 13. 如图10,Rt ABC △中,90 ACB ∠=°,直线EF BD ∥,交AB于点E,交AC于点G,交AD于 点F,若 1 3 AEG EBCG S S = △四边形 ,则 CF AD =. 14. 如图11,锐角△ABC中,BC=6,, 12 = ?ABC S两动点M、N分别在边AB、AC上滑动,且MN∥BC, 以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y >0), 当x =,公共部分面积y最大,y最大值是多少? A.

27.2.1相似三角形的判定(3)-教学设计

教学时间 课题 27.2.1相似三角形的判定(3) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 过 程 和 方 法 经历两个三角形相似的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力. 情 感 态 度 价值观 教学重点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等,两个三角形相似” 教学难点 三角形相似的判定方法3的运用. 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、课堂引入 1.复习提问: (1)我们已学习过哪些判定三角形相似的方法? (2)如图,△ABC 中,点D 在AB 上,如果AC 2=AD ?AB , 那么△ACD 与△ABC 相似吗?说说你的理由. (3)如(2)题图,△ABC 中,点D 在AB 上,如果∠ACD= ∠B , 那么△ACD 与△ABC 相似吗?——引出课题. (4)教材P46的探究4 . 二、例题讲解 例1(教材P46例2). 分析:要证PA ?PB=PC ?PD ,需要证PB PC PD PA ,则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似.由于所给的条件是圆中的两条相交弦,故需要先作辅助线构造三角形,然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等,再由三角形相似的判定方法3,可得两三角形相似. 证明:略 例2 (补充)已知:如图,矩形ABCD 中,E 为BC 上一 点,DF ⊥AE 于F ,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF 的长. 分析:要求的是线段DF 的长,观察图形,我们发现AB 、 AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中,因此只

初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)

相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结: 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结: “反A”型与“反X”型.

“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中,∠AEF=∠ACB ,求证:(1)AE AB AF AC ?=?(2)∠BEO=∠CFO , ∠EBO=∠FCO (3)∠OEF=∠OBC ,∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图,已知2AB AC AD =?,求证: BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =?,2BC BH BA =?,2HC HA HB =?

通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A 型,X 型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”. 但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。 在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧. 技巧一:三点定型法 技巧二:等线段代换 技巧三:等比代换 技巧四:等积代换 技巧五:证等量先证等比 技巧六:几何计算 【例1】 如图,平行四边形ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F ,求证: DC CF AE AD =. A B C F D E 【例2】 如图,ABC △中,90BAC ∠=?,M 为BC 的中点,DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ,交AB 于 E .求证:2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图,在Rt ABC △中,AD 是斜边BC 上的高,ABC ∠的平分线BE 交AC 于E , 交AD 于F .求证: BF AB BE BC =. D B A C F E 技巧一:三点定型 比例式的证明方法

人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版

人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版 专题一相似形中的开放题 1.如图,在正方形网 2.格中,点A﹨B﹨C﹨D都是格点,点E是线段AC上任意一点.如果AD=1,那么当AE= 时,以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似. 1.已知:如图,△ABC中,点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC﹨BE,∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中三对相似三角形(注意:不得添加字母和线); (2)请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似 的理由. 专题二相似形中的实际应用题 3.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=n,且量得CD=b,求厚度x.

专题三相似形中的探究规律题 4.某班在布置新年联欢晚会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30 cm,AB=50 cm,依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得 的矩形纸条的长都不小于5 cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A.24 B.25 C.26 D.27 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3. (1)如图①,四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形的边长; (2)如图②,正方形DKHG,EKHF组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长; (3)如图③,三个正方形组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长; (4)如图④,n个正方形组成的矩形内接于△ABC,求正方形的边长. 专题四相似形中的阅读理解题 6.某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义﹨判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去,例如,可以定义:圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形;相似扇形有性质:弧长比等于半径比,面积比等于半径比的平方…,请你协助他们探索下列问题: (1)写出判定扇形相似的一种方法:若,则两个扇形相似; (2)有两个圆心角相同的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的 弧长为;

相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面,全等形是相似比为1的特殊相似形,相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别;相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础. 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件: ①;②;③. 三、两个三角形相似的六种图形: 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路:判定两个三角形相似思路: 1)先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线),因为这个条件最简单; 2)再而先找一对内角对应相等,且看夹角的两边是否对应成比例; 3)若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例; 找另一角两角对应相等,两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应成比例,两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例,两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等,两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2,△2∽△3,则△1∽△3 五、“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形,则只要证明这两个三角形相似就行了,这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时,往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞,乱添辅助线,这样反而使问题复杂化,效果并不好,应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. b)己知两边对应成比 c)己知一个直 角 d)有等腰关 a)已知一对等

九年级上册数学相似三角形练习题

九年级上册数学相似三 角形练习题 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

九年级上册数学相似三角形练习题 姓名:日 期: 一、选择题。 1.DE是ABC的中位线,则ADE与ABC面积的比是() A、 1:1 B、1:2 C、1:3 D、 1:4 BC=() 2.如图1,已知△ADE∽△ABC,相似比为2:3,则 DE A、3:2 B、2:3 C、 2:1 D、不能确定 3.如图2,已知△ACD∽△BCA,若CD=4,CB=9,则AC等于() A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4.△ADE∽△ABC,相似比为2:3,则△ADE与△ABC的面积比为() A、 2:3 B、 3:2 C、 9:4 D、 4:9 5.若DE是△ABC的中位线,△ABC的周长为6,则△ADE的周长为() A、4 B、3 C、2 D、1 6.如图3,△ABC中,DE∥BC,AD=1,DB=2,AE=2,那么EC=() A、1 B、2 C、3 D、4

7.如图4,D 是△ABC 的AB 边上的一点,过点D 作DE ∥BC 交AC 于E 。已知AD :DB=2:3.则S △ADE :S BCED =( ) A 、2:3 B 、4:9 C 、4:5 D 、4:21 8. 如图5,已知:AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高线,DE 是RtCADC 斜边AC 上的高 线,如果DC :AD=1:2,a S CDE =?,那么ABC S ? 等于( ) A 、 4a B 、9a C 、16a D 、25a 二、填空题: 1.两个相似三角形的面积比为4∶25,则它们的周长比为 。 2.顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形 ,它们的面积比 为 。 3.如图6,AB ∥DC ,AC 交BD 于点O .已知5 3 =CO AO ,BO =6,则DO=_____________。 4.某校绘制的校园平面图的面积为,比例尺为1:200,则该校占地面积 m 2 。 5.如图7,在△ABC 中,点D 在线段BC 上,∠BAC=∠ADC ,AC=8,BC=16,那么CD=__________。 6.如图8,AD 、BC 交于点E ,AC ∥EF ∥BD ,EF 交AB 于F ,设AC=p ,BD=q ,则EF=_________。 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 图3 图2 图 图

相似三角形的判定(SSS)(精选.)

B E D C 备课日期 2012年10月8日 教出日期 主备课人:段中明 审核人 课题: 相似三角形判定(一) 目标: 1.培养学生的观察﹑发现﹑归纳能力,感受两个三角形相似的判定方法1 2.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程,发展学生的合情推理能力。 教学重、难点::两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1 学 习 内 容 与 要 求 学 习 指 导 一.新课引入:1。复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义 2.相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 3.回顾全等三角形的概念及判定方法(SSS ) 4.相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。 二.合作探究: 探究方法:探究1:在一张方格纸上任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗? 分析:学生通过度量,不难发现这两个三角形的对应角都相等,根据相似三角形的定义,这两个三角形相似。(学生小组交流) 在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。 分析:作A 1D=AB ,过D 作DE ∥B 1C 1,交A 1C 1于点E ? ?A 1DE ∽?A 1B 1C 1。用几何画板演示?ABC 平移至?A 1DE 的过程 ? A 1D=AB ,A 1E=AC ,DE=BC ??A 1DE ≌?ABC ? ?ABC ∽?A 1B 1C 1 ↓ 归纳:如果两个三角形的 三组对应边的比相等,那 么这两个三角形相似。 ↓ 若11AB A B =11BC B C =11 CA k C A =,则? ?ABC ∽?A 1B 1C 1 三.课堂练习: 1:根据下列条件,判断△ABC 与△A ’B ’C ’是否相似,并说明理由. (1)∠A=1200,AB=7cm ,AC=14cm ,∠A ′=1200,A ′B ′=3cm ,A ′C ′=6cm. 解:∵=''B A AB , =''C A AC . ∴=''B A AB . 且∠ =∠ ∴ ∽ ( ) (2)AB=4 cm ,BC=6cm ,AC=8cm, A ′B ′=12cm,B ′C ′=18cm ,A ′C ′=24cm. 解:∵=''B A AB , =''C A AC ,=''C B BC 。 ∴=''B A AB = . ∴ ∽ ( ) 2.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( ) A 、①和② B 、②和③ C 、①和③ D 、②和④ 3.(2011?深圳)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) A 、 B 、 C 、 D 、 四课堂检测: 已知:BC DE AC AE AB AD ==,求证:∠BAD =∠CAE . 五、 总结反思 这节课你有什么收获? A A B C A 1 D E B 1 C 1

相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结: 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS ) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一:反A 型: 如图,已知△ABC ,∠ADE =∠C ,若连CD 、BE ,进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程 模型二:反X 型: 如图,已知角∠BAO =∠CDO ,若连AD ,BC ,进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程 应用练习: 1. 已知△ABC 中,∠AEF=∠ACB ,求证:(1)AE AB AF AC ?=?(2)∠BEO=∠CFO , ∠EBO=∠FCO (3)∠OEF=∠OBC ,∠OFE=∠OCB 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法之反A 型与反X 型 O F E C B A E D C B A O D C B A

2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P . (1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证: △APQ ∽ △ABC ; (2)当 △PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长。 模型三:射影定理 如图已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =?,2BC BH BA =?,,2 H C H AH B =?,试一试写出具体证明过程 模型四:类射影 如图,已知2AB AC AD =?,求证:BD AB BC AC =,试一试写出具体证明过程 相似三角形证明方法之射影定理与类射影 C A B H A B C D

相似三角形的判定(1)导学案

27.2.1相似三角形的判定(一) 课 型:新 授 主 备:张香玲 审 核:张 峰 时 间:2013.2 班 级: 姓 名: 【教学目标】 (1)会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A '''; (2)知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时,△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k . (3)理解掌握平行线分线段成比例定理 【教学重点】 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用. 【教学难点】 掌握平行线分线段成比例定理应用. 一.学前测评: 1、相似多边形的主要特征是什么? 2、相似三角形有什么性质? 二 .合作探究: 1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形. 在△ABC 与△A ′B ′C ′中, 如果∠A=∠A′, ∠B =∠B ′, ∠C =∠C ′, 且 k A C CA C B BC B A AB =' '=''=''. 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似,记作△ABC∽△A ′B ′C ′,k 就是它们的相似比. 反之如果△ABC∽△A ′B ′C ′, 则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且 A C CA C B BC B A AB ' '= ''=''. 2)问题:如果k=1,这两个三角形有怎样的关系? 『温馨提示』:(1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形。 (2)用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A '''; (3)当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时,△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k . (1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5. 分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗? (2) 问题,AB ︰AC=DE ︰( ),BC ︰AC=( )︰DF .强调“对应线段的比是否相等” (3) 归纳总结: 平行线分线段成比例定理___ _____。 『温馨提示』:平行线分线段成比例定理中相比线段同线; 3) 活动2平行线分线段成比例定理推论 思考:1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交,交点A 刚落到l 3上,如图27.2-2(1),,所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么? 2、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交,交点A 刚落到l 4上,如图27.2-2(2),所得的对应线段的比会相等吗?依据是什么? 3、 归纳总结: 平行线分线段成比例定理推论 _______ 小结巩固: (1) 谈谈本节课你有哪些收获.“三角形相似的预备定理”.这个定理揭示了有三角形一

人教版九年级下册相似三角形数学教案

相似三角形 教学目标:使学生掌握相似三角形的判定与性质 教学重点:相似三角形的判定与性质 教学过程: 一 知识要点: 1、相似形、成比例线段、黄金分割 相似形:形状相同、大小不一定相同的图形。特例:全等形。 相似形的识别:对应边成比例,对应角相等。 成比例线段(简称比例线段):对于四条线段a 、b 、c 、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即d c b a (或a :b= c : d ),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。 黄金分割:将一条线段分割成大小两条线段,若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比,则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割,点P 叫做线段AB 的黄金分割点,较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 例1:(1)放大镜下的图形和原来的图形相似吗? (2)哈哈镜中的形象与你本人相似吗? (3)你能举出生活中的一些相似形的例子吗/ 例2:判断下列各组长度的线段是否成比例: (1)2厘米,3厘米,4厘米,1厘米 (2)1·5厘米,2·5厘米,4·5厘米,6·5厘米 (3)1·1厘米,2·2厘米,3·3厘米,4·4厘米 (4)1厘米, 2厘米,2厘米,4厘米。 例3:某人下身长90厘米,上身长70厘米,要使整个人看上去成黄金分割,需穿多高的高跟鞋? 例4:等腰三角形都相似吗? 矩形都相似吗? 正方形都相似吗? 2、相似形三角形的判断: a 两角对应相等 b 两边对应成比例且夹角相等

c 三边对应成比例 3、相似形三角形的性质: a 对应角相等 b 对应边成比例 c 对应线段之比等于相似比 d 周长之比等于相似比 e 面积之比等于相似比的平方 4、相似形三角形的应用: 计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段 例题 1 ABCD 中,G 是BC 延长线上一点,AG 交BD 于点E ,交DC 于点F ,试找出图中所有的相似三角形 2如图在正方形网格上有6个斜三角形:a:ABC ; b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH f: EFK ,试找出与三角形a 相似的三角形 3、在 中,AB=8厘米,BC=16厘米,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米每秒的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4厘米每秒的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B PBQ ABC 相似? B C G

九年级上册数学相似三角形练习题

九年级上册数学相似三角形练习题 姓名:日期: 一、选择题。 1. DE是?ABC的中位线,则?ADE与?ABC面积的比是() A、 1:1 B、1:2 C、1:3 D、 1:4 2.如图1,已知△ADE∽△ABC,相似比为2:3,则 DE BC=() A、3:2 B、2:3 C、 2:1 D、不能确定 3.如图2,已知△ACD∽△BCA,若CD=4,CB=9,则AC等于() A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 4.△ADE∽△ABC,相似比为2:3,则△ADE与△ABC的面积比为() A、 2:3 B、 3:2 C、 9:4 D、 4:9 5.若DE是△ABC的中位线,△ABC的周长为6,则△ADE的周长为() A、4 B、3 C、2 D、1 6.如图3,△ABC中,DE∥BC,AD=1,DB=2,AE=2,那么EC=() A、1 B、2 C、3 D、4 7.如图4,D是△ABC的AB边上的一点,过点D作DE∥BC交AC于E。已知AD:DB=2:3.则S△ADE:S BCED =() A、2:3 B、4:9 C、4:5 D、4:21 8.如图5,已知:AD是Rt△ABC斜边BC上的高线,DE是RtCADC斜边AC上的高线,如果DC:AD=1:2,a S CDE = ? ,那么 ABC S ? 等于() A、4a B、9a C、16a D、25a 二、填空题: 1.两个相似三角形的面积比为4∶25,则它们的周长比为。 2.顺次连结三角形三边中点所构成的三角形与原三角形,它们的面积比为。 图3 图2 图1 图5 图4

3.如图6,AB ∥DC ,AC 交BD 于点O .已知 5 3 =CO AO ,BO =6,则DO=_____________。 4.某校绘制的校园平面图的面积为2.5m 2 ,比例尺为1:200,则该校占地面积 m 2 。 5.如图7,在△ABC 中,点D 在线段BC 上,∠BAC=∠ADC ,AC=8,BC=16,那么CD=__________。 6.如图8,AD 、BC 交于点E ,AC ∥EF ∥BD ,EF 交AB 于F ,设AC=p ,BD=q ,则EF=_________。 7.如图4,已知△ABC 的周长为30cm ,D ,E ,F 分别为AB ,BC ,CA 的中点,则△DEF 的周长等于 cm 。 8.如图10.△ABC 中,D 是AB 上一点,AD :DB=3:4,E 是BC 上一点。如果DB=DC ,∠1=∠2,那么S △ADC :S △DEB = 。 三、解答题: 1、如图,⊿AOC ∽⊿BOD 。 (1)证明:AC ∥BD ; (2)已知,3,5,4===OB OC OA 求OD 的长。 2.如图,∠ADC=∠ACB=900 ,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长 图6 E B C A F D 图8 图7 图9 图10 O D B A

相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结: 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS ) 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结: “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型: 如图,已知△ABC ,∠ADE =∠C ,则△ADE ∽△ACB (AA ),∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ,进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型: 如图,已知角∠BAO =∠CDO ,则△AOB ∽△DOC (AA ),∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ,BC ,进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影: 如图,已知△ABC ,∠ABD =∠C ,则△ABD ∽△ACB (AA ),∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图,已知∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法

A B C D E 旋转相似: 如图,已知△ABC ∽△ADE ,则 AB AD AC AE =,∠BAC =∠DAE ,∴∠BAD =∠CAE , ∴△BAD ∽△CAE (SAS ) C B A E D 一线三等角: 如图,已知∠A =∠C =∠DBE ,则△DAB ∽△BCE (AA ) 反A 型与反X 型 已知△ABC 中,∠AEF=∠ACB ,求证:(1)AE AB AF AC ?=?(2)∠BEO=∠CFO ,∠EBO=∠FCO (3)∠OEF=∠OBC ,∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图,已知2AB AC AD =?,求证: BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ,∠ACB =90°,CH ⊥AB 于H ,求证:2AC AH AB =?,2BC BH BA =?,2HC HA HB =? 通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A 型,X 型,线束型),也离不开上述的6种“相似模型”. 但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。 在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧. 技巧一:三点定型法 比例式的证明方法

人教版九年级下册相似三角形中考题

相似三角形题集 一、选择填空题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为( ) A 、70° B 、60° C 、80° D 、120° 图2 图3 2、如图2,在矩形ABCD 中,点E 为边BC 的中点,AE BD ⊥,垂足为点O ,则 AB BC 的值等 于 . 3、在ABC △中(图3),P 是AC 上一点,连结BP ,要使ABP ACB △∽△,则必须有ABP ∠= 或APB ∠= 或AB AP = . 4、如图4,正方形ABCD 的边长为2,AE =EB ,MN =1,线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动,那么当CM =________时,△ADE 与△MN C 相似. 5、已知菱形ABCD 的边长是8,点E 在直线AD 上,若DE =3,连接BE 与对角线AC 相交于点M ,则 MA MC 的值是________. 6、如图5,等边△ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且BP =1,点D 为AC 上一点,若∠APD =60°, 则CD 长是 ( ) A、 32 B、43 C、21 D、2 3 7、如图6,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______. 图4 图5 图6 8、如图7,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC △相似的是( ) A B C D O 图1 A P C B D P C A B A B C A B O E C D

9、如图8,在矩形ABCD 中,DH ⊥AC ,如果AH=9cm ,CH=4cm ,那么ABCD S 四边形=( ) A 、782 cm B 、762 cm C 、772 cm D 、752 cm 图8 图9 图10 10、如图9,DE 是ABC △的中位线,M 是DE 的中点,CM 的延长线交AB 于点N ,则:D M N C E M S S △△ 等于( ) A、1:3 B、1:2 C、1:4 D、1:5 11、如图10,△ABC 中,PQ ∥BC ,若3=?APQ S ,6=?PQ B S ,则=?cQ B S ( ) A .18 B .16 C .9 D .10 12、如图11,已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点, ,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于( ) A 、1 : 3 B 、1 : 9 C 、1 : 8 D 、1 : 2 13、已知ABC DEF △∽△,相似比为3:1,且ABC △的周长为18,则DEF △的周长为( ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、54 14、如图12,线段AB 、CD 相交于E ,AD EF BC ∥∥,若1 2AE EB =∶∶,1ADE S =,则AEF S 等 于( ) A、23 B、4 C、2 D、4 3 15、如图13,△ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截,AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的( ) A、31 B、92 C、91 D、9 4 P Q C B A H D C B A A N D B C E M B A C D E D A E F B C E H F G C B A 图13

2017浙教版数学九年级上册4.2相似三角形

1 4.2相似三角形 教学目标: 1.了解相似三角形的概念,会表示两个三角形相似. 2.能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似. 3.理解“相似三角形的对应角相等,对应边成比例”的性质. 重点和难点: 1.本节教学的重点是相似三角形的概念 2.在具体的图形中找出相似三角形的对应边,并写出比例式,需要学生具有一定的分辨能力,是本节教学的难点. 知识要点: 1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 3、相似三角形对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数) 重要方法: 1、全等三角形是相似三角形的特殊情况,它的相似比是1. 2、相似三角形中,利用对应角寻找对应边;反过来利用对应边寻找对应角. 3、书写相似三角形时,需要把对应顶点的字母写在对应的位置上. 教学过程 一.创设情境,导入新课 1.课件出示:①国旗上的☆,②同一底片不同尺寸的照片.以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到? 2.经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形.那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形 二.合作学习,探索新知 1.合作学习 如图1,在方格纸内先任意画一个△ABC,然后画出△ABC 经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到像△A ′B ′C ′(点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C ). A B C A ′ B ′C ′

2 问题讨论1:△A ′B ′C ′与△ABC 对应角之间有什么关系? 问题讨论2:△A ′B ′C ′与△ABC 对应边之间有什么关系? 学生相互比较得到结论:对应角相等,对应边成比例. 2.由合作学习定义相似三角形的概念 (1)相似三角形:一般地,对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形 (2)表示:相似用符号“∽”来表示,读作“相似于” 如△A ′B ′C ′与△ABC 相似,记做“△A ′B ′C ′∽△ABC ” . 注意:在表示三角形相似时,一般把对应顶点的字母写在对应的位置上 (3)定义的几何语言表述: ∵∠A ′=∠A ,∠B ′=∠B,∠C ′=∠C ,A ′B ′AB =A ′C ′AC =C ′B ′CB ∴△A ′B ′C ′∽△ABC 3.结合定义探求性质 (1)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (由学生根据定义得出,理解定义的双重性,既可以用来判定两个三角形相似,同时,其本身又是三角形相似的一个性质) (2)相似比(相似系数):相似三角形对应边的比,叫做两个相似三角形的相似比(或相似系数) 注意:求两个相似三角形的相似比,应注意这两个三角形的前后顺序. 如图,△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为12 (k ),△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为2(1k ) 4.问题探究: 问题一:两个直角三角形一定相似吗?为什么? 问题二:两个等腰三角形一定相似吗?为什么? 问题三:两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么? 问题四:两个等边三角形一定相似吗?为什么? 问题五:两个全等三角形一定相似吗?为什么?变形:相似比为1的两个三角形全等吗? 问题六:如果两个全等三角形中的一个与第三个三角形相似,那么这两个全等三角形的另一个也与第三个三角形相似吗?为什么?

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