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子数列问题

1．5 子数列问题的三种类型

数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系.

一、从一个数列中按下标的规律取出一些项构成新的数列

例1、已知等差数列}{n a 中，52=a ，前10项和12010=s ，若从数列}{n a 中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第n 2项，按原顺序组成新数列{}n b ，且这数列前n 项和为n T ，试比较1+n T 与n T 2的大小。解析：

设}{n a 的公差为d ,则

?????==?=?+=+231202*********d a d a d a 122,122)1(32+?==+=?-+=∴n n

n n a b n n a )222(221n n n T ++++=∴

421

12(222-+=--?+=+n n n n

n n n T T n n n n -=-+--+=-∴+++5)42(2)32(2231

∴当)(51时N n n ∈<≤，1+n T >2n T 当n=5时, 1+n T =2n T

当n>5)(N n ∈时, 1+n T <2n T 。

例2、已知无穷等差数列

，首项

公差

，依次取出项数被4除余3

的项组成数列

. （1）求

和

；

（2）求

的通项公式；（3）

中的第110项是

的第几项？

分析：数列

是数列

的一个子数列，其项数构成以3为首项，4为公差的等差

数列，由于

是等差数列，则

也是等差数列.

解：（1）

，

数列

中项数被4除余3的项是

的第3项，第7项，第11项，…，这些项组

成一个新的等差数列（第二问中加以证明），其首项

，

（2）设

中的第项是

的第项，即

，则

，∴

是等差数列，其通项公式为

（3）

设它是

中的第项，则

，则

二、从一个数列中取出一些项按项的规律构成新的数列，

例3、已知等差数列{

a}的首项}

{

a由

公差≠

≠的部分项组成的数列2

a，……

a，……为等比数列，其中.6

（I）求数列{

b}的通项公式

b；

（II）若数列{

b}的前n项和为

lim

∞

→

S求的值.

解：（I）,

(

)

(

∴

≠

∴

∴q

(

∴-

又

3)1

(

3)1

(

∴

≠

∴

341+=∴-n n b

（II ）n n b b b b S +++=321

)23

14(31324141313

2)441(31)32

34()3234()3234(1110n n n n n

n n +-=+--?=++++=++++++=-- 34

4314lim 423lim 11

=?-=--∞→-∞→n n n n n n n S .

例4、已知{n a }为等差数列，公差}{n a d ,0≠中的部分项组成的数列 ,,,21n k k k a a a 恰为等比数列，其中17,5,1321===k k k ， ⑴求n k

⑵求证：1321--=+++n k k k n

n ；解析：

㈠由题设知,,,321k k k a a a ，即为,,,1751a a a 成等比数列，则1712

5a a a ?=即

)16()4(121d a a d a +=+

d a d 2,01=∴≠ 公比341

115=+==a d

a a a q 11113--?=?=∴n n k a q a a N

又2

)1()1(1

11a k a d k a a n n k n ?

-+=?-+= 111

132

)1(-?=?

-+∴n n a a k a 132,011-?=∴≠-n n k a

㈡n k k k +++ 21

=n n -++++?-)3

333(21

210

=131

3132--=---?n n n n

三、求两个数列的公共项，求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方法；求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理．

例5、已知两个等差数列： 5，8，11，……； ① 3，7，11，……； ②

它们的项数均为100项，试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。解析：

方法一、设两数列共同项组成的新数列为}{n c ，易知111=c ，又数列5，8，11，……的通项公式为23+=n a n ，公差为3，而数列3，7，11，……的通项公式为14-=n b n ，公差为4，所以数列}{n c 仍为等差数列，且公差为d=12，故数列}{n c 的通项公式为

11212)1(11-=?-+=n n c n ，又,302112,399,302100100≤-=∴==n c b a n 得25≤n ，

所以已知两数列有25个共同的项。

方法二、整除性设1432,-=+=m n b a m n

)

1(3+=

n m ，n+1只能取4，8，12，…，100，共25个例6、设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =

(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列{d n }，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;

(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim

∞

→n 4

)

(n n

a T . 分析：利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{

b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.易错分析：待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，

会使所求的极限模糊不清. 解：(1)由A n =

23(a n －1)，可知A n +1=2

(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =

23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=2

(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3

为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .

(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·4

2n －

1(－1)+…+C 1

22-n n ·4·(－1)+(－1)2n ］=4n +3，

∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·

42n －

1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ?{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1.

(3)由32n +1

=4·r +3，可知r =4

3312-+n ，

∴B r =)19(8

27)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-?-=+?-=+=++++n n n n n D r r r r ，

)(lim ,

3)(,4

3811389)

19(8

27821349444241212=∴=+?-?=---?+=-=∴∞→++n n n n n n n n

n n n r n a T a D B T 点评：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)n 问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解.

数列的综合性问题题型与研究方法

数列的综合性问题题型与研究方法综观近年来的高考试卷，数学综合问题是考查的重点和热点，重点考查利用数列的有关知识解决数列递推数列求通项公式和数学求和等数列问题。会应用等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等知识，是解决此类综合应用问题的关键。考点一、数列求和问题高考中，数列求和问题常与函数、不等式、三角、几何等知识结合，重点考查分组求和、拆项相消、错位相减等求和方法，常以小题或大题的一问的形式出现，是难度中档的题目。 1.分组求和问题若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为特殊数列，再利用特殊数列的前n 和公式求前n 项和。 2.拆项相消求和问题若数列中的每一项都可分成两项的差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，常用裂项消去法.常用的拆项公式有： 11n n a a -=1111()n n d a a --（n a 是公差为d 的等差数列）， n a n a =(1)!n n +=(1)!!n n +-， n a =1(1)(2)n n n ++ =111[]2(1)(1)(2) n n n n -+++， n a =(1)n n + =1[(1)(2)(1)(1)]3 n n n n n n ++--+，等等。 3.错位相减求和问题对等比数列与等差数列对应项乘积构成的新数列的求和问题，常用错位相减法，即两边同乘以等比数列的公比，然后前后两个和式错位相减即合并同类相，化为等比数列求和问题，用等比数列求和公式求和，注意第一个和式的第一项与第二和式的最后一项相减时符号变化，求和时注意够成等比数列第一项与项数及不构成等比的几项，结果要化为最简形式。考点二、递推数列问题递推数列求通项问题，常与函数、方程、不等式、三角、几何等知识结合，重点考查利用第n 与前n 项和关系、构造等比等差数列、累积累差等求数列通项公式方法，考查将非特殊数列问题转化为特殊数列问题及利用等比等差数列通项公式解题能力和分析问题解决问题能力，常出现小题或大题的第一小题中，是有一定难度的题目。 1. 利用n a =1112n n S n S S n -=??-≥?解题对已知数列的前n 项和，求通向公式问题，常用公式n a =11 12n n S n S S n -=??-≥?直接求出通项公式；对给出数列n 项和与若干项的关系求通项公式问题，若利用上

高考数列问题研究

高考数列问题研究一、数列高频考点数列的概念，数列的通项，数列性质，数列求和。二、数列高频考点考查方法研究 1．以小题或解答题的第一小问考查概念、通项、性质、求和以及1,,,,,n n a d q a S n 等基本量求解例1：（1）（2011年湖南理第12题）设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且11a =， 47a =，则5S =____________。 25 （2）（2012年大纲全国卷）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = A ．12-n B 。1)23(-n C 。1)32 (-n D 。121 -n B （3）（2012年浙江卷）设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( ) A ．若d <0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d <0 C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列 C [解析] 本题考查等差数列的通项、前n 项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度．法一：特值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不恒成立．法二：由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的；故应选C. [点评] 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据．（4）（2012年陕西）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的公比；设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝ a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. 2．以中档解答题考查等差数列、等比数列的通项、性质与求和。有的侧重于基本量计算，有的侧重于推理与证明。例2：(1)（2012·湖北卷）已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .

第二章：“数列”教材分析与教学建议

第二章：“数列”教材分析与教学建议房山区实验中学张红娟一、基本特色 1. 用函数的观点和递推的观点理解数列，加强数列与函数的联系。 2. 应用代数的基本方法和技能解数列问题。 3. 数列的相关计算，贯彻算法思想，引导学生进行编程计算。二、值得研讨的问题 1．数列在高中数学中的教育价值。 2．在数列的教学中如何培养学生的计算推理能力。三、地位与作用数列是一个古老的数学问题，也是近代数学研究的重要对象。在整个中学数学教学内容中，数列处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力，学习数列有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想以及分析和解决问题的综合能力，是培养学生数学能力的良好素材，数列与函数、三角、不等式、数娄归纳法、解析几何、应用问题等有着广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的良好素材。四、本章重点、难点 1．重点：（1）数列的概念；（2）等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）等比数列的通项公式与前n 项和公式。

2．难点：（1）等差数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用；（2）等比数列的通项公式与前n项和公式的推导及应用。五、教学内容安排本章共有三大节，教学约需12课时，具体分配如下：六、教学时需注意的问题 (一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习

专题研究数列的求和例题解析

专题研究：数列的求和·例题解析【例1】求下列数列的前n 项和S n ： (1)(2)13(3)111111221431812 23132313231323 121214121412 234562121，，，…，，…；，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．()n n n n n ++++++-- 解 (1)S =112=(123n)n +++++++++2143181212141812 …＋＋＋…＋＋…()()n n n =n(n +1)2=1+--+-12112112 1212 ()()n n n n ＋ (2)S =13=(13+13++13)+(23+23++23 )n 32n-1242n ++++++-2313231323234212………n n =13()()()11311323113113 58113 222222--+--=-n n n (3)先对通项求和 a =1 S =(222)(1+14++12 )n n n-1++++=---1214122121211…∴＋＋…＋－＋…n n

=2n (1+14++12)=2n 2n-1－＋ …－＋12121n - 【例2】求和： (1) 11+123+134+(2)11(3)12···…···…···…2115137159121235158181113132++++++-+++++-+n n n n n n ()()()()() 解 (1) 1n(n +1)=-+=-+-+-++-+111111212131314111n n S n n n ∴…()()()() =-+=+1111n n n (2)1(2n 1)(2n +3) S =n -=--+-+-+-++--++--+14121123 1411513171519123 121121123 ()[]n n n n n n ∴… =141131211234532123[]()()() +-+-+=+++n n n n n n (3)1(3n 1)(3n +2) S =13n -=--+-+-+-++--+131311321215151818111131132 ()[()()()()]n n n n ∴…

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题(解析版)

一．方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略类型一数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12 【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1??=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(??=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可. 2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明

确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标 a进行表示，其 ij 中i代表行，j代表列.例如： a表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方 34 法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列. 【举一反三】 1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（） 4, 4,4 3 4,43,4 4,43,4, 4 … A．B． C．D．【答案】C 【解析】由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，和为，设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，，即图中从第行第列开始，和大于. 因为前行共有项，

高中数学教学中数列问题的分析

高中数学教学中数列问题的分析【摘要】高中数学教学在具体的教学过程中，一定要足够的重视数列教学方法，不断的探究、创新数列教学方法，采用最有效最快捷的教学方式，使学生在熟练地掌握数列概念的同时，能够充分、灵活的对其进行应用。下面我们就针对高中数学教学中数列问题进行详细的分析。【关键词】高中数学数列分析引言：数列，是一种典型的离散型函数，是高中重要的教学内容之一，在生活中很多方面发挥着重要的作用。高中数学教师在具体的教学过程中，往往通过对数列知识的讲解，具体例题的分析和课后练习题的巩固，来培养和提高学生分析、思考、归纳数学知识和自主学习的能力。使学生在课后的练习过程中，在解决数列问题的时，可以对其他类似的数学题进行触类旁通的解决。这就要求教师充分的重视数学数列的教学过程和方法[1]。对教学设计不断的进行优化创新，对数列的基本公式和概念进行有效的传导，并要结合实际情况对数学数列方法进行深层次的探究，重视学生是教学活动中的主体，使学生们养成良好的学习习惯，形成系统性的创新思维模式。一、高中数学数列的应用简析作为高中数学教学内容的重要组成部分，数列蕴含着

灵活多样的教学理念和方法。在人们的日常生活中也发挥着重大的作用，具有极高的运用价值。例如，结合现代人们的生活需要，数列知识可以解决很多实际问题：生物细胞分裂、中国人口增长及密度、产品规格的设计等都会涉及到数列的应用。通过对数列的学习，有利于提高学生的运算速度和能力，有利于培养学生的逻辑思维能力。高中数学教学在具体的教学过程中，一定要足够的重视数列教学方法，不断的探究、创新数列教学方法，采用最有效最快捷的教学方式，使学生在熟练地掌握数列概念的同时，能够充分、灵活的对其进行应用。教师不仅要让学生们在课堂的学习中有紧迫感，成就感，还要让其在课下进行深刻的思考和分析。二、高中数学数列教学的创新（1）数列教学设计的优化。数列、一般数列、等差数列、等比数列是是高中数学数列教学的主要内容。其中，等差数列和等比数列是数列教学内容中的重点。主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知识点的学习。传统的教学观念中，教学设计作为一种系统化过程，是用系统的教学方法将数列教学理论，同学习理论原理进行转换，使之成为教学活动和教学资料的具体计划。创新理念的数列教学设计解决了”教学成果”；”教学方法”；”教学目的”等问题，通过教学设计来解决教学问题，探究总结问题的解决方法和步骤，形成新的教学方案。并在

《数列》教材分析

《数列》教材分析一、教学内容与课时分配 1.教学内容本章主要内容是数列的概念与表示，等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学概念。教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立数列、等差数列和等比数列的概念，力求使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系，感受这两种数列的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。教科书还通过在“探究与发现”中设计“购房中的数学”，使学生进一步感受数列与现实生活的联系和具体应用。二、教学要求与重难点 1.教学要求

2.重点和难点 2.1节的重点是使学生理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，掌握数列的几种简单表示(图象、列表、通项公式)。难点是认识数列是一类特殊的函数及根据数列前几项的特点，探索规律，写出数列可能的一个通项公式；根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，并归纳出通项公式。 2.2节的重点是使学生掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{a n}为等差数列，并能用来解决有关问题。难点是等差数列“等差”性的特点、等差数列性质的应用。 2.3节的重点是使学生掌握等差数列的前n项和公式。难点是推导等差数列前n项和公式思路的获得。 2.4节的重点是使学生掌握等比数列的概念、通项公式、等比中项、等比数列的性质。难点是等比数列的判定方法，等比数列性质的应用。 2.5节的重点是使学生掌握等比数列的前n项和公式及错位相减的思想。难点是用错位相减法推导等比数列前n项和公式思路的获得。三、分析说明 1.把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考”的综合训

数列中的易错问题分析

数列中的易错问题分析 11,112,22n n S n n n S S n k b -=?==≥?-≥?=+n n n n n+1n n n+1n n n+1n n 一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有：（1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。（）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如=f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一）概念理解错误例题1：两个数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且 :(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（）易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则 115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-= 所以1010:a b =4:3，故选C ，从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则 1(108)n n n a S S n k -=-=+ 1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥ :n n a b ∴=(108):(81)n n ++ 所以1010:a b =4:3，故选D 。例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若230,90m m S S ==，求3m S 。易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。解析：设数列的公差为d ，则 123......m m S a a a a =++++ 212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

数列中的奇偶分析法问题研究

数列中的奇偶分析法问题数列奇偶求通项公式：【典例1】数列满足＋＝4n －3(n ∈ )，当＝2时，则数列的通项公式为______ 解析：由＋＝4n －3(n ∈ )，得＋＝4n ＋1(n ∈ )．两式相减，得－＝4．所以数列是首项为，公差为4的等差数列．数列是首项为，公差为4的等差数列．由＋＝1，＝2，得＝－1．所以＝(k ∈Z)．数列奇偶求前N 项和：【典例2】已知数列{}n a 的通项65() 2 ()n n n n a n -?=??为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．【解析】奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有 12n +项，偶数项有1 2 n -项，∴1 121(165) 4(14)(1)(32)4(21)221423 n n n n n n n S --++--+--=+=+ -，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n 项， ∴2 (165)4(14)(32)4(21)221423 n n n n n n n S +----=+=+ -，所以，1(1)(32)4(21) () 23 (32)4(21)() 23n n n n n n S n n n -?+--+??=?--?+?? 为奇数为偶数．练习1：已知21,2n n n n a n ?-=??为奇数，，为偶数，则数列{}n a 的前n 项和n S =________．【解析】①设( )2,n m m N + =∈则,2 n m = ()2222222222,m m m S m m =++ +-=?-- 故此时1222 n n n S +=--．②设 ()2+1,n m m N +=∈n ＝2m ＋1(m ∈N *)，则-1,2 n m =

高考数学高频考点专题复习之数列中公共项问题的研究与拓展

数列中公共项问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =___________. 变式1：等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，且41a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则 4s =_________. 变式2：已知{}n a 为等差数列，公差0≠d ， {}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、kn a 恰为等比数列，若11=k ，52=k ，173=k ，求n k . 变式3：设数列}{n a 是公差不为零的等差数列，21=a ，63=a ，若自然数 ,,,21k n n n 满足 <<<<k,* m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数. （研究子数列问题的根本着力点是算两次） (1) 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a d q b a a +====，所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=?=， ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=?；

数列中公共项问题的研究

专题：数列中公共项问题的研究一、问题提出问题1：（1）两个集合{}1003,0,3,6,,A a =-L 和{}100 15,19,23,27,,B b =L 都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合A B I 中元素的最大值是多少？（2）若将A B I 中元素按从小到大的顺序排列成数列{}n c ，试求数列{}n c 的通项公式.312+=n c n 问题2：若数列{}n a 的通项公式为23 2n n a +=-，数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈I 是A B I 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．对任意* n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ?，∴A B B =I ∵1c 是A B I 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则 ∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差等差数列，

∴* 12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．二、思考探究探究1：已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，（1）求9 c 的值；961 （2）求数列{}n c 的通项公式. 解：设2 27m n =+，考察m 模7的余数问题；若k k k k k k k m 7,17,27,37,47,57,67------=时经验证可得：当37,47--=k k m 时，存在满足条件的n 存在故{n c }中的项目依次为：ΛΛ3125241817111043,,,,,,,,b b b b b b b b b 可求得数列{n c }的通项公式为：?????????? ? ?-??? ??-=为偶数，为奇数，n n n n C n 22267217 探究2：已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .

关于数列解题技巧的分析

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/f85578689.html, 关于数列解题技巧的分析作者：王嘉华来源：《文理导航》2017年第20期【摘要】随着学生在高中学习当中的不断深入，在数学解题过程当中，数列也正在发挥着越来越重要的作用。数列一方面是高考当中的重要考点，同时也能够在高中数学的各项知识当中得到良好的应用。数列与几何、函数等概念都有着十分密切的关系，因此，为了使得学生能够更好的对学习当中的重点进行把握，并使得数学知识的灵活性得到良好的体现，就必须要对数列问题进行深入的研究。本文从实际出发，对数学数列问题的重要性展开了相应的探讨，并对数列相关的结题技巧进行了相应的分析。【关键词】数列；高中数学；解题技巧在对高中数学的学习过程当中，所有学生都对解题技巧十分的关注。而只有对解题规律进行系统的掌握，才能够更好的对数列进行理解，并利用灵活的方法来对数学学习当中的趣味进行体验。因此，这就更需要对高中数学的数列问题进行分析。一、数列的含义 1.数列概念所谓的数列，就是以正整数集，其他有限子集作为定义域的函数，是一列有序的数。在数列当中，每一个数都被称作为这个数列的项。排在数列当中第一位的数，叫做这个数列的第一项，通常来讲，我们也将其叫做为首项，而排数列当中第二位的数，我们则称之为第二项，以此类推，其表现形式通常为an。 2.数列的分类数列主要分为以下三个种类：第一类为等差数列。如果从数列当中的第二项开始，每一项都与它前一项的差等于统一常数，那么我们则将这个数列叫做等差数列。在实际的生活当中，等差数列能够在尺寸划分领域当中得到有效的应用，如果出现尺寸不一的情况，则能够利用等差数列等方法来对其进行划分。第二类为等比数列。数列当中从第二项开始，每一项与其前一项的比都等于同一个常数，我们则称这个数列为等比数列。一般来讲，我们通常在银行利息的支付上来应用等比数列。

专题22 数列中的探究性问题(解析版)

专题22 数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．一、题型选讲题型一、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足????1－1a 1????1－1a 2·…·????1－1a n ＝1 a n ，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值； (3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{a n }前n 项和为S n ，且满足S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3. (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值； (3) 是否存在正整数m ，使得S 2m S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．

中考数学《数列》专题复习分析与教学建议

中考数学《数列》专题复习分析与教学建议考情综述命题趋势分析从四川及全国各省市考题可以看出，近几年本章考查呈现以下特点：（1）题型与题量:通常保持一个小题，一个大题的题量，分值大致维持在16～17分。（2）基本知识点考查：数列的概念、等差（比）数列的基本知识（通项、前n 项和、性质）、数列基本求和方法仍是考查的核心；同时近几年数列与函数、不等式、解析几何的综合成为要注意的新趋势，这类题的难度一般都较大，是区分优差的题，复习时应谨慎选用。例如:(06湖南理19) 已知函数x x x f sin )(-=, 数列}{n a 满足: 101< ()3n ≥ （3）递推数列问题：是近年来考查很频繁的内容，而且难度逐年加大，但纵观各年考题，可以看到，一般围绕两个内容考查。一是，递推列常见模型的考查；二是，归纳、猜想、数学归纳法证明的考查。因而，复习时需要对这部分给予足够的重视。

数列求和问题的解法探究与教学思考

数列求和问题的解法探究与教学思考 ——知其然，知其所以然曹杨二中汪哲豪摘要：本文选取了一些有代表性的数列求和问题，探讨了它们的解法，分析了“为什么想到这么做”的原因。以这些求和问题为载体，可以判断教学的效果，分辨一知半解的学生。关键词：数列求和、课堂检验一．选题缘起每一堂课，老师们在教材讲解、设问策略、例题选取、板书设计等各种细节上精雕细琢，同学们也会研究五花八门的听课技巧、学习方法。这都是更好地掌握这堂课涉及到的知识点。写完一份详实的教案，上完一堂让自己满意的课，并不是教学的终点。学生到底有没有理解老师想要贯彻的那些知识点呢？掌握到什么样的程度？想要了解这些问题，仅仅用——“懂了吗？”——“懂了。” 图1 这样的对话并不会有什么实际效用。况且，学生自己未必能准确认识这件事。打个比方：一堂课后，如果说学生确实掌握的部分是集合A，那么学生自以为掌握的部分也许是集合B，而更麻烦的是，学生也许并不清楚全集U是什么样的。这种认知偏差的影响不可低估。不过，学生的反馈仍然重要。经常有学生说，课上听听觉得十分简单，可是轮到自己动笔的时候却又摸不着头脑；还有学生会问，老师你是怎么想到这样处理的；也有学生声称，这类问题他知道“套路”，但是，为什

么要用这个“套路”，其实还是不太清楚。这个规范流程背后的道理是什么？流程中的第二步可以省略吗？笔者认为，选用恰当的练习题，根据学生的完成情况以及所消耗的时间，可以较准确地估计学生运用所学知识解决相关问题的能力；本文将以数列求和问题为研究对象具体探讨。二．文献综述 2.1．关于数列求和问题，常见的方法有这样6类：1 ①公式法，如：对于等差数列有11(1)2 n S a n n n d =+-； ②倒序相加法，如：对于等差数列有：1()2n n n S a a =+； ③错位相减法，如：已知等差数列{}n a 、等比数列{}n b ，对{}n n a b 求和； ④裂项相消法，如：对数列111 (1)1 n a n n n n = =-++求和； ⑤恒等式法，如：利用2222(1)(21) 1236n n n n +++++ += 求和； ⑥分组求和法，将数列拆分为几个可以求和的部分再分别进行操作；其中，①与②是常规问题，分析获取相关数据后代入即可。③、④、⑤有一些变化的余地，将在后文具体举例。⑥体现的是转化与化归的思想，将复杂对象进行合理分割后，利用前述的策略各个击破即可。 2.2. 数学科学具有高度的概括性、逻辑的严谨性和应用的广泛性。有许多抽象的数学定义，在经历了漫长的历史发展过程后，最终以最精确、最概括的科学性定义方式呈现，这对学生的理解造成了困难。接受假设，甚至是不理解地接受假设，是数学认知的助推器2 这样看来，有些同学在学习和解题过程中生搬硬套也是有合理性的。 1 陆细桂. 例谈数列求和的常用方法与技巧[J]. 上海中学数学, 2008(6). 2 何小亚, 李湖南, 罗静. 学生接受假设的认知困难与课程及教学对策[J]. 数学教育学报, 2018(4).

数列问题中易错题分析

数列易错题分析 1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？ 2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ ① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）. [问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++=Λ212求 3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？ 4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==- 6、你知道n n q ∞ →lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？ 7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n 3－2；【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）123n n a -=? 【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解. 【正解】（1）a n =10n －2; （2）1 1 (1)23 (2) n n n a n -=?=? ?≥?