温度梯度有双指数增长的二维Boussinesq方程组的光滑解

㊀㊀㊀㊀㊀140数学学习与研究㊀2018 21

温度梯度有双指数增长的二维Boussinesq方程组的光滑解

温度梯度有双指数增长的二维Boussinesq方程组的光滑解Һ王荣宽㊀指导教师:邓大文㊀(湘潭大学数学与计算科学学院数学与应用数学专业ꎬ湖南㊀湘潭㊀411100)

㊀㊀ʌ摘要ɔ本文构造一个二维Boussinesq方程组的光滑解ꎬ其涡量符合双指数增长的形式.Boussinesq方程描述的是流体在有热对流的情况下ꎬ流体的速度和温度的演化情况ꎬ这组方程是大气洋流等领域的基本方程.于是对这个方程的研究便有很多ꎬ其中一个备受关注的问题便是局部光滑解可否延拓为全局光滑解ꎬ也就是局部光滑解可否在有限的时间内丧失光滑性.例如ꎬ温度梯度或者速度在某时间是无穷的以至于不能光滑的延拓下去.而这个问题至今仍然悬而未解.Chae㊁Constantin和Wu在2014年给出了一个温度梯度有指数增长的例子ꎬ并表示用类似的方法便可以构造出温度梯度有双指数增长的例子.本文便是按照该文章中提出的方法类似的方式构造出这样的一个解.

ʌ关键词ɔBoussinesq方程ꎻ温度梯度ꎻ涡量ꎻ双指数增长一㊁㊀背景介绍

本章讨论二维区域Ω上的Boussinesq方程组

divu=0ꎬ

ut+u Ñ+Ñp=θe2ꎬθt+u Ñθ=0.

{

(1.1)

配合适当的初值条件时ꎬ其中u(tꎬx)=(u1

(tꎬx)ꎬ

u2(tꎬx))是速度场ꎬx=(x1ꎬx2)ɪΩꎬp(tꎬx)是压力ꎬθ(tꎬx)是温度ꎬu Ñ表示算子u1∂x1

+u2∂x2

ꎬ所以

u Ñu=((u Ñ)u1ꎬ(u Ñ)u2)T=(u1u1x1+u2u1

x2

u1

x1

+u2

u2

x2

)T

描述不可压流体在有热对流的情况下ꎬ速度场与温度的演化情况.

这组方程不但在大气洋流等领域里有很重要的应用ꎬ

而且在理论方面的研究也颇受关注.已知对光滑初值ꎬ存在局部的光滑解ꎬ那么便存在一个广受关注但是并没有完全解决的问题就是局部光滑解能否延拓为全局光滑解ꎬ也就是说局部光滑解会不会在有限时间丧失光滑性.例如ꎬθ或u在某时间是无穷的以至于又能光滑的延拓下去.由此我们不妨退一步就可以很容易地想到ꎬ我们先从考虑一些量的增长速度入手ꎬ就有可能找到一些增长得非常快的量.Chae㊁Constantin和Wu在[1]中给出了一个全局光滑

解的例子.其中温度梯度(事实上是温度的x2的偏导数)对时间是呈指数增长的ꎬ所以我们容易得知用类似的方法可以构造温度梯度有双指数增长的解.本文就是用上述文章

中提到的方法类似的构造一个双指数增长的解.

二㊁预备知识

(一)用涡量形式表示的Boussinesq方程Boussinesq方程组(1.1)可写为以下的形式:ωt+u Ñω=θx1ꎬθt+u Ñθ=0ꎬxɪΩꎬt>0ꎬu=ÑʅψꎬΔψ=ω.

ìîíïï

ï

(2.1.1)

其中ω=u2x1

-u1x2

是涡量ꎬψ=ψ(tꎬx)是流函数ꎬÑʅψ=(-ψx2

ꎬψx1

)T.以后我们用(2.1.1)i表示(2.1.1)中的第i个方程ꎬi=1ꎬ2ꎬ3.以下我们从(1.1)推导(2.1.1).

把原方程组中的divu=0写开ꎬ便可以得到u1x1

+u2x2

=0ꎬ进一步整理也就是-u1x1

=u2

x2

.在此处可以运用一些微积

分中的技巧将上面的等式进行变换.因此ꎬ由定理2.1.1可推导出存在ψ使ψx

=u2ꎬ-ψx

=u1.即可以得到方程

(2 1.1)3中的Ñʅ

ψ=u=u1

u2æèçöø

÷.定理2.1.1㊀

设Ω⊂R2为单连通区域ꎬ若MꎬN:Ωң

R2ꎬMx2

=Nx1

ꎬ则∃F:ΩңR2使得Fx1

=MꎬFx2

=N.

又因为ω=u2x1-u1

x2

并且Δψ=ψx

1x

+ψx

2x2

=u2x1

-u1

x2

所以Δψ=ω(参考[2])ꎻ由于

u Ñu=(u Ñ)u=(u Ñ)u1(u Ñ)u2æèç

öø

÷=u1u1x1+u2u1x1u1u2x1+u2u2

æèç

ö

ø÷.

(2.1.2)

所以将(2.1.2)代入(1.1)中ut+u Ñ+Ñp=θe2中ꎬ

可得

u1

u2æèç

ö

ø÷

+u1u1x1+u2u1

x1u1

u2

1+u2

u2x

æèç

öø÷+px1px2æèç

ö

ø

÷=

0θæèç

öø

÷

ꎬ整理得

u1t+u1u1x1+u2u1

x2+px

1=0ꎬ(2.1.3)u2t+u1u2x1

+u2u2x2

+px

=0.(2.1.4)分别对(2.1.3)的两边关于x1求偏导得到

(u2x1

)t+u1x1

u2x1

+u1u2x

1x

+u2x1

u2x2

+u2u2

2x

+px

1x2

=θx1

(2.1.5)

分别对(2.1.4)的两边关于x2求偏导得到

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