高中数学 数列 版块三 等比数列 等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式

与求和.学生版

【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和

n S =_______．

【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．

【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

63

3S S =，则96=S

S （ ）

A ．2

B ．

7

3

C ．83

D ．3

【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有

连续四项在集合{}5323193782--，

，，，中，则6=q ．

【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若

105S S ＝3132

，则105a a 等于 ．

【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1

2

q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，

则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．

【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1

(1)()3

N n n S a n *=-∈．

⑴求1a ，2a ，3a 的值；

典例分析

⑵求n a 的通项公式及10S ．

【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a +=

试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .

【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则

222

12n a a a +++=L ________．

【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ．

【例11】 在等比数列{}n a 中，423a =

，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2

n n a

b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++ (314)

log b +等于（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -，

则222

12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1

413

n -

【例14】 若210lg lg lg 110x x x ++?+=，求210lg lg lg x x x ++?+的值.

【例15】 在等比数列{}n a 中，423a =

，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2

n n a

b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【例16】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和

126n S =，求n 和公比q ．

【例17】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．

【例18】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21

()03

n n x c x -+=的两根，

且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .

【例19】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11

()2

n n --，求它的前n 项和．

【例20】 已知：数列{}n a 满足21123333,3

n n n

a a a a a -+++++=∈N L .

⑴求数列{}n a 的通项；

⑵设,n n n

b a =求数列{}n b 的前n 项和n S

【例21】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =?，求其前n 项和公式．

【例22】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．

【例23】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++L (10)x x ≠≠且

【例24】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+???+，已知11T =，24T =．

⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．

【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令

lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，

⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；

⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．

【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设

()n a f n =，()

*n ∈N ．

⑴ 求n T ；

⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．

【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．

⑴求q 的取值范围；

⑵设213

2

n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．

【例28】 设

{}

n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明

0.50.52

0.51log log log 2

n n n S S S +++>

【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．

⑴证明：

2

1lg lg lg 2

n n n S S S +++<；

⑵是否存在常数0C >使得()()

()21lg lg lg 2

n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明

你的结论．

【例30】用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第

一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部

货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

【例31】从盛满a升(1)

a 纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后

又用水填满．如此继续下去，那么第n次操作后溶液的浓度是多少?

【例32】某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x万元，余下基金投入再生产，为实现经

过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万

元（精确到万元）？

【例33】小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为

0.2%，

每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出

本利共多少元(保留到个位)？

【例34】 用n 个不同的实数12,,,n a a a L 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个

!n 行的数阵。对第i 行12,,,i i in a a a L ，记12323....(1)n i i i i in b a a a na =-+-++-，

1,2,3,,!i n =L 。

例如：用1,2,3、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，1261221231224b b b +++=-+?-?=-L ，那么，

在用1,2,3,4,5形成的数阵中，12120b b b +++L =________。

1231231231231231

2

3

【例35】 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，

公比为q 的数列{}n a 依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．

⑴ 设第2行的数依次为12n B B B L ，，，，试用n q ，表示12n B B B +++L 的值； ⑵ 设第3行的数依次为123n c c c c L ，，，，，求证：对于任意非零实数1322q c c c +>，；

⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问)．

①能否找到q 的值，使得⑵中的数列123n c c c c L ，，，，的前m 项

()123m c c c m L ，，，≥成为等比数列？若能找到，m 值有多少个？若不能找

到，说明理由．

②能否找到q 的值，使得填表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．

【例36】 已知数列012n a a a a L L ，

，，，，满足关系式()()13618n n a a +-+=，且03a =，则0

1

n

i i

a

=∑的值是 .

【例37】 在n 行n 列矩阵

12321

234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ? ???? ?????????????????????? ? ????---??

中，记位于第i 行第j 列的数为(,12)ij a i j n =???，

，，． 当9n =时，11223399a a a a +++???+= ．

【例38】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n ∈N

⑴ 证明：{}1n a -是等比数列；

⑵ 求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由．

【例39】 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim

n

n n

a S →∞= A ．0 B ．

1

2

C ． 1

D ．2

【例40】 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ??

??

??

的前5项和为 A ．

158或5 B ．3116或5 C ．3116 C ．158

【例41】 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5

2

S S = A ．11

B ．5

C ．8-

D ．11-

【例42】 在数列{}n a 中，11a =，()()

1*121n n n a ca c n n ++=++∈N ，其中实数0c ≠．

⑴求{}n a 的通项公式；

⑵若对一切*

k ∈N 有21k zk a a ->，求c 的取值范围．

【例43】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知241a a =，37S =，则5S =

A ．15

2

B ．314

C ．334

D ．172

【例44】 设等比数列{}n a 的公比为1

2

q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．

【例45】 设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和

6S = ．

【例46】 在数列{}n a 中，13a =，122n n a a n -=+- (2n ≥且*)n ∈N ．

⑴求2a ，3a 的值；

⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．

【例47】 在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N ．

⑴求2a ，3a 的值；

⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．

【例48】 设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++L ，n *∈N ，

已知1b m =，232

m

b =，其中0m ≠． ⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m =时，求n b ；

⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围．

【例49】 若,4,3a a 为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++???+的值为（ ）

A ．1023

B ．1025

C ．1062

D ．2047

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程

高二数学必修5等比数列前n项求和法：等比数列求和公式

高二数学必修5等比数列前n项求和法|等比数列 求和公式 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提， 是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想 到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系 的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解 题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重 点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理 解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知 识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什 么解题的通性?实现问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有 这样才会培养自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即 将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以 有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思 维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听

等比数列求和公式

等比数列求和公式 万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π 2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义

数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？ 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3

高二数学等差等比数列与数列求和

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【高考命题】 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2) 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n （4） {}n a 为等差数列，公差为d ，则 1 1 n n a a += 【小测】 1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5 S 2 ＝________. 解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5 S 2＝ a 11－q 51－q · 1－q a 1 1－q 2 ＝1－q 51－q 2 ＝1－ －25 1－4 ＝－11. 3．(无锡市第一学期期末考试)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1.由2S 9＝S 3＋S 6得2· a 11－q 91－q ＝ a 11－q 31－q ＋a 1 1－q 61－q ，所以2q 9 ＝q 3＋q 6，即1＋q 3＝2q 6.由于a 2＋a 5＝2a m ，所以a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q m －1，即1＋q 3＝2q m －2，所以m －2＝6，所以m ＝8. 4．数列{a n }是等差数列，若a 11 a 10 ＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝________. 解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11 a 10 ＜－1，所以a 10＞0， a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19. 【考点1】等差数列与等比数列的综合

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。

例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。

等比数列和等差数列公式

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1， 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时，

而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 （更正：分母为1-q） 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则 证明： ∵ ∴

?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系： 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例： 证明： 设， 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕

高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法

等比数列求和公式的推导过程及方法 Sn=a1+a2+……+an q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n (1-q)*Sn=a1*(1-q^n) Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 通项公式： an=a1+(n-1)d 前n项和： Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2 前n项积： Tn=a1^n + b1a1^(n-1)×d + ……+ bnd^n 其中b1…bn是另一个数列,表示1…n中1个数、2个数…n个数相乘后的积的和等比数列 通项公式： An=A1*q^（n－1） 前n项和： Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 前n项积： Tn=A1^n*q^(n(n-1)/2) 设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an =a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1) 等式两边乘以公比q q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n 两式相减 Sn-q*Sn =a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n =a1-a1*q^n 即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n) 得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)] =100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3] 可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和 套用上面的公式,a1=1,q=1+0.06,n=4,可得 F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]} =100*[(1+0.06)^4-1]/0.06 第1页共1页

常用的一些求和公式

下面是常用的一些求和公式：

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, .... (d为常数) 称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数. 通项公式 前n项和 等差中项 a1, a1q, a1q2, a1q3....,(q为常数) 称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数. 通项公式 前n项和 等比中项

无穷递减等比级数的和 更多地了解数列与级数：等差数列与等差级数(算术级数) 等比数列 等比数列的通项公式 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

等比数列的前n项求和公式

自选课题：等比数列的前n项和 教学设计 1．教学内容解析 本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中． 数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值． 课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用． 等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。 2.学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。 基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置 （1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 （2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。 （3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特

等差等比数列以及数列求和专题

§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S += -+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和. (1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 - n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(75314 3 2 -+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1 4 3 2 --+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=--

等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧

高考专题复习——等差与等比数列 一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广 定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2 c a b += ? 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+= 前n 项和nd n n a n a a S n )1(2 1 2)(121-+=+= 等差数列 当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈ q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ }{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等

定义: n n n n n n a a a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →?=-11n n q a a 等比中项：a b c 成等比数列ac b =?2 基本概念 推广m n q -? 前n 项和=n S )1(11)1() 1(11 1≠--= --=q q q a a q q a q n a n n 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--?===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ?=??+=+ }{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比 基本性质 当 1 01>>q a 或 1001<<q a 时 {}n a 为递减数列 当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列 二、典型例题 例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ 20 )192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a ∴101921=+d a 那么100)192(102 ) (20120120=+=+= d a a a S 解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+?+=+

郭锐-等比数列的前n项求和公式

自选课题：等比数列的前n项和 宜昌市夷陵中学郭锐 一、教学设计 1．教学内容解析 本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中． 数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值． 课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用． 等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。 2.学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。 基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置 （1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 （2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。

数列求和方法总结

数列的求和 一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式． 二、教学重点：特殊数列求和的方法． 三、教学过程： （一）主要知识： 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111 ()(2)22 n n n n =-++ )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．求和：① 个 n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1 (n n n x x x x x x S ++++ ++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 110101011112-=++++==k k k k a 个 ] )101010[(91 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S n x x x x x x n n 2)1 11( )(242242++++++++= （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2) 1() 1)(1(21)1(1)1(2 2222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时 ③ k k k k k k k k k k a k 2 3 252)]23()12[()]1()12[()12(2)12(2-=-+-= -+-+++++-= 2 ) 1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221+-++?=+++-+++= +++=n n n n n n n a a a S n n

等差等比数列求和公式

等差等比数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an 化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1) 得 2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2)) 当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列 和＝（首项＋末项）*项数/2 项数＝（末项-首项）/公差＋1 首项=2和/项数-末项 末项=2和/项数-首项 末项=首项+（项数-1）*公差 等比数列求和公式 等比数列：a（n+1）/an=q, n为自然数。 通项公式：an=a1*q^（n－1）； 推广式： an=am·q^(n－m)； 求和公式：Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于 1） 性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列求和教学设计

等比数列的前n项和 甘天威 一：教学背景 1.面向学生：中学学科：数学 2.课时： 2个课时 3.学生课前准备： （1）预习书本内容 （2）收集等比数列求和相关实际问题。 二：教学课题 教养方面： 1了解等比数列求和问题，感受数学问题的趣味性。 2尝试用不同的方法解决等比数列求和问题，体会错位相减法的应用 3 能准确地解决等比说列求和有关的实际问题。 教育方面： 1培养学生积极探索解决问题的良好习惯。 2感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情 发展方面： 培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。 三：教材分析 教学目标 知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。 能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。 情感目标：培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质；以及勇于批判、敢于创新的科学精神。 教学重点、难点 教学重点：公式的推导和公式的运用． 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用． 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。 教学方法： 对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探

究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段． 四：教学过程 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题 引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动，探究问题 在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？ 一般的这就是一个等比数列前n项求和的问题，那么一个等比数列 类似等差数列前n项和的表示，等比数列前n项和能否用来表示呢？此时要引导学生发现需要构造一个新的等式包含，并且与第一个等式有许多相同的项，从而引导学生发现并利用错位相减法求出。 对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．） 再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）