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江苏省无锡市2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(文)含答案

2014年春学期普通高中期末考试试卷

高二文科数学

注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟, 全卷满分为150分.

一.填空题(本大题共14题,每题5分,共70分.请直接将答案填在题中的横线上)

1.已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则()U C A B ?= . 2.已知2(,)a i b i a b R i

+=+∈,其中i 为虚数单位,则a b += . 3. 用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中,至少有2个锐角”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ”.

4.函数21log (2)

y x =-的定义域为___________, 5.已知向量(1,1)m λ=+,(2,2)n λ=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ .

6.设2sin 2sin αα=,(,)2

π

απ∈,则tan α的值是_________. 7.若函数()()(3)f x x a bx a =++(,)a b R ∈是偶函数,且它的值域为(,12]-∞,则 a b += . 8.设函数122,1,()1log ,1

x x x f x x -?≤=?->?,则满足()2f x ≤的的取值范围是 . 9.若21()2

x a f x x -+=-在区间(2,)-+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是 . 10.观察下列不等式:

①1<;

②+<;

③<;…则第5个不等式为 .

11.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标变为原来的2倍,

然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π6

个单位,这样得到的曲线和函数sin 2y x =的图象相同,则函数()y f x =的解析式为 .

12.定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +?=,当[)1,1x ∈-时, ()()2log 4f x x =-+,则()2014f = .

13..已知),10cos()10cos()20sin(0

00-++=+x x x 则=x tan .

14. 若函数k x x f +=2)(,若存在区间[,](,0]a b ?-∞,使得当[,]x a b ∈时, ()f x 的取值范围恰为[,]a b ,则实数k 的取值范围是________.

15. 设复数(,,0)z a bi a b R a =+∈>,满足z =且复数(12)i z -在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(Ⅰ)求复数z ; (Ⅱ)若()1m i z m R i ++∈-为纯虚数, 求实数m 的值.

16.函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ,函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合

B .

(Ⅰ)求集合A ,B ;

(Ⅱ)若集合A ,B 满足U B C A ?=? ,求实数a 的取值范围.

17. 已知等腰三角形ABC ,AB AC =,点P 为线段AB 上一点,且AP AB λ=.

(1)若3144

CP CA CB =+,求λ的值; (2) 若120A ∠=?,若2CP AB PA PB ?>?,求实数λ的取值范围.

18.已知函数2()cos 2sin 3f x x x x =++.

(I)

求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; (II) 若26()25f α

=,求sin(2)6

πα+的值; (Ⅲ)当,02x π??∈-????

时,若2()log f x t ≥恒成立,求t 的取值范围.

为了帮助企业乙脱贫(无债务)致富,某型国企将经营状况良好的某种消费品专卖批发店以120万元的优惠价格转让给了小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证的职工每月工资开支10万元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件20元;②该店月销量Q (千件)与销售价格x (元)的关系如图所示;③每月需水电房租等各种开支22 000元.

(Ⅰ)求该店月销量Q (千件)与销售价格x (元)的函数关系式

(Ⅱ)企业乙依靠该店,最早可望在多少时间后还清转让费?

20. 对于函数()f x ,若()f x 图象上存在2个点关于原点对称,则称()f x 为“局部中心对称函数”.

(Ⅰ)已知二次函数2()24f x ax ax =+-(,0)a R a ∈≠,试判断()f x 是否为“局部

中心对称函数”?并说明理由;

12()424x x f x m m +=+?+-

(Ⅱ)若12()42

4x x f x m m +=+?+-为定义域R 上的“局部中心对称函数”

,求实数m 的取值范围.

2014年春学期普通高中期末考试试卷参考答案和评分说明

1. {}4 2.1 3. 在一个三角形的三个内角中,至多有1个锐角4. (2,3)(3,)+∞

5. 3-

6. 15-

7. 1- 8. [)+∞,0 9.(,5)-∞ 10. 11.1sin(4)23y x π=-12. 1213. 314. )43,1(--

15. 解:(Ⅰ)由z =22

10a b += ①

又复数(12)i z -=(2)(2)a b b a i ++-在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上,

则(2)(2)0a b b a ++-=即3a b = ②

由①②联立的方程组得3,1a b ==或3,1a b =-=-

∵0,a >∴3z i =+ (Ⅱ)()(1)312m i m i i z i i ++++

=-+-=5322

m m i +++ ∵()1m i z m R i

++∈-为纯虚数, ∴52

m =-. 16. (Ⅰ)A=2{|230}x x x -->={|(3)(1)0}x x x -+>={|1,3}x x x <->或, B={|2,2}{|4}x y y a x y a y a =-≤=-<≤-.

(Ⅱ)∵U B C A ?=?,∴B A ?,

∴41a -<-或3a -≥,

∴3a ≤-或5a >,即a 的取值范围是(,3]

(5,)-∞-+∞ 17. 解: CP CA AP =+CA AB λ=+()CA CB CA λ=+-(1).CA CB λλ=-?+.

∴34λ= (2)设等腰三角形的边长为a ,则 221()2CP AB CA AP AB a a λ?=+=

+ 222()PA PB PA AB AP a a λλ?=-=-+

即22221222a a a a λλλ+>-+,∴212302

λλ--<,

得3344

λ<<. ∵P 为线段AB 上, ∴01λ≤≤,

1λ<≤. 18. 解:

(I)()21cos232sin(2)46f x x x x π=

+-+=-+ ∴函数()f x 最小正周期是T π=. 当222262k x k πππππ-≤-≤+,即5,66

k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 函数()f x 单调递增区间为5[,]()66k k k Z ππππ-+∈ (II) 26()5f α=,得3sin()65πα-=, sin(2)6πα+=cos[(2)]62ππα+-=cos(2)3πα-=725 (Ⅲ),02x π??∈-????,72,666x πππ??∴-∈--????

, ()2sin(2)46

f x x π∴=-+的最小值为2, 由2()lo

g f x t ≥恒成立,得2log 2t ≤恒成立.

所以t 的取值范围为(0,4] 19. 解:(Ⅰ)276,2232,360,3236.2

x x Q x x -+≤≤??=?-+≤≤?? (Ⅱ)设企业销售消费品所产生的利润为y 元

(276)(20),2232,3(60)(20),3236.2

x x x y x x x -+-≤≤??=?-+-≤≤?? 当2232x ≤≤时

22(58760)1000y x x =---?

当29x =时,max 16200y =

当3236x ≤≤时

23(60800)10002

y x x =---? 当32x =时,max 14400y =

∴当29x =时,max 16200y =

每月最大偿还为4万元,

最早可望在2年半以后后还清所有转让费

20. (Ⅰ)当2()24f x ax ax =+-时,若图象上存在2个点关于原点对称

则方程()()0f x f x -+=

即2

40ax -=, 0a >时,方程有实数根, 0a <时,方程无实数根.

∴0a >时,()f x 是“局部中心对称函数”, 0a <时,()f x 不是“局部中心对称函数” .

(Ⅱ)当12()424x x f x m m +=+?+-时,()()0f x f x -+=可化为

2442(22)280x x x x m m --+-++-=.

令22x x t -=+,则[2,)t ∈+∞,2442x x t -+=-

2222100t mt m -+-=[2,)+∞有解,即可保证()f x 为“局部中心对称函数”. 令22()2210g t t mt m =-+-,

1° 当(2)0g ≤时,22

22100t mt m -+-=在[2,)+∞有解,

由(2)0g ≤,即22460m m --≤,解得13m -≤≤;

2° 当(2)0g >时,2222100t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 2244(210)02(2)0m m m g ??=--≥?>??>?

解得3m <≤

综上,所求实数m

的取值范围为1m -<≤

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