转速随机波动旋转机械振动信号的周期平稳性

https://www.wendangku.net/doc/f56350782.html,

转速随机波动旋转机械振动信号的周期平稳性

傅俊庆

（长沙理工大学汽车与机械学院，长沙，410076）

摘要：首先推导旋转机械转速波动的随机角位移统计特性，证明了随机角位移信号是一种非平稳的随机过程，对离散随机角位移序列，通过提高采样率，可以减小其随机性，当采样率无限增加时，该序列将退化为确定性序列。然后，以不平衡质量的惯性力为例，以转角和时间为参量，分别推导出一阶和二阶矩统计量。这些统计量证明，以转角为参量的惯性力随机矢量信号是非平稳的，但具有周期性平稳性；而以时间为参量的惯性力随机矢量不仅是非平稳的，而且一般也不具有周期平稳性。 关键词：旋转机械 随机转速 振动信号 周期平稳性

中图分类号：TH113.1 O324

0 前言

最近几年，对旋转机械的周期平稳性的研究和基于周期平稳性的分析与应用受到了国内外有关学

者的广泛关注[1]。国外有关研究人员对齿轮 [2，

3]，

滚动元件[4，

5]和往复机械[6]的振动信号进行了研究，国内也有部分研究人员开始将旋转机械的周期平稳

性应用到故障诊断[7，

8]，这些文献表明，旋转机械振动信号的周期平稳性的应用前景非常广阔，而且与传统将以时间为参量的振动信号作为平稳信号处理方法相比，利用信号的周期平稳性进行分析，可以大大提高振动信号的分析准确性。但上述文献并未证明旋转机械的振动信号一定是周期平稳的，在什么条件下是周期平稳的等基本问题。本文将针对这些问题，从旋转机械转速随机波动现象出发，以旋转机械不平衡质量诱发的随机振动信号为对象，比较以转角位置（确定性）为参量和以时间为参量信号和的统计（集平均）特征参数，对旋转机械振动信号的周期平稳性的基本问题进行讨论。这对于从理论上澄清旋转机械随机振动信号的性质具有重要意义。

1.角位移随机信号的特性

1.1以时间为参量角位移的随机特性

当旋转机械转速随机波动时，其角位移)(t θ是时间的随机函数，可以表示为

∫+=t

d t t 0

0)()(ττνωθ （1）

式中0ω—稳定（恒定）名义转动角速度，)(t ν—在名义转速附近的随机波动，在任意时间t ，)(t ν一般满足条件0)(ων

),0(2

σN []??

????+=∫t

d t E t E 00)()(ττνωθ

上式方括号中的第一项相对随机变量ν是常数，第

二项是随机变量ν关于变积分限的参数积分。根据随机变量关于变积分限参数积分的性质，有

[]∫∫=??????t t d E d E 0

0)()(ττνττν （2） 利用式（2）的性质以及正态随机变量ν服从

分布的假定，则有式（1）相位随机变量

的期望值（一阶矩）

),0(2σN [][][]∫+=t

d E t E t E 0

0)()(ττνωθ

=t 0ω （3）

式（3）表明，以式（1）表示的以时间为参量的转

角随机过程的期望值不是常数，因此，该转角随机过程不是平稳过程，而是一种非平稳过程。同理，计算式（1）随机变量的二阶中心矩（方差），有

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[][]()

{

}

???????????

?=?=∫2

02

)()()(t ar d E t E t E t V τνθθθ （4）

上式中由于随机变量ν对参量t 积分的平方项出现，

不能直接求出方差，但可以用如下累加和代替积分平方项，即

∑∑∫∫=∞→→?=∞→→???=n

k k

n t n i i

n t t

t t t d d 101

lim lim ν

ντντν

∑∑==∞→→??=n

i k i n

k n t t 121

lim νν （5）

式中?t —— 微小时间区间，等同于采样间隔；

n —— 时间区间[0，t]等分为?t 微区间的数量，等同于采样点数；

νi —— 第i时刻，速度波动随机变量；

νk —— 第k时刻，速度波动随机变量；

利用上式累加和代替式（4）中积分平方项，有

=????????????∫20t d E τν???

??????∑∑==∞→→?n i k i n k n t t E 1210lim νν（6） 假定在不同时刻的随机频率波动是互不相关，即i ν 和k ν)(k i ≠是相互独立，而且极限运算可以和期望运算可以交换顺序，则有方差

=????????????∫20t d E τν???????∑=∞

→→?n

i i n t E t 1220lim ν

（7）

220

lim σn t n t ?=∞

→→?考虑到，则方差可表示为

t t n =?[]0lim )(20

=?=→?σθt t t V t ar （8）

综合式（3）和（8）知道，以时间为参量，频率正态随机波动量ν服从时，若采样时间间隔趋于零时，即采样率无穷大时，其转角位移随机过程式（2）服从参数为),0(2

σN t ?)0,(0t N ω正态分布。方差为零时，)(t θ实际上已退化为一个确定性信号。由于旋转机械的工作过程中转速通常不可能恒

定，总是存在一定的波动，而且对转角位置信号（以时间为参量）的采样率通常是有限，设采样率为

t f s ?=/1，则在该采样率下，任意时刻)(t i t i ?=，

离散转角位置序列的期望值和方差分别为

[][][]∫+=i

t i i d E t E t E 0

0)()(ττνωθ=i t 0ω（9）

[]2

1)(σθs

i

i ar f t t V = （10） 式（9）和（10）表明，对转角位置作等时隙采

样时，由于转速正态随机波动，结果导致转角位置序列信号成为服从分布的随机信号。由于均值与方差都和时间参量相关，故该序列是非平稳的。因此，通常将旋转机械工作过程中产生的振动信号作为平稳信号处理，必将产生一定误差，影响分析结果的准确性。

)/,(2

0s i i f t t N σω

1.2以转角为参量角位移的确定性

为了避免上述以时间t 作为参量，而导致转角信号变为非平稳信号的现象，可以采用转角位置作为参量θ，即通过准确的转角位置信号作为参量（可以通过旋转编码器发生准确的转角位置信号）。在不考虑测量误差的前提下，由于转角位置信号可以准确地在每一转中重复，该转角位置信号是一种确定性的信号。这样就可以消除转角以时间t 为参量信号的非平稳随机性。

2. 偏心质量诱发的随机振动特性

2．1 以转角θ为参量随机振动的周期平稳特性

当旋转机械旋转速度存在随机波动时，其转角

)(t θ可由式（1）表示，若采用时间作为转角的参

t

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量，当采样率有限时，则由)(t θ表示随机过程是非平稳的。为了消除这种非平稳性，下面以转角θ为参量来表达由旋转质量不平衡而引起的离心力。假定转速波动服从νωω+=0，其中ν为服从

分布的正态随机变量，则图1所示旋转机

械偏心惯性力随机矢量可以表示为：

),0(2σN []θθνωθj j e mr e t mr F 202

)()(+=′= （11）

式中m —偏心质量 r —偏心半径

)(t θ′—转动角速度)(0νω+=

2.1.1 一阶周期平稳性

为了了解上述惯性力矢量的统计特性，首先计算它的一阶矩（期望值），即

[]∫

∞

∞

?++=

)2(21202

0ννωωσ

πmr F E

νσνθd e

e j 2

2

2?

（12）

上式的积分中，由于相对随机变量θ

j mre

ν是常量，

可以提到积分号的前面，然后积分得到

[]F E =()

θσωj e mr 22

0+ （13）

观察式（13）表示的一阶矩，可以发现：惯性力矢量随机变量的一阶矩不是常量，而是参量θ的函数。考虑上式中是一个以θ

j e

π2为周期的函数，有

()θσωj e mr 220+=()

N j e mr πθσω222

0++

式中。即一般有

L L 1,0,1,?=N [][])()2(θπθF E N F E =+ （14）

式（14）表明，以θ为参量的惯性力随机矢量的期望值是一个周期函数，其基本周期为π2，这意味着惯性力随机矢量是一个非平稳的随机变量。但这个期望值每相隔π2后，其期望值又相等，相对平稳过程期望值恒等，该期望相等具有一定的周期性。以后我们称期望值满足式（14）的随机过程为一阶周期平稳随机过程，简称为一阶周期平稳过程。一阶周期平稳更一般的定义可表示为：

[][])()(T t x E t x E +=

式中x(t)是以t 为参量的随机过程，E 表示期望运算，T 表示周期。

2.1.2 二阶周期平稳性

式（11）惯性力随机矢量的二阶原点阶矩可表示为：

[])()(),(2121θθθθF F E R F =

()∫∫

∞

∞

?∞∞

?++=2

202102)()(νωνωmr 21)(2121),(ννννθθd d e f j +

式中),(21ννf 为不同转角位置转速随机波动量的联合概率密度函数。假定在不同转角位置转速波动量是互不相关的，既1ν和2ν相互独立。则上式可改写为：

[][])()(),(2121θθθθF E F E R F =

利用式（12），容易得到二阶原点矩

[

]

)

(2

2

02121)(),(θθσωθθ++=j F e mr R

设12θθτ?=，则上式变为

[]

)2(2

20111)(),(τθσωτθθ++=+j F e mr R （15）

式（15）表明，惯性力随机矢量的二阶矩（自相关

函数）不仅与位置(参量)差τ相关，而且还依赖于参量θ的起点。

与一阶矩同理，它还是一个以π2为周期的周期函数，即

[]

)2(2

20

1)(τθσω

++j e mr

[]

)22(2

201)(τπθσω+++=j e mr

上式意味着

=+),(11τθθF R ),(11τπθπθ+++F R （16）

式（16）表明，以θ为参量的惯性力随机矢量的自相关函数是一个周期函数，其基本周期为π，这意味着惯性力随机矢量是一个非平稳的随机变量。但自相关的函数值每相隔π后又相等，相对平稳过程期自相关函数仅依赖于参量差而言，该自相关函数

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不仅依赖于参量差，而且还依赖于参量的位置（值），同时该自相关函数还具有确定的的周期性。以后我们称自相关函数满足式（16）的随机过程为二阶周期平稳随机过程，简称为二阶周期平稳过程。二阶周期平稳更一般的定义可表示为：

()),(,ττT t R t R x x +=

式中下标x 表示以t 为参量的随机过程，R 表示自相关函数，t 表示参量的位置（值），τ表示参量差，T 表示周期。

计算转速正态随机波动惯性力随机矢量的高阶矩，还可以证明其高阶矩也具有周期性。

2．2 以时间t 为参量的随机振动特性

前面的推导已经证明以转角为参量的转速正态随机波动惯性力矢量是非平稳的随机过程，但具有一阶和二阶周期平稳性。为了比较以时间为参量惯性力随机矢量的统计特性，下面讨论以时间为参量惯性力随机矢量的一阶矩。

用式（1）表示的转角θ代入（12）式，有惯性力期望

[]∫∞

∞

?++=

)2(21

202

0ννωωσ

πmr F E

νσνττνωd e

e

t d t j 2

002)(?

?

????

?

+∫

（17）

上式积分中，幅角项中含有随机变量θ

j e

ν对参量t

的积分项，因此，该幅角项不能作为常数从积分号中提出。为简化计算，消除中含有随机变量θ

j e

ν对

参量t 的积分项，对转角)(t θ进行统计估计，考虑ν服从的正态分布，),0(2

σN )(t θ的方差由式（10）给出，均值由式（9）给出，采用3σ规则，在任意时刻t i ，)(i t θ的99.7%置信度的估计区间为

[][]

σωθσωs i i i s i i

f t t t f t t

/3)(/300+≤≤?

（18）

用)(t θ的区间估计值，代入式（17），则可以消除中含有随机变量θ

j e

ν对参量t 的积分项，完成积分有

[]F E =()

[

]σ

ωσωs i i f t t j e

mr /322

00±+ （19）

同理，可以得到与式（15）相对应的以时间为参量

的惯性力二阶矩

[]

),(2

20111)(),(τθσωτt j F e mr t t R +=+ （20）

式中

()στπωωτθ???

?

?

??

?

++±+=s

s f t f t t t 11010132),( 式中t 1——时间参量的起点，

τ——时间差，

s f ——采样率。

观察式（19）和式（20）可知，以时间为参量的惯性矢量统计量一、二阶矩的相位，相对转角参量的情况，出现了相位随机误差，只有这种相位随机误差为零时，才能与转角参量情形相同，维持统计量周期性重复相等的特点。另一方面，从式（8）又得知，只有采样率无穷大时，随机相位才会变为零。但实际采样率不可能无穷大，因此，相位误差总是存在的。由此可以推断：以时间为参量的惯性随机矢量不仅是非平稳的，而且一般也不具有周期平稳性。但由于提高采样率可以减小随机相位误差，当采样率足够高时，以时间为参量的惯性力随机矢量将逐渐接近周期平稳，由于实际采样总是有限的，均值与方差的相位误差将总是存在。因此，即便采样率足够高，以时间为参量的惯性力随机矢量只能接近平稳，而不会达到纯周期平稳，它一种不纯的周期平稳信号。

3 结论

（1）通过对转速随机波动角位移随机信号的分析

发现，转角位移信号是一种非平稳的随机信号，通过提高采样率，可以减低离散转角位置序列信号的随机性，当采样率无穷大时，转角位置序列信号蜕变为确定性信号。

（2）以转角为参量，转速正态随机波动条件下，

偏心质量惯性力随机矢量的统计（集平均）特征参数一阶矩和二阶矩都证明，该随机过程是非平稳的随机过程，但具有周期平稳性。 （3）以时间为参量，转速正态随机波动条件下，

偏心质量惯性力随机矢量的统计（集平均）特征参数一阶矩和二阶矩都证明，该随机过程是非平稳的随机过程，一般不具有周期平

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（4）鉴于上述三点结论，以及不平衡质量惯性力矢量是旋转机械中最基本、最常见的振动源

和转速随机波动总是存在的事实，建议对旋

转机械的振动测试，应以转角为参量进行采

样，采用集平均的方法进行统计分析，以避

免通常将以时间为参量旋转机械的振动信号

作为平稳信号分析与处理的错误。

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On Cyclostationarity of Vibration Signal of Rotating Machine with Random Fluctuation

of Angular-speed

Fu Junqing

(School of Automobile and Mechanic Eng. Changsha University of Science & Technology, Changsha,

410076)

Abstract:Firstly, derive out the statistical properties of random angle signal due to angular speed fluctuation of rotating machine, which verify that the random angle signal is non-stationary, that for discrete angle series, increase the sampling rate and then the randomness of the series can be reduced, and that the discrete series will become definite when the sampling rate is infinite. Then as for the inertia force vector due to unbalance mass and angular speed fluctuation, derive out the first-order and second-order moments of statistical parameters of the random force vector. These moments verify that the inertial force random vector based on angle-base is non-stationary, and but cyclostationary and that the vector based on time-base is not only non-stationary, and but also not cyclostationary generally.

Key words: R otating machine R andom Fluctuation of Angular-speed Vibration signal Cyclostationarity

作者简介：傅俊庆，男，1954年生，副教授，主要研究方向为机械振动和数据采集与处理。

Email:changshafu@https://www.wendangku.net/doc/f56350782.html,

电话：0731-*******，136********