高一数学《二次函数》试题
二次函数
1．解析式、待定系数法
若()2
f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．
变式1：若二次函数()2
f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则
A ．1,4,11a b c ==-=-
B ．3,12,11a b c ===
C ．3,6,11a b c ==-=
D ．3,12,11a b c ==-=
变式2：若()()2
23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______．
变式3：若二次函数()2
f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且
2212269
x x +=
，试问该二次函数的图像由()()2
31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征
将函数()2
361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．
变式1：已知二次函数()2
f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +??
=
???
A ．2b a -
B ．b
a - C ． c D ．244ac
b a
-
变式2：函数()2
f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关
系是
A ．()()()110f f f <-<
B ．()()()011f f f <-<
C ．()()()101f f f <<-
D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2
f x ax bx c =++的图像如右图所示，
请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2
2f x x x =-，()()2
2[2,4]g x x x x =-∈．
(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．
变式1：已知函数()2
42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是
A ．3a ≥
B ．3a ≤
C ．3a <-
D ．3a ≤-
x
y
O
变式2：已知函数()()2
15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．
变式3：已知函数()2
f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．
4．最值
已知函数()2
2f x x x =-，()()2
2[2,4]g x x x x =-∈．
(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值．
变式1：已知函数()2
23f x x x =-+在区间[0,m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
A ．[)1,+∞
B ．[]0,2
C ．[]
1,2 D ．(),2-∞
变式2：若函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M + m 的值等于________． 变式3：已知函数()2
2
4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．
5．奇偶性
已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数()()()
22
111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数
D ．可能是增函数，也可能是常数
变式2：若函数()()2
312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．
变式3：设a 为实数，函数1||)(2
+-+=a x x x f ，R x ∈．
(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值． 6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换
已知22
43,30()33,0165,16
x x x f x x x x x x ?++-≤
=-+≤
(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数2
23y x x =-++的单调区间． 变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=．
给下列命题：①)(x f 必是偶函数；
② 当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x =1对称； ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④)(x f 有最大值||2b a -．
其中正确的序号是________．③
变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题： ①当c =0时，)(x f y =是奇函数；
②当b =0，c >0时，方程0)(=x f 只有一个实根；
③)(x f y =的图象关于点（0，c ）对称；
④方程0)(=x f 至多有两个实根．
上述命题中正确的序号为 ．
7．（北师大版第54页A 组第6题）值域
求二次函数2
()26f x x x =-+在下列定义域上的值域： (1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2) 定义域为[]
2,1-． 变式1：函数()2
()2622f x x x x =-+-<<的值域是
A
．?-???
B ．()20,4-
C ．920,2??- ???
D ． 920,2?
?- ???
变式2：函数y =cos2x +sin x 的值域是__________．
变式3：已知二次函数 f (x ) = a x 2 + bx （a 、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x ) = f (1－x )，且方程 f (x ) = x 有等根．
(1)求 f (x ) 的解析式；
(2)是否存在实数 m 、n （m < n ），使 f (x ) 的定义域和值域分别为 [m ,n ] 和 [3m ,3n ]，如果 存在，求出 m 、n 的值，如果不存在，说明理由．
8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题
当,,a b c 具有什么关系时，二次函数()2
f x ax bx c =++的函数值恒大于零？恒小于零？
变式1：已知函数 f (x ) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．
(I)若函数 f (x ) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x ) 的值域为 R ，求实数 a 的取值范围．
变式2：已知函数2
()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，有()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．
变式3：若f (x ) = x 2 + bx + c ，不论 α、β 为何实数，恒有 f (sin α )≥0，f (2 + cos β )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c ≥3；
(III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为 8，求 b 、c 的值．
9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系
右图是二次函数()2
f x ax bx c =++的图像，它与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，试确定,,a b c 以及12x x ，12
x x +的符号．
变式1：二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同
一个直角坐标系的图像为
变式2：直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2
22
1-+=-+=2
3,m +-
23:323C y x mx m =+--中至少有一条相交，则m 的取值范围是．
变式3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0 为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x 1、x 2．
(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > 1
；
D ．
C ．
x
y
O x
y
O O
x
y
A ．
B ．
(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围． 10．（北师大版第52页例3）应用
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
变式1：在抛物线()2
f x x ax =-+与x 轴所围成图形的内接
矩形(一边在x 轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a 是
正实数．
变式2：某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投
资单位：万元）
(1) 分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产
品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？
变式3：设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a ) ．
（Ⅰ）求g (a )；（Ⅱ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a ．
二次函数答案
1．（人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法
变式1： 解：由题意可知2
2
241411
b
a ac b
a
c ?-=??-?=-??=???
，解得31211a b c =??=-??=?，故选D ．
变式2： 解：由题意可知
212b +=，解得b =0，∴012
c
+=，解得c =2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为()()2
31f x x k =--+， 展开得()2
363f x x x k =-+-+，
∴121232,3
k
x x x x -+==
， ∴()
2
2
2
1
212122629x x x x x x +=+-=，即()2326439
k --=，解得4
3k =．
所以，该二次函数的图像是由()()231f x x =--的图像向上平移 4
3
单位得到的，它的解析式是
()()2
4313f x x =--+
，即()2
5363
f x x x =-+-． 2．（北师大版第52页例2）图像特征
变式1： 解：根据题意可知1222x x b a +=-，∴ 122x x f +??= ???
2
44ac b
a -，故选D ．
变式2： 解：∵()()11f x f x +=-，∴抛物线()2
f x x px q =++的对称轴是1x =，
∴ 12
p
-
=即2p =-， ∴()2
2f x x x q =-+，∴()0f q =、()13f q -=+、()11f q =-+， 故有()()()101f f f ->>，选C ． 变式3： 解：观察函数图像可得： ① a >0(开口方向)；② c =1(和y 轴的交点)；
③ 4210a b ++=(和x 轴的交点)；④10a b ++<(()10f <)； ⑤ 240b a ->(判别式)；⑥ 122b
a
<-
<(对称轴)． 3．（人教A 版第43页B 组第1题）单调性
变式1： 解：函数()2
42f x x ax =++图像是开口向上的抛物线，
其对
称轴是2x a =-，
由已知函数在区间(),6-∞内单调递减可知区间(),6-∞应在直线2x a =-的左侧， ∴26a -≥，解得3a ≤-，故选D ．
变式2：解：函数()()2
15f x x a x =--+在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对
称轴12a x -=
或与直线12x =重合或位于直线12x =的左侧，即应有
11
22
a -≤，解得2a ≤， ∴
()()241257f a =--?+≥，即()27f ≥．
变式3：解：函数()2
f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是2
k
x =， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线2
k
x =的左侧或右侧， 即有
22k ≤或42
k
≥，解得4k ≤或8k ≥． 4．（人教A 版第43页B 组第1题）最值
变式1： 解：作出函数()2
23f x x x =-+的图像，
开口向上，对称轴上x =1，顶点是(1，2)，和y 轴的交点是(0，3)， x
y
O
x
y
O
变式2： 解：函数有意义，应有240x -+≥，解得22x -≤≤，
∴ 2044x ≤-+≤ ? 02≤ ? 06≤， ∴ M =6，m =0，故M + m =6．
变式3： 解：函数()f x 的表达式可化为()()2
4222a f x x a ?
?=-+- ??
?．
① 当022a ≤
≤，即04a ≤≤时，()f x 有最小值22a -，依题意应有223a -=，解得1
2
a =-，这个值与04a ≤≤相矛盾．
②当02a <，即0a <时，()2
022f a a =-+是最小值，依题意应有2223a a -+=，解得1a =
0a <，∴1a =
③当
22
a
>，即4a >时，()2216822f a a a =-+-+是最小值，
依题意应有2168223a a a -+-+=，解得5a =4a >，∴5a =
综上所述，1a =5a = 5．（人教A 版第43页A 组第6题）奇偶性
变式1： 解：函数()()()
22111f x m x m x =-+-+是偶函数 ? 2
10m -= ? 1m =±，
当1m =时，()1f x =是常数；当1m =-时，()2
21f x x =-+，在区间(],0-∞上()f x 是增函数，故选D ．
变式2：解：根据题意可知应有120a a -+=且0b =，即13a =
且0b =，∴点(),a b 的坐标是1,03??
???
． 变式3： 解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2
x f x x x f =+-+-=-，此时，)(x f 为偶函数；
当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2
++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
（II ）（i ）当a x ≤时，4
321
(1)(2
2+
+-=++-=a x a x x x f ， 若21≤
a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2
+=a a f ． 若21>a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=43)21(，且)(2
1
(a f f ≤．
（ii ）当a x ≥时，函数4
321(1)(22
+-+=+-+=a x a x x x f ，
若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=-43)21(，且)()2
1
(a f f ≤-，
若2
1
-
>a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ． 综上，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值为a -43
；
当21
21≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；
当21>a 时，函数)(x f 的最小值为a +4
3
．
6．（北师大版第64页A 组第9题）图像变换
变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可
得单调区间．
当0x ≥时，()2
2
2314y x x x =-++=--+， 当0x <时，()22
2314y x x x =--+=-++．
作出函数图像，由图像可得单调区间．
在(),1-∞-和(]0,1上，函数是增函数；在[]1,0-和()1,+∞上，函数是减函数．
变式2： 解：若1,1,a b ==则22
()|21|21f x x x x x =-+=-+，显然不是偶函数，所以①是不正确的；
若1,4,a b =-=-则2
()|24|f x x x =+-，满足)2()0(f f =，但)(x f 的图像不关于直线x =1对称，所以②是不正确的；
若02≤-b a ，则22()|2|2f x x ax b x ax b =-+=-+，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x a =，∴)
(x f 在区间[a ，＋∞)上是增函数，即③是正确的；
显然函数()2
()|2|f x x ax b x R =-+∈没有最大值，所以④是不正确的．
变式3： 解：2
2,0
()||,0
x bx c x f x x x bx c x bx c x ?++≥?=++=?-++
(1)当c =0时，()f x x x bx =+，满足()()f x f x -=-，是奇函数，所以①是正确的；
(2)当b =0，c >0时，22,0
(),0
x c x f x x x c x c x ?+≥?=+=?-+
方程0)(=x f 即200x c x ?+=?≥? 或20
0x c x ?-+=?
，
x
y
O
显然方程200x c x ?+=?≥?无解；方程20
x c x ?-+=?
(3)设()00,x y 是函数()||f x x x bx c =++图像上的任一点，应有0000||y x x bx c =++， 而该点关于（0，c ）对称的点是
()
00,2x c y --，代入检验00002||c y x x bx c -=--+即
0000||y x x bx c -=---，也即0000||y x x bx c =++，所以()00,2x c y --也是函数()||f x x x bx c =++图像上的
点，所以③是正确的；
(4)若1,0b c =-=，则()||f x x x x =-，显然方程||0x x x -=有三个根，所以④ 是不正确的． 7．（北师大版第54页A 组第6题）值域
变式1： 解：作出函数()2
()2622f x x x x =-+-<<的图象，容易发现在32,2??- ??
?上是增函数，在3,22
??????
上
是减函数，求出(2)20f -=-，(2)4f =，3
9()2
2f =
，注意到函数定义不包含2x =-，所以函数值域是920,2??- ???
． 变式2：解：∵ y = cos2x +sin x =－2sin 2x +sin x +1，令t = sin x ∈ [－1,1]，
则y =－2t 2+t +1，其中t ∈ [－1,1]，
∴y ∈ [－2, 98 ]，即原函数的值域是[－2, 9
8 ]．
变式3： 解：(I) ∵
f (1 + x ) = f (1－x )，
∴ －b
2a
= 1，
又方程 f (x ) = x 有等根 ? a x 2 + (b －1) x = 0 有等根， ∴ △= (b －1) 2 = 0 ? b = 1 ? a = －1
2 ，
∴ f (x ) = －1
2
x 2 + x ．
(II) ∵ f (x ) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1? 当 m ≥1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是减函数， ∴ 3m = f (x )min = f (n ) = －1
2
n 2 + n (*)，
3n = f (x )max = f (m ) = －1
2
m 2 + m ，
两式相减得：3 (m －n ) = －1
2 (n 2－m 2) + (n －m )，
∵ 1≤m < n ，上式除以 m －n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2? 当 n ≤1 时，f (x ) 在 [m ,n ] 上是增函数， ∴ 3m = f (x )min = f (m ) = －1
2
m 2 + m ，
3n = f (x )max = f (n ) = －1
2
n 2 + n ，
∴ m = －4，n = 0．
3? 当 m ≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ∈ [m ,n ]，
∴ 3n = f (x )max = f (1) = 12 ? n = 1
6
与 n ≥1 矛盾．
综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．
8．（北师大版第54页B 组第5题）恒成立问题
变式1： 解：(I) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R ，
∴应有 ??? a > 0
△= 4－4a < 0
? a > 1，
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+∞) ．
(II) 函数 f (x ) 的值域为 R ，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+∞) 的所有值．
1? 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；
2? 当 a ≠ 0 时，应有??? a > 0
△= 4－4a ≥0
? 0 < a ≤1．
∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．
变式2： 解法一：(转化为最值)
()2f x ≥在[]2,2-上恒成立，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上恒成立．
⑴()2
410a a ?=--≤，
22a ∴--≤≤-+
⑵24(1)0(2)0(2)02222
a a f f a a ??=-->?
≥??
?-≥?
?-≥-≤-??或
，52a ∴-≤<-． 综上所述2225-≤≤-a ． 解法二：（运用根的分布） ⑴当22a -
<-，即4a >时，应有()(2)732g a f a =-=-≥， 即5
3
a ≤，a ∴不存在； ⑵当222a
-≤-≤，即44a -≤≤时，应有2()()3224
a a g a f a =-=-
-+≥， 即222222-≤≤-a －，2224-≤≤-∴a ； ⑶当22
a
-
>，即4a <-时，应有()(2)72g a f a ==+≥，即5a ≥- ， 54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a ．
变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin π
2
) = f (1)≥0，f (2 + cos π) = f (1)≤0，
∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x ) = x 2－(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos β )≤0 ? (2 + cos β ) 2－(c + 1) (2 + cos β ) + c ≤0
∵ 1 + cos β ≥0 ? c ≥2 + cos β ， ∴ c ≥(2 + cos β )max = 3．
(III) 由 (*) 得：f (sin α ) = sin 2α－(c + 1) sin α + c ，
设 t = sin α ，则g (t ) = f (sin α ) = t 2－(c + 1) t + c ，－1≤t ≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = c + 1
2
， 由 (II) 知：t ≥3 + 1
2
= 2，
∴ g (t ) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴ g (t )max = g (－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3
∴ b = －c －1 = －4．
9．（北师大版第54页B 组第1题）根与系数关系
变式1： 解：二次函数b ax y +=2与一次函数图象b ax y +=交于两点),(b o 、),1(b a +，由二次函 数图象知b a ,同号，而由C B ,中一次函数图象知b a ,异号，互相矛盾，故舍去C B ,．
又由b a >知，当0>>b a 时，1->-a b ，此时与A 中图形不符，当0a b >>时，1b
a
-<-，与D 中图形相符．
变式2： 解：原命题可变为：求方程m mx x mx 4532
-+=-，3)12(322-+-+=-m x m x mx ，
32332--+=-m mx x mx 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从
全体实数中除去三个方程均无实数解的m 的值，即得所求．
解不等式组??
???<--<--<+--,
0)2(44,04)1(,
0)34(4)4(22
22m m m m m m 得 123-<<-m ，
故符合条件的m 取值范围是2
3
-
≤m 或1-≥m ． 变式3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b
2a
，
∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，
由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2， ∴ g (1) < 0 ? a + b < 0 ? －b a > 1 ? －b 2a > 12 ，即 m > 1
2 ．
(II) △= (b －1) 2－4a > 0 ? (b －1) 2 > 4a ，
x 1 + x 2 =
1－b a ，x 1x 2 = 1
a
， ∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = (1－b a ) 2－4
a = 2 2，
∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2 (*)
又 | x 1－x 2 | = 2，
∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x =
1－b
2a
的距离都为1， 要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g (x ) 对称轴 x = 1－b
2a
∈ (－3,3)， ∴ －3 <
b －12a < 3 ? a > 1
6
| b －1 |， 把代入 (*) 得：(b －1) 2 > 23 | b －1 | + 1
9 (b －1) 2，
解得：b < 14 或 b > 7
4
，
∴ b 的取值范围是：(－∞, 14 )∪( 7
4
,+∞)．
10．（北师大版第52页例3）应用
变式1： 解：设矩形ABCD 在x 轴上的边是BC ，BC 的长是x (0 则B 点的坐标为,02a x -?? ???，A 点的坐标为22,24a x a x ??-- ??? ． 设矩形ABCD 的周长为P ， 则P =2()22222 21122242222a x a a x x x x ??-+=-++=--++ ?? ?(0 ① 若a >2，则当x =2时，矩形的周长P 有最大值，这时矩形两边的长分别为2和224a x -，两边之比为8:()2 4a -； ②若0 12222 a x --+ +无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在． 综上所述，当a >2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:() 2 4a -；当0 在． 变式2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 f (x ) = kx ， g (x ) = m x ， 由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ? m = 5 4 ， ∴ f (x ) = 14 x （x ≥0），g (x ) = 5 4 x ． (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元， ∴ 企业的利润 y = 14 (10－x ) + 54 x = 14 [－(x －52 ) 2 + 65 4 ]（0≤x ≤10）， ∴ x = 52 ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 65 16 ≈4 万元． 答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 变式3： 解：设x x t -++=11，要使t 有意义，必须01≥+x 且01≥-x ，即11≤≤-x ， ∵]4,2[12222∈-+=x t ，且0≥t ……① 由①得：12 112 2 -= -t x ， 不妨设t t a t m +-=)12 1()(2 a t at -+= 2 21，]2,2[∈t ． （I ）由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=2 2 1，]2,2[∈t 的最大值， 当0=a 时，t t m =)(，]2,2[∈t ，有)(a g =2； 当0a ≠时，此时直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=2 2 1的对称轴， ∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数)(t m y =，]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由01 <- =a t 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增，故)(a g )2(m =2+=a ； （2）当0 若a t 1- =]2,0(∈即22 - ≤a 时，)(a g 2)2(==m ， 若a t 1-=]2,2(∈即]21 ,22(--∈a 时，)(a g a a a m 21)1(- -=-=， 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,2 1 (-∈a 时，)(a g )2(m =2+=a ． 综上所述，有)(a g =??? ? ? ? ??? -≤-≤<---->+)22(22122(,2121(2a a a a a a ． （II ）若a >0，则1a >0，此时g(a )=g( 1a ) ? a +2= 1a +2 ? a = 1 a ?a =1(舍去a =－1)； 若－12 2 (舍去)； 若－ 2 2 <－ 2 ， 此时g(a )=g( 1a ) ? －a －12a = 2 ? a =－ 2 2 (舍去)； 若－ 2 ≤a ≤－ 2 2 ，则－ 2 ≤1a ≤－ 2 2 ， 此时g(a )=g( 1 a ) ? 2 = 2 恒成立； 若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 2 <1a ≤－1 2 ， 此时g(a )=g( 1a ) ? 2 =－a －12a ? a =－ 2 2 (舍去)； 若a <－2，则－12 <1 a <0， 此时g(a )=g( 1 a ) ? 2 = a +2? a =－2+ 2 >－2 (舍去) ． 综上所述，满足)1 ()(a g a g =的所有实数a 为：2 22-≤≤-a 或1=a ． 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 安徽省合肥市2017-2018学年高一数学入学考试试题 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.-1是1的（） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．立方根 2.下列各式的运算正确的是（） A ． 3 a a a = B．23 2 a a a += C．22 (2)2 a a -=- D．326 () a a = 3.已知// a b，一块含30o角的直角三角板如图所示放置，245 ∠=o，则1 ∠=（）A．0 100 B．135o C．155o D．165o 4.据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（） A．9 0.6810 ? B．7 6810 ? C. 8 6.810 ? D．9 6.810 ? 5.积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下： 节水量（单位： 吨） 0.5 1 1.5 2 家庭数（户） 2 3 4 1 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（） A． 240吨 B． 360吨 C. 180吨 D．200吨 6.如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（） A． 5个 B．6个 C. 7个 D．8个 7.2015年某县GDP 总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP 总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP 总量的年平均增长率为（ ） A ．1.21% B ．8% C. 10% D ．12.1% 8.已知ABC ?的三边长分别为4,4,6，在ABC ?所在平面内画一条直线，将ABC ?分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（ ） A ． 3 B ．4 C. 5 D ．6 9.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则正比例函数()y b c x =+与反比例函数a b c y x -+=在同一坐标系中的大致图像是（ ） A ． B ． C. D ． 10.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=o ，点M 是AD 边的中点，连接MC ， 将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N ，则线段EC 的长为（ ） A 71 B 7151 D 51 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.函数1y x =+x 的取值范围为 ． 12.分解因式：22288x xy y -+-= ． [A 基础达标] 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ． (0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9] 解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]． 2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．10时，f (x )的对称轴为x ＝12a ，在????－∞，12a 上是递减的，由题意(－∞，2)?? ???－∞，12a ， 所以2≤12a ，即a ≤14 ，综上，a 的取值范围是????0，14. 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2) 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12 ，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D. 5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) 幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③； 任丘一中 2017 级高一新生入学考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题；试卷满分100 分，考试时间90分钟；考生一律在答题纸上作答，写在试卷上的答案无效 一、选择题：( 本大题共12 小题，每小题 3 分，共36 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项 .) 1.﹣的倒数的绝对值是（） A. ﹣ 2017 B. C. 2017 D. 2. 下列计算中，结果是a 6 的是（） A. a 2 +a 4 B.a 2 ?a 3 C.a 12 ÷a 2 D.（ a 2 ） 3 3.如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（） A. B. C. D. 4.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有 0.000000076 克，将数0.000000076 用科学记数法表示为( ) A. 7.6 × 10﹣9 B. 7.6× 10﹣8 C. 7.6 × 10 9 D. 7.6× 108 5.已知点P（ a+1 ，﹣+1）关于原点的对称点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是 A．B． C．D． 6.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次 数分别为10 次、 50 次、 100次， 200次，其中实验相对科学的是（） A. 甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 7．如图，从①∠ 1= ∠2 ②∠ C= ∠ D③∠ A= ∠ F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（） A. 0 B.1 C. 2 D.3 8.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A 、 B，若 OA=2 ，∠ P=60 °，则劣弧 的长为（） 高一数学试题第 1 页（共4页）第7题图 高一数学 必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题 (18) 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1. 若a >b ，则下列正确的是( ) A. a 2>b 2 B. ac >bc C. ac 2>bc 2 D. a ?c >b ?c 2. 不等式?2x 2+x +3≤0的解集是( ) A. {x|?1≤x ≤3 2} B. {x|x ≤?1或x ≥3 2} C. {x|x ≤?3 2或x ≥1} D. {x|?3 2≤x ≤1} 3. 下列各函数中，最小值为2的是( ) A. y =x +1 x B. y =sinx +1 sin x ，x ∈(0,π 2) C. y =2√x 2+2 D. y =x ?2√x +3 4. 下列四个结论中正确的个数是( ) (1)对于命题p:?x 0∈R 使得x 02?1≤0，则?p:?x ∈R 都有x 2?1>0； (2)已知X ～N(2,σ2)，则P(X >2)=0.5 (3)已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为y ?=2x ?3； (4)“x ≥1”是“x +1 x ≥2”的充分不必要条件． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知集合A ={y |y =1 2}，B ={x|x 2<4}，则A ∪B = A. (0,2) B. (?2,2) C. (?1,+∞) D. (?2,+∞) 6. 函数f(x)=?x 2+3x ?2a ，g(x)=2x ?x 2，若f(g(x))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取 值范围为 A. (?∞,?2] B. (?∞,?1] C. (?∞,0] D. (?∞,1] 7. 已知函数f(x)=xe x +1 2x 2+x +a ，g(x)=xlnx +1，若存在x 1∈[?2,2]，对任意x 2∈[1 e 2,e]， 都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A. [?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2] B. (?3?1 e ?2e 2,e ?3?2e 2) C. [e ?3?2e 2,3 2] D. (e ?3?2e 2,3 2) 8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =4，A =π 3，则该三角形面积的最 大值是( ) A. 2√2 B. 3√3 C. 4√3 D. 4√2 幂函数知识点-高一数学知识点总结,2018高一数学幂函数知识点总结 函数知识点当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x 小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x 为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。幂函数知识点 高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题 一次函数二次函数知识点： 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k≠0） 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1．作法与图形：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3．k，b与函数图像所在象限： 当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b＞0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b＜0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ② （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. -1是1的（） A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 立方根 【答案】B 故选B. 2. 下列各式的运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.，故原题计算错误； B. 和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误； C.=，故原题计算错误； D. ，故原题计算正确； 故选：D. 3. 已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图,过P作PQ∥a， ∵a∥b， ∴PQ∥b， ∴∠BPQ=∠2=， ∵∠APB=， ∴∠APQ=， ∴∠3=?∠APQ=， ∴∠1=， 故选：D. 4. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】6.8亿= 元。 故选C. 5. 积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下： 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（） A. 240吨 B. 360吨 C. 180吨 D. 200吨 【答案】A 【解析】根据10户家庭一个月的节水情况可得,平均每户节水： (0.5×2+1×3+1.5×4+2×1)÷(2+3+4+1)=1.2(吨) ∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×1.2=240(吨) 故选A 6. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】A 【解析】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体。即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个。 故选A. 7. 2015年某县总量为1000亿元，计划到2017年全县总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意， 得：1000=1210， 解得：=?2.1(舍),=0.1=10%， 即该县这两年GDP总量的平均增长率为10%， 故选：C. 8. 已知的三边长分别为4,4,6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二次函数 1．解析式、待定系数法 若()2 f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值． 变式1：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则 A ．1,4,11a b c ==-=- B ．3,12,11a b c === C ．3,6,11a b c ==-= D ．3,12,11a b c ==-= 变式2：若()()2 23,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x =1对称，则c =_______． 变式3：若二次函数()2 f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x ，且 2212269 x x += ，试问该二次函数的图像由()()2 31f x x =--的图像向上平移几个单位得到？ 2．图像特征 将函数()2 361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 变式1：已知二次函数()2 f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +?? = ??? A ．2b a - B ．b a - C ． c D ．244ac b a - 变式2：函数()2 f x x px q =++对任意的x 均有()()11f x f x +=-，那么()0f 、()1f -、()1f 的大小关 系是 A ．()()()110f f f <-< B ．()()()011f f f <-< C ．()()()101f f f <<- D ．()()()101f f f -<< 变式3：已知函数()2 f x ax bx c =++的图像如右图所示， 请至少写出三个与系数a 、b 、c 有关的正确命题_________． 3．）单调性 已知函数()2 2f x x x =-，()()2 2[2,4]g x x x x =-∈． (1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2) 求()f x ，()g x 的最小值． 变式1：已知函数()2 42f x x ax =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是 A ．3a ≥ B ．3a ≤ C ．3a <- D ．3a ≤- x y O 高一数学指数对数幂函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 函数 指数函数 名称 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点，即当时，. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…). 4.对数的运算性质 如果，那么 ①加法：②减法： ③数乘：④ ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域. 函数 名称 对数函数 定义函数且叫做对数函数图象 定义域 值域高中数学二次函数分类讨论经典例题
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