概率论与数理统计练习册答案

第一章 概率论的基本概念

一、选择题 1．答案：（B ） 2. 答案：（B ）

解：AUB 表示A 与B 至少有一个发生,Ω-AB 表示A 与B 不能同时发生,因此(AUB)(Ω-AB)表示A 与B 恰有一个发生． 3．答案：（C ）

4. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.

5. 答案：（C ） 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.

6. 答案：（D ） 注:由C 得出A+B=Ω.

7. 答案：（C ）

8. 答案：（D ） 注：选项B 由于

1

1

1

1

1

()1()1()1()1(1())n

n

n

n

n

i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏

9.答案：（C ） 注：古典概型中事件A 发生的概率为()

()()

N A P A N =

Ω. 10.答案：（A ）

解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知

365365!()365365r r r r C r P P A ?==，故365

()1365

r r

P P A =-. 11.答案：（C ）

12.答案：（B ）

解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，

故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.

13.答案：（D ）

解：由(|)()1P A B P A B +=可知

2()()()1()

()()1()()

()(1())()(1()()())

1

()(1())

()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+=

=-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()

P B P AB P A P B -?=

故A 与B 独立. 14.答案：（A ）

解：由于事件A,B 是互不相容的，故()0P AB =，因此

P(A|B)=

()0

0()()

P AB P B P B ==. 15.答案：（D ）

解：用A 表示事件“密码最终能被译出”，由于只要至少有一人能译出密码，则密码最终能被译出，因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”，“恰有两人译出密码”，“恰有三人译出密码”，“四人都译出密码”，情况比较复杂，所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”，事件A 只包含一种情况，即“四人都没有译出密码”，故

111112

()(1)(1)(1)(1)()543633

P A P A =----=?=.

16.答案：（B ） 解：所求的概率为

()1()

1()()()()()()()11111100

444161638

P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-=

注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）

解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =，则由全概率公式知

112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120

P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=

++=.

18.答案：（C ）

解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知

112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515

P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=

++=.

19.答案：（C ）

解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知

3263222711223315

()(|)

5(|)()(|)()(|)()(|)

7

P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ==

=++. 二、填空题

1.{（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）}

2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC 3．0.3，0.5

解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；

若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是

由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得

()()0.70.4

()0.51()10.4

P A B P A P B P A +--=

==--.

4.0.7

解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是

P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.

5.0.3

解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以

()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .

6.0.6

解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知

()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=.

7.7/12

解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是

()()1()

1[()()()()()()()]13/42/67/12

P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 8.1/4

解：因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设

22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======，

2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===，因此有

29

3()3()16

P A P A =-，解得 P （A ）=3/4或P （A ）=1/4，又题设P （A ）<1/2,故P （A ）=1/4. 9.1/6

解：本题属抽签情况，每次抽到次品的概率相等，均为1/6，另外，用全概率公式也可求解.

10.11260

解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114??????=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知

()()(|)0.60.013

(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027

P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=

===+?+?. 12.6/11

解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}， 则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5， 故()()(|)0.50.66

(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511

P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?=

===+?+?. 三、设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4

1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8

1

)(=AC P .

求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8

508

14

3=+-

四、 )(,2

1)|(,3

1)|(,4

1)(B A P B A P A B P A P ?===求。

解：由6

1)()(31

4121)()|()()()()

|(=??

=????→?=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式，得12

1)|()()(==A B P A P AB P

由加法公式，得3

112

16

14

1)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P

五、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女

人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A 1={男人}，A 2={女人}，B={色盲}，显然A 1∪A 2=S ，A 1 A 2=φ 由已知条件知%25.0)|(%,5)|(2

1)()(2121====A B P A B P A P A P

由贝叶斯公式，有

)

()

()|(11B P B A P B A P =

)|()()|()()|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P +=

21201000025211005211005

21=

?

+??

=

六、设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白

球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A 1，A 2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B 表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ B =A 1B +A 2B 且A 1，A 2互斥

∴

P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)

=

1

11++?

+++++?+M N N

m n m M N N m n n

第二章 随机变量及其分布

一、选择题

1.答案：（B ）

注：对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数值a 的概率均为0，但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案：（B ）

解：由于X 服从参数为λ的泊松分布，故{},0,1,2,!

k e P X k k k λ

λ-==

= .又

},2{}1{===X P X P 故

1221!

2!

e e λ

λ

λλλ--=

?=，因此

0212222

{2}1{2}

1{0}{1}{2}2225

110!1!2!P X P X P X P X P X e e e e

--->=-≤=-=-=-==---=-.

3.答案：（D ）

解：由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为

14,[1,5]()0,[1,5]x f x x ∈?=???

.因此，若点,[1,5]a b ∈，则4}{a

b b X a P -=≤≤.

2{36}{35}4P X P X <<=<<=

，3

{04}{14}4P X P X <<=<<=， 21

{13}{13}42

P X P X -<≤=<≤==.

4 答案：（C ）

解：由于),4,(~μN X 故~(0,1);2

X N μ

-

由于0{0}{}(),222X P X P μμμ--≤=≤=Φ-而1

(0)2

Φ=，故只有当0μ=时，

才有2

1

}0{=≤X P ；

2{2}{2}1{2}1{}1(1);

22

X P X P X P X P μμμ

μμμ-+-->=>+=-≤+=-≤=-Φ

正态分布中的参数只要求0σ>，对μ没有要求. 5.答案：（A ）

解：由于~(2,)X B p ，故

00

2222{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p ≥=-<=-==--=--=-，

而5{1}9P X ≥=

，故2515

2933

p p p p -=?==或（舍）； 由于~(3,)Y B p ，故

00

33311219{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327

P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=

. 6.答案：（B ）

解：这里()23g x x =-+，()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<，其反函数为

3

()2

y x h y -==-

，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y 的密度函数为

3113

()()()2222

Y X X y y f y f f --=-

-=-. 7.答案：（D ）

注：此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案：（C ）

解：因为)1,1(~N X ，所以2(1)2

1()2x

t F x e

dt π

--

-∞

=

?，2

(1)

2

1()2x f x e π

-

-=.

101

{0}{

}(1)1(1)10.84310.1569,

11

{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ= 111

{1}{

}(0)0.5,

11

{1}1{1}1{1}1(0)0.5;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ= 9.答案：（B ）

解：由于()()f x f x =-，所以X 的概率密度函数为偶函数，其函数图形关于y 轴对称，因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的，

从而马上可以得出1

(0)(0)2

F P X =≤=.我们可以画出函数()f x 的图形，借助图

形来选出答案B.

也可以直接推导如下：

()()a

F a f x dx --∞-=?

，令u x =-，则有

1()()()()()()().

2a

a

a

a

a

F a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞

∞

∞

∞

-=--===-=-?????

?10.答案：（A ）

解：14

114

4

11

3

12137

{}()|42

8P X f x dx xdx x >====??. 11.答案：（B ） 解：

21121

{2}1{2}1{22}1{

}222X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<

1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.

12.答案：（D ）

解：对任意的0,x >{}1{}1()1(1)x x P X x P X x F x e e λλ-->=-≤=-=--=；选项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”；对于指数分布而言，要求参数0λ>.

13.答案：（A ）

解：选项A 改为~(0,1)X N μ

σ

-，才是正确的；

{(,)}()()(

)(

)a b P X a b F b F a μ

μ

σ

σ

--∈=-=Φ-Φ；

{||}{}{}{

}()()2()1,(0)

P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμ

μ

σμμ

σ

σ

σ

-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤

≤

=Φ-Φ-=Φ->.

14.答案：（B ）

解：由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为

15,[1,6]()0,[1,6]

x f x x ∈?=???.而方程012=++Xx x 有实根，当且仅当24022X X X ?=-≥?≥≤-或，因此方程012=++Xx x 有实根的概率为

62

{2}{2}0.861

p P X P X -=≥+≤-=

=-. 二、填空题 1.X x ≤.

2.解：由规范性知111115151248161616

c c c c c c =

+++=?=. 3.解：由规范性知1

22/31

1()2312/32k k a a

a a ∞

====?=-∑. 4.解：因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--，所以只有在F （X ）的不连续点（x=-1,1,2）上P{X=x}不为0,且P （X=-1）=F （-1）-F （-1-0）=a ，

P{X=1}=F （1）-F （1-0）=2/3-2a ，P{X=2}=F （2）-F （2-0）=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.

5.解：由于]5,1[~U X ，所以X 的概率密度为1

,15

()40,x f x ?≤≤?=???其它

，

故2

1221

11

()()(1)44

x p x X x f x dx dx x ∞

-∞

<<===-?

?

. 6.22

()21

(),2x f x e x μσπσ

--=

-∞<<∞；2

2

1(),2y f y e y π

-=

-∞<<∞ 7.解：}{2337327222(2)( 2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910

X P X P ?----?

-<<=<

??

=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=. 8.解:由()()()1()

1333(0)()()()2222

3

032

p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥?<=-<---?Φ=

=<=<=Φ-?

=?=. 9．130.50.5-?? ???

１0．解：0

11

(){}{},(04)22

y

Y F y P Y y P X y dx y y =<=<==<

'==

<<.

三、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以

X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

10

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

2

435

2

335

22=?=

===

?====

?=

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为

也可列为下表 X ： 3， 4，5

P ：10

6,103,101

四、 设随机变量X 的分布函数为???

??≥<≤<=.

,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ，

求（1）P (X<2), P {0

4

5

ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<

,0,

1,1)(')(e x x x F x f

五、设随机变量X 的概率密度)(x f 为

???

??≤≤-<≤=其他0

21210)(x x x x

x f

求X 的分布函数F (x )。 解：?∞-=≤=x

dt t f x X P x F )()()(

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=+

-+

+

=

<--

=-+

+

=≤≤=

+=<≤==

<∞

-∞

-∞-∞

-1

2

2

1

2

1

1

2

00

1

0)2(0)(,212

2)2(0)(,212

0)(,100

0)(,0x

x

x

x

dt dt t dt t dt x F x x

x dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当

故分布函数为

?????????<≤≤--<≤<=x

x x x x x x x F 21

2112210200)(2

2

六、设K 在（0，5）上服从均匀分布，求方程02442=+++K xK x 有实根的概率

∵ K 的分布密度为：???

??<<-=其他

500

51)(K K f

要方程有根，就是要K 满足(4K )2－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K ≥2时，方程有实根。 ∴

5

305

1

)()2(5

5

22

=

+

==

≥?

?

?

∞+∞+dx dx dx x f K P 七、设随机变量X 在（0，1）上服从均匀分布 （1）求Y=e X 的分布密度 ∵ X 的分布密度为：???<<=为其他

x x x f 0

1

01

)(

Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ，反函数存在

且

α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1

=βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e

∴ Y 的分布密度为：??

?

??<

y e y y

y h y h f y ψ0111|)('|)]([)(

八、设X 的概率密度为

?????<<=为其他

x πx πx

x f 0

02)(2

求Y =sin X 的概率密度。 ∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时：F Y ( y )=0

当0≤y ≤1时：F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π－arc sin y ≤X ≤π)

=?

?-+π

y πy dx πx

dx π

x

arcsin 2

arcsin 0

222

当1

y ≤0时，ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0

第三章 多维随机变量及其分布

一、选择题

1.答案：（A ）

解：要使12()()()F x aF x bF x =-是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质，在这里利用()1F ∞=这一性质可以得到

12()()1aF bF a b ∞-∞=-=，只有选型A 满足条件.

2.答案：（A ）

解：由12{0}1X X ==P 可知1212{0}1{0}0X X P X X ≠=-==P ，故

1212121212121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0

P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X =-=-+=-=+==-+===?=-=-==-====-====又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知：

1121212121

{1}{1,1}{1,0}{1,1}41

{1,0}4P X P X X P X X P X X P X X ==-==-=-+=-=+=-=?=-==

1121212121

{1}{1,1}{1,0}{1,1}41

{1,0}4

P X P X X P X X P X X P X X =====-+==+==?===

21212121212121

{0}{1,0}{0,0}{1,0}21

{0,0}{1,0}{1,0}0

2

P X P X X P X X P X X P X X P X X P X X ====-=+==+==?===-=-=-===

故12121212{}{1,1}{1,1}{0,0}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===. 3.答案：（D ）

解：联合分布可以唯一确定边缘分布 ，但边缘分布不能唯一确定联合分布，但如果已知随机变量X 与Y 是相互独立的，则由X 与Y 的边缘分布可以唯一确定X 与Y 的联合分布. 4.答案：（A ）

解：由问题的实际意义可知，随机事件{}X i =与{}Y j =相互独立，故

11

66111

{,}{}{},,1,2,636

P X i Y j P X i P Y j i j C C ======

== ； 6

6

1

1

11

{}{,}{}{,}6366

k k X Y X k Y k P X Y P X k Y k ======?=====

?=∑∑； 15

{}1{}166

P X Y P X Y ≠=-==-

=； {}{}{}X Y X Y X Y ≤=

而事件{}X Y <又可以分解为15个两两不相容的事件之和，即

{}{,1}{,2}{,6},1,2,3,4,5

X Y X k Y k X k Y k X k Y k <===+?==+??=== 故151517{}{}{}{}3636612

P X Y P X Y P X Y P X Y <=

?≤=

解：当221212

(,)(,,,,)X Y N μμσσρ 时，),(~211σμN X ，2

22~(,)Y N μσ，且X 和Y 相互独立的充要条件是0=ρ；单由关于S 和关于T 的边缘分布，一般来说是不能确定随机变量S 和T 的联合分布的.

6.答案：（C ）

解：（方法1）首先证明一个结论，若2~(,)T N μσ，则2~(,)S T N μσ=--.证

明过程如下（这里采用分布函数法来求S T =-的概率密度函数，也可以直接套用教材64页的定理结论（5.2）式）：由于

(){}{}{}1{}1{}1(),

S T F s P S s P T s P T s P T s P T s F s =≤=-≤=≥-=-<-=-≤-=--故22

2

2

()(())221

1

()()(1)(),22s s S T T f s f s f s e e μμσσπσ

πσ

-----

-

=--?-=-=

=

这表明T -也

服从正态分布，且2~(,)S T N μσ=--.

所以这里2

22

~(,)Y N μσ--.再利用结论：若1X 与2X 相互独立，且2~(,),1,2i i i X N i μσ=，则22

121212~(,)X X N μμσσ+++.便可得出

221212~(,)X Y N μμσσ+++；22

1212~(,)X Y N μμσσ--+；

2212122()~(2,4)X Y X Y Y N μμσσ-=---+; 2212122()~(2,4)X Y X X Y N μμσσ-=+--+.

（方法2）我们还可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ= ，则

221

1

1

~(,)n n n

i i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑

故221212

~(,)X Y N μμσσ+++；22

1212~(,)X Y N μμσσ--+； )4,2(~22

22121σσμμ+--N Y X ;221212

2~(2,4)X Y N μμσσ--+. 7.答案：（A ）

解：由于~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，所以13

(3)~(0,1)1

X Z X N +=

=+，22

(2)(0,1)1

Y Z Y N -=

=- ，故23222(2)(0,(2)1)(0,4)Z Z Y N N =-=---?= ，而13Z Z Z =+，所以~(0,5)Z N . 8.答案：（D ）

解：由联合概率密度函数的规范性知

4

4

4

000

4

1(,)sin()[cos cos()]4[sin sin()]21214

f x y dxdy C dx x y dy C x x dx

C x x C π

ππππ

π

∞∞

-∞-∞

=

=+=-+=-+=-?=+??

???. 9.答案：（A ） 解：1

{1}(,)x y P X Y f x y dxdy +≥+≥=

??

1

2

1

2

32010

154165

()()363272x dx x xy dy x x x dx -=+=++=???.

10.答案：（Ｂ）

解：由联合概率密度函数的规范性知

(23)

230

00

1(,)(2)(3) 6.

66x y x y A A

f x y dxdy A dx e

dy e d x e d y A ∞∞

+∞

+∞

+∞+∞

-+---∞-∞

=

==--=?=??????

12.答案：（C ）

解：用D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域，用G 表示矩形域[02,01]x y ≤≤≤≤，则所求的概率为

212

4

22020

33{(,)}(,)()0.6

22216D

D G x x x P X Y D f x y dxdy xy dxdy dx xy dy dx ∈====-=??

????? .

13.答案：（B ）

解：利用结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且若2~(,),1,2,,i i i

X N i n μσ= ，则22111

~(,).n n n

i i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑

因此2

221211111()~(,())(,)n

n n i i X X X N N n n n

n σμσμ==+++=∑∑ ；

22212~(,)(0,2)X X N N μμσσσ--+=.

令123Z X =+，由教材64页定理结论中的（5.2）式可知，Z 的概率密度函

数为22

2

23

(

)[(23)]22(2)21

11().222(2)

z z Z f z e e μμσσπσ

πσ---+-

-

==，故2123~(23,4)X N μσ+

+.

二、填空题

1.F （b,c ）-F(a,c);F(a,b);F(+∞,a)-F(+∞,0);F(+∞,b)-F(a,b).

2.1/6αβ+=.

3.解：2

2

11

1[ln ||]2e e D S dx x x ===?

，故1/2,(,)(,)0,(,)x y D f x y x y D ∈?=?

??

. 4.0．

5.解：P （X=Y ）=P （X=-1, Y=-1）+ P （X=1, Y=1）= P （X=-1）P （Y=-1）+ P （X=1）P （Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;

P （X+Y=0）= P （X=-1, Y=1）+ P （X=1, Y=-1）= P （X=-1）（Y=1）+ P （X=1）P （Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;

P （XY=1）=P （X=-1, Y=-1）+ P （X=1, Y=1）= P （X=-1）P （Y=-1）+ P （X=1）P （Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.

三、设随机变量（X ，Y ）概率密度为??

???<<<<--=其它,04

2,20),6(),(y x y x k y x f

（1）确定常数k 。 （2）求P {X <1, Y <3} （3）求P (X <1.5}

（4）求P (X+Y ≤4}

分析：利用P {(X , Y)∈G}=?????=

o

D G G

dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，

其中??

?

???????<<<<=42,20),(y x y x D o

解：（1）∵?

??

?

+∞∞-+∞

∞

---=

=20

12

)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8

1=

k （2）8

3

)6(8

1)3,1(32

1

?

?=

--=<

27

)6(81),5.1()5.1(4

25.10

=

--=∞<≤=≤?

?dy y x dx Y X P X P （4）3

2

)6(81)4(40

2

0=--=≤+?

?-dy y x dx Y X P x

四、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为??

???≤≤=其它,01

,),(22y x y cx y x f

（1）试确定常数c 。（2）求边缘概率密度。 解: l=?

?

?

??

∞+∞

-+-∞+∞

-=

?===

4

21

21432),(10

25

2

10

c c dy y c

ydx cx dy dxdy y x f y y

??

???≤≤--==?其它,01

1),1(8

21421)(~4212

2x x x ydy x x f X x X ??

???≤≤==?+-其它

01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y

四、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

????

?≤≤≤≤-=其它

求边缘概率密度0

.

0,10)

2(8.4),(x y x x y y x f

解：???

??≤≤-=-==?

?

∞

+∞

-其它

10)

2(4.2)2(8.4),()(0

2x x x dy x y dy y x f x f x X

?????≤≤+-=-==??

∞

+∞

-其它0

1

0)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f y

Y 五、设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布。Y

的概率密度为??

???≤>=.0,00

,21)(2y y e y f y

Y

（1）求X 和Y 的联合密度。（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X 的概率密度为?????∈=其它

,0)

1,0(,1)(x x f X

Y 的概率密度为

??

???≤>=-.0,00

,21)(2y y e y f y

Y 且知X , Y 相互独立，

于是（X ，Y ）的联合密度为

???

??><<==-其它

0,1021)()(),(2y x e

y f x f y x f y

Y X

（2）由于a 有实跟根，从而判别式0442≥-=?Y X

即：2X Y ≤ 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=

dx e

de

dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y y

D

x ???????

-

-

-

-=-===≤1

010

2

02

2

1

00

222

212

1

),()(

1445

.08555.013413.05066312.21)

5.08413.0(21))2()1((2121

210

2

2=-=?-=--=Φ-Φ-=?

-=?

-

πππ

πdx e

x

六、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X 1，X 2，X 3，X 4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

2

2202)160(20

21

)(?--?=

t T e

πt f

8413

.0)

20

60

180(2120

160

202)160(20121

)180(}180{1

2

18022

2查表

令

-Φ==-?-==

?∞

--

∞-du e

u t dt t F X f u X π

π

设N=min{X 1，X 2，X 3，X 4}

P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180}

=P {X >180}4={1－p [X<180]}4= (0.1587)4=0.00063

第四章 随机变量的数字特征

一、选择题

1．答案：（D ）

解：由于22()()[()]D X E X E X =-，所以22()()[()]314E X D X E X =+=+=，故

222[3()20][3()](20)3[()]20342032E X E X E E X +=+=+=?+=.

2.答案：（D ） 解：()

20

()(,)[]1x y x E XY xyf x y dxdy xye

dxdy xe dx ∞∞

∞

∞

∞

-+--∞-∞

====?

?

?

?

?

3.答案：（D ）

解：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，故(,)0()Cov X Y E XY EX EY =?=?；

()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?+=+； ()2(,)D X Y DX DY Cov X Y -=+-，故(,)0()Cov X Y D X Y DX DY =?-=+； (,)00XY Cov X Y ρ=?=，但不能说明X 与Y 独立.

4.答案：（C ） 解：由于X,Y

独立，所以

2X

与3Y

也独立，故

(23)

(2

)(3

)D X Y D X D Y D X

D

Y

-

=+=+. 5.答案：（C ）

解：当X,Y 独立时，(3)()(3)()9()D X Y D X D Y D X D Y -=+=+；

{[()][()]}[()()()()]()()(),

E X E X Y E Y E XY XE Y YE X E X E Y E XY E X E Y --=--+=-而当X,Y 独立时，()()()E XY E X E Y =，故0]}][{[=--EY Y EX X E ；

{}1||1XY P Y aX b ρ=+=?=.

6.答案：（C ）

解：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X,Y 独立时，可以得到0),(=Y X Cov

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000