贝塞尔函数

贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔函数的有关公式 C.贝塞尔函数的有关公式 贝塞尔方程 的持解B(z)为(柱)贝塞尔函数。有 p 第一类柱贝塞尔函数J(z) p np为整数n时，J=(,1)J; ,n n p不为整数时，J与J线性无关。 p,p 第二类柱贝塞尔函数N(z)(柱诺依曼函数) p nn为整数时N=(,1)N。 ,n n 第三类柱贝塞尔函数H(z) (柱汉开尔函数): p(1) 第一类柱汉开尔函数 H(z)= J(z)+j N(z) pp p(2)第二类柱汉开尔函数 H(z)= J(z),j N(z) pp p 大宗量z

小宗量z 0 ，为欧拉常数 见微波与光电子学中的电磁理论 p668 J(z)的母函数和有关公式 nz(t/2-1/2t)函数e称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近 展开成罗朗级数，可得到 j j 在上式中作代换，令t=e，t= je等，可得 又可得 如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式 J(z)的零点,nni J’(z)的零点,nni 半整数阶贝塞尔函数 J(z)的零点,n+1/2np

J'(z)的零点,'n+1/2np D(朗斯基行列式及其它关系式 E(修正贝塞尔函数有关公式 贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程 方程的两个线性无关的解为 ,p I(z)=jJ(jz)(称为第一类修正的柱贝塞尔函数。 ppp+1(1)K(z)=(,/2)jH(jz)(称为第二类修正的柱贝塞尔函数。 pp

大宗量z 小宗量z 0 (0210)《古代散文》复习思考题 一、填空题 1(甲骨卜辞、和《易经》中的卦、爻辞是我国古代散文的萌芽。2(深于比兴、，是先秦散文的突出特点。 3(《》长于描写外交辞令。 4(《国语》的突出特点是长于。 5(“兼爱”、“非攻”是思想的核心。

Bessel函数介绍

第一类贝塞尔函数 图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线 （在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。） 第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）： 上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的 形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介 绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。 如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系： 于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。 贝塞尔积分

α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出： （α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页） 这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为： 和超几何级数的关系 贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式： 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数） 图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）

贝塞尔函数及其应用

题目：贝塞尔函数及其应用

摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。

第二类修正贝塞尔函数(Fortran代码)

调试日期：2011年9月13日星期二 程序说明：计算第二类修正贝塞尔函数的Fortran代码，参看徐士良先生的《Fortran常用程序算法集》 PROGRAM BSL_XSL DOUBLE PRECISION MBSL4,X OPEN(1,FILE='BSL.DAT',ACTION='WRITE') DO X=0.05,3,0.05 WRITE(1,*),X,MBSL4(0,X-0.01),MBSL4(1,X) ENDDO CLOSE(1) ENDPROGRAM FUNCTION MBSL3(N,X) DOUBLE PRECISION MBSL3,X DOUBLE PRECISION T,Y,P,B0,B1,Q,A(7),B(7),C(9),D(9) DATA A/1.0,3.5156229,3.0899424,1.2067492, * 0.2659732,0.0360768,0.0045813/ DATA B/0.5,0.87890594,0.51498869,0.15084934, * 0.02658773,0.00301532,0.00032411/ DATA C/0.39894228,0.01328592,0.00225319, * -0.00157565,0.00916281,-0.02057706, * 0.02635537,-0.01647663,0.00392377/ DATA D/0.39894228,-0.03988024,-0.00362018, * 0.00163801,-0.01031555,0.02282967, * -0.02895312,0.01787654,-0.00420059/ IF (N.LT.0) N=-N T=ABS(X) IF (N.NE.1) THEN IF (T.LT.3.75) THEN Y=(X/3.75)*(X/3.75) P=A(7) DO 10 I=6,1,-1 10 P=P*Y+A(I) ELSE Y=3.75/T P=C(9) DO 20 I=8,1,-1 20 P=P*Y+C(I) P=P*EXP(T)/SQRT(T) END IF END IF IF (N.EQ.0) THEN MBSL3=P RETURN

贝塞尔函数

贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =

代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）

贝塞尔函数

6-2 贝塞尔函数柱函数 在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:贝塞尔方程． 通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔函数． 贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交完备性．

6.1 贝塞尔方程及其解 6.1.1 贝塞尔方程 拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 2 2 2 222200() (0,0)|0 (0)(,,)|(,)(,,)|(,) tt xx yy x y l t t t u a u u x y l t u t u x y t x y u x y t x y ?ψ+===?=+≤+<>? =≥?? =??=?（6.1.1 ）

其中l 为已知正数，(,),(,)x y x y ?ψ为已知函数．这个定解问题宜于使用柱坐标，从而构成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标） 设 (,,)(,,)()(,) u x y t u t T t U ρ?ρ?==）得 2 2 0a T =（6.1.2） 2 2100 U U k U ρ? ρ′′′++=（6.1.3）

再令 (,)()() U R ρ?ρ?=Φ，得到2 ν′′Φ+Φ=(6.1.4) 2 22 2 ()0 R R k R ρρρν′′++?=（6.1.5） 于是(6.1.5)得到 22 d ()0d y x x y x ν+?=（6.1.6）

边界条件为 ()|()0 l y k y kl ρρ===方程（6.1.6）称为 ν 阶贝塞尔微分方程．这里 ν x 和 可以为任意数．

贝塞尔函数的应用 数学物理方程

贝塞尔函数的应用（11.13） 形如 222''()'()()()0x f x xf x x v f x ++-= 的二阶微分方程称为v 阶贝塞尔方程。且 ()()v f x J x = 是方程的一个解。此外，当v 不是整数时， ()()v f x J x -= 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C J x -=+ 当v 是整数时， ()()v f x Y x = 是方程的一个与()v J x 线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为 12()()()v v f x C J x C Y x =+ 问题1：考虑极坐标下的二维波动方程 212()tt rr r u c u r u r u θθ--=++ (,,)0, (,,0)(,), (,,0)0t u b t u r f r u r θθθθ=== 根据变量分离法，首先假设 (,,)()()()u r t R r T t θθ=Θ 代入原微分方程后可得

212()()''()''()()()'()()()()''()()R r T t c R r T t r R r T t r R r T t θθθθ--??Θ=Θ+Θ+Θ?? 移项整理可得 1222''()''()()'()()()''()0()()() T t R r r R r r R r c T t R r θθθμθ--Θ+Θ+Θ==-<Θ 因此 22''()()0T t c T t μ+= 同时 1222''()'()''()0()() R r r R r r v R r θμθ--+Θ+=-=>Θ 因此 2''()()0v θθΘ+Θ= 2222''()'()()()0r R r rR r r v R r μ++-= 分别求解上述三个微分方程 对于方程2''()()0v θθΘ+Θ=，由于题目中没有给定θ的范围，因此 (,,)(,2,)u r t u r t θθπ=+ 即 ()(2)θθπΘ=Θ+ 由于其通解为 012()(cos sin ) e C v C v θθθΘ=+ 同时 1212(2)cos (2)sin (2)cos(2)sin(2)C v C v C v v C v v θπθπθπθπθπΘ+=+++=+++

贝塞尔函数

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数 是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法 对其进行定性分析。 这里，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为n 是整数，对 应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对 α和-α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0点的不 光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链 振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路 易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国 数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问 题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程 时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有： * 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题； * 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题； 贝塞尔函数的实例：一个紧绷鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径 方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各 阶类似振动形态的叠加。

7贝塞尔函数

贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。 中文名贝塞尔函数外文名Bessel Function意义一类特殊函数的总称方程的解无法用初等函数系统地表示命名F.W.贝塞尔的姓氏分类数学 目录 1 基本概念 2 基本内容 3 分类 4 应用范围 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带

来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日

Bessel函数应用例

《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例 组别：第十三组 小组成员：唐文岐、高成振、 林慧平、邹三泳、 郭凯

目录 封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23)

文章说明： 本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。 摘要： 物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。 关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数

第五章_贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所

以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 222 22()V V VT a T x y ??'=+?? 或

贝塞尔函数释疑

数理方程中与贝塞尔函数有关的问题 据百度百科介绍： 贝塞尔（1784——1846）是德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。（图片来自维基百科） 一、 贝塞尔方程与贝塞尔函数 二、 贝塞尔方程与欧拉方程比较 三、 贝塞尔函数与伽马函数 四、 贝塞尔函数与几个常用函数的台劳级数比较 右图来自网页“维基百科——自由的百科全书”中贝塞尔 函数介绍。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加 一、贝塞尔方程与贝塞尔函数 Bessel 方程是二阶线性变系数齐次常微分方程 0)(222 22 =-++y v x dx dy x dx y d x 其中，v 是常数，称为Bessel 方程的阶（不一定是整数），可取任何实或复数。该方程 的解无法用初等函数表现。数理方程教科书采用第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数的线性组合表示方程的标准解函数。贝塞尔函数也被称为圆柱函数或圆柱谐波。通常所说的贝塞尔函数是指第一类Bessel 函数 m v m m v x m v m x J 20)2 ()1(!)1()(+∞ =∑++-=Γ 贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。如在信号处理中的调频合成（FM synthesis ）或凯泽窗（Kaiser window ）的定义中，都要用到贝塞尔函数。 在教科书中Bessel 方程来源 1． 在圆柱坐标系下解二维热传导方程； ?? ? ????=+=<+=><++=2222 222222,0),,()0,,(0,),(R y x u R y x y x y x u t R y x u u a u yy xx t ? 用分离变量法，令u (x ，y ，t ) = V (x ，y )T (t )，代入方程整得

地下水动力学中Matlab的运用(井函数与贝塞尔函数)

地下水动力学中Matlab的运用 一、越流含水层中贝塞尔函数的实现 越流含水层中地下水向承压水井运动的问题中，贝塞尔函数大量运用，其中精确解中运用了零阶第二类虚宗量Bessel函数，一阶第二类虚宗量Bessel函数。 经简化后的Hantush-Jacob公式中也零阶第二类虚宗量Bessel函数。 在配线法中使用的是Hantush-Jacob公式，需要在双对数纸上绘制曲线，而这在Matlab中很容易实现。Matlab中内置大量函数，其中包括五类Bessel函数，即besselj(nu,Z)、bessely(nu,Z)、besselh(nu,Z)、besseli(nu,Z)、besselk(nu,Z)，分别对应第一类贝塞尔函数，诺依曼函数，汉克尔函数，第一类修正贝塞尔函数以及第二类修正贝塞尔函数。而我们利用的即为第二类修正贝塞尔函数，相应的语句及图像如下： x=0:0.01:10; y0=besselk(0,x); y1=besselk(1,x); loglog(x,y0,x,y1); grid on;

二、井函数的实现 地下水向完整井的非稳定运动中需要运用井函数，其指数积分式为 在Matlab中利用quad或quad8等积命令可实现求其近似值。但Matlab中内置的Maple函数库中包含Ei函数，但不可直接显示其函数值，可直接利用mfun函数调用Matlab中的Maple函数库，以达到求值的要求。相应的语句及图像如下：for i=1:160 u(i)=10^(-15+i/10); %生成等比数列，便于画双对数坐标图像 end for i=1:160 w(i)=mfun('Ei',1,u(i)); end loglog(u,w); grid on; U10-1510-1410-1310-1210-1110-10 W(u)33.961560731.65897629.35639127.05380524.75122022.448635 U10-910-810-710-610-510-4 W(u)20.14605017.84346515.54088013.23829610.9357208.633225 U10-310-210-1100101

贝塞尔函数

贝塞尔函数 1.贝塞尔方程及解: 令()()()(),,=R ,u ?τ?τΦZ 为分离变量的解，则()R ,满足本征值问题的方程， 2222210R dy dR m R dx d ω???++-= ???? （17.1.1） 其中2ω是分量的本征值问题的本征值。 若作变换()R()R()y(x);m x x x ωλνω =====或； 则上面方程可以变换：2//2/2(x )y 0x y x y ν++-= （17.1.1a ） 当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为： (x)AJ (x)BJ (x)y νν-=+ 当ν=整数时，由于J m -=(1)(x)m m J -，因此通解为 (x)AJ (x)BY (x)m m y =+ 式中A 与B 为任意常数，J (x)m 与Y (x)m 分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。 2.贝塞尔方程的的级数解 二阶线性齐次常微分方程2'''22(x )y 0,0x y xy x b υ++-=≤≤ 为贝塞尔方程 现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解 2.1级数解的形式 由p(x)=1x ,q(x)=1-22x ν可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)

的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式; 00n k k p k k k k y x C x C x ∞∞ +===∑=∑ 2.1.1 2.2指标方程 将2.1.1代入贝塞尔方程可得： 22300(k )0k p k k k k k C x C x ρρν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 2.1.2 由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得： 220()C 0x ρρν-= 因0C 0≠，即得指标方程220ρν-=。由此得指标 1,ρν= 2ρν=- 2.3．系数递推公式 为确定起见，令ν>0，并将ρ=1ρ=ν代入2.1.2中得到 22200(k )0k k k k k k C x C x νννν∞∞ +++==??∑+-+∑=?? 改变第二项的求和指标，可得 202k(k 2)0k k k k k k C x C x ννν∞∞ ++-==∑++∑= 由x 的同次幂数之和为0，1(12)0C ν+= 2k(k 2)0k k k C C ν-++= 由此得

bessel函数

新疆大学 《数学物理方法》课程教学大纲 英文名称：Methods of Mathematical Physics 课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课 总学时：64＋64 学分：8 适用对象：物理系各专业民、汉本科生 先修课程：《高等数学》、《线性代数》 使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版； 参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。 《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。 一、课程性质、目的和任务 《数学物理方法》是为物理专业篇写的。它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。 对于物理专业来说，我们认为，“数学物理方法”不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。它是数学课程，又是物理课程。在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。 二、教学基本要求 本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。 三、教学内容与要求 第一章：复数与复变函数 教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。 教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。 第二章：解析函数 教学内容：复变函数的可微性与解析函数概念，初等解析函数及其特性。 教学要求：1．了解初等多值解析函数(对数函数及一般幂指数函数)的定义及计算。 2．一般掌握初等单值解析函数及其特性。 3. 重点掌握复变函数的可微性与解析函数概念。 第三章：Cauchy定理、Cauchy积分 教学内容：复变函数的积分，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。 教学要求：重点掌握柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。 第四章：解析函数的幂级数表示

Bessel方程及Bessel函数

第一部分 Bessel 函数 (阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。) 一、Bessel 方程及其通解 0)(2 2 2 2 2 =-++y n x dx dy x dx y d x （1） 上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。 ●当n 为整数时，（1）式的通解为 )()(x BY x AJ y n n += （2） 其中，A 、B 为任意实数； )(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数； )(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。 ●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式 )()(x BJ x AJ y v v -+= （3） )()(x BY x AJ y v v += （4） 其中，A 、B 为任意实数； )(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。 另外，Bessel 方程的通解还可以表示为 )()()2()1(x BH x AH y v v += 其中，)()()() 1(x iY x J x H v v v +=，)()()() 2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。 ●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0 x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0 x Y n x ，当所研究的问题的区域 包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。 例1：02 2=+'+ ''y x y x y x λ （10<≤x ） 此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为 )()(00x BY x AJ y λλ+= 另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为

贝塞尔函数

贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来

好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；

贝塞尔函数及其应用

题目: 贝塞尔函数及其应用

摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式

目录 一、起源?错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出?错误!未定义书签。 （二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 ２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。 ３. 第三类贝塞尔函数 (9) 4. 虚宗量的贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 (三) 半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （四）贝塞尔函数的零点...................................................................... 错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性?错误!未定义书签。 三、 Fｏurｉeｒ-Bessｅl级数 (16) (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义............................................................ 错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (16) 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 (29)

贝塞尔函数

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式 由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出 1J () J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d v v v v x x x x x -= (20.3.2) 以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足 上述递推关系． 若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x -= (20.3.3) 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4) 把两式左端展开, 又可改写为 1()()() v v v Z x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()() v v v Z Z x Z x x ν-'+= (20.3.6) 从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得 11()()2()v v v Z x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v v Z x Z x Z x x +-=-+ 即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式. 上式也可以写成为 11()()2() v v v v Z x Z x Z x x -++= （20.3.7） 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8） 任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数． 例 20.3.1 求 2 J ()d x x x ? 【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有 201 J ()J ()2J ()x x x '=- 2 1 1 1 1 1 1 1 J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c '=-=--'=-+=--+????? 20.3.2贝塞尔函数正交性和模 1．正交性 对应不同本征值的本征函数分别满足 2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)