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(2015-2017)三年高考真题专家解读精编解析一专题14 数列解答题

1.【2017山东，理19】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .

【答案】(I)1

2.n n x -=（II ）(21)21

n n n T -?+=

【解析】试题分析：(I)依题意布列1x 和公比q 的方程组.

（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1

2(1)2(21)22

n n n n n b n --++=?=+?，所以

123n T b b b =+++……+n b

325272-?+?+?+……+32(21)2(21)2n n n n ---?++? ① 又0122325272n T =?+?+?+……+21(21)2(21)2n n n n ---?++? ② ①-②得

121132(22......2)(21)2n n n T n ----=?++++-+?

=1132(12)

(21)2.212n n n ---+

-+?- 所以(21)21

n n n T -?+=

【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.

2.【2017北京，理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-

(1,2,3,)n =???，其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数．

（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，

c M n

>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别代入求123

,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，

11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,

,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项

公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明. 试题解析：解：（Ⅰ）

111110,

c b a =-=-=

21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-?-?=-，

3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-?-?-?=-.

当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减

（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则

12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以1121211121

(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->?=?-≤?当时，

当时，

①当10d >时，取正整数2

d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,

m m m c c c ++是等差数列.

②当10d =时，对任意1n ≥，

1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--

此时，123,,,,,

n c c c c 是等差数列.

③当10d <时，当2

d n d >

时，有12nd d <. 所以

1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n

-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--

对任意正数M ，取正整数121122

||max{

,}M b d a d d d m d d +-+-->-，

故当时，

c M n

>. 【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.

3.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *

∈N . 【答案】（1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328

433

n n n T +-=?+. 【解析】

试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =. 由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，

联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.

所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =.

（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，

由262n a n =-，12124n n b --=?，有221(31)4n n n a b n -=-?，故23245484(31)4n n T n =?+?+?+

+-?，

23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?+

+-?+-?，

上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=?+?+?+

+?--?

112(14)4(31)414

(32)48.

n n n n n ++?-=---?-=--?- 得1328

433

n n n T +-=

?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为

1328

433

n n +-?+. 【考点】等差数列、等比数列、数列求和

4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（*

∈N n ）．

证明：当*

∈N n 时，（Ⅰ）0＜x n +1＜x n ；（Ⅱ）2x n +1? x n ≤1

n n x x +；（Ⅲ）

112n +≤x n ≤21

n +．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】

试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得

111111422(2)ln(1)

n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++，构造函数

2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，由函数单调性可证；（Ⅲ）由

1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，

得1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得1211(N )22

n n n x n *

--≤≤∈ 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0>n x 当n =1时，x 1=1>0

假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若01≤+k x ，则0)1ln(011≤++=<++k k k x x x ，矛盾，故

01>+k x ．

因此)(0*∈>N n x n ，所以111)1ln(+++>++=n n n n x x x x ，因此)(01*+∈<

Ⅱ

）

由

11)1l n (+++>++=n n n n x x x x 得

111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++

记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥ 函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，

因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，1

12(N )2

n n n n x x x x n *++-≤

∈ （Ⅲ）因为1111ln(1)n n n n n x x x x x ++++=++≤+，所以1

2n n x -≥

得1122

n n n n x x x x ++≥-， 111112()022n n x x +-≥-?，1211111111

2()2()2222

n n n n x x x ----≥-≥???-=，故2

12n n x -≤

，

11(N )2

2n n n x n *

--≤≤∈ 【考点】不等式证明

5.【2017江苏，19】对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-+++

+++

2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;

（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，

从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-

122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =

所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.

n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④

将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,

a a a 是等差数列，设其公差为d'.

在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列

{}n a 是等差数列.

【考点】等差数列定义及通项公式

【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2

n S An Bn =+

6. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，

其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．

（Ⅰ）求111101b b b ，，；

（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．

【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =

111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ====== （Ⅱ）因为0,

110,

1,10100,

2,1001000,

1000.

n n n b n n ≤

≤

所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.?+?+?= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.

【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.

于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．

所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1，所以A n ＝2.

故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.

因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。

则111d A B =-1=，同理求出234,,d d d ，通过第一步的计算应用新定义，加深对定义的认识进入第二步就容易一些了，第二步证明充要条件、第三步的证明就是在第一步的基础上的深化研究，毕竟是一个新的信息题，在一个全新的环境下进行思维，需要在原有的知识储备，还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力，有得分的机会，但得满分较难. 7. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）令1

(1).(2)

n n n n

n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+?=n n n T . 【解析】

由??

?+=+=3

22211b b a b b a ，即???+=+=d b d

b 321721111，可解得3,41==d b ，

所以13+=n b n .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

1(66)3(1)2(33)

n n n n

n c n n +++==+?+，又n n c c c c T +???+++=321，

得2

3[223242(1)2

]n n T n +=??+?+?+???++?，

345223[223242(1)2]n n T n +=??+?+?+???++?，

两式作差，得

234123[22222(1)2]

n n n T n ++-=??+++???+-+?

4(21)

3[4(1)2]

32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以223+?=n n n T

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

8.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212

242

n n n a a na n N -+++=-

∈， (1) 求3a 的值；

(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -??

=++++???+≥ ???

，

证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．

【答案】（1）14；（2）1

122n -??

- ?

；（3）见解析．

【解析】（1）依题()()312312312132223

323244224a a a a a a --++??=++-+=---= ??

?， ∴ 31

a =；（

）

依

题

当

1n >时，

()()12121121

2122144222n n n n n n n n n

na a a na a a n a ----++??=++-++-=-

--=?? ?????， ∴ 1

12n n a -??

= ?

??，又10

412a +=-

=也适合此式， ∴ 1

12n n a -??

= ?

，

∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1

111221212

n n T -??- ?????=

=- ???-；（3）依题由1211

112n n n a a a b a n n -+++??

+++

+ ???知11b a =，1221122a b a ??=++ ???

，1233111323a a b a +??

+++ ???

，

∴ ()1212111

11122n n n n S b b b a a a T n n ??

??=++

+=++

++++=++

+ ? ?????

11111112212

22n n n -??????

=+++-

，记()()1ln 11f x x x x =+

->，则()22111

'0x f x x x x

-=-=>， ∴ ()f x 在()1,+∞上是增函数，又()10f =即()0f x >，

又2k ≥且*k N ∈时，11

k >-， ∴ 1ln 10111k k f k k k k ??

=+-> ?--??

-即1ln 1k k k >-， ∴ 12ln 21<，1

3ln 3

2<，…，1ln 1n n n <-，即有11123ln ln ln

ln 23121

n n n ++<++

-，

∴ 1112122ln 23

n n ??

+++<+ ??

，即22ln n S n <+．【考点定位】前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩．

（()()1ln 11f x x x x =+

->）结合不等（1ln 1k k k >-）放缩方法或用数学归纳法证明111

11ln 23

n n

+++<+． 9.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

记{}1,2,100U =…，

.对数列{}()

*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：

{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()

n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ?…，

，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ??≥,求证：2C C

D S S S +≥.

【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

试题解析：（1）由已知得1

*13

,n n a a n N -=?∈.

于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1

*3,n n a n N -=∈.

（2）因为{1,2,,}T k ?，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32

k k

k r k S a a a -≤+++=++

-<. 因此，1r k S a +<.

（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C D

C D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C C

C C C

D S S S S S S +=+=≥.

③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E C

C D =，U F D C C =则E φ≠，F φ≠，E

F φ=.

于是C E C D

S S S =+，D F C

S S S =+，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥.

设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1

133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.

又k l ≠，故1l k ≤-，从而1

121131133

222

l l k E F l a S S a a a ----≤++

+=++

+==≤，

故21E F S S ≥+，所以2()1C C D

D C

S S S S -≥-+，

即21C C

D S S S +≥+.

综合①②③得，2C C D

D S S S +≥.

考点：等比数列的通项公式、求和

10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）

设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a

a a a 依次成等比数列；

（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k

n k n k

n n

a a a a 34232

1,,,+++依次成等比数列，并说明理由.

【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】

试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1

t a =

将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：2

7+430t t +=，无解，所以不存在（3）同（2）先令1

d t a =

将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程

4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究

函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点

试题解析：（1）证明：因为1

12222n n n n

a a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，

所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．

化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，

()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14

t =-．

显然1

t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在1a ，d ，使得1a ，2

2a ，3

3a ，4

4a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n

a ，2

n k

a +，23

n k

a +，34

n k

a +依次构成等比数列，

则()

()

221112n k

n k n a a d a d +++=+，且()()

()

32211132n k

n k

n k a d a d a d +++++=+．

分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()

221

n k a

+，并令1d t a =

（1

t >-，0t ≠），则()

()

22121n k

n k t t +++=+，且()

()

32211312n k

n k

n k t t t +++++=+．

将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+????????，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+????????．

再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．

令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，

则()()()()()()()()()()

222

213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ??

++-+++++?

?'=+++．令()()()()()()()222

13ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ?=++-+++++，则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ?'=++-+++++????．

令()()1t t ??'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ?'=+-+++????．

令()()21

t t ??'=，则()()()()

212

011213t t t t ?'=>+++．

由()()()()1200000g ???====，()2

0t ?'>，

【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程

【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

11. 【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n

n S =+.

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=?=?>?

; （II ）1363

1243n n

n T +=+?. 【解析】

（I ）因为233n

n S =+ 所以，1233a =+ ，故13,a = 当1n > 时，1

123

3,n n S --=+

此时，1

122233

n n n n a S S --=-=- 即13,n n a -=

所以，13,1,

3,1,n n n a n -=?=?>?

（II ）因为3log n n n a b a = ，所以11

b = 当1n > 时，()11133log 313n

n n n b n ---==-?

所以1113

T b ==

当1n > 时，

()()1211231

1323133

n n n T b b b b n ---=++++=+?+?+

所以()()01231132313n n T n --=+?+?++-

两式相减，得

经检验，1n = 时也适合，综上可得：1363

1243

n n

n T +=

+? 【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.

【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.

12. 【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n

n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.

(Ⅰ)设2

1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；

(Ⅱ)设

()

,1,n

n n k a d T b n N ===

-∈∑，求证：2111.2n

k k

T d =<∑

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】

试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22

112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()2

12122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.

（II ）证明：()()()

2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+

()()

()22224222212

n n n a a d a a a d d n n +=++

+=?

所以()2

222

1111111

111112121212n

k k k k

T d k k d k k d n d ===????==-=?-< ? ?+++?

???∑∑∑. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．

(2)通项公式为a n ＝?????

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数

的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采

用分组求和法求和．

13. 【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．

（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（II ）若531

S =

，求λ．【答案】（Ⅰ）1

(11---=n n a λλλ；

（Ⅱ）1λ=-．

【解析】

由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1．由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以1

1-=+λλ

n n a a . 因此}{n a 是首项为

λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1

(11---=n n a λλλ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1

(

1--=λλ，由32315=

S 得3231

)1(15=--λλ，即=-5)1

(λλ321，

解得1λ=-．

考点：1、数列通项n a 与前n 项和为n S 关系；2、等比数列的定义与通项及前n 项和为n S ．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明

n n

a q a +=（常数）；（2）中项法，即证明2

12n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．

14. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.

（Ⅰ）证明{

}

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明：1231112

a a a ++<…+.

【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11

2312

n n a a ++

=+，所以12n a ??+??

??是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1

332n -?，解得n a =312n -.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312

n -，所以12

31n n a =-，因

为

当

n ≥时，

3123n n --≥?，所以

3123n n -≤

-?，于是

11a +21a +L 1n a 111133n -≤+++L =31(1)23n -32

<，所以

11a +21a +L 1n a 3

<. 【考点定位】1.等比数列；2.等比数列的前n 项和公式；3.放缩法

15．【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1

{

}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000

n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n

n a =；（2）10.

【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，

即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.

又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.

所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n

n a =. （2）由（1）得

112

n n a =. 所以23

11[1()]1111122112222212

n n n n

T -=

++++==--. 由1|1|1000n T -<

，得11|11|21000

n --<，即21000n

>. 因为9

2512100010242=<

=，所以10n ≥. 于是，使1

|1|1000

n T -<

成立的n 的最小值为10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

16. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足1

n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1

2n n a a

-≥-，n *∈N ；

（II ）若32n n a ??≤ ???

，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *

∈N ．

【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．【解析】

试题分析：（I ）先利用三角形不等式得11

n n a a +-

≤，变形为111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法

可得

112

2n n

a a -

<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得

222

n m n

n a a --

，进而可得3224m

n n a ??

<+? ???

，再利用m 的任意性可证2n a ≤．

试题解析：（I ）由112

n n a a +-

≤得11

12n n a a +-≤，故

1222

n n n

n n a a ++-

≤

，n *

∈N ，所以

1122311

122312222222

n n n n n a a a a a a a a --??????-

=-+-+???+- ? ? ??????? 121

111

222

n -≤

++???+ 1<，

因此

()1122n n a a -≥-．

（II ）任取n *

∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，

112111212222222

2n m n n n n m m n

n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-??????

=-+-+???+- ? ? ???????

111222n n m +-≤

++???+ 112

n -<，故

从而对于任意m n >，均有

3224m

n n a ??

<+? ???

．

在高考中数学表格题分类解析

在高考中数学表格题分类解析近年来,涉及表格类的试题经常出现在全国各地的高考和模拟试题中,它们不仅情境新颖,而且与生活实际联系紧密，充分体现了表格的工具性和数学的适用性。这类问题主要考查学生能否根据所学知识在新情景中吸收、处理信息的能力和分析、解决问题的能力。本文结合实例对表格在高中数学试题中的应用作一些分析和归纳，期望对广大读者有所帮助。一、在题设中直接以表格反映条件例1 下表给出了x 与x 10的七组对应值：假设上表数据中,有且仅有一组是错误的,它是第________组。思路：由上表可知第六组一定正确，由此判断第一、三组都是正确的（因为它们不可能全错）由第一组正确得到第五组也正确，剩下第二、四、七组必有一组错的，若第二组正确，推出第四、七组都是错的，因此第二组是错的。评注：这是一题以指对数互化和对数的运算法则为背景的表格信息题，要求要能根据表中信息找到突破口，进行推理和假设，作出正确判断。此类问题对考查学生的逻辑思维能力能起到很好的作用。例2 二次函数x c bx ax y (2++=∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是________________ 思路一：由表格可知，原函数图象过三点（－1，－4）、（0，－6）、（1，－6），由()()4112-=+-+-c b a ①,6002 -=+?+?c b a ② 6112-=+?+?c b a ③，解得6,1,1-=-==c b a ，∴不等式ax 2+bx+c>0的解集是｛x|x<-2或x>3｝思路二：由表格可知，方程02 =++c bx ax 的两根为3,2-，再由函数值的变化规律可知二次函数图象开口向上，∴不等式ax 2+bx+c>0的解集是｛x|x<-2或x>3｝。评注：上述两种解法都是合理选用了表格中的信息，分别从函数与方程，数形结合两方面处理了问题。特别是思路二，不需要计算就能得到答案，如果信息选择不当，会导致运算相对繁琐。例3 ) (t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：

高考有机化学推断题总汇(含解析)

3013年高考有机化学推断题汇编（含解析）四川．（17分）有机化合物G 是合成维生素类药物的中间体，其结构简式为： G 的合成路线如下：其中A~F 分别代表一种有机化合物，合成路线中部分产物及反应条件已略去。已知：请回答下列问题：（1）G 的分子式是；G 中官能团的名称是。（2）第①步反应的化学方程式是。（3）B 的名称（系统命名）是。（4）第②~⑥步反应中属于取代反应的有（填步骤编号）。（5）第④步反应的化学方程式是。（6）写出同时满足下列条件的E 的所有同分异构体的结构简式。 ①只含一种官能团；②链状结构且无—O —O —；③核磁共振氢谱只有2种峰。赏析：以框图合成考察有机化合物知识。(CH 3)2C=CH 2与HBr 反应①是加成反应，生成A(CH 3)2CHCH 2Br,②水解反应，生成B(CH 3)2CHCH 2OH,③是氧化反应，生成(CH 3)2CHCHO ，根据反应信息和G 的结构特征，C 是CH 3CH 2OOCCHO ，D 是在水解生成CH 3CH 2OH 和E 再和H 2加成，E 中—CHO 变成F 中—CH 2OH ，F 的—COOH 、—CH 2OH 再酯化生成G 。参考答案：（1）①C 6H 10O 3（2分） ②羟基、酯基（各1分，共2分）（2）（3）2-甲基-1-丙醇（2分）（4）②⑤（各1分，共2分）（5）（6）CH 3COOCH 2CH 2OOCCH 3 CH 3CH 2OOCCOOCH 2CH 3 CH 3OOCCH 2CH 2COOCH 3（各1分，共2分）（北京卷）25．（17分）可降解聚合物P 的恒诚路线如下 CH 3CHCHO + OHCCOOC 2H 5 → CH 3C —CHCOOC 2H 5（3分） 3 3 CHO CH 3C=CH 2 + HBr → CH 3CHCH 2Br （2分） 3 CH 3 CH 3CH 2OOCCHOH (CH 3)2C —CHO ， HOOCCHOH (CH 3)2C —CHO ，

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

近三年全国卷高考题有机

化合物H是一种有机光电材料中间体。实验室由芳香化合物A制备H的一种合成路线如下：回答下列问题：（1）A的化学名称为__________。（2）由C生成D和E生成F的反应类型分别为__________、_________。（3）E的结构简式为____________。（4）G为甲苯的同分异构体，由F生成H的化学方程式为___________。（5）芳香化合物X是F的同分异构体，X能与饱和碳酸氢钠溶液反应放出CO2，其核磁共振氢谱显示有4种不同化学环境的氢，峰面积比为6∶2∶1∶1，写出2种符合要求的X 的结构简式____________。（6）写出用环戊烷和2-丁炔为原料制备化合物的合成路线________（其他试剂任选）。

每日一题全国卷专题（二） 2．[化学——选修5：有机化学基础]（15分）化合物G是治疗高血压的药物“比索洛尔”的中间体，一种合成G的路线如下：已知以下信息： ①A的核磁共振氢谱为单峰；B的核磁共振氢谱为三组峰，峰面积比为6∶1∶1。 ②D的苯环上仅有两种不同化学环境的氢；1molD可与1mol NaOH或2mol Na 反应。回答下列问题：（1）A的结构简式为____________。（2）B的化学名称为____________。（3）C与D反应生成E的化学方程式为____________。

（4）由E生成F的反应类型为____________。（5）G是分子式为____________。（6）L是D的同分异构体，可与FeCl 3 溶液发生显色反应，1mol的L可与 2mol的Na 2CO 3 反应，L共有______种；其中核磁共振氢谱为四组峰，峰面积比为3∶2∶2∶1的结构简式为___________、____________。每日一题全国卷专题（三） 3．[化学——选修5：有机化学基础]（15分）氟他胺G是一种可用于治疗肿瘤的药物。实验室由芳香烃A制备G的合成路线如下：回答下列问题：（1）A的结构简式为____________。C的化学名称是______________。（2）③的反应试剂和反应条件分别是____________________，该反应的类型是__________。（3）⑤的反应方程式为_______________。吡啶是一种有机碱，其作用是____________。

2005年高考全国试题分类解析(数列部分)

数列部分选择题 1. （广东卷）已知数列满足，，…．若，则(B) （Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５（福建卷）3．已知等差数列中，的值是（ A ） A．15 B．30 C．31 D．64 3. （湖南卷）已知数列满足，则= （B ） A．0 B． C． D． 4. （湖南卷）已知数列{log2(a n－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝ 3，a2＝5，则 = （C） A．2 B． C．1 D． 5. （湖南卷）设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′ (x)，n∈N，则f2005(x)＝（C） A．sinx B．－sinx C．cos x D．－cosx 6.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全国卷II) 如果数列是等差数列，则(B ) (A) (B) (C) (D) 8. (全国卷II) 11如果为各项都大于零的等差数列，公差，则(B) (A) (B) (C) (D) 9.（山东卷）是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于(C ) （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 10. （上海）16．用n个不同的实数a1,a2,┄a n可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对第i行a i1,a i2,┄a in,记b i=- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in, 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+┄+b120等于

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)

2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12