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巧用隐含条件妙解数学习题
作者:覃雄燕覃仁和
来源:《新课程学习·下》2013年第08期
摘要:数学习题中的隐含条件往往容易被忽视,挖掘和利用好隐含条件是顺利解答数学
习题的关键因素。详解了一些教学实践中巧用隐含条件、妙解数学习题的典型例子。
关键词:隐含条件;数学习题;求解
数学习题中的隐含条件是指那些藏而不露、似有若无、容易被“视而不见”的已知条件。隐含条件的深度与广度是数学习题难度的原因之一,挖掘和利用好隐含条件是顺利解答数学习题的关键因素。笔者结合教学实践,详解了一些巧用隐含条件、妙解数学习题的典型例子。
例1.若a≥3,求证:■-■
分析:该不等式用代数方法来证明相当繁杂,若注意观察,深入挖掘隐含条件,则会发现(■)2-(■)2=1,(■)2-(■)2=1,即有■、■、1与■、■、1两组勾股数,从而构造相应的几何图形,则解法十分简捷。
证明:∵(■)2-(■)2=1,(■)2-(■)2=1
∴可构造以AB=■为斜边,AC=■,BC=1为两直角边的Rt△ABC
同理,在Rt△ABC的基础上,构造BD=■,BC=1,CD=■为两直角边的Rt△DBC(如下图)
在△ADB中,恒有BD+DA>AB,
∴■+(■-■)>■,
∴■-■
例2.若x2+3x+1=0,求x2+■的值
分析:本题若按常规思路,先解出方程x2+3x+1=0的两个根x=■,再代入x2+■中求值即可,但计算量大且容易出错。若仔细审题,则发现原方程两根的乘积为1,互为倒数关系。这一隐含条件的发掘,将使计算过程大为简化。
解:设x2+3x+1=0的两根分别是x1,x2,则有x1+x2=-3,x1·x2=1,∴x2+■=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2