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一道积分不等式的多种证明方法

一道积分不等式的多种证明方法
一道积分不等式的多种证明方法

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/f27209942.html,

一道积分不等式的多种证明方法

作者:赵琳

来源:《东方教育》2015年第02期

【摘要】从单调连续函数的性质出发,利用积分中值定理、积分不等式性质、构造函数等方法给出一道积分不等式的五种证明方法。

【关键词】不等式;中值定理;单调;连续

数学分析中有这样一道题目:设函数在上单调递增且连续,证明

证法一:因为函数在上单调递增且连续,根据积分第一中值定理【1】,存在,使

所以 .

证法二:因为函数在上单调递增且连续,根据积分第二中值定理【1】,存在

,使

所以 .

证法三:因为函数在上单调递增且连续,所以

于是

所以 .

证法四:因为函数在上单调递增且连续,所以

于是

从而

所以 .

证法五:因为函数在上单调递增且连续,令函数

积分不等式的若干证明技巧

题目:积分不等式的若干证明技巧 学院:数学科学学院 专业班级:数学07-4实验班 学生姓名:努尔艾拉.阿西木 指导教师:塔实甫拉提副教授 答辩日期:2011年5月10日 新疆师范大学教务处

目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献: (11) 致谢 (12)

积分不等式的若干证明技巧 摘要:不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多,本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性,是理工科学生学习的一个难点,以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发,大致地分成若干种方法,介绍有关证题的技巧和规律。 关键词:积分不等式,积分中值定理;Rolle中值定理;Cauchy中值定理;Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts:inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要:不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词:不等式,公式法,构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象,难懂,证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换,通过化简后使不等式变得简单,更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证:)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母,则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23(*) 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. (*)式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数,且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证:n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式 一、比较法 所谓比较法,就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号(范围)确定a 与b 大小关系的方法,即通过“0a b ->,0a b -=,0a b -<;或1a b >,1a b =,1a b <”来确定a ,b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈,求证:224224x y x y ++≥+. 证明: 224224x y x y ++-- =2221441x x y y -++-+ =22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥, 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知:a >b >c >0, 求证:222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++??. 证明:222a b c b c a c b c a b c a b c +++????=222a b c b a c c b c a b c ------?? >222a b c b a c c b c c c c ------??

=0c =1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??>1 ∴222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明: 960+>> 5456<成立运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈,1a b +=,求证:221125()()2 a b a b +++≥ 证明:∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似. 微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式. 一、用导数定义证明不等式法 1.证明方法根据-导数定义 导数定义:设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义,若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在,则称函数)(x f 在0x 可导,称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数,记作)(0x f y '=. 2.证明方法: (1)找出0x ,使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究. 3.例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ,其中n a a a ,,21都为实数, n 为正整数,已知对于一切实数x ,有x x f sin )(≤,试证:1221≤+++n na a a . 证 明 : 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' .则 n na a a f +++=' 212)0(. 得:x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '.由于x x f sin )(≤. 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x .即1221≤+++n na a a . 4.适用范围 用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的. 二.用可导函数的单调性证明不等式法

积分不等式的证明及应用论文

广西科技大学毕业论文 题目:积分不等式的证明及应用 英文题目:The integral inequality proof and application.所在学院:理学院 所在专业:信息与计算科学 学号:200900901071 作者姓名:朱伟 指导老师:张明俊 二零一三年五月

摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容,在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法,一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式,可以降低技巧性,使证明的思路变得简单,在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式

Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

积分不等式的证明方法及其应用

积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法,并给出了相应的例题,从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用,最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中,我们常会遇到这样的问题:有些函数可积,但原函数不能用初等函数的有限形式来表达,或者说这种积分“积不出”,无法应用Newton-Leibniz 公式求出(如2 1 0x e dx -?),这时我们只能用其它方法对积分值进行估计,或近似计 算;另一种情况是,被积函数是没有明确给出,只知道它的结构或某些性质(例如设函数f 在[]0,1上连续可微,且(1)(0)1f f -=,求1 '20()f x dx ?),因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x , ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义,把积分区间n 等分,得出积分和,再由离散型式子,得出积分和之间的大小关系,再令∞→n ,取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

证明不等式的几种方法

昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日

证明不等式的几种方法 摘 要:证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词:不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式,确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有:比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式,两边的差(或商)然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小;或若当+∈R B A ,时,直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为: 1.作差:观察不等式左右两边构成的差式,将其看成一个整体。 2.变形:把不等式两边的差进行变形,或变形成一个常数,或为若干个因式的积,或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断:根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围:当被证的不等式两端是多项式,对于分式或对数式时,一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是:“∈b a ,+R ,若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为: 1.作商:将左右两端作商。 2.变形:化简商式到最简形式。

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明(1) 目标: (,0)2 a b a b +≥的证明过程,并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) ,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量“平均”一下,以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为12,l l ,物体实际质量为M ,据力学原理有1221,l M l a l M l b == ,有2,M ab M == ,0a b >时,2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法”: 02a b +-=≥ 2 a b +≤(当且仅当a b =时取等号) 说明:当0a =或0b =时,以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥(称之“基本不等式” )当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释: 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数,证明:1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意:基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明: 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=,求证:123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1,2,3

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法]

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证: 思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明: 证明: 证法一:

积分不等式的证明方法

摘要 在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结. 关键词:积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

ABSTRACT When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill.In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized. Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法 摘要:文章针对被积函数的特性,给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词:定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见,但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式,首先要看被积函数,其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1.运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积,即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1:设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增,证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a . 证明:由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a (, 即是要证:? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式,)(x f 在[0,1]上连续, 故 由定积分中值定理知: [] a ,01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?(, 同理对右式:[]12,a ∈ ?ξ使)()1()(21 0ξf a a dx x f a -=?, 显然,ξ1<ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增,

∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂,它的条件也极其简单,易于掌握。 2.运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式,首先是做函数将要证结论中的积分上限(下限)换成x ,移项使不等式的一边为零,另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x),并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2:设)(x f 在[a ,b]上连续,且)(x f >0. 试证: 2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥? ? 证明:构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=??(将b 换成x ), 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f >0,∴ 02) ()()()(≥-+x f t f t f x f , 又a

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