《流体力学导论》第八章+对流与扩散-2016.1.7
对流扩散方程
徐州工程学院 课程设计报告 课程名称偏微分方程数值解 课题名称对流扩散方程 的迎风格式的推导和求解专业信息与计算科学 班级10信计3 姓名学号 指导教师杨扬 2013年 5 月23 日
一、实验目的： 进一步巩固理论学习的结果，学习双曲型对流扩散方程的迎风格式的构造 方法，以及稳定的条件。从而进一步了解差分求解偏微分方程的一些基本概念，掌握数值求解偏微分方程的基本过程。在此基础上考虑如何使用Matlab 的软件进行上机实现，并针对具体的题目给出相应的数值计算结果。 二、实验题目： ?? ? ??-=-==<<<<+=+);2/1exp(),1();exp(),0();2/exp()0,(10,10,11t t u t t u x x u t x f u b u a u xx x t 其中a1=1,b1=2, ) 2/exp(),(t x t x f --=。 用迎风格式求解双曲型对流扩散方程,观差分解对真解的敛散性()2/exp(t x u -= 三、实验原理： 1、用迎风格式求解双曲型对流扩散方程，迎风格式为： ) 01(21 1 )01(2112 1 1112 1 11 1<++-=-+->++-=-+--+++-+-+a f h u u u b h u u a u u a f h u u u b h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τ τ 若令,/*1,/*12h b h a r τμτ== 则迎风格式可整理为： > <<++-+-+=><>++++--=-+++-+2)01()()21(1)01()()21(111111a f u u r u r u a f u u r u r u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j τμμμτμμμ2、稳定条件： ） （） （01),*11*2/(01),*11*2/(2 2<-≤>+≤a h a b h a h a b h ττ（*） 四、数值实验的过程、相关程序及结果： 本次的实验题目所给出的边界条件是第一边界条件，直接利用所给的边界条件，我们可以给出界点处以及第0层的函数值，根据a1的正负性，使用相应的<1>或者<2>式，求出其他层的函数值。误差转化成图的形式，并输出最大值。 针对三种不同的输入对应输出结果 ：
对流扩散方程引言
对流扩散方程的定解问题是指物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型，它可以用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热传导等众多物理现象。关于对流扩散方程的求解很也备受关注，因此寻找一种稳定实用的数值方法有着重要的理论与实际意义。 求解对流扩散方程的数值方法有多种，尤其是对流占优扩散方程，这些方法有迎风有限元法，有限体积法，特征有限体积法，特征有限差分法和特征有限元法，广义差分法，流线扩散法，以及这些方法与传统方法相结合的方法如迎风广义差分法，迎风有限体积法有限体积——有限元法等这些方法数值求解效果较好，及有效的避免了数值震荡，有减少了数值扩散，但是一般计算量偏大 近年，许多研究者进行了更加深入的研究，文献提出了对流扩散方程的特征混合元法，再次基础上，陈掌引入了特征间断混合元方法，还有一些学者将特征线和有限体积法相结合，提出了特征有限体积元方法（非线性和半线性），于此同时迎风有限元也得到较大的发展，胡建伟等人研究了对流扩散问题的Galerkin 部分迎风有限元方法和非线性对流扩散问题的迎风有限元，之后又有人对求解发展型对流扩散问题的迎风有限元法进行了理论分析 有限差分法和有限元是求解偏微分方程的常用数值方法，一般情况下考虑对流占优的扩散方程，当对流项其主导作用时，其解函数具有大梯度的过渡层和边界层，导致数值计算困难，采用一般的有限元或有限体积方法虽然具有形式上的高精度，不能解决数值震荡的问题，虽然我们不能简单的将对流占优扩散方程看做对流方程，但由于次方程中含有一阶不对称的导数，对流扩散方程仍会表现出“对流效应”，从而采用迎风格式逼近，尽量反应次迎风特点，此格式简单，克服了锋线前沿的数值震荡，计算结果稳定，之前的迎风格式只能达到一阶精度，我们采用高精度的广义迎风格式，此格式是守恒的，精度高，稳定性好，具有单调性，并且是特征线法的近似，有效的避免了锋线前沿的数值震荡。 有限体积是求解偏微分方程的新的离散技术，日益受到重视。有限体积与有限差分、有限元法最大的区别及优点在于有限体积将求解区域内的计算转化到控制体积边界上进行计算，而后二者均是直接（或间接）在域内计算，故有限体积有着明显的物理涵义，在很大程度上减少计算工作量又能满足计算精度要求，加快收敛速度。由于此方法讲散度的积分化为子域边界积分后子啊离散，数值解满足离散守恒，而且可以采用非结构网格，所以在计算物理特别是计算流体力学领域上有限体积有广阔的前景。 间断Galerkin（DG）方法是在1973年，Reed和Hill在求解种子迁移问题时，针对一阶双曲问题的物理特点提出的。之后C.Johnson，G.R.Richter等人对双曲问题的DG方法做了进一步的研究，并且得到了该机的误差分析结果，由于这种方法具有沿流线从“上游”到“下游”逐层逐单元计算的显示求解的特点，并且可以进行并行计算，所以被广泛应用于各类方程的求解。最近Douglas等人在{25}中处理二阶椭圆问题时，得到DG方法的有限元空间不需要满足任何连续性条件，因此空间构造简单，具有较好的局部性和并行性。DG发展的一个重要方面是对对流占优扩散方程的应用。G.R.Richter等在1992年提出利用DG方法求解定长对流扩散问题 近年DG方法有了新的发展，其中YeXiu提出间断体积元方法备受人们关注，2004年，她将有限体积法与DG相结合，提出了椭圆问题的间断有限体积法，此方法解除了逼近函数在跨越边界上连续的限制，之后更多的研究者应用到Stokes问题，抛物问题，双曲问题，并得到了较好的结果，该方法不但继承了有限体积的高精度计算简单及保持物理间局部守恒等优点，而且有限元空间无需满足任何连续性要求，空间构造简单，有较好的局部和并行性。 当对流扩散方程中的对流项占主导地位时，方程具有双曲方程的特点，这是由于对流扩散方程中的非对称的对流项所引起的迎风效应使对流扩散方程的数值求解更困难，用传统的中心差分法和标准的有限元求解会差生数值的震荡，从而使数值模拟失真，为了克服这一困难，早在20世纪50年代，就有人提出了迎风思想，由于使用迎风技巧可以有效的消除数值解不稳定性，因此吸引了众多学者的关注，从1977年，Tabata等人就针对对流扩散方程提出了三角形网格上的迎风格式{42,38}，并进行了深入的研究，梁栋基于广义差分法，提出并分析了一类建立在三角网格上的广义迎风差分格式，袁益让2001年就多层渗流方程组合系统提出并分析了迎风分数步长差分方法，以上均是讨论的线性对流扩散问题，胡建伟等通过引入质量集中算子，构造并分析了一类基于三角网格的质量集中型的部分有限元方法处理线性和非线性对流扩散问
对流扩散方程有限差分方法.
对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ
对流_扩散方程源项识别反问题的MCMC方法_曹小群
DOI：10.3969/j.issn.1000-4874.2010.02.001
水动力学研究与进展A辑2009年第2期 128 1 引言 对流-扩散方程是描述粘性流体运动的非线性Burgers方程的线性化模型,它可以刻画许多自然现象,如：水体和大气中污染物的输移、扩散和降解，海水盐度和温度的扩散，流体流动与传热和电化学反应等。研究对流-扩散模型具有重要的理论价值和实际意义,它已经广泛应用于环境科学、能源开发、流体力学和电子科学等领域。总的来说，目前关于对流-扩散方程的研究大致可以分为两个方面。一方面是在给定初边值条件下，通过不同的数值计算方法求解对流-扩散方程，以模拟研究对象(例如：温度、盐度和污染物等)在时间和空间上的发展演化，这类问题可以统称为正问题。迄今为止已经有很多成熟方法求解对流-扩散方程,如有限差分方法(FDM)[1,2,3]、有限体积方法(FVM)[4,5,6]和有限元方法(FEM)[7,8,9]等。 另外一方面是关于对流-扩散方程反问题的研究，即通过所研究对象的观测资料来估计和识别方程中的参数、源项、边界和初始条件等。从某种意义上讲，反问题的求解是对流-扩散模型研究中一个更重要的问题,因为它的正确与否直接影响模型的可靠性。由于偏微分方程反问题固有的非线性和不适定性[10], 对流-扩散方程反问题的求解会存在巨大困难，通常的方法常常导致求解失败。近年来, 国内外学者关于对流-扩散反问题开展了广泛研究。Andreas Kirsch对一维扩散方程逆过程反问题进行了稳定性分析，并给出了误差估计公式[11]。Yildiz[12]、刘继军等[13-16]对相关问题采用Tikhonov 正则化方法进行了深入研究。闵涛等[17]以函数逼近和Tikhonov正则化为基础，利用算子识别摄动法和线性化技术，建立了河流水质纵向弥散系数反问题的迭代算法，并进行了数值试验。闵涛等[18]利用有限元法求解了二维稳态对流-扩散方程,并利用迭代法对二维稳态对流-扩散方程参数反演进行了研究。闵涛等[19]利用遗传算法就对流-扩散方程的源项识别反问题进行了研究。潘军峰等[20]对一维对流-扩散方程的反问题利用Tikhonov正则化方法进行了研究。吴自库等[21]结合利用伴随同化方法和处理数学物理反问题的技巧就对流-扩散方程逆过程的反问题进行了数值研究。综上所述，由于对流-扩散方程反问题的不适定性，所以它的求解一般要采用特殊方法，如Tikhonov正则化方法、变分伴随方法和遗传算法等等。本文在贝叶斯理论的基础上，提出采用马尔科夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo,简称MCMC)方法[22,23]来识别对流-扩散方程中多个点源中的未知参数。 结合利用贝叶斯方法和MCMC算法求解反问题，具有以下优点：1) 能方便地将各种先验信息和误差信息高效地融合到问题求解过程中，减小问题的不确定性；2) 和确定性算法不同，反问题的不适定性不再是MCMC算法要考虑的问题，且计算获得的是全局最可能解，而通常的最优化算法可能陷入目标函数局部极小值；3) 能对定义在高维空间且无明确数学表达式的概率分布密度函数进行数值计算，而确定性方法无法解决此类问题；4) MCMC算法通过构造Markov链来进行随机模拟，是一种动态Monte Carlo方法，计算速度高于一般的Monte Carlo 方法和模拟退火算法，而且计算复杂度不依赖于计算空间的维数。 2 反问题模型 不失一般性，用对流-扩散方程来模拟污染物在河道中的扩散，考虑对流-扩散方程的初边值问题[19,21]，公式如下： 2 2 1 (), (,)(0,)(0,) (0,)0,(,)0,(0,) (,0)0,(0,) q i i i C C C u E kC s x x t x x x t L T C t C L t t T C x x L δ = ???? +=?+? ???? ?? ∈× ? ?==∈ ? =∈ ?? ∑ (1) 其中C为污染物的浓度，u为流速，E为扩散系数，k为污染物的降解率，L表示河道长度。δ是狄拉 克函数， i x和 i s，(1,2,) i q = 分别表示多个点污染源的位置和排放强度。假定(,) C x t在t T =时的分布已知，那么源项识别反问题就是根据这些已知 distribution, the Adaptive Metropolis algorithm was used to construct the Markov Chains of unknown parameters. And the converged samples were used to estimate the unknown parameters of source term. The results of numerical experiments show that the method has many virtues, such as high accuracy, quick convergent speed and easy to program and implement with computer． Key words: convection-diffusion equation; source term; inverse problem; Markov Chain Monte Carlo method
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较
2013—2014学年第二学期 《Matlab 编程技术》作业 专业班级 石工博13-02 研究方向 油气田开发 姓 名 王壮壮 学 号 B13020075
结合自己研究方向，运用Matlab编写科学计算及可视化或其它相关程序。要求： 1）将要解决的问题交代清楚（数学模型、目标等）； 2）编写的程序的关键语句要有注释说明； 3）程序能顺利运行，运行结果和编写的m文件一并提交； 4）独立完成。
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较 流体力学基本方程组本身就是非线性的对流扩散方程，非线性Burgers 方程就是N-S 方程很好的模型方程，它的一维形式如下： L x x u x u u t u ≤≤??=??+??022μ (1) 边界条件为 ? ? ?====0,,00 u L x u u x (2) 初始条件是任意可以给出的。 我们知道，遇到对流项，我们用迎风格式是绝对没有问题，无论是一阶迎风还是二阶迎风格式都是能够解决非线性对流方程的，如果网格Peclet 数允许的话，中心差分也是可以考虑的。 不过，对于非线性对流，我们来看看另外两个G-S 格式，一个是G-S 型迎风半隐格式，另一个是G-S 型Samarskii 半隐格式，对于任何类型的对流扩散方程，可以收敛到定常解，并且是绝对稳定的，特别适合于解决定常问题。 对于式(1)这两个格式分别为 () 2 11 111111212h u u u R h u u u u u n i n i n i n i n i n i n i n i n i +-+++-+++-+=-+-μτ (3) 21 1 1111112112h u u u R R h u u u u u n i n i n i n i n i n i n i n i n i n i +-+++-+++-???? ??++=-+-μτ (4) 其中 μ 2h u R n i n i = 式(3)就是G-S 型迎风半隐格式，它具有一阶精度，是从一阶迎风格式发展而来的；式(4)是G-S 型Samarskii 半隐格式，具有二阶精度，它是从Samarskii 格式发展而来的。上面说过，它们只适用于求解定常解，因此上标的时层n 可以看作是迭代步，可以说它们没有时间精度，如果想用这两个格式求解非定常解，那可是徒劳的。 对于上两式，我们可以采用迭代法求解，把它们写成迭代式，分别为 ()[]( )( ) ( ) n i n i n i n i n i n i n i n i n i R h u h u u R u u u h u ++++++--= +-++-++142212*********τμτμτ (5)
一维对流扩散问题求解
Subjects ： A property φ is transported by means of convection and diffusion through the one-dimensional domain. The governing equation is ()()d d d u dx dx dx φ ρφ=Γ; boundary conditions are 01φ= at x=0 and 0L φ= at x =L. Using five equally spaced cells and the central differencing scheme for convection and diffusion calculate the distribution of φas a function of x for (i)Case 1:
一维对流扩散方程的稳定性条件推导
一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导 姓名： 班级：硕5015 学号： 2015/12/15
证明： 一维稳态对流扩散方程： 22u x x φφρ??=Γ?? 采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程： ()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ??????ΓΓΓΓ+-+=-++????????????????记：()()()()1122e w P e w w e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12 e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ= + 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x δΓ记为D ,则原式简化为： P P E E W W a a a φφφ=+ 12 E e e a D F =- 12 W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++- 令 u x F Pe D ρδ==Γ 则 1111222 E W P Pe Pe φφφ????-++ ? ?????=
当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情 况下是不可能的。因为当2Pe >时系数12 E e e a D F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ 证毕。
对流扩散方程背景
对流扩散方程背景 提出一种隐格式用于解决二维时间依赖的Burgers型方程。迎风单边差分格式被用于对流项离散；对扩散项用二阶中心差分格式离散。我们建立了全隐的数值有限差分格式，分析了无条件稳定性和严格推导了收敛性，在空间是二阶收敛的和时间一阶收敛的。给出数值结果验证理论正确性。 关键词：隐格式，单边差分逼近，Burgers方程，稳定性，收敛阶 对流扩散方程背景 对流扩散方程描述黏性流体的动力学行为，这在许多工程应用中发挥了重要作用。对流占优型扩散方程一般具有对流比扩散的系数大得多的特点，通常数值模拟具有一定难度，因为一方面，扩散系数比传输速度小，并且在另一方面，由于数值扰动容易出现边界层现象。许多格式已用于这些问题的模拟，并有大量成功的数值方法[1-3]。通过离散方法来解决对流扩散问题时，一般运用标准Galerkin有限元方法求解，但此方法会导致非物理特征扰动。为了解决这类缺陷，几种稳定的有限元方法已经在[4]中被提出了。 我们感兴趣的是建立非耗散方法来克服数值扰动，并有鲁棒性和二阶精度，尤其是对Burgers问题。Burgers问题通常被认为非线性流体的流动和扰动的经典模型。在二维非线性的情况下，可以描述对流和扩散的现象，Burgers方程代表一种最基本的非线性模型方程。从一个数值格式出发研究是相当有趣的，因为Burgers已出现在众多的流体方程中[5-7]。并已经由霍普夫-科尔计算出多种组合的初始条件和边界条件下的结果[10,11]。此外，对于非线性Burgers方程的解析解也可以通过Homotop Perturbation法[12]得到。 众所周知，单独的选择一种基本差分格式如中心差分或者迎风格式，来计算纯对流式的方程，扩散项通常只是中心近似。而解决问题的关键在于对流方面构造稳定的离散结构来克服数值扰动。虽然单边差分近似格式已经被提出了30年之久[13]，人们却很少关注他们在计算流动问题。一阶或者二阶单边迎风有限差分
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法 对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。 1 数学模型 本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f f U D x t x x ???+=≤≤??? (1) 初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π== (2) 解析解 ()()()224,sin 2Dk t f x t e A k x Ut ππ-=- (3) 式中，1,0.05,0.5,1U D A k ==== 函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示 t=0 t=0.5 t=1 图1 函数()()()224,sin 2Dk t f x t e k x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1） 2 数值解法 2.1 数值误差分析 在网格点(),i n 上差分方程的数值解n i f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解 (),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。 当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ?=。
（a ）21,0.05N t =?= （b ）21,0.025N t =?= （c ）21,0.0125N t =?= （d ）201,0.0005N t =?= 图2 数值误差随步长的变化情况 从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。 为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ?=，分别算出 11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。 表1 不同网格节点数下指标E 的值
高等传热学课件对流换热-第6章-1
第六章 高速流动对流换热
在前面几章介绍的强制对流换热中， 我们假设速度和速度梯度充 分小，以致动能和粘性耗散的影响可以忽略不计。现在考虑高速和粘 性耗散的影响。我们主要介绍有更多重要应用的外部边界层。
6.1 高速流对流换热基本概念
高速对流主要涉及以下两类现象： z 从机械能向热能的转换，导致流体中的温度发生变化； z 由于温度变化使流体的物性发生变化。 空气一类气体若具有极高的速度，将会导致超高温离解、质量浓 度梯度，并因此发生质量扩散，使问题变得更加复杂。这里仅限于关 注未发生化学反应的边界层；对空气来说，这意味着我们将不考虑温
度超过 2000K 或者马赫数高于 5 的情况。对液体，如果普朗特数足 够高的话，粘性耗散实际上在中等速度时就具有很可观的作用。 我们的讨论仅限于普朗特数接近于 1 的气体。 有关高速对流的研究大都涉及对机械能转换和流体物性随温度 变化两个因素的总体考虑，很难看到它们单独的影响。这里，我们暂 不考虑变物性的影响，首先讨论能量转换问题。 能量转换过程能可逆地发生，也能不可逆地发生。比如，在边界 层内，激波与粘性的相互作用使得机械能与热能间的不可逆转换增 大，无粘性的速度变化（比如在接近亚音速滞止点附近流体的减速） 则产生可逆的，或者非常接近可逆的能量转换。高速边界层滞止点的 比较能很好地说明这两种情况的明显区别。 z 在滞止点（图 6-1）处速度降低，边界层以外的压力和温度提高。 对于亚音速流动， 该过程几乎是等熵的， 流体粘度不起什么作用。 无论减速可逆还是不可
逆，滞止区边界层以外的流体 温度等于滞止温度， 也就是说， 流体温升来自于绝热减速：
? T∞
V2 = T∞ + 2c
（6.1.1）
V
若不考虑变物性影响，并
* 用 T∞ 代替 T∞ ， 低速滞止点的解
也能适用于高速滞止点问题：
? qw = h (Tw ? T∞ )
图 6-1 滞止点的流动
（6.1.2）
z 但高速边界层问题有所不同。 如果自由速度很高， 边界层以内速 度梯度很大， 边界层内因粘性切应力产生粘性耗散。 如果物体是 绝热的，那么耗散产生的热量可以靠分子或者涡漩传导的机理， 从靠近表面的向边界层外传递出去， 如图 6-2 所示。 稳态条件下， 在粘性耗散和热传导之间存在一种平衡状态， 导致图 6-2 所示的 温度分布。此条件下的表面温度就等于绝热壁面温度 Taw 。
对流扩散方程.
A
对流扩散方程的求解 对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。 为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。 对流扩散方程的特点 对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；
如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。 对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。
对流占优扩散方程的差分法
摘要 对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。 本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。 关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法
Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。 3.1中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。 处进行Taylor展开: 1) 式的中心差分格式[6] n 1 n U j U j n n U j 1 U j 1 a 2h n U j 1 v n n 2U j U j 1 h2 (3) 若令a h， n 1 U j n U j Vp，则 h 1 / n 2(U 1 (3)式可改写为 n n U j 1) (U j 1 2u：n \ U j 1) (4) 从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量n U j 1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。因此, 中心差分格式是求解对 假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1 U j n U j U； 1 分别在(X j,t n) n U j U(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) n U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X j U n h2 2 U n X j 2 2 X j 代入⑷式，有 T (X j,t n) n 1 U j n U j n n U j 1 U j 1 a 2h 2U n h2 n 0() n 2 a 0(h ) 2 U 2 X n 2 v 0(h ) j h h n U j 1 0(h3) 0(h3) n U j 1 v ---
第六章 极谱分析法
第六章极谱分析法 教师：李国清 一.教学目的： ⑴掌握电解分析法和极谱分析法的异同点； ⑵掌握极谱分析法的原理、方法和应用； ⑶掌握尤考维奇方程和极谱波方程； ⑷掌握消除干扰电流的方法； ⑸了解极谱波的类型； ⑹了解几种新的极谱伏安法。 二.教学重难点： ⑴尤考维奇方程和极谱波方程 ⑵消除干扰电流的方法； 三．教学难点： 阴极电位的控制，库仑滴定终点的确定 四．教具： 多媒体计算机、板书。 五．教学方法： 讲授、演示、提问、讨论。 六．教学过程： §1、概述 以测定电解过程中的电流—电压曲线为基础的一类电化学分析方法称为极谱法或伏安法。
以表面能周期性更新的滴汞电极作工作电极的，称为极谱分析法。 使用表面不能更新的固态或液态电极的，则称为伏安法。 极谱分析法是1922年由Heyrosky 首创的。 半个多世纪以来，极谱法在理论研究和实际应用上都得到了很大的发展，已成为电化学分析中最重要的一种分析方法。极谱法是一种特殊条件下的电解分析方法与电解法有许多共同点。 下图是电解分析法和极谱分析法的比较： E 0i 电 解装置 电解分析法示意图： 极谱波的形成 E i
极谱分析方法的特点： 1、灵敏度高：普通极谱法测定范围：10-2~10-5mol/l.，现代新极谱法测定范围：10-8~10-9mol/l.. 2、分析速度快，易实现自动化。 3、重现性好：汞滴不断更新，工作电极始终保持洁净，实验结果比较准确，重现性好，误差0.5%~1%。 4、选择性好，可实现连续测定：析出电位相差＞50mv的各种离子，都可以连续测定。 §2、极谱分析法基本原理 一、极谱法装置： 滴汞电极：上端为贮汞瓶，下接一塑料管。塑料管下端再接一毛细管，汞自毛细管中有规则地滴落（1d/3~4s）. 甘汞电极：大面积甘汞电极。 电解质溶液：保持静止状态，不能搅动。 电解池电压：由调节可变电阻来调节。 增大电压，并连续记录电流强度，可得E-I曲线。该曲线称为极