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2016西安铁路工程职工大学单招数学模拟试题(附答案)

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a}.若A ?B 则a 的范围是

(A) a<1 （B ） a ≤1 （C ） a<2

（D ） a ≤2

（2）在复平面内，复数2008

11i i i

++-对应的点所在的象限是（A ）一

（B ）二（C ）三（D ）四

（3）函数2sin(4)6

y x π=+的图像的两条相邻对称轴间的距离为（A ）

8π （B ）4π （C ）2

（D ）π （4）已知双曲线032)0(12

=+->=-y x a a

y x 的一条渐近线与直线垂直，则a 的值

是

(A)

1 （B ）

2 （C ） 4 （D ） 16

（5）阅读右边程序，其运算结果是

(A) 20

（B ） 24

（C ） 45

（D ） 56

（6）函数2

()ln(1)f x x x

=+-

的零点所在的大致区间是（A ）(0,1) （B ）(1,2)

（C ）(2,)e （D ）(3,4)

（7）若l m n 、、是互不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是

（A ）若βα⊥，l α?，n β?，则n l ⊥

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（B ）若αβ⊥，l α?，则l β⊥ （C ）若l n ⊥，m n ⊥，则l ∥ n

（D ）若l α⊥，l ∥β，则αβ⊥

（8）在567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中，含4x 的项的系数是以55n a n =+为通项的数列{}n a 的第（）项

（A ）24 （B ） 12 （C ） 11 （D ） 10 （9）如果一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的表面积为（）

(A)21680+ （B ）21664+ （C ） 96 （D ） 80

（10）锐角三角形ABC 中，若2C B ∠=∠，则

的范围是（A ）(0,2) （B ）(2,2) （C ）(2,3)

（D ）

(3,2)

（11）函数]2

,0[cos sin π

在与x y x y ==内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x

轴所围成的三角形的面积为

(A) 2

（B ） 2 （C ） 22 （D ）

（12）以下四个命题：

①.sin sin ,B A B A ABC >>?的充要条件是中

②定义.0)2()1()()2,1(<=f f x f y 存在零点的充要条件是上的连续函数在区间

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③等比数列4,16,1}{351±===a a a a n 则中，.

④把函数)22sin(-=x y 的图像向右平移2个单位后得到的图像对应的解析式为

)62sin(-=x y .

其中正确命题的是

（A ） ①②

（B ） ②④

（C ） ③④

（D ） ①④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题--第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题:本大题共小题,每小题5分.

（13）若命题“?x ∈R,使x 2+(a －1)x+1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为.

（14）在区间[1, 5 ]上分别取一个实数,记为m ,则方程19

22=+

y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是____________________

（15）若三角形内切圆半径为r ,三边长分别为a b 、、c ,则三角形的面积

()2

s r a b c =

++,根据类比思想,若四面体内切球半径为R ,其四个面的面积分别为1234S S S S 、、、,则四面体的体积V =________

（16）某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(C ?)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

气温x

-1

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由表中数据算得线性回归方程a bx y

+=?中的2-=b ，预测当气温为C ?-5时，热茶销售量为＿＿＿＿杯．（回归系数x b y a x

n x

y x n y

x b n

i i

i i -=--=

∑∑==,2

）

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分12分）

已知平面内三点A (3,0),B(0,3),C()sin ,cos αα,O 为坐标原点.

（1）若的值；求)4

sin(

,1π

α+-=?BC AC

（2）若

OC OB OC OA 与，求且｜),0(,13|πα∈=+的夹角。

（18）（本小题满分12分）

盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；

（19）（本小题满分12分）

（C ?）杯数y

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如图,在三棱柱BCE-ADF 中，四边形ABCD 是正方形，DF ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一点. （1）求证：;AC GN ⊥

（2）若FG=GD ，求证：GA//平面FMC. （3）若DF=DA ，求二面角F-MC-D 的正弦值

（20）（本小题满分12分）

设椭圆22

2:1(0)2

x y C a a +

=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且212

0AF F F ?= ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为11

OF ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点(1,0)F -，交y 轴于点

M ，若2MQ

，求直线l 的斜率．

（21）(本小题满分12分)

已知函数2

1f(x)=lnx,g(x)=

ax +bx (a 0).2

≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－在其定义域是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)??的最小值；

M E

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（III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

（22）请考生在A 、B 、C 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

(22) A (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图2所示，AB 与CD 是⊙Ｏ的直径，AB ⊥CD ，

P 是AB 延长线上一点，连PC 交⊙Ｏ于点E ，连DE 交AB 于点F ，若BP AB 2=．

求证：23PB PO PF =?

(22) B (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在曲线1C ：??

?=+=）y x 为参数θθ

(sin cos 1上求一点，使它到直线2C ：

1222

(112

x t t y t

=-+???

?=-??为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 .

(22) C (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

若0,ab >且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线，求ab 的最小值。

E B

F 图2

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参考答案

一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B

二、填空题

（13）[-1，3] （14）2

（15）()43213

1S S S S R +++

（16）70 （17）解：（1）

)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC ……………………1分 1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-=?∴ααααBC AC ……………………3分

得1)sin (cos 3sin cos 22-=+-+αααα……………………4分

sin cos =

+∴αα……………………5分 3

sin(=

∴π

α…………………………………………6分（2）13|=+OC OA ｜

cos ,13sin )cos 3(22=∴=++∴ααα……………………8分

sin ,3

),,0(=

∴∈απ

απα ……………………9分

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),2

3,21(C ∴

θ的夹角为与设OC OB OC OB ,2

?∴……………10分则23

323

|||cos =

=?=OC OB OC OB θ……………………11分 6

),0(π

θπθ=

∴∈ 即为所求。……………………12分

18．（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

则.32

)(3

2121235==C C C C C A P （２）由题意ξ有可能的取值为：２，３，４，５

==)2(ξP .30131022121222=+C C C C C ==)3(ξP .152

2141224=+C C C C C ==)4(ξP .10331022161226=+C C C C C ==)5(ξP .158

2181228=+C C C C C 所以随机变量ξ的概率分布为： ξ ２

３

４

５

Ｐ

301

152 103 15

8 所以ξ的数学期望为Ｅξ＝?

2301＋?3152＋?4103＋?5158＝3

13 19．证明：由已知可得为直三棱柱且底面ADF 中A D ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，

∴FD ⊥面ABCD

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∴FD ⊥AC

∴AC ⊥面FDN FDN GN 面?

∴GN ⊥AC …………………………………………4分

（2）证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA

G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC

GSA GA 面?

∴GA//面FMC 即GP//面FMC ………………8分

（3）设DF=DA=2，则各点的坐标为 C （0,2,0） F(0,0,2) M(2,1,0)

FM ∴= (2,1,-2) MC =(-2,1,0)

设平面FMC 的法向量为n 1=(x,y,1), 则FM ∴· n 1=0 MC ·n 1=0 即:?

?=+-=-+020

22y x y x

解得:?????==1

21y x

n 1=()1,1,2

又平面AMC 的法向量为n 2=(0,0,1) cos< n 1 ,n 2>=

||||2121n n n n ??=3

二面角F-MC-D 的正弦值为3

2……………………12分

20（Ⅰ）由题设知22

12(2,0),(2,0),2F a F a a --->其中

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由于2120AF F F ?= ，则有212

AF F F ⊥ ，所以点A 的坐标为2

2(2,)a a

-± 故1AF 所在直线方程为21

(

)2x

y a

a a =±+-…………2分

所以坐标原点O 到直线1AF 的距离为22

1a a -- 又2

12OF a =-，所以22

221213

a a a -=--

解得：2a =

所求椭圆的方程为22

142

x y +=…………5分（Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线斜率为k 直线l 的方程为(1)y k x =+，则有(0,)M k …………7分

设11(,)Q x y ，由于Q 、F 、M 三点共线，且2MQ QF =

根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+

解得112x y k =-??=-?或11233x k y ?=-

????=

…………10分

又Q 在椭圆C 上，故2

(2)()

142k --+=或22

2()()33142

-+= 解得0,4k k ==±

综上，直线l 的斜率为0或4±.…………12分 21．解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=

()h x 在（0,+∞）上是增函数，

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()20h x x b x

'∴=

+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，

…………2分

2.1

0,则

22 2.

b x x

x x x

∴≤

+>+≥

(]

.22,∞-∴的取值范围为b

…………4分

（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为

]2,1[222,12.

4)2(22上为增函数在函数时即当y ，b b

b b t y ≤≤-≤-∴-+= 当t=1时，y m I n =b+1；

…………6分

]2,1[4,22

;

42,24,2212

min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b b

b ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b

…………8分

)(,24.1)(,222,2

b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述??

当)(,4x b ?时-≤的最小值为.24b +

…………8分

（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且

则点M 、N 的横坐标为.2

1x x x +=

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C 1在点M 处的切线斜率为.2|12

12121x x x k x x x +==

+= C 2在点N 处的切线斜率为.2

)

212

221b x x a b ax k x x x ++=+=+=

假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =

,ln

ln ln )2()2()

)()(2.

)(2

121212122212212221122121x x x x y y bx x a

bx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即

……………10分

.1)

2)(2ln 1

11212x x x x x x x x x x +-=+-=∴

设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=

u u

u u x x u 则 ……………… ① [).1

)

1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.

)1()1()1(41)(.1,1)

1(2ln )(2

2+->

=>+∞>'∴>+-=+-='>+--

=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令

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这与①矛盾，假设不成立.

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.

…………12分

22．选做题

A ．证明：?=∠=∠90DEC POC

P P ∠=∠

PEF ?∴∽POC ?

PO PF PC PE PC

PO PE ?=?=∴

即, 23PB PA PB PC PE =?=? 23PB PO PF =?∴

B.直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0……………………………………2分设所求的点为P （1+cos θ,sin θ),……………………………………………3分则C 到直线C 2的距离d=2

122sin cos 1|-+++θθ…………………………5分

=|sin(θ+4

)+2|……………………………………7分当234ππ

θ=

时，即θ=4

5π时，d 取最小值1………………………………9分此时，点P 的坐标是（1-22，-2

）……………………………………10分

C ．解：根据题意，

22,2(),22

b ab a b a +==-++即…………………………2分 0,0,0,ab a b >∴<<

()()2()()a b a b ∴-+-≥--，……………………………5分

4,40(ab ab ab ab ∴≥∴≥≤或舍）

。………………8分 A

E B

F 图2

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16,ab ∴≥当且仅当4a b ==-时等号成立，

min ()16ab = ……………………………………10分