导数与函数的单调性

导数与函数的单调性

《创新设计》图书

第2节导数与函数的单调性

最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.

导数与函数的单调性

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

已知函数f(x)在某个区间内可导,

(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;

(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是:

(1)确定函数f(x)的定义域;

(2)求导数f′(x);

(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.

一般需要通过列表,写出函数的单调区间.

3.已知单调性求解参数范围的步骤为:

(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f′(x);

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f′(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;

(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f′(x)=0.若f′(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常数函数,舍去此参数值.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.()

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.()

(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.()

解析(1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f′(x)≥0.

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