导数与函数的单调性

导数与函数的单调性

《创新设计》图书

第 2节 导数与函数的单调性

最新考纲 1. 了解函数的单调性与导数的关系; 2. 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间.

导数与函数的单调性

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系

已知函数 f (x ) 在某个区间内可导,

(1)如果 f ′(x ) >0,那么函数 y =f (x )

(2)如果 f ′(x ) <0,那么函数 y =f (x )

2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是:

(1)确定函数 f (x ) 的定义域;

(2)求导数 f ′(x ) ;

(3)由 f ′(x ) >0(或<0) 解出相应的 x 的取值范围.当 f ′(x ) >0时, f (x ) 在相应的区间 内是单调递增函数;当 f ′(x ) <0时, f (x ) 在相应的区间内是单调递减函数.

一般需要通过列表,写出函数的单调区间.

3.已知单调性求解参数范围的步骤为:

(1)对含参数的函数 f (x ) 求导,得到 f ′(x ) ;

(2)若函数 f (x ) 在 [a , b ]上单调递增,则 f ′(x ) ≥ 0恒成立;若函数 f (x ) 在 [a , b ]上单 调递减,则 f ′(x ) ≤ 0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;

(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有 f ′(x ) =0. 若 f ′(x ) =0恒成立,则函数 f (x ) 在 (a , b ) 上为常数函数,舍去此参数值.

诊 断 自 测

1.思考辨析 (在括号内打“√”或“×” )

(1)若函数 f (x ) 在 (a , b ) 内单调递增,那么一定有 f ′(x )>0.()

(2)如果函数 f (x ) 在某个区间内恒有 f ′(x ) =0, 则 f (x ) 在此区间内没有单调性. ()

(3)f ′(x )>0是 f (x ) 为增函数的充要条件. ()

解析 (1)f (x ) 在 (a , b ) 内单调递增,则有 f ′(x ) ≥ 0.

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