2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点
知识点一:函数零点的概念
1.函数y =x 2
-5x +6的零点是
A .2,3
B .-2,-3
C .1,6
D .-1,-6 2.观察下面的四个函数图象,则在(-∞,0)内,函数y =f i (x)(i =1,2,3,4)有零点的是
A .①
B .①②
C .①②③
D .②④ 3.函数f(x)=x +4
x
的零点有
A .0个
B .1个
C .2个
D .无数个
4.已知函数y =x 2
+ax +3有一个零点为2,则a 的值为__________.
5.若函数f(x)=ax -b 有一个零点是3,那么g(x)=bx 2
+3ax 的零点是__________. 知识点二:函数零点的性质
6.函数f(x)=x 3
-9x
的零点所在的大致区间是
A .(1,2)
B .(2,3)
C .(0,1)
D .(5,6)
7.二次函数f(x)=ax 2
+bx +c ,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点 A .有两个 B .有一个或两个 C .有且仅有一个 D .一个也没有
8.对于函数f(x)=x 2
+mx +n ,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间(a ,b)内 A .一定有零点 B .一定没有零点 C .可能有两个零点 D .至多有一个零点
9.已知函数f(x)为偶函数,其图象与x 轴有4个交点,则该函数的所有零点之和等于 A .4 B .2 C .1 D .0
10.设函数f(x)=?
????
2x -1,x∈[0,+∞ ,
x 2
-4,x∈ -∞,0 ,又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零
点是__________.
11.若函数f(x)=ax 2
-x -1仅有一个零点,求实数a 的取值范围.
能力点一:求函数的零点
12.函数f(x)=-2x 2
+22x -1的零点个数为
A .0
B .1
C .2
D .3
13.若函数f(x)=x 2
+2x +a 没有零点,则实数a 的取值范围是
A .a<1
B .a>1
C .a≤1
D .a≥1
14.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,5是它的一个零点,且f(x)在(-∞,0)上是增函数,则该函数有__________个零点,这几个零点的和为__________.
15.求函数y =x 3
-4x 的零点,并画出它的图象.
16.判断函数f(x)=32x -2×3x
+1是否存在零点,若存在,则求出零点.
能力点二:函数零点的综合应用
17.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列说法正确的为
A .函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B .函数f(x)在(1,2)内有零点
C .函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D .函数f(x)在区间(0,4)内有零点
18.二次函数y =ax 2
+bx +c 中,a·c<0,则函数的零点个数是
A .1
B .2
C .0
D .无法确定
19.二次函数y =ax 2
+bx +c 的零点分别为-2,3,若x∈(-2,3)时,f(x)<0且f(-6)=36,则二次函数f(x)的解析式为__________.
20.二次函数y =ax 2
+bx +c(x∈R )的部分对应值如下表:
则使ax 2
+bx +c>0成立的自变量x 的取值范围是__________.
21.函数y =x 2
+(m -2)x +5-m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方,求m 的取值范围.
22.对于函数f(x),若存在x 0∈R ,使f(x 0)=x 0成立,则称x 0为f(x)的不动点.已知
函数f(x)=ax 2
+(b +1)x +(b -1)(a≠0),当a =1,b =-2时,求函数f(x)的不动点.
23.已知二次函数f(x)=ax 2
+bx +c.
(1)若a>b>c ,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;
(2)设x 1,x 2∈R ,x 1 2[f(x 1)+f(x 2)]有两个不等实 根,试证明必有一个实根属于区间(x 1,x 2). 答案与解析 基础巩固 1.A 2.B 3.A 4.-72 ∵x=2是方程x 2 +ax +3=0的根, ∴4+2a +3=0.∴a=-7 2 . 5.0,-1 由题意,知f(3)=3a -b =0,∴b=3a. ∴g(x)=bx 2+3ax =bx 2 +bx =bx(x +1). 令g(x)=0,得x =0或-1. 6.A ∵f(1)=-8<0,f(2)=23 -92 >0,∴选A. 7.C 8.C 9.D 偶函数图象关于y 轴对称,故4个交点形成的零点之和为0. 10.1,- 5 当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x -2,令g(x)=0,得x =1; 当x<0时,g(x)=x 2-4-1=x 2 -5,令g(x)=0,得x =±5(正值舍去), ∴g(x)的零点为1和- 5. 11.解:(1)若a =0,则f(x)=-x -1为一次函数,易知函数仅有一个零点; (2)若a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax 2 -x -1=0有两个相等的实根,故判别式Δ=1+4a =0,得a =-1 4 . 综上,当a =0或-1 4 时,函数仅有一个零点. 能力提升 12.B 13.B f(x)没有零点, ∴方程f(x)=0无实根. 故Δ=4-4a<0.∴a>1. 14.3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 又∵f(-x)=-f(x), ∴-f(5)=f(-5)=0. ∴f(-5)=0. ∴-5也是函数的零点. ∴函数有3个零点:5,-5,0,其和为0. 15.解:∵x 3-4x =x(x 2 -4)=x(x -2)(x +2), ∴函数y =x 3 -4x 的零点为0,-2,2,这三个零点把x 轴分成4个区间:(-∞,-2],(-2,0],(0,2],(2,+∞),在这四个区间内,取x 的一些值(包括零点). 16.解:∵f(x)=32x -2×3x +1=(3x -1)2 , ∴令f(x)=0, 得3x -1=0,解得x =0. ∴f(x)有零点,零点为x =0. 17.D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0, ∴f(1),f(2),f(4)三者中两正一负. 但具体哪个正,哪个负并不能确定. 又∵函数连续且f(0)>0, ∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点. 18.B 令y =0,得ax 2 +bx +c =0, ∵ac<0, ∴方程的判别式b 2 -4ac>0. ∴函数有两个零点. 19.f(x)=x 2 -x -6 20.(-∞,-2)∪(3,+∞) 21.解:如下图所示,由条件得 ????? Δ= m-2 2 -4 5-m >0, -m -2 2>2,f 2 >0. 解得???? ? m<-4或m>4m<-2 m>-5 -5 22.解:当a =1,b =-2时,f(x)=x 2 -x -3. 由题意可知,f(x)的不动点满足x =x 2 -x -3,得x 1=-1,x 2=3. 故当a =1,b =-2时,f(x)的两个不动点为-1,3. 拓展探究 23.证明:(1)∵f(1)=0, ∴a+b +c =0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0, 即ac<0. 又∵Δ=b 2 -4ac≥-4ac>0, ∴方程ax 2 +bx +c =0必有两个不等实根. ∴f(x)必有两个零点. (2)令g(x)=f(x)-1 2 [f(x 1)+f(x 2)], 则g(x 1)=f(x 1)-12[f(x 1)+f(x 2)]=1 2[f(x 1)-f(x 2)], g(x 2)=f(x 2)-12[f(x 1)+f(x 2)]=1 2[f(x 2)-f(x 1)]. ∵g(x 1)·g(x 2)=-14[f(x 1)-f(x 2)]2 ,且f(x 1)≠f(x 2), ∴g(x 1)g(x 2)<0. ∴g(x)=0在(x 1,x 2)内必有一实根, 即方程f(x)=1 2[f(x 1)+f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1,x 2). 1.1算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步:取n=5; 第二步:计算 2)1 (+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性)例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 慕尧书城出品,正品保障。 华鑫中学2011~2012学年第三次月考 高一数学试卷(总分150) 一、选择题:(以下每小题有且仅有一个正确答案,共40分) 1、在100个产品中,一等品20个,二等品30个,三等品50个,用分层抽样的方法抽取一个容量20的样本,则二等品中A 被抽取到的概率( ) A .等于15 B .等于310 C .等于2 3 D .不确定 2、已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是 ( ) A.2 B. 1 sin 2 sin C.2sin1 D.sin2 4、函数y =2sin(3x -π 4 )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 A. π3 B. 2π 3 C.π D. 4π3 5、函数y =sin (π4 -2x)的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z) B.[kπ+π8 ,kπ+5π 8 ](k ∈Z) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π 8 ](k ∈Z) 6、若 ,2 4 π απ < <则( ) A .αααtan cos sin >> B .αααsin tan cos >> C .αααcos tan sin >> D .αααcos sin tan >> 7、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ,满足.7)5(=f 则)5(-f 的值 为 ( ) A .5 B .-5 C .6 D .-6 8、已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a → 、b → 、 高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结(详细) 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)至少有一个零点c,使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法:求函数y=f(x)的零点: (1)(代数法)求方程f(x)=0 的实数根; (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 1)△>0,方程f(x)=0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程f(x)=0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程f(x)=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0,给定精确度ε; ⑵求区间(a,b)的中点c; (人教版)-高中数学必修2-第三章--直线与方程-直线系与对称问题(全) 课题:直线系与对称问题 教学目标:1.掌握过两直线交点的直线系方程;2.会求 一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法;3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点:对称问题的基本解法 (一) 主要知识及方法: 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -; 关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -;关于y x =的对称点的坐标为(),b a ;关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --. 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法: ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ,则'PP 的中点00,22a x b y ++?? ??? 一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数,即00 1y b a x a b -???-=- ?-?? 结论:点()00,P x y 关于直线l :0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --, 其中0022 Ax By C D A B ++= +;曲线C :(,)0f x y =关于直线l :0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地,当22A B =,即l 的斜率为1±时,点()00,P x y 关于直线 l :0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++?? -- ??? ,即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为:()(),y c x c -+m m , 曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法: ①到角相等;②在已知直线上去两点(其中一点可以是交点,若相交)求这两点关于对称轴的对称点,再求过这两点的直线方程;③轨迹法(相关点法);④待定系数法,利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等,… 人教版高中数学必修三知识点汇总 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执 行B框所指定的操作。 2、条件结构: 高中数学必修一第三章《函数的应用》单元测试卷及答案(2套) 单元测试题一 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 ) A .()8,9 B .()9,10 C .()12,13 D .()14,15 2.若函数f (x )在[a ,b ]上连续,且同时满足f (a )·f (b )<0,()02a b f a f +?? ?> ???.则( ) A .f (x )在,2a b a +?? ???? 上有零点 B .f (x )在,2a b b +?? ???? 上有零点 C .f (x )在,2a b a +?? ????上无零点 D .f (x )在,2a b b +?? ???? 上无零点 3.三个变量y 1,y 2,y 3随着变量x 的变化情况如下表: 则关于x A .y 1,y 2,y 3 B .y 2,y 1,y 3 C .y 3,y 2,y 1 D .y 1,y 3,y 2 4.下列图象所表示的函数中,能用二分法求零点的是( ) 5.对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下:f(2014)<0,f(2015)<0,f(2016)>0, 则下列叙述正确的是( ) A .函数f (x )在(2014,2015)内不存在零点 B .函数f (x )在(2015,2016)内不存在零点 C .函数f (x )在(2015,2016)内存在零点,并且仅有一个 D .函数f (x )在(2014,2015)内可能存在零点 6.已知x 0是函数()1 21x f x x =+-的一个零点.若()101,x x ∈,()20,x x ∈+∞, 则( ) A .f (x 1)<0,f (x 2)<0 B .f (x 1)<0,f (x 2)>0 C .f (x 1)>0,f (x 2)<0 D .f (x 1)>0,f (x 2)>0 7.二次函数f (x )=ax 2+bx +c (x ∈R)的部分对应值如下表: A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞) 8.某研究小组在一项实验中获得一组关系y 、t 之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中,最能近似刻画y 与t 之间关系( ) A .y =2t B .y =2t 2 C .y =t 3 D .y =log 2t 9.某厂原来月产量为a ,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b ,则( ) A .a >b B .a <b C .a =b D .无法判断 第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点 xy f(x)(x D)f(x)0y f(x)(x D)1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 xy f(x)f(x)0y f(x)2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 x f(x)0y f(x)y f(x)即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法: f(x)01 (代数法)求方程的实数根;○y f(x)2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找○出零点. 4、基本初等函数的零点: y kx(k0)①正比例函数仅有一个零点。 k(k0)y没有零点。②反比例函数xy kx b(k0)③一次函数仅有一个零点。 2y ax bx c(a0)④二次函 数. 2xax bx c0(a0)(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2x ax bx c0(a0)(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 2xax bx c0(a0)(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. xy a(a0,且a1)⑤指数函数没有零点。 y logx(a0,且a1)⑥对数函数仅有一个零点1. a n0n0y x⑦幂函数,当时,仅有一个零点0,当时,没有零点。fxfx05、非基本初等函数(不可 直接求出零点的较复杂的函数),函数先把转化成,再把复杂的函数y,yfx拆分成两个我们常见的函数(基本初等函数),这另个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。 12fafb0a,b6、选择题判断区间上是否含有零点,只需满足。fafb0a,bfx7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间上连续,且a,b②在区间上单调。 8、函数零点的性质: f(x)0从“数”的角度看:即是使的实数; xf(x)从“形”的角度看:即是函数的图象与轴交点的横坐标; xx xxf(x)若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点;00xx xxf(x)若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点. 009、二分法的定义 y f(x)f(x)f(a)f(b)0[ab]对于在区间,上连续不断,且满足的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(x)10、给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤: f(a)f(b)[ab]0(1)确定区间,,验证,给定精度; x(ab)(2)求区间,的中点; 1f(x)(3)计算: 1f(x)x0①若=,则就是函数的零点;11xf(x)x(a,x)f(a)0b②若<,则令=(此时零点); 1101xf(x)x(x,b)f(b)|a b|0a③若<,则令=(此时零点);(4)判断是否达到精度;即若,则得到1110a b 零点值(或);否则重复步骤(2)~(4). 1 数学必修二第三章综合检测题 一、选择题 1.若直线过点(1,2),(4,2+3)则此直线的倾斜角是( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 2.若三点A (3,1),B (-2, b ),C (8,11)在同一直线上,则实数b 等于( ) A .2 B .3 C .9 D .-9 3.过点(1,2),且倾斜角为30°的直线方程是( ) A .y +2=33(x +1) B .y -2=3(x -1) C.3x -3y +6-3=0 D.3x -y +2-3=0 4.直线3x -2y +5=0与直线x +3y +10=0的位置关系是( ) A .相交 B .平行 C .重合 D .异面 5.直线mx -y +2m +1=0经过一定点,则该定点的坐标为( ) A .(-2,1) B .(2,1) C .(1,-2) D .(1,2) 6.已知ab <0,bc <0,则直线ax +by +c =0通过( ) A .第一、二、三象限 B .第一、二、四象限 C .第一、三、四象限 D .第二、三、四象限 7.点P (2,5)到直线y =-3x 的距离d 等于( ) A .0 B.23+52 C.-23+52 D.-23-52 8.与直线y =-2x +3平行,且与直线y =3x +4交于x 轴上的同一点的直线方程是( ) A .y =-2x +4 B .y =12x +4 C .y =-2x -83 D .y =12x -83 9.两条直线y =ax -2与y =(a +2)x +1互相垂直,则a 等于( ) A .2 B .1 C .0 D .-1 10.已知等腰直角三角形ABC 的斜边所在的直线是3x -y +2=0,直角顶点是C (3,-2),则两条直角边AC ,BC 的方程是( ) A .3x -y +5=0,x +2y -7=0 B .2x +y -4=0,x -2y -7=0 C .2x -y +4=0,2x +y -7=0 教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版) 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 升混合溶液后又用水填满,这样继1升酒精的容器里倒出1升后用水加满,再倒出11. 从盛满20(A) 章末检测题第三章) (续进行,若倒第k(k≥1)次倒出酒精f(k)升,则f(k)的表达式为.) 60分12小题,每小题5分,共一、选择题(本大题共k1919k-1k1 =+ D.f(k)(C.f(k)=) A.f(k)=k B.f(k)=1x-20202020) ,则函数g(x)=4f(x)-x的零点是(f(x)1. 若函数=x某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在12. 11 D. B.2 C.- A.-2元,就元奖励券;满200),就送20店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计22040元奖励券;……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 300元,就送60送40元奖励券;满) x2. 方程-1=lgx必有一个根的区间是( ) 元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠(0.5) D.(0.4,,,0.3) C.(0.30.4) A.(0.1,0.2) B.(0.2 元 D.17 580 C.17 500B.17 540元元A.17 000元,f(b)<0a1时,恰有一实根. x) (2=函数6. f(x)ex+-的零点所在的一个区间是其中,正确的有________(把正确的序号都填上). 2) , C.(01) , D.(1 0) 1B.( 1) 2A.(-,--,2|-a的零点个数为3-x,则a=________. |4x16. 若函数f(x)=3) 新人教版高中数学必修三教案(全册)第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。直接计算 第一步:取错误!未找到引用源。=5; 第二步:计算错误!未找到引用源。; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误! 未找到引用源。或错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 的方程组; 第三步:解出错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程 序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 四、知识应用 例5:(课本第3页例1)(难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数错误!未找到引 用源。是否为质数的基本方法) 练习1:(课本第4页练习2)任意给定一个大于1的正整数错误!未找到引用源。,设计一个算法求出错误!未找到引用源。的所有因数. 解:根据因数的定义,可设计出下面的一个算法: 第一步:输入大于1的正整数错误!未找到引用源。 . 第三章 直线与方程 A 组 一、选择题 1.若直线x =1的倾斜角为 α,则 α( ). A .等于0 B .等于π C .等于 2 π D .不存在 2.图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( ). A .k 1<k 2<k 3 B .k 3<k 1<k 2 C .k 3<k 2<k 1 D .k 1<k 3<k 2 3.已知直线l 1经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线l 2经过两点(2,1)、(x ,6),且l 1∥l 2,则x =( ). A .2 B .-2 C .4 D .1 4.已知直线l 与过点M (-3,2),N (2,-3)的直线垂直,则直线l 的倾斜角是( ). A . 3 π B . 3 2π C . 4 π D . 4 3π 5.如果AC <0,且BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( ). A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.设A ,B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2,且|PA |=|PB |,若直线P A 的方程为x -y +1=0,则直线PB 的方程是( ). A .x +y -5=0 B .2x -y -1=0 C .2y -x -4=0 D .2x +y -7=0 7.过两直线l 1:x -3y +4=0和l 2:2x +y +5=0的交点和原点的直线方程为( ). A .19x -9y =0 B .9x +19y =0 C .19x -3y = 0 D .3x +19y =0 8.直线l 1:x +a 2 y +6=0和直线l 2 : (a -2)x +3ay +2a =0没有公共点,则a 的值 (第2题) 人教版A版高中数学必修3全套教案 第一章算法初步 一、课标要求: 1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句,通过阅读中国古代教学中的算法案例,体会中国古代数学世界数学发展的贡献。 2、算法就是解决问题的步骤,算法也是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的基础,利用计算机解决问需要算法,在日常生活中做任何事情也都有算法,当然我们更关心的是计算机的算法,计算机可以解决多类信息处理问题,但人们必须事先用计算机熟悉的语言,也就是计算能够理解的语言(即程序设计语言)来详细描述解决问题的步骤,即首先设计程序,对稍复杂一些的问题,直接写出解决该问题的程序是困难的,因此,我们要首先研究解决问题的算法,再把算法转化为程序,所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。 3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析(如二元一次方程组的求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。进一步体会算法的基本思想。 4、本章的重点是体会算法的思想,了解算法的含义,通过模仿、操作、探索,经过通过设计程序框图解决问题的过程。点是在具体问题的解决过程中,理解三种基本逻辑结构,经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本的算法语句。 二、编写意图与特色: 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。 1、结合熟悉的算法,把握算法的基本思想,学会用自然语言来描述算法。 2、通过模仿、操作和探索,经历设计程序流程图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 3、通过实际问题的学习,了解构造算法的基本程序。 4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会算法的基本思想。 5、需要注意的问题 1) 从熟知的问题出发,体会算法的程序化思想,而不是简单呈现一些算法。 2) 变量和赋值是算法学习的重点之一,因为设置恰当的变量,学习给变量赋值,是构 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1.1 算法的概念(第1课时) (3) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解: 算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2 可以运用公式1+2+3+…+n =2 ) 1(+n n 直接计算 第一步:取n =5; 第二步:计算 2 ) 1(+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性) 例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 第一步:根据题意,选择标准方程或一般方程; 第二步:根据条件列出关于a ,b ,r 或D ,E ,F 的方程组; 第三步:解出a ,b ,r 或D ,E ,F ,代入标准方程或一般方程. 三、算法的概念 通过对以上几个问题的分析,我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤,通过实施这些步骤来解决问题,通常把这些 在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序 或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成 . 高中数学必修二第三章知识点总结 一、直线与方程 1.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180° 2.直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[) 90,0∈α时,0≥k ; 当() 180 ,90∈α时,0 第一章算法初步 1.1.1算法的概念 一、教学目标: 1、知识与技能:(1)了解算法的含义,体会算法的思想。(2)能够用自然语言叙述算法。(3)掌握正确的算法应满足的要求。(4)会写出解线性方程(组)的算法。(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。(6)会应用Scilab求解方程组。 2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点: 重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点:把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具: 学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……),并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。 教学用具:电脑,计算器,图形计算器 四、教学设想: 1、创设情境: 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。因此,算法其实是重要的数学对象。 2、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。 (教师独具内容) 课程标准:1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中,能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型,解决简单的实际问题,体会这些函数在解决实际问题中的作用. 教学重点:用函数模型来解决实际问题. 教学难点:建立函数模型. 【知识导学】 知识点用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题:□01弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,用函数刻画实际问题,初步选择模型. (2)建模:□02将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:□03求解数学模型,得到数学结论. (4)还原:□04利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中. 可将这些步骤用框图表示如下: 【新知拓展】 常见的函数模型 (1)一次函数模型:即直线模型,其特点是随着自变量的增大,函数值匀速增大或减小.现实生活中很多事例可以用该模型来表示,例如:匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长量与拉力的关系等. (2)二次函数模型:二次函数为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故最优、最省等问题常常是二次函数的模型. (3)分段函数模型:由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用. 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在用函数模型解决实际问题时,得到的数学问题的解就是实际问题的解.( ) (2)现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述,如出租车计费,个人所得税等.( ) (3)一根蜡烛长20 cm ,点燃后每小时燃烧5 cm ,燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)某人从A 地出发,开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B 地,在B 地停留2小时,则汽车离开A 地的距离y (单位:千米)是时间t (单位:小时)的函数,该函数的解析式是________. (2)有200 m 长的篱笆材料,如果利用已有的一面墙(假设长度够用)作为一边,围成一块矩形菜地,那么矩形的长为________ m ,宽为________ m 时,这块菜地的面积最大. 答案 (1)y =??? 80t ,0≤t ≤2,160,2 高中数学必修2第三章测试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若直线过点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是 ( ) A 30° B 45° C 60° D 90° 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23 D 、32 3.点P (-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为( ) (A )2 (B )21 (C )1 (D )2 7 4. 点M(4,m )关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9), 则( ) A m =-3,n =10B m =3,n =10C m =-3,n =5 D m =3,n =5 5.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程 是( ) A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点M(2,1)的直线与X轴,Y轴分别交于P,Q两点,且|M P|=|MQ|, 则L的方程是( ) A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是 A (-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 (A )平行 (B )垂直 (C )相交但不垂直 (D )不 能确定 9. 已知变量x y ,满足约束条件20170x y x x y -+????+-?≤,≥, ≤,则y x 的取值范围是( ) A .965?????? , B .[)965??-∞+∞ ???U ,, C .(][)36-∞+∞U ,, D .[36], 10.已知A (1,2)、B (-1,4)、C (5,2),则ΔABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为( ) (A )x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分) 11.已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程 为 . 12.过点P(1,2)且在X轴,Y轴上截距相等的直线方程 是 . 13.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离 是 . 14.原点O在直线L上的射影为点H(-2,1),则直线L的方程人教版高中数学必修三全册教案
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