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同济五版高数课后答案第一章

习题1?1

1. 设A =(?∞, ?5)∪(5, +∞), B =[?10, 3), 写出A ∪B , A ∩B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ∪B =(?∞, 3)∪(5, +∞), A ∩B =[?10, ?5),

A \

B =(?∞, ?10)∪(5, +∞), A \(A \B )=[?10, ?5).

2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ∩B )C =A C ∪B C

. 证明因为

x ∈(A ∩B )C ?x ?A ∩B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ∪B C

, 所以 (A ∩B )C =A C ∪B C

3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ∪B )=f (A )∪f (B ); (2)f (A ∩B )?f (A )∩f (B ). 证明因为

y ∈f (A ∪B )??x ∈A ∪B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )

? y ∈ f (A )∪f (B ),

所以 f (A ∪B )=f (A )∪f (B ). (2)因为

y ∈f (A ∩B )? ?x ∈A ∩B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )∩f (B ), 所以 f (A ∩B )?f (A )∩f (B ).

4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使, , 其中I X Ifg = Y Igf = X

、I Y

分别是X 、Y 上的恒等

映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X

x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y

y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆

映射: g =f ?1

证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y

y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元

素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.

又因为对于任意的x 1

≠x 2

, 必有f (x 1

)≠f (x 2

), 否则若f (x 1

)=f (x 2

) ?g [ f (x 1

)]=g [f (x 2

)] ? x 1

=x 2

因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.

对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y

y =y , 按逆映射的定

义, g 是f 的逆映射.

5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f ?1

(f (A ))?A ;

(2)当f 是单射时, 有f ?1

(f (A ))=A .

证明 (1)因为x ∈A ? f (x )=y ∈f (A ) ? f ?1(y )=x ∈f ?1

(f (A )), 所以 f ?1

(f (A ))?A . (2)由(1)知f ?1(f (A ))?A .

另一方面, 对于任意的x ∈f ?1

(f (A ))?存在y ∈f (A ), 使f ?1

(y )=x ?f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f ?1

(f (A ))?A . 因此f ?1

(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=xy ;

解由3x +2≥0得32?>x . 函数的定义域为) ,32[∞+?. (2)211xy ?=;

解由1?x 2

≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(?∞, ?1)∪(?1, 1)∪(1, +∞). (3)211xxy ??=;

解由x ≠0且1?x 2

≥0得函数的定义域D =[?1, 0)∪(0, 1]. (4)241xy ?=;

解由4?x 2

>0得 |x |<2. 函数的定义域为(?2, 2).

(5)xy sin=;

解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1); 解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?)得函数的定义域为 12?+≠ππkx (k =0, ±1, ±2, ? ? ?). (7) y =arcsin(x ?3);

解由|x ?3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xxy 1arctan3+?=;

解由3?x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(?∞, 0)∪(0, 3). (9) y =ln(x +1);

解由x +1>0得函数的定义域D =(?1, +∞). (10)x ey 1=.

解由x ≠0得函数的定义域D =(?∞, 0)∪(0, +∞).

7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？

(1)f (x )=lg x 2

, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;

(3)334)(xxxf ?=,31)(?=xxxg . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2

x ?tan 2

x .

解 (1)不同. 因为定义域不同.

(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=?x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.

8. 设?????≥<=3|| 03|| |sin|)(ππ?xxxx , 求)6(π?, )4(π?, )4(π??, ?(?2), 并作出函数y =?(x )的图形.

解21|6sin|)6(==ππ?, 22|4sin|)4(==ππ?, 22|)4sin(|)4(=?=?ππ?, 0)2(=??. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xxy ?=1, (?∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).

证明 (1)对于任意的x 1

, x 2

∈(?∞, 1), 有1?x 1

>0, 1?x 2

>0. 因为当x 1

时,

0)1)(1(112121221121

所以函数xxy ?=1在区间(?∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1

, x 2

∈(0, +∞), 当x 1

时, 有

0ln)()ln()ln(2121221121<+?=+?+=?xxxxxxxxyy ,

所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.

10. 设f (x )为定义在(?l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(?l , 0)内也单调增加.

证明对于?x 1

, x 2

∈(?l , 0)且x 1

, 有?x 1

, ?x 2

∈(0, l )且?x 1

>?x 2

因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以

f (?x 2

)

), ? f (x 2

)

), f (x 2

)>f (x 1

这就证明了对于?x 1

, x 2

∈(?l , 0), 有f (x 1

)< f (x 2

), 所以f (x )在(?l , 0)内也单调增加.

11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l , l )上的, 证明:

(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;

(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (?x )=f (?x )+g (?x )=f (x )+g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (?x )=f (?x )+g (?x )=?f (x )?g (x )=?F (x ),

所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )?g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (?x )=f (?x )?g (?x )=f (x )?g (x )=F (x ),

所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则

F (?x )=f (?x )?g (?x )=[?f (x )][?g (x )]=f (x )?g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则

F (?x )=f (?x )?g (?x )=f (x )[?g (x )]=?f (x )?g (x )=?F (x ),

所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2

(1?x 2

); (2)y =3x 2

?x 3; (3)2211xxy +?=; (4)y =x (x ?1)(x +1); (5)y =sin x ?cos x +1; (6)2xx aay ?+=.

解 (1)因为f (?x )=(?x )2

[1?(?x )2

]=x 2

(1?x 2

)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (?x )=3(?x )2

?(?x )3

=3x 2

+x 3

可见f (x )既非奇函数又非偶函数.

(3)因为())(111)(1)(2222xfxxxxxf =+?=?+??=?, 所以f (x )是偶函数.

(4)因为f (?x )=(?x )(?x ?1)(?x +1)=?x (x +1)(x ?1)=?f (x ), 所以f (x )是奇函数.

(5)由f (?x )=sin(?x )?cos(?x )+1=?sin x ?cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(xfaaaaxf xxxx =+=+=?????, 所以f (x )是偶函数.

13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x ?2); (2)y =cos 4x ; (3)y =1+sin πx ; (4)y =x cos x ; (5)y =sin 2

x .

解 (1)是周期函数, 周期为l =2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l . (3)是周期函数, 周期为l =2. (4)不是周期函数.

(5)是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=xy ; (2)xxy +?=11;

(3)dcxbaxy ++=(ad ?bc ≠0); (4) y =2sin3x ; (5) y =1+ln(x +2); (6)122+=xx y .

解 (1)由31+=xy 得x =y 3

?1, 所以31+=xy 的反函数为y =x 3

?1.

(2)由xxy +?=11得yyx +?=11, 所以xxy +?=11的反函数为xxy +?=11.

(3)由dcxbaxy ++=得acybdyx ?+?=, 所以dcxbaxy ++=的反函数为acxbdxy ?+?=. (4)由y =2sin 3x 得2arcsin31yx =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin31xy =. (5)由y =1+ln(x +2)得x =e y ?1

?2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x ?1

?2.

(6)由122+=xx y 得yyx ?=1log 2, 所以122+=xx y 的反函数为xxy ?=1log 2.

15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.

证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即?M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M .

再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1

和上界K 2

, 即K 1

≤f (x )≤ K 2

. 取M =max{|K 1

|, |K 2

|}, 则

?M ≤ K 1

≤f (x )≤ K 2

≤M ,

即 |f (x )|≤M .

这就证明了f (x )在X 上有界.

16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1

和x 2

的函数值:

(1) y =u 2

, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; (2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)uy =, u =1+x 2

, x 1

=1, x 2

= 2;

(4) y =e u , u =x 2

, x 1

=0, x 2

=1;

(5) y =u 2 , u =e x

, x 1

=1, x 2

=?1.

解 (1)y =sin 2

x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2)y =sin2x , 224sin)82sin(1==?=ππy ,12sin)42sin(2==?=ππy . (3)21xy +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4), , . 2x ey =1201==eyeey ==212 (5)y =e 2x

, y 1

=e 2?1

=e 2

, y 2

2?(?1)

=e ?2

17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2

);

(2) f (sin x );

(3) f (x +a )(a >0);

(4)f (x +a )+f (x ?a )(a >0).

解 (1)由0≤x 2

≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2

)的定义域为[?1, 1].

(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2? ? ?), 所以函数f (sin x )的定义域为

[2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2? ? ?) .

(3)由0≤x +a ≤1得?a ≤x ≤1?a , 所以函数f (x +a )的定义域为[?a , 1?a ]. (4)由0≤x +a ≤1且0≤x ?a ≤1得: 当210≤a 时, 无解. 因此当210≤a 时函数无意义.

18. 设?????>?=<=1|| 11|| 01|| 1)(xxxxf , g (x )=e x

, 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.

解?????>?=<=1|| 11|| 01|| 1)]([xxx eeexgf , 即?????>?=<=0 10 00 1)]([xxxxgf . , 即()?????>=<==?1|| 1|| e1|| ][101)(xexxeexfg xf ()?????>=<=?1|| 1|| 11|| ][1xexxexfg . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?=40°(图1?37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0

时, 求湿周L (L=AC+CD+DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域.

图1?37

解40sin hDCAb ==, 又从0)]40cot2([21ShBCBCh =?++ 得hhSBC ??= 40cot 0, 所以

hhSL 40sin40cos20?+=.

自变量h 的取值范围应由不等式组

h >0, 040cot 0>??hhS

确定, 定义域为 40cot00Sh <<.

20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.

令0. 01(x 0

?100)=90?75, 得x 0

=1600. 因此当x ≥1600时, p =75.

当100

p =90?(x ?100)×0. 01=91?0. 01x . 综合上述结果得到

. ?????≥<

(2). ?????≥<

(3) P=31×1000?0. 01×10002

(1)nn x 21=; (2)nx nn 1)1(?=; (3)212nx n +=; (4)11+?=nnx n ; (5) x n

=n (?1)n

解 (1)当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim=∞→nn . (2)当n →∞时, nx nn 1)1(?=→0, 01)1(lim=?∞→n nn . (3)当n →∞时, 212nx n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n .

(4)当n →∞时, 12111+?=+?=nnnx n →0, 111lim=+?∞→nn n . (5)当n →∞时, x n

=n (?1)n

没有极限.

2. 设数列{x n

}的一般项nnx n 2cosπ=. 问=? 求出N , 使当n >N 时, x nn x ∞→lim n

与其极限之差的绝

对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 . 0lim=∞→nn x

nnnx n 1|2cos||0|≤=?π. ?ε >0, 要使|x n

?0|<ε , 只要εn . 取]1[ε=N ,

则?n >N , 有|x n

?0|<ε .

当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim 2=∞→n n ;

(2)231213lim=++∞→nn n ;

(3)1lim22=+∞→nan n

(4). 19 999.0lim=???∞→ 个nn

(1)分析要使ε<=?221|01|nn, 只须ε12>n, 即ε1>n.

证明因为?ε>0, ?]1[ε=N, 当n>N时, 有ε

(2)分析要使ε<<+=?++nnnn41)12(21|231213|, 只须εn.

证明因为?ε>0, ?]41[ε=N, 当n>N时, 有ε

(3)分析要使ε<<++=?+=?+nanannannannan22222222)(|1|, 只须ε2an>.

证明因为?ε>0, ?][2εaN=, 当?n>N时, 有εn.

证明因为?ε>0, ?]1lg1[ε+=N, 当?n>N时, 有|0.99 ???9?1|<ε , 所以. 19 999.0lim=???∞→ n

4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xau nn=∞→lim||||lim au nn=∞→

n |}有极限, 但数列{x

}未必有极

限.

证明因为, 所以?ε>0, ?N∈N, 当n>N时, 有, 从而au nn=∞→limε

||u

n |?|a||≤|u

?a|<ε .

这就证明了|. |||lim au nn=∞→

数列{|x

n |}有极限, 但数列{x

}未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim=?∞→nnnn)1(lim?∞→

5. 设数列{x

}有界, 又, 证明: . 0lim=∞→nn y0lim=∞→nnn yx

证明因为数列{x

n }有界, 所以存在M, 使?n∈Z, 有|x

|≤M.

又, 所以?ε>0, ?N∈N, 当n>N时, 有0lim=∞→nn y My nε<||. 从而当n>N时, 有

εε=?<≤=?MMyMyxyx nnnnn |||||0|,

(2); 12)25(lim2=+→x x

(3)424lim22?=+??→xx x;

(4)21241lim321=+??→xx x.

证明(1)分析|(3x?1)?8|=|3x?9|=3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|<ε , 只须ε31|3|

证明因为?ε >0, ?εδ31=, 当0<|x?3|<δ时, 有|(3x?1)?8|<ε , 所以. 8)13(lim3=?→x x

(2)分析|(5x+2)?12|=|5x?10|=5|x?2|, 要使|(5x+2)?12|<ε , 只须ε51|2|

证明因为?ε >0, ?εδ51=, 当0<|x?2|<δ时, 有|(5x+2)?12|<ε , 所以. 12)25(lim2=+→x x (3)分析|)2(||2|244)4(2422??=+=+++=??+?xxxxxxx, 要使ε0, ?εδ=, 当0<|x?(?2)|<δ时, 有ε

(4)分析|)21(|2|221|212413??=??=?+?xxxx, 要使ε

证明因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ

21241lim321=+??→xx x.

2. 根据函数极限的定义证明:

(1)2121lim33=+∞→xx x;

(2)0sinlim=+∞→xx x.

证明(1)分析333333||21212121xxxxxx=?+=?+, 要使εx.

证明因为?ε >0, ?321ε=X, 当|x|>X时, 有ε

(2)分析xxxxx1|sin|0sin≤=?, 要使εx.

证明因为?ε>0, ?21ε=X, 当x>X时, 有ε

3. 当x→2时, y=x 2

→4. 问δ等于多少, 使当|x?2|<δ时, |y?4|<0. 001？

解由于x→2, |x?2|→0, 不妨设|x?2|<1, 即1

?4|=|x+2||x?2|<5|x?2|<0. 001, 只要

0002.05001.0|2|=

4. 当x→∞时, 13122→+?=xxy, 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y?1|<0.01?

解要使01.034131222<+=?+?xxx, 只397301.04||=?>x, 397=X.

5. 证明函数f(x)=|x| 当x→0时极限为零.

6. 求,)(xxxf= xxx||)(=?当x→0时的左﹑右极限, 并说明它们在x→0时的极限是否存在. 证明因为

11limlim)(lim000===???→→→xxx xxxf,

11limlim)(lim000===+++→→→xxx xxxf,

, )(lim)(lim00xfxf xx+→→=?

所以极限存在. )(lim0xf x→

因为

1lim||lim)(lim000?=?==???→→→xxxxx xxx?,

1lim||lim)(lim000===+++→→→xxxxx xxx?,

, )(lim)(lim00xx xx??+→→≠?

所以极限不存在. )(lim0x x?→

7. 证明: 若x→+∞及x→?∞时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则. Axf x=∞→)(lim

证明因为, , 所以?ε>0, Axf x =?∞→)(lim Axf x =+∞→)(lim ?X 1

}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )?A |<ε , 即. Axf x =∞→)(lim

8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0

时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自

存在并且相等.

证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0

), 则?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x ?x 0

9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.

解x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ?X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )?A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )?A +A |≤|f (x )?A |+|A |<1+|A |.

这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|

习题1?4

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如, 当x→0时, α(x)=2x, β(x)=3x都是无穷小, 但32)()(lim0=→xx xβα, )()(xxβα不是无穷小.

2. 根据定义证明:

(1)392+?=xxy当x→3时为无穷小;

(2)xxy1sin=当x→0时为无穷小.

证明(1)当x≠3时|3|39||2?=+?=xxxy. 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x?3|<δ时, 有

εδ=

所以当x→3时392+?=xxy为无穷小.

(2)当x≠0时|0||1sin|||||?≤=xxxy. 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x?0|<δ时, 有

εδ=

所以当x→0时xxy1sin=为无穷小.

3. 根据定义证明: 函数xxy21+=为当x→0时的无穷大. 问x应满足什么条件, 能使|y|>104？

证明分析2||11221||?≥+=+=xxxxy, 要使|y|>M, 只须Mx>?2||1, 即21||+0, ?21+=Mδ, 使当0<|x?0|<δ时, 有Mxx>+21,

所以当x→0时, 函数xxy21+=是无穷大.

取M=104

, 则21014+=δ. 当2101|0|04+10

4. 求下列极限并说明理由:

(1)xx n12lim+∞→;

(2)xx x??→11lim20.

解 (1)因为xxx 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim=+∞→xx n . (2)因为xxx +=??1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=??→xx x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:

6. 函数y =x cos x 在(?∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(?∞, +∞)内无界.

这是因为?M >0, 在(?∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如

y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .

当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.

这是因为?M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如

0)22cos()22()22(=++=+ππππππkkky (k =0, 1, 2, ? ? ?),

对任何大的N , 当k 充分大时, 总有Nkx >+=22ππ, 但|y (x )|=0

7. 证明: 函数xxy 1sin1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+

时的无穷大. 证明函数xxy 1sin1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ?M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k

, 使y (x k

)>M . 例如当

221ππ+=kx k (k =0, 1, 2, ? ? ?)

时, 函数xxy 1sin1=不是无穷大. 这是因为

?M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k

, 使0

<δ, 但y (x k

)

πkx k 21=(k =0, 1, 2, ? ? ?),

解9325235lim222?=?+=?+→xx x.

(2)13lim223+?→xx x;

解01)3(3)3(13lim22223=+?=+?→xx x.

(3)112lim221?+?→xxx x;

解02011lim)1)(1()1(lim112lim121221==+?=+??=?+?→→→xxxxxxxx xxx.

(4)xxxxx x2324lim2230++?→;

解2123124lim2324lim202230=++?=++?→→xxxxxxxx xx.

(5)hxhx h220)(lim?+→;

解xhxhxhhxxhxhx hhh2)2(lim2lim)(lim02220220=+=?++=?+→→→. (6))112(lim2xx x+?∞→;

解21lim1lim2)112(lim22=+?=+?∞→∞→∞→xxxx xxx.

(7)121lim22???∞→xxx x;

解2111211lim121lim2222=???=???∞→∞→xxxxxx xx.

(8)13lim242??+∞→xxxx x;

解013lim242=??+∞→xxxx x(分子次数低于分母次数, 极限为零)

或012111lim13lim4232242=??+=??+∞→∞→xxxxxxxx xx.

(9)4586lim224+?+?→xxxx x;

解32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim44224=??=??=????=+?+?→→→xxxxxxxxxx xxx. (10))12)(11(lim2xx x?+∞→;

解221)12(lim)11(lim)12)(11(lim22=×=??+=?+∞→∞→∞→xxxx xxx.

(11))21 41211(lim nn+???+++∞→;

解2211)21(1lim)21 41211(lim1=??=+???++++∞→∞→nnnn.

(12)2)1( 321lim nn n?+???+++∞→;

解211lim212)1(lim)1( 321lim22=?=?=?+???+++∞→∞→∞→nnnnnnn nnn.

(13)35)3)(2)(1(lim nnnn n+++∞→;

解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→nnnn n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).

或51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→nnnnnnn nn.

(14))1311(lim31xx x???→;

解

112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122131?=+++?=++?+??=++??++=???→→→→xxxxxx xxxxxxxxx xxxx.

2. 计算下列极限:

(1)2232)2(2lim?+→xxx x;

解因为01602)2(lim2322==+?→xxx x, 所以∞=?+→2232)2(2lim xxx x.

(2)12lim 2+∞→xx x ;

解 ∞=+∞→12lim 2xx x (因为分子次数高于分母次数). (3). )12(lim 3+?∞→xx x

解 (因为分子次数高于分母次数). ∞=+?∞→)12(lim 3xx x 3. 计算下列极限: (1)xx x 1sinlim 20→;

解 01sinlim 20=→xx x (当x →0时, x 2

是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).

(2)xx x arctanlim ∞→.

解 0arctan1limarctanlim=?=∞→∞→xxxx xx (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).

习题1?6

1. 计算下列极限:

(1)xx xωsinlim0→;

解ωωωωω==→→xxxx xx sinlimsinlim00.

(2)xx x3tanlim0→;

解33cos133sinlim33tanlim00=?=→→xxxxx xx.

(3)xx x5sin2sinlim0→;

解52525sin522sinlim5sin2sinlim00=??=→→xxxxxx xx.

(4); xx x cotlim0→

解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=?=?=→→→→xxxxxxxx xxxx.

(5)xxx x sin2cos1lim0?→;

解法一()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200===?=?→→→→xxxxxxxxx xxxx. 解法二2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200===?→→→xxxxxxxx xxx.

(6)nnn x2sin2lim∞→(x为不等于零的常数).

解xxxxx nnnnnn=?=∞→∞→22sinlim2sin2lim.

2. 计算下列极限:

(1)xx x10)1(lim?→;

解{}11)(10)1()(1010)](1[lim)](1[lim)1(lim???→??→→=?+=?+=?exxx xxxxxx.

(2)xx x10)21(lim+→;

解[]22210221010)21(lim)21(lim)21(lim exxx xxxxxx=+=+=+→?→→.

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来：（1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生；（3）三个事件都不发生；（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生；（6）三个事件恰有二个不发生；（7）三个事件至多有二个发生；（8）三个事件中不少于一个发生。解（1）ABC ；（2）ABC ：（3）ABC （4）A B C U U ；（5）AB BC AC U U ；（6）ABC ABC ABC U U ；（7）ABC ；（8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有一个发生的概率．解设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )．又因为

高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)：从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)：从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被枳函数. / U, y) = 1 , 故山二 t 积分定义得n "

9 6 一、《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用高等数学（1）期末复习要求第一章函数、极限与连续函数概念

理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点

的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。理解导数概念；了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。掌握隐函数的求一阶导及二阶导。会求参数表示的函数的一阶导及二阶导会用对数求导法：解决幂指函数的求

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。故选：D。点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。故选：B。点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。故选：C。点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学同济课后答案

总习题一 1、在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、设

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数在连续第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限左极限：右极限：

2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)

c)（） d)（） e) 二、导数与微分（一）导数 1、定义：左导数：右导数：函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数

1）定义： 2）公式：（二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）；则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）；则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3）则（二）洛必达法则

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t ]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t ). 如果旋转是匀速的, 那么称t θω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=) ()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 000000t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T (t ), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解物体在时间间隔[t 0, t 0+?t ]内, 温度的改变量为 ?T =T (t +?t )-T (t ), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??) ()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )() ()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f (x )元, 此函数f (x )称为成本函数, 成本函数f (x )的导数f '(x )在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x )的实际意义. 解 f (x +?x )-f (x )表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0表示当产量为x 时单位产量的成本. 4. 设f (x )=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200)1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x .

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为

0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

第一章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限了解两个重要极限，会用两个重要极

限求函数极限。 9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。理解导数概念；了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。第一章习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界）又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少）由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b +=，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(21+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+= +=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ）书后部分习题解答2 P36页 8.已知当0→x 时，1cos ~1)1(3 12--+x ax ，求常数a .

高数第五版答案(同济)12-9

习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0,

其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得

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