极坐标及参数方程导学案

第一部分 坐标系导学案

一、坐标系的有关概念

1．平面直角坐标系： 2．空间直角坐标系：

3．极坐标系：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和一个角度单位及其正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）

如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。其中ρ称为 ，θ称为 .

二、极坐标方程与直角坐标互化

以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则

x =

2ρ=

y = tan θ=

练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：

()5,π= ； 34,2

π??

-

??

?

= ； 34π??

-

??

?

= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标： ()0,5= ； (4,-= ； ()

= .

三、简单曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且直线与极轴所成的角为α，则它的方程为： .

注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： （2）直线过点M （a ,0）（a>0）,且垂直于极轴 方程： （3）直线过(,)2

M b π且平行于极轴方程： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：

π

②经过点2,

4A π??

??

?

，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π??

-

??

?

，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为

34

π

的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： 注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于(,0)M r （3）当圆心位于(,

)2

M r π

练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ① 以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,

2B π??

??

?

为圆心，4为半径的圆； ② 以()5,C π为圆心，且过极点的圆； ④以4D π?

??

为圆心，1为半径的圆. 考点1 极坐标与直角坐标互化

例1 在极坐标中，求两点)4

,2(),4,2(π

π

-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.

练习1 已知圆C ：22(1)(1x y ++=，则圆心C 的极坐标为___ (0,0

2)ρθπ>≤<

练习2 在极坐标中，求两点间的距离： （1）A(5,35)o

，B(12,215)o

（2）A(3,

)12

π

，5B(8,

)12

π

练习3 （1）在极坐标中，点P(,)ρθ关于极轴的对称点的坐标为 ； （2）在极坐标中，求点M(5,

)6

π

关于直线4

π

θ=

的对称点的坐标为 .

考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化

例2 已知曲线C 的极坐标方程是4sin ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的方程是40x y --=，点P 是曲线C 上的动点，点Q 是直线l 上的动点，求PQ 的最小值．

练习1 在极坐标系中，圆ρ=cos θ与直线ρcos θ=1的位置关系是 ．

练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()

6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 ___ ．

练习3

在极坐标系中，过点4π??

??

?

作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是

练习 4 设过原点O 的直线与圆C ：22(1)1x y -+=的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点. ⑴求圆C 的极坐标方程；⑵求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

第二部分 参数方程

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()

()

x f t y f t =??=?，该方程叫曲线C 的参数方程，变量

t 是参变数，简称参数.

2．参数方程与普通方程的互化 （1）参数方程化为普通方程

常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

①cos sin x a y b ??=??=?

（?为参数）；

②00(x x at

t y y bt

=+??

=+?为参数）；

③2

sin cos x y θ

θ=??=?

[0,2)θπ∈； ④1

()21()2a x t t b y t t

?=+????=-??

（t 为参数）； ⑤cos sin x a r y b r ?

?=+??=+?

（?为参数）.

注：参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！ （2）普通方程化为参数方程

①经过点P 00()x y α，倾斜角为的参数方程；②圆222()()x a y b r -+-=的参数方程；

③椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的参数方程；④抛物线2

2(0)y px p =>的参数方程.

注：普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

例 3 已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ

θ

sin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为

θθρsin 6cos 2+=．

（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

练习1 P 是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M 是PQ 中点，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程.

练习2 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

213

x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．

考点4 利用参数方程求值域 例 4 在曲线1C ：

??

?=+=）y x 为参数θθ

θ

(sin cos 1上求一点，使它到直线2C

：12

(112

x t t y t

?

=-????=-??为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.

练习 1 在平面直角坐标系xOy 中，动圆222

8cos

6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范围.

练习2 已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是??

???=+-=,54253t

y t x （t 为参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.

考点5 直线参数方程中的参数的几何意义 例5 已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=.

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

练习1 求直线415

315x t y t

?=+????=--??

（为参数t

）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.

练习2 已知直线).3

cos(2.32),2,1(πθρπ+=-圆方程的直线倾斜角为

是过点P l （1）求直线l 的参数方程；

（2）设直线l 与圆相交于M 、N 两点，求PM·PN 的值.

3.

过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求PM PN ?的最小值及相应的α的值．

渐开线与摆线 编号：8.3

学习目标：

理解渐开线与摆线含义，及其应用。 一．重难点：

理解渐开线与摆线含义，及其应用。 二．学习过程： 1、渐开线

探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。

这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。 2、渐开线的参数方程

以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面 直角坐标系。

设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为（x ，y ）。 显然，点M 由角 a 唯一确定

这就是圆的参数方程。

3、摆线的定义

思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？

上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 上一个定点的轨迹是什么？

同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。

我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。 所以摆线的方程为：

(sin ),

()(1cos ).

x r y r ????=-??

=-?为参数 思考：在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？

O

A

设开始时绳子外端（笔尖）位于点A ， ?当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角的一段弧AB

，展开后成为切线，所以B ???取为参数，则点的坐标为（rcos ,rsin ）,从而(cos ,sin ),||.BM x r y r BM r ???=--

= 1(cos ,sin )e OB ??= 由于向量是与同方向的单位向量，2(sin ,cos )e BM ??=- 因而向量是与向量同方向的单位向量。

2||(),BM r e ?= 所以即||(cos ,sin )(sin ,cos )BM x r y r r ?????=--=-

(cos sin )()(sin cos )x r y r ???????=+??=-?解得 是参数。 OA

MA OA r ?=线段的长等于的长，即。

坐标系与参数方程高考题汇编

2010年1．设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，

则曲线上到直线距离为的点的个数为

A、1

B、2

C、3

D、4

2.直线与圆心为D 的圆交于A、B两点，则直线AD 与BD的倾斜角之和为

（A）

π（B）

π（C）

π（D）

π

3.已知圆C 的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆C 与直线相切。则圆C的方程为。

4．在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤θ<2π）中，曲线ρ=与的交点的极坐标为______．

5．已知圆的参数方程(为参数)，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,则直线与圆的交点的直角坐标为.

6．在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为

。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线交于点A、B，若点P 的坐标为，

求|PA|+|PB|。7．在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

8.已知直线C 1（t为参数），C 2（为参数），

（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

9．已知P为半圆C：

?

?

?

=

=

θ

θ

sin

cos

y

x

（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐

标原点，点M在射线OP上，线段OM与C 的弧的长度均为。

（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

（II）求直线AM的参数方程。

2011年1.在极坐标系中，点 (,)π

23

到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为

（A ）

（

2.在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是 A. (1,)2π B. (1,)2

π-

C. (1,0)

D. (1,)π

3.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,

1sin x y αα

=??

=+?（α为参数）在极坐标系（与直角坐标

系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10

ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 4.

已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ

θπθ?=??=??≤＜和25()4x t t R y t

?

=?∈??=?，它们的交点坐标

为 .5.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线

13cos :4sin x C y θ

θ

=+??

=+? (θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为

6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,

sin ,

x y ??=??

=?（?为参数）曲线C 2的参数方程为

cos ,

sin ,

x a y b ??=??

=?（0a b >>，?为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2

π

时，这两个交点重合. （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=

4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4

π

时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.

7.在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为

?

?

?+==αα

sin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB

8.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ??=??=?（?为参数）的右焦点且与直线423x t

y t =-??=-?

（t 为

参数）平行的直线的普通方程。

9.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C

的参数方程为x y sin α

αα

?=??=??（为参数）．

（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为

极轴）中，点P 的极坐标为（4，

2

π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

2012年1.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6

R π

θρ=

∈的距离是_____

2.直线t t y t x (12???--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3?

??==y x 为参数)的交点个数为______。

3.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为几点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l 上两

点N M ,的极坐标分别为)2,332(),0,2(π

，圆C 的参数方程θθ

θ(sin 23cos 22??

?+-=+=y x 为参数）。 （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；

（Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系。

、

4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为

1:x t C t y =?????是参数）

和2:(x C y θθθ

?=??=??是参数），它们的交点坐标为_______.

5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系. 已知射线π

4θ=与曲线2

1,(1)

x t y t =+??=-?（t 为参数） 相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 . 6. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+??

=-? (t 为参数)与曲线2C ：sin ,

3cos x a y θθ

=??=?

(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =.

7.在极坐标中，已知圆C 经过点(

)

4P π，

，圆心为直线sin 3ρθπ?

?-= ??

?与极轴的交点，求圆C 的

极坐标方程．

8.曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C

的极坐标方程为___________。

9．在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()2

2

2:-2+=4C x y

（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆

12,C C 的交点坐标（用极坐标表示）

（2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程

10直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ． 11如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6

π

α=

，

若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf . 12 已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

?

??

?==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

PA PB PC PD +++的取值范围。

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

(极坐标与参数方程)教学案( 4 )

高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________

4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标参数方程导学案(一)

极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )

【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题

极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.

（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)

高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析） 考向一：极坐标方程 极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ??? ?? x ＝□01ρcos θ，y ＝□ 02ρsin θ；? ?? ?? ρ2＝□ 03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0. 1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2 ＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是??? ? ? x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10， 求l 的斜率． 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2 ＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2 －4ρ1ρ2 ＝144cos 2 α－44. 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为 153或－153 . 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得 于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2 α－44 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153 .

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

高中数学选修44极坐标与参数方程知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

极坐标与参数方程真题

1.（2019江苏）在极坐标系中，已知两 点3, ,42A B ππ??? ????? ，直线l 的方程为sin 34 ρθπ?? += ?? ? . （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. 2．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 3．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82 x t t y =-+?? ?=??（t 为参数），曲线C 的参数方程为2 2x s y ?=??=??（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直 线l 的距离的最小值． （Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标． 4．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ? =+?? ??=??为参数， 椭圆C 的参数方程为()cos , 2sin ,x y θθθ=??=? 为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线 段AB 的长． 5．（2015江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404 π ρθ+--=，求圆C 的半径.

答案部分 1、解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3， 4π），B ，2 π ）， 由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为 34 π． 又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin( )242 ππ ?-=. 2、因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π 6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π 6 ． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA = π2 ， O l 所以π 4cos 6 AB ==l 被曲线C 截得的弦长为 3．直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l 的的距离22d = =， 当 s = min 5 d = . 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值 5 .

极坐标与参数方程习题

！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）

2017参数方程学案.doc

第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．

A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交

极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

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1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

典型极坐标参数方程练习题带答案

极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为 原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.

参数方程与极坐标(精华版)

参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X 、y 都是某个参数t 的函数, x = fit) < 即= 其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M (x, y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在(&, yo),半径等于I ?的圆: x = x Q + rcosO y = y° + rsin& (。为参数，。的几何意义为圆心角), e x- rcosO 特殊地，当圆心是原点时,｛尸“& 注意：參数方程没有JL 接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而長分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Egl ：巳知点P (x, y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求： (1) ++y2的最值；(2) x+y 的最值；(3)点P 到直线x+y-l=0的距高d 的最值。 总结：参数方程化为普通方程步骤：(1)消餐(2)求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆: QCOS& I y = b sin (&为參数，&的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角) 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点 的轨迹是椭圆，中心在(心，yo)楠圆的参数方程：｛ (1) x=2+3cos 0 (2) x=sin& (3)「 Y y=3sin& Y y=COS& V J Eg2：将下列参数方程化为普通方程 y=t 2+-?r X= x o +QCOS& y = y 0 +bsin&

极坐标与参数方程习题

、选择题1.直线y A 、 C 、极坐标与参数方程习题 2x 1的参数方程是（ 2 X t ( t为参数) y 2t2 1 爲11（t为参数） 2.已知实数x,y满足x3cosx 2 0, 8y3 A. 0 C . 3.已知M A、5, x 2t y 4t cos2y -2 1 （t为参 数） sin 2si n 笃，下列所给出的不能表示点的坐标的是 B 、 4 5込 C 5,- 3 4.极坐标系中，下列各点与点P （p, 0 ) (0^k n, 在直线 对称的是（） A. (- p,B) B. (- p, -0) C . (p, 2 n- 0) 0) 5?点P1, 3，则它的极坐标是（ A、2,3 B 、 4 2,13 6.直角坐标系xoy中，以原点为极点, （t为参 数） 1 2y D . k€Z）关于极轴所 D . (p, 2 n + x轴的正半轴为极轴建极坐标 系，设点A,B分别在曲线G：x 3 cos（为参数）和曲线C2： 1 y sin

上，则 AB的最小值为 （）. A.1 B.2 C.3 D.4 1 7.参数方程为x t t （t为参数）表示的曲线是（） y 2 A. —条直线B .两条直线C .一条射线 D .两条射线 x 1 2t 8.若直线X ' t为参数与直线4x ky 1垂直，则常数k （） y 2 3t A.-6 B. 1 6 C.6 D. 1 6 9.极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是() A. (x 2)2 y2 4 B. x2y2 4 C. x2 (y 2)2 4 D. 2 2 (x 1) (y 1) 4 10.柱坐标(2, 2, 3 1）对应的点的直角坐标是（）. A.( 1, 3,1) B.( 1, 3,1) C.( .3, 1,,1) D.( .3,1,1) 11.已知二面角 1 的平面角为，P为空间一点，作PA PB ,AB为垂足，且PA 4 , PB 5，设点A、B到二面角I 的棱I的距离为别为x, y .则当变化时，点（x, y）的轨迹是下列图形中的