数学理卷·2019届安徽省宣城市高三上学期期末调研测试(2018.01)
宣城市２０１７—２０１８学年度第一学期期末调研测试
高三数学试题（理科）
考生注意事项：
１本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分１５０分，考试时间１２０分钟．２答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域．
３考生作答时，请将答案答在答题卷上．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用０．５毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
４考试结束时，务必将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共６０分）
一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
２
１已知全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞３ｘ＋４｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｌｏｇ４ｘ＞１｝，则下列关系正确的是
ＡＢ∪瓓
ＵＡ＝ＲＢＡ∪瓓
Ｕ
Ｂ＝ＲＣＡ∪Ｂ＝ＲＤＡ∩Ｂ＝Ａ
３－ａｉ
２设ｉ是虚数单位，ａ∈Ｒ，则“复数ｚ＝在复平面内对应的点在第四象限”是“ａ≤０”的
ｉ
Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件
Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条件
１
３向量ａ＝( ，ｔａｎα)，ｂ＝（ｃｏｓα，１），且ａ∥ｂ，则ｃｏｓ２α＝
Ａ－７
Ｂ
７９９
Ｃ－１Ｄ１
３３
獉獉獉 獉獉
入ｘ的值为３，则输出ｚ的值为
Ａ ３
Ｂ－ ５
２
８
Ｃ－ ３
Ｄ－ １
第４题图
２
４
５从如图所示的正方形 ＯＡＢＣ区域内任取一个点 Ｍ（ｘ，ｙ），则点 Ｍ取自阴
影部分的概率为
１
Ａ １ Ｂ
２
３
Ｃ １
Ｄ １
第５题图
４
６
宣城市高三数学（理）试题第１页（共４页）
６某多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是 ２的等腰直角三角形，则其外接球的体积为
Ａ８槡６π
Ｂ６π Ｃ 槡６π
Ｄ
４
π
３
２ ｎ
７已知数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝满足 ａ１＝１，且 ａｎ，ａｎ＋１是函数 ｆ（ｘ）＝ｘ－ｂｘｎ＋２
的两个零点，则ｂ 等于
第 题图
Ｂ２４
Ｃ１２
Ｄ６
Ａ４８
２
２
ｘ
ｙ
８在直角坐标系 ｘＯｙ中，设 Ｆ为双曲线 Ｃ：２ － ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦点，Ｐ为双曲线
的
２
ａ ｂ
右支上一点，且△ＯＰＦ为正三角形，则双曲线Ｃ的离心率为
２槡３
Ａ槡３ Ｂ ３
Ｃ１＋槡３ Ｄ２＋槡３
９已知平面 ＡＢＣＤ⊥平面 ＡＤＥＦ，ＡＢ⊥ＡＤ，ＣＤ⊥ＡＤ，且 ＡＢ＝１，ＡＤ＝ＣＤ＝２．在正方形 ＡＤＥＦ内部有一点Ｍ，满足ＭＢ，ＭＣ与平面ＡＤＥＦ所成的角相等，则点Ｍ的轨迹为 Ａ圆的一部分 Ｂ椭圆的一部分 Ｃ双曲线的一部分 Ｄ抛物线的一部分
３π
１０在△ＡＢＣ中，Ａ＝４，ＡＢ＝６，ＡＣ＝３槡２，点 Ｄ在 ＢＣ边上，ＡＤ＝ＢＤ，则 ＡＤ的长为
Ａ３槡２
Ｂ３
Ｃ２槡２
Ｄ 槡１０
ｓｉｎ（πｘ）－１，ｘ＜０
１１已知函数 ｆ（ｘ）＝ ２ （ａ＞０，且 ａ≠１）的图象上关于 ｙ轴对称的点
恰有 ３ｌｏｇａｘ， ｘ＞０
对，则实数ａ的取值范围是
槡５
槡５ １
１槡５ Ａ（０，
）
Ｂ（
，１）
Ｃ（０，
）
Ｄ（
５ ５ ３ ３ ５
１２已知定义在 Ｒ上的函数 ｆ（ｘ），ｆ′（ｘ）是其导数，且满足 ｆ（ｘ）＋ｆ′（ｘ）＞３，ｅｆ（１）＝
３ｅ＋４，则
不等式ｆ（ｘ）＞ ４ ＋３（其中 ｅ为自然对数的底数）的解集为
ｅ
Ｂ（－∞，０）∪（１，＋∞） Ａ（－∞，１） Ｃ（１，＋∞）
Ｄ（－∞，０）∪（０，＋∞）
第Ⅱ卷（非选择题，共９０分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第（１３）－（２１）题为必考题，每个题目
考生都必须作答．第（２２）－（２３）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分）
２
；１３ 已知随机变量 ζ服从正态分布 Ｎ（３，σ），Ｐ（ζ≤６）＝０８２，则 Ｐ（ζ≤０）＝
２
１４抛物线 ｙ＝ｘ在 ｘ＝１处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 Ｄ（包含三角形内部
界）．若点Ｐ（ｘ，ｙ）是区域Ｄ内的任意一点，则２ｘ＋ｙ的取值范围是
；
ａ
ａ ８
１５已知幂函数 ｙ＝ｘ 的图象过点（３，２７）
，则 (
ｘ－槡
ｘ)
的展开式中 ｘ的系数
；
宣城市高三数学（理）试题第２页（共４页）
１６ 南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面
所截，如果截得的两
１
２
个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图１中阴影部分是由曲线ｙ＝ ｘ、
４
直线ｘ＝４以及ｘ轴所围成的平面图形Ｓ，将图形Ｓ绕ｙ轴旋转一周，得几何体Ｖ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕ｙ轴旋转一周所得的旋转体中合理选择一个求得Ｖ
的体积为 ．
三、解答题（共 ７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（一）必考题：共 ６０分． １７（本小题满分 １２分）若数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和 Ｓｎ满足 Ｓｎ＝２ａｎ＋１，ｎ∈Ｎ ．
（Ⅰ）求｛ａｎ｝的通项公式；
（Ⅱ）设 ｂ＝ｌｏｇ（－ａ ），求数列{
１
}的前 ｎ项和 Ｔ．
ｎ
２
ｎ＋１
ｂｂ
ｎ
ｎ ｎ＋１
１８（本小题满分 １２分）在五面体 ＡＢＣＤＥＦ
中，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，ＣＤ＝ＥＦ＝ＣＦ＝２ＡＢ＝
２ＡＤ＝２，∠ＤＣＦ＝６０°，ＡＤ⊥ＣＤ，平
面ＣＤＥＦ⊥平面ＡＢＣＤ．
（Ⅰ）证明：直线 ＣＥ⊥平面 ＡＤＦ；
（Ⅱ）已知 Ｐ为棱 ＢＣ上的点，试确定 Ｐ点
位置，使二面角Ｐ－ＤＦ－Ａ的大小为 ６０°．
统一为ａ元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，具体浮动情况如表：
某机构为了研究该型号汽车的投保情况，随机抽取了６０辆车龄已满三年的
该型号汽车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
题：
（Ⅰ）某同学家里有一辆该型号汽车且车龄刚满三年，记Ｘ为该车在第四年
续保时的费用，
求Ｘ的分布列；
（Ⅱ）某二手车销售商专门销售该型号汽车的二手车，且将下一年的交强险保
费高于基本保
獉
獉费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损２０００元，一辆非事故车盈利１０００
０元：
① 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）二手车，求这三辆车中至多有
一辆事故车的
概率；
② 若该销售商一次购进１００辆（车龄已满三年）二手车，求他获得
利润的期望值．
２２
２０（本小题满分１２分）已知圆Ｆ１：（ｘ＋１）＋ｙ＝１６，定点Ｆ２（１，０），Ａ是圆Ｆ１上的一动点，线段Ｆ２Ａ的垂直平分线交半径Ｆ１Ａ于Ｐ点．
（Ⅰ）求Ｐ点的轨迹Ｃ的方程；
（Ⅱ）四边形ＥＦＧＨ的四个顶点都在曲线Ｃ上，且对角线ＥＧ，ＦＨ过原点Ｏ，若ｋ·ｋ＝－，
ＥＧＦＨ求证：四边形ＥＦＧＨ的面积为定值，并求出此定值．
２ｘ２１（本小题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｘｌｎｘ（ａ∈Ｒ），ｇ（ｘ）
＝ｅ－（ｅ＋１）ｘ．（Ⅰ）当ａ＝１时，求函数ｆ′（ｘ）在（０，＋∞）
上的零点个数；
（Ⅱ）如果当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），求ａ的取值范围．
（二）选考题：共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．２２选修４－４：坐标系与参数方程（本小题满分１０分）
在直角坐标系ｘｏｙ中，以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，
设曲线Ｃ的
ｙ＝ｓｉｎθ４（Ⅰ）写出曲线Ｃ的普通方程和直线ｌ的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线Ｃ上的点到直线ｌ的最大距离，并求出这个点的坐标．
２３选修４－５：不等式选讲（本小题满分１０分）
已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ－２｜．
２
（Ⅰ）求不等式ｆ（ｘ）＋ｘ－４＞０的解集；
（Ⅱ）设ｇ（ｘ）＝－｜ｘ＋７｜＋３ｍ，若关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）的解集非空，求实数ｍ的取值范围．
宣城市高三数学（理）试题第４页（共４页）