第31讲排列组合`二项式定理

读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹
第31讲：排列组合、二项式定理
一、高考要求
掌握分类计数原理与分步计数原理，理解排列与组合的意义掌握排列数与组合数的计算公式及组合数的两个性质，并用它们解决一些简单的应用问题．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
二、两点解读
重点：①以学生熟悉的数学问题为主的带有附加条件排列问题；②以"至少""至多"为限量词的组合问题；③按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步的处理排列组合的基本思想；④直接运用通项公式求特定项的系数或与系数有关的问题；⑤需用转化思想化归为二项问题来处理的问题．
难点：①排列、组合内容中分类讨论、分步讨论；②非二项问题向二项问题转化的化归思想．
三、课前训练
1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 （ A ）
（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
2． 5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为 （ B ）
（A）480 （B）240 （C）120 （D）96
3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ B ）
（A）280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
4．设n是一个自然数，（1＋）n的展开式中x3的系数为，则n=__4__

四、典型例题
例1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ A ）
（A）42 （B）30 （C）20 （D）12
解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2×种不同的插法，第二类则有种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法.
例2 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ A ）
（A）种 （B）3种 （C）种 （D）种
解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：··.
例3 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ C ）
　

　（A）1260种 （B）2025种 （C）2520种 （D）5040种
解法一：从10人中选派4人有种，进而对选出的4人具体分派任务，有种，由分步计数原理得不同的选派方法为＝2520种，答案为C.
解法二：据分步计数原理，不同选法种数为··＝2520种


例4 (1)若（2x＋）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ax4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值为 ______
(2)在的展开式中，x3的系数是________（结果用数值表示）．
(1) 答案： 1
(2)解析：原式=（1＋x）2（1－x2）4＝（1＋2x＋x2）(1－x2)4含x3的项为2x··(－x2)＝－8x3，故x3的系数为－8.
例5 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ D ）
（A）150种 （B）147种 （C）144种 （D）141种
解法一：10个点任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有种，同理在其余3个面内也有种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有＝141种.
解法二：四面体记之为A-BCD，设平面BCD为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（）·（－1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．




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读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹