工程电磁场讲义(第一章)
第一章静电场
Steady Electric Field
基本方程、分界面上的衔接条件边值问题、唯一性问题分离变量法有限差分法镜像法和电轴法电容和部分电容静电能量与力静电场的应用
环路定律、高斯定律
电场强度和电位序
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1.0 序
静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
本章要求
深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场、电位、电容、能量、力的各种计算方法。
Introduction
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静电参数(电容及部分电容)
静电能量与力
有限差分法
镜像法,电轴法分离变量法直接积分法
数值法解析法
边值问题
边界条件电位?基本方程D 的散度
基本物理量E 、D
基本实验定律（库仑定律）
静电场知识结构
E 的旋度
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矢量积分与标量积分；点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看成是一个体积很小，电荷密度为，总电量不变的带电小球体。
)(δ)()(r r r q =ρ基本概念
平行平面场与轴对称场；
点电荷的相对概念和数学模型。
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1.1.1 库仑定律(Coulomb’s Low )Electric Field Intensity and Electric Potential
2
12
02121π4R q q e F ?=
εN (牛顿)12
21F F ?=适用条件：
库仑定律
1.1 电场强度和电位
图1.1.1 两点电荷间的作用力
点电荷之间的作用力靠什么来传递？
思考两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数120108.85?×=εF/m 1.1.2 电场强度( Electric Intensity )
t q q z y x z y x t )
,,(),,(lim
F E →=
V/m ( N/C )
定义：电场强度E 等于单位正电荷所受的电场力F
（a ）单个点电荷产生的电场强度
R t p R q q R e F E 2
0π4)(ε==
V/m
'''
π4)(2
0r r r r r r r E ???
?=
εq p )
'('
π43
0r r r r ??=
εq
图1.1.2 点电荷的电场
一般表达式为
（b)n 个点电荷产生的电场强度( 矢量叠加原理)
（c) 连续分布电荷产生的电场强度
R
R q
e E 2
0π4d d ε=
k N
k k
k
R q e r E ∑
==
1
20
π41)(ε图1.1.4 体电荷的电场
图1.1.3 矢量叠加原理
元电荷产生的电场
∑
=′
?′?=
N
k k k k q 1
3
)
(π41r r r r εS d σl
d τV q d d ρ=，，下页
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R
S R S e E ∫
′
′
=
2
d π41σεR
l R l e E ∫
′
′=
2
d
π41τε线电荷分布
l
q d d τ=体电荷分布V
q d d ρ=S
q d d σ=面电荷分布R
V R V e E ∫
′
′
=
2
d π41ρε下页
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)
(π4d ),(d 22ρετρ+=
z z
z o E E
z z d d 2
2
z ρ
+?=
E E
d z d 2
2ρρρ+=
E 解: 轴对称场，圆柱坐标系。例1.1.1真空中有一长为L 的均匀带电直导线，电
荷线密度为,试求P 点的电场。
τθcos d d z E ?=E θρsin d d E =E 下页
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图1.1.5 带电长直导线的电场
x
z z z E L L o z d )(π4 2
1
2322∫
?+?=ρετz z E L L o d )(π4 2
12
3
22
∫
?+=ρετρ
ρ,
21时当∞→+=L L L z z E E z e e E +=ρρφρ),,(ρ
ρ
ετ
e 0π2=无限长直导线产生的电场
ρ
ρ
ετ
e Ε0π2=
平行平面场。
)(π4 2
211222
2ρρρετ+++=L L L L o )1
1(π4 221222
ρρετ+?+=L L o 0
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矢量恒等式F
F F ×?+×?=×?C C C )
'('
1)'('
1''3
3
3
r r r r r r r r r r r r ?×??
+?×??=
??×?3
5
1'(')3
(')0
'
'
??
×?=?×?=??r r r r r r r r r r 1. 静电场的旋度1.1.3 旋度和环路定律( Curl and Circuital Law )3
0''π4)(r r r r r E ???=
εq 点电荷电场3
0'
'
π4)(r r r r r E ??×?=×?εq 取旋度
2. 静电场的环路定律
电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。
由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
∫∫?×
?=
?s l S E l E
d )(d 0
≡说明
∫=?l 0
d l E 即
1.1.4 电位函数( Electric Potential )负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
在直角坐标系中
1.E 与的微分关系?,0=×?E 矢量恒等式0
=?×??由][
z y x e z
e y e x ??+??+???=???E 根据E 与的微分关系，试问静电场中的某一点
?( )
( )00=→=E ??00=→=?E ?下页
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?
??=E 所以
2. 已知电荷求电位
'
1
π4''π4)(03
0r r r r r r r E ?????=
εεq q ＝－C q N
i i i +?=∑=10'
π41
)(r r r ε?点电荷群C dq
V +?=
∫
'
'
π41)(r r r ε?连续分布电荷以点电荷为例
)
('π40r r r ?ε??=???=q
C q
+?=
'
π4)(0r r r ε?l S V q ′′′=d ,d ,d d τσρ式中相应的积分原域。
''',,l S V 下页
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3.
与E 的积分关系?图1.1.6 E 与的积分关系
?线积分
∫∫
???=?0
d d P P
P P
l
l E ?式中)
d d d ()(d z y x z y x z y x z
y
x
e e e e e e l ++???+??+??=????????
??d d d d =??+??+??=
z z
y y x x 设P 0为电位参考点，即，
则P 点电位为
00=P ?∫
?=0d P P
P l
E ?∫
∫?=?=?0
d d P P
P P
P P ???l E 所以
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上页返回 4. 电位参考点
例如：点电荷产生的电位：C
r
q
+=
0π4ε?0
==r ?
∞→C 0=∞
→r ?r
q 0π4ε?=
=C 点电荷所在处不能作为参考点
==R
r ?
R
q
r q 00π4π4εε??=
R
q C 0π4ε?
=场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。
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电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。（通常用于理论分析）。
在工程计算中，常把大地作为电位为参考点。
5) 电力线与等位线（面）
0d =×l E E 线微分方程z
E y E x E z
y x d d d ==直角坐标系
当取不同的C 值时，可得到不同的等位线( 面)。
C
z y x =),,(?等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度E 的方向。
电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.1.7 电力线方程
解：在球坐标系中
2
11
20210π4)11(π4r r r r q r r q p ?=
?=εε?2
1
22
1)cos 4
(θd r d r r ?+=202
0π4π4cos r r qd r
p εεθ?e p ?==所以用二项式展开，又有r >>d ，得
θcos 22d r r +=θ
cos 2
1d
r r ?=例1.2.1画出电偶极子的等位线和电力线( r >>d )。
2
12
22)cos 4
(θd r d r r ++=图1.1.8 电偶极子
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)
sin cos 2(π43
0θθθε?e e E +=
??=r p r q θ
θE r E r
r d d =电力线方程( 球坐标系) ：
θ
2sin D r =等位线方程( 球坐标系) ：θcos C r =将和代入E 线方程
θE r E 表示电偶极矩（dipole moment )，方向由
d p q ＝-q 指向+q 。
图1.1.9 电偶极子的等位线和电力线
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上页返回电力线与等位线（面）的性质：
图1.1.10 点电荷与接地导体的电场
图1.1.11 点电荷与不接地导
体的电场
E 线不能相交；?等线不能相交；
E 线起始于正电荷，终
止于负电荷;
E 线愈密处，场强愈大;
E 线与等位线（面）正交。
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图1.1.12 介质球在均匀电场中图1.1.13 导体球在均匀电场中
图1.1.14 点电荷位于无限大介质上方图1.1.15 点电荷位于无限大导板上方
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作散度运算
1.2.1 真空中的高斯定律(Gauss’s Theorem in Vacuum )0
)'()(ερr r E =
??高斯定律的微分形式
1. E 的散度V
V
d )'('
'π41)(3
r r r r r r E ρε∫
??=
==??ρE 0>=??ρE ρE 说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源。
1.2 高斯定律
Gauss’s Theorem
2. E 的通量
∫
∫=??V
V
V
V d 1
d 0
ρεE ∑∫==
?n
i i
S
q
1
1
d εS E 图1.2.1 闭合曲面的电通量
图1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响
散度定理
S 面上的E 是由系统中全部电荷产生的。
E 的通量等于闭合面S 包围的净电荷。
1.2.2. 电介质中的高斯定律(Gauss’s Theorem in Dielectric )1. 静电场中导体的性质
导体内电场强度E 为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（
）
一导体的电位为零，则该导体不带电。（
）
任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（
）
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无极性分子
有极性分子
图1.2.3 电介质的极化
2. 静电场中的电介质
电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarized charge )；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
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E
极化强度P ( polarization intensity )表示电介质的极化程度，即
V
V Δ=∑→Δp P lim
C/m 2电偶极矩体密度实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
E
P 0εχe =—电介质的极化率
e χ各向同性媒质媒质特性不随电场的方向改变,反
之，称为各向异性媒质；
线性媒质媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；
均匀媒质媒质参数不随空间坐标而变化，反
之，称为非均匀媒质。
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上页返回极化强度P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子产生的电位
2
02
0π41π4cos R R qd R
e p ?==
εεθ?体积V 内电偶极子产生的电位
'
d ')
'()(π41'3
0V P V ∫???=
r r r r r ε?3. 极化强度与极化电荷的关系
图1.2.4 电偶极子产生的电位
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'd )'(π41'
2
V R V R
∫
?=e r P ε?R
R R R
11'2??=?=e ∵
'd 1'
)'(π41
'
V R
V ∫
??=
∴r P ε?'d )
'('π41
'd )'('π41'
'0V R
V R V V ∫
∫?
?+???=
r P r P εε?矢量恒等式：u
u u ??+??=??F F F )(图1.2.5 体积V 内电偶极矩产生
的电位
'd )'(π41'd )'('π41
'n
0'0S R
V R S V ∫∫?+???=e r P r P εε令
P
???=p ρ极化电荷体密度n
e P ?=p
σ
极化电荷面密度
'
d )
'(π41'd )
'(π41
)('
'
S R
V R
S p V p ∫
∫
+
=
r r r σερε?'d )
'('π41'd )'('π41
'
'0
V R
V R V V ∫
∫
?
?+
???=r P r P εε?
???
???????++??+=
∫∫''330'd ')')(('d ')')((π41)(V S p f p f S V r r r r r r r r r E σσρρε0
'd 'd '
'
n ≡?+???∫
∫V S S V e P P ???
??????++?+=
∫∫'
'0'd ')('')
(π41)(V S p f p f S dV r r r r r σσρρε?思考
根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零
。0=p ρ电介质均匀极化时，极化电荷体密度有电介质时，场量为
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4. 电介质中的高斯定律
f f f ρεερερρερ=+??→???===
??)(＋00
0p 0P E P E 定义P E D +=0ε—电位移矢量（displacement vector ）所以ρ
=??D 高斯定律的微分形式
取体积分
∫
∫=??V
V
V
V d d ρD 有
∫=?S q
S D d 高斯定律的积分形式
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在各向同性介质中
E
D ε=—介电常数F/m
r
εεε0=其中—相对介电常数，无量纲量。
e r χε+=1E
E E E P E D εεεεχεε==+=+=0000r e 构成方程
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例1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出D 、E 和P 线分布。
图1.2.6 D 、E 与P 三者之间的关系
D 线
E 线
P 线
思考
D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；
E 线由正电荷出发，终止于负电荷；
P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
电介质内部的电场强度是否减少了？下页
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回例1.2.2若点电荷±q 分别置于金属球壳内外，问（1)穿过闭合面（金属球壳）的D 通量是多少？（2) 闭合面上的D 与－q 有关吗？
（3)若在金属球壳外放置电介质，重问1 )，闭合面上的D 与电介质有关吗？
例1.2.3以理想平板电容器中放置双层电介质为例，分析两种电介质交界面处的电场和电场强度E 。
计算技巧：
a ）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律
求解。
b ）选择适当的闭合面作为高斯面，使
中的D 可作为常数提出积分号外。
∫?S
S
D d 高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。5. 高斯定律的应用
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例1.2.3试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。
τ解: 分析场分布,取圆柱坐标系
,
d q S =?∫S D 由
ρ
ρ
τ
e D π2=
ρ
ρ
ετ
εe D
E 0π2=
=
∫∫?=?1d d S S S D S D L
τ=L
L D τρ=?π2得下页
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图1.2.8 无限长均匀带电体
球壳内的电场
q
r
D S
=?=?∫2
π4d S D r
r q
e D 2
π4=球壳外的电场
q
r D S
=?=?∫2
4πd S
D r
r
q
e D 2
π4=
例 1.2.4哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下页
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图1.2.10 ±q 分别在金属球内外
图1.2.9 q 在金属球壳内
1.3 基本方程、分界面上的衔接条件
1.3.1 基本方程( Basic Equation )静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。
Basic Equation and Boundary Condition
静电场的基本方程为
0=×?E ρ
=??D 微分形式
d =?∫l l E q
S
=?∫S
D d 积分形式
构成方程E
D ε=下页
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z
y
x
z y x
A A A z y x ??????
=
×?e e e A z x y y z x x y z y
A x A x A
z A z A y A e e e )()()(
?????+?????+?????=0=矢量A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?
例1.3.1已知试判断它能否表示静电场？
，z y x z y x e e e A 543++=解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考
包围点P 作高斯面( )。0→ΔL 1.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition )
1. D 的衔接条件
S
S D S D Δ=Δ+Δ?σn 2n 1则有q
S
=?∫S
D d 根据
图1.3.1 介质分界面
σ
=?n 1n 2D D D 的法向分量不连续
当时，D 的法向分量连续。
0=σn
2n 1D D =
2. E 的衔接条件
围绕点P 作一矩形回路( )
。02→ΔL t t E E 12= E 的切向分量连续。
d =?∫l l
E 根据
1t 21t 1=Δ?Δl E l E 则有3. 折射定理
当交界面上时，
0=σ2
1
21tan tan εεαα=折射定律
n 2n 1D D =t 2t 1E E =2
22111cos cos αεαεE E =2211sin sin ααE E =下页
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图1.3.2 介质分界面
d lim
021=?=?∫
→d
d l E ??4. 的衔接条件
?设P 1 与P 2 位于分界面两侧，0
→d n
E D n
E D ???==???==22
n 22n 21
1
n 11n 1,
?εε?εε21??=因此
电位连续
σ?ε?ε=?????n
n 2
211
得电位的法向导数不连续由，其中σ=?n 1n 2D D 图1.3.3 电位的衔接条件
下页
上页
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说明（1）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；
图1.3.4 导体与电介质分界面
例1.3.2试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。
解:分界面衔接条件
t
2t 1n 1n 2 E E D D ==?，σσ
?
ε?ε??=?????n n
221121 ，＝σ?
ε?=???=n
, const 0
t n ==E D ，σ导体中E ＝0 ，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D 等于该点的。
σ下页
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解：忽略边缘效应
1
221021d d U E εεε+=
1
221012d d U E εεε+=
1
121εσ
==E E 2
2110
S S q εε+=
图(a)
图(b)
2211q S S =+σσ2
2
11εσεσ=例1.3.3试求两个平行板电容器的电场强度。
2
211E E εε=0
2211U d E d E =+下页
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图1.3.5 平行板电容器
1.4 边值问题、唯一性定理
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation )
ε
ρ
??
=?2泊松方程?
??=E 0=×?E εεε??+??=??E E E ρ?ε=????=2
2
22222
z
y x ??
+??+??=?2
?—拉普拉斯算子
ρ
=??D Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
2=??拉普拉斯方程
当ρ =0时
1.4.2 边值问题（Boundary Problem )
边值问题
微分方程
边界条件
初始
条件
场域边界条件(待讲）分界面衔接条件
强制边界条件
有限值
=
→?lim 0
r 自然边界条件有限值=∞
→?r r lim 泊松方程ερ?/2＝－?拉普拉斯方程
2＝??21??＝σ?ε?ε=?????n
n 2211
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet )
2）第二类边界条件（诺依曼条件Neumann )3）第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
已知边界上各点的电位)(|1s f s =?已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度或电力线)
σ)
(2s f n
S
=???)()3s f n S
=???
β
?＋（下页
上页
返回讨论：
?通常，当边界S =S 1+S 2+…，且逐片分别给定为1st 边界条件与2nd 边界条件时，则称之为由混合型边界条件构造的边值问题。?在工程问题分析中，常选取的齐次第二类边界条件，这意味着在相应边界S ′上给定E 线或场的对称面(线)为相应的边界条件。
?当V 域中存在多种均匀介质时，须分域定义。且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的边界条件为“衔接条件”，或称之为辅助的边界条件
=??s
n
?下页
上页
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有限差分法有限元法边界元法矩量法积分方程法
??????积分法
分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法
?
?????计算法
实验法
解析法
数值法
实测法模拟法边值问题
下页
上页
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例1.4.2试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题
0222
22=??+??=
?y x ?
??（阴影区域）
U
b x b y b y b x =≤≤=≤≤=)
0,0,(及?0
)
0,0,(222=≥≥=+y x a y x ?
)
,0(=??<<=a y b x x
?0
)
,0(=??<<=a x b y y
?下页
上页
返回
图1.4.1 缆心为正方形的
同轴电缆
)d d (d d 122222
==?r r r
r ?
?)
(∞< 1)( 1 6)(C r C r C r C r r +=++? =?ερ?例1.4.3试求体电荷产生的电位及电场。 解：采用球坐标系,分区域建立方程 边界条件a r a r ===21??a r a r r r ==??=??2010? ε?ε有限值 =→01 r ?参考电位 02 =∞→r ?0 12212 )d d (d d 1ερ ??? ==?r r r r )(a r ≤图1.4.2 体电荷分布的球体 电场强度（球坐标梯度公式）：11)(???=r E ∞ ≤≤=???=??=r a r a r r r e e r E 2 02 2223)(ερ??得到 ∞ ≤≤= ≤≤?=r a r a r a r r a r 03222013)(0)3(6)(ερ?ερ ?图1.4.3 随r 变 化曲线E ，?φ θφ ?θθ???e r r r ??+??+???sin 11e e r ＝a r r r r r ≤≤=???=0301e e ερ? 2 01.x d U = ? A 答案:（C ） 1.4.3 唯一性定理（Uniqueness Theorem ) 例1.4.4图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？ 唯一性定理：在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。 02.U x d U +=? B 0 03.U x d U +?=? C 下页 上页 返回 图1.4.4 平板电容器外加电源U 0 1.5 分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 1.5.1 解题的一般步骤： Separation Variable Method 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 下页 上页 返回 例1.5.1试求长直接地金属槽内电位的分布。解:边值问题 1.5.2 应用实例 1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）x a y x a x a y a y a x a x y a y x π ????? ??sin 100000,0,0,00,022222=====??+??=?<<=≤≤=≤≤=≤≤=（D 域内） 下页 上页 返回 图1.5.1 接地金属槽的截面 y x a π ?sin 100=分离变量) ()(),(21y x y x ???=λ??－=2 2 22d d 1y ， λ ??=2 1 21d d 1x 设 λ-分离常数,有 和＝, 0 0 ,02 2>= d d 1d d 12 2 222 1 21=+ y x ????代入微分方程，0 d d 10 d d 12 2 222 1 21==y x ????2 2 2222 2 121d d 1d d 1n n k y k x =?=????2 2 2222 2 122d d 1d d 1n n k y k x ?==????下页 上页 返回 )) sh(')ch('))(sin(')cos('()) sin()cos())(sh()ch((1 1y k D y k C x k B x k A y k D y k C x k B x k A n n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++∑∑∞ =∞ =代入边界条件，确定积分常数),3,2,1( π ???== n a n k n 0 0 轴)0==A y a ?0 0 0)0=′==n C C x b ，轴?0 0=B 0 ) ==?a x c ) π sh()πsin('),(y n x n F y x n ∑∞ =?) )(()()(000021y D C x B A y x ++==???通解))sh(')ch(')(sin(1y k D y k C x k n n n n n n ++∑∞ =?沿x 方向作正弦变化，0 =′==n n n A B A 图1.5.2 双曲函数 a y d =))πsin( 100 a x =?)π sin( )π(sh ')πsin( 1001 x a n n F a x n n ?=∑∞ =比较系数当时， 1≠n 0 '=n F )π sh()πsin(100),(y x y x = ∴?当时，1=n 100 sh π'1=F sh π 100'1= F )π sh()πsin( '),(1 y a n x a n F y x n n ∑∞ == ∴? 若金属槽盖电位，再求槽内电位分布0U ＝?通解 )π (sh )πsin ),1 y a n x a n F y x n n （ （∑∞ =′=?)π sin()πsin( )π(sh 1 1 0x a n E x a n n F U n n n n ∑∑∞ =∞ ==′＝等式两端同乘以，然后从积分x a m π sin a →0(1) d )π sin()πsin(d )πsin(1 000x x a m x a n E x x a m U n a n a ∑∫∫∞==左式= ?= )πcos 1(π 0m m a U 1,3,5,.. π20,2,4, (00) ==m m aU m 当时，0 U ＝?a y =下页 上页 返回 右式＝ n m E a x x a n E n m n n ==≠∫ 2 d )π( sin 02a 代入式（1） )πsh('2 2π20n F a E a m aU n n ==代入通解 )πsh()π sin(πsh 1π4),(10y a n x a n n n U y x n ∑∞ == ?n ＝奇数 1,3,5,... π πsh 4'0 === n m n n U F n 下页 上页返回图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布 解：取圆柱坐标系，边值问题 01)(1222 122112 =?=??+????=??φ?ρρ?ρρρ?∞ <≤ρa a ≤≤ρ0φ ρ??ρρ?ερ ?ε??ρρcos ，0 1 2 21 021E Ex a ?=?===??=??=∞ →=根据对称性 )2 ,( ),(),(=±?=π ρ?φρ?φρ?及例1.5.2垂直于均匀电场E 放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外和E 的分布。 ?下页 上页返回图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒 当时，0=n 0 00000)( ln )(D C B A R +=+=φφθρρ，当时，0≠n φφφθρρρn D n C B A R n n n n n n n n sin cos )( )(+=+=?，) sin cos ()(1 φφρρn D n C B A n n n n n n n +++∑∞ =?代入微分方程分离变量, 设)()(),(φθρφρ?R =0d d 1d d d d 2 22 22=+ φθ θρρρρ＋R R R R ) )(ln (),(0000D C B A ++=φρφρ?通解0d d d d 22 22 =?+R n R R ρ ρρρ取 n 2 = 常数，令 0d d 22 2=+θφθ n 下页 上页返回根据，比较系数得到φρ?ρcos 01E ?=∞→当时，1=∞→n ，ρE A B A ?===100，0φ ρ φρφρ?n B E n n n cos cos ),(11∑ ∞ =+?=根据0 ， 00002=====n B B A ρ?∞ n 利用给定边界条件确定积分常数当时，1≠∞→n ，ρ0 0===n o A B A φ ρρρφρ?n B A B A n n n n n cos )()ln (),(1 00∑∞ =?+++=通解 根据) ,(),(φρ?φρ??=0 ,00==n D C 得到比较系数121 011)( A a B E a A a B Ea εε=??=+ ?和当n =1时， 当时，A n =B n = 0，则最终解1≠n ∑∑ ∑∑ ∞ =?∞ =+∞ =∞ ==??=+?1 1 1 1 01 1cos )cos cos (cos cos cos n n n n n n n n n n n n n a nA n a B E n a A n a B Ea φ εφφεφφφ由分界面的衔接条件，得 a =ρφ ρ εεεεφρφρ?cos )()(cos ),(0201E a E +?+ ?=∞ <≤ρa a ≤≤ρ0φ ρεφρεεφρ?cos 2cos )1(),(002E E ?=?? ?= a E a ≥????????+???ρφρεεεεφe sin )()(1202 0x x E x e e E 002 22εεε??+=??? =??=2a ≤≤ρ0图1.5.5 均匀外电场中介质圆 柱内外的电场 ρ φρεεεε?e E cos )()(1202011E a ???? ????+?+=??=介质柱内电场均匀，并与外加电场E 0平行，且E 2 < E 1。 下页 上页 返回 1.6 有限差分法 1.6.1 二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poisson’s Equation ) F y x =?=??+??ερ? ?222 2（1）二维静电场边值问题 Finite Difference Method 基本思想：将场域离散为许多网格，应用差分原 理，将求解连续函数的微分方程问题转换为求解网格节点上的代数方程组的问题。 ??（2） ) (L f L =?下页 上页 返回 1.6.1 有限差分的网格分割 令h = x -x 0，将x = x 1 和x 3 分别代入式( 3 ) ???+?????+???=???+??+??+??+=0333022 200303330222001)(!31)(!21)()(!31)(!21)( x h x h x h x h x h x h ??? ????? ??（4） （5） ))((0)()(!10000n n K K K K x x x x x x K ?+???=∑ =? ?（3） 由式（4）+（5）23 01222)( h x x x ????+?≈??=（6）2 402 2 22)(0 h y y y ???? +?≈??=（7） 同理, ?沿x 方向在x 0 处的泰勒公式展开为 下页 上页 返回 将式(6)、式(7)代入式(1)，得到 2043214Fh =?+++?????当场域中0 =ρ0 404321=?+++?????) (4 12 43210Fh ?+++=?????即)(4 1 43210?????+++= 即 若场域离散为矩形网格，差分格式为 F h h h h =+?+++022 21422221212)1 1()(1)(1?????1.6.2 矩形网格剖分 五点差分格式 下页 上页返回 1.6.2 边界条件离散化（Discrete Boundary Condition )第二类边界条件h f h n f 2100102 ,)( ＝?=?≈??????? ) 2(4 1 24210F h ?++=????第一类边界条件 分界面衔接条件 对称边界条件, )1212 (4143210?????+++++=K K K 图1.6.5 介质分界面 10 f =?图1.6.3 对称边界图1.6.4对称分界 1.6.3 差分方程组的求解方法( Solution Method )1、高斯—赛德尔迭代法 ] [4 1 2 )(1,)(,1)1(1,)1(,1)1(,Fh k j i k j i k j i k j i k j i ?+++=+++?+?+?????式中：? ??=???=,2,1,0,2,1,k j i ，迭代过程直到节点电位满足为止。 ε?? ] 4[4 )(,2 )(1,)(,1)1(1,)1(,1)(,)1(,k j i k j i k j i k j i k j i k j i k j i Fh ?????α????++++=+++?+?+式中：a —加速收敛因子（1< a <2） 图1.6.5 网格编号 收敛速度与a 有明显关系： 收敛因子（a ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（N ）>1000 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式（不唯一） ) π sin(12p += α（正方形场域、正方形网格） 221 12π2q p +?=α（矩形场域、正方形网格） 收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；迭代次数与工程精度有关。 ε下页 上页 返回 边界节点赋已知电位值赋节点电位初始值累计迭代次数N =0 N =N +1 按超松弛法进行一次迭代，求) 1(,+N j i ?打印) ,(j i N ?，N Y 程序框图 ε ?? 上页 返回 上机作业要求： 1. 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。 给定边值：如图示； 已知：mm 104 cm 4===a h a ，计算：迭代次数N =?, 分布。j i ,?0) 0(,=j i ?给定初值：5 10?=ε误差范围：下页 上页 返回 图1.6.6 接地金属槽的网格剖分 给定边值：如图示；已知：mm 140 40 cm 4== =h a ，2. 按对称场差分格式求解电位的分布计算：1) 迭代次数N = ?, 分布；j i ,?)1(40 100 )1(1 2.?= ??= j j p j i ???给定初值：5 10?=ε误差范围：2) 按电位差画出槽中等位线。 10=Δ?下页 上页 返回 图1.6.7 接地金属槽内半场域 的网格剖分 3.选做题 已知：无限长矩形屏蔽空腔中长 直矩形导体的横截面如图示，且给定参数为 V 100, 或 ,V 100, 或 ,0 , 或 1, 10, 或 1,121212121===≤≤===≤≤===≤≤===≤≤????M I M I N J N N J N J M I M M I I N J N J J M I 图1.6.8 无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体的横截面 要求 用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔中长直矩形导体周围的电位分布; 画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布; 1.7 镜像法与电轴法 1.7.1 镜像法（Image Method ) 1. 平面导体的镜像Image Method and Electric Axis Method 方程相同，边界条件相同，解唯一。 空气中除点电荷外 0＝导板?q S =?∫S D d ， 2=??a 0 2=??上半场域除点电荷外 b 0π4π400=?=r q r q εε?q S =?∫S D d 地面上感应电荷的总量为 （方向指向地面）?++=E E E 2 0π4cos 2 r q E εθ =2/3220)(π2x h qh += ε2 /322 0)(π2＝x h qh E D n p +?=?=εσx x x h qh S S p d π2)(π2d 02/322?+?=∫∫∞σq ?=例1.7.1试求空气中点电荷q 在地面引起的感应电荷分布。 解：设点电荷q 镜像后 图1.7.2 地面电荷分布 下页 上页 返回 2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q 点外的空间)0 2===?∞ →球面 ? ? ?r 0 π4'π42 01 0=? = r q r q p εε?θ θ cos 2cos 2222 2222 1Rb R b r Rd R d r ?+=?+=设镜像电荷如图，球面电位 'q 下页 上页 返回 图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像 cos )'(2)](')([22222222=?++?+θb q d q R R d q R b q 将r 1, r 2 代入方程，得 0'12=?r q r q 0'0)(')(2 2 2 22222=?=+?+b q d q R d q R b q 联立求解 得到 q d R q d b q d R b === '2 镜像电荷位置 镜像电荷大小 下页 上页 返回 球外任一点P 的电位与电场为 2 010π4' π4r q r q p εε?? =2 12202 1 0π4π4r r P r d qR r q e e E εε? = 图1.7.5 球外的电场分布 镜像电荷放在当前求解的场域外。镜像电荷等于负的感应电荷总量。 图1.7.4 球外的电场计算 下页 上页 返回 例1.7.2不接地金属球附近放置点电荷q 的电场分布。 则 d R b q d R q 2 ,'== ) d d 1(π42122 2120r r r r R r R r q e e e E +?=ε任一点场强解：边值问题 d const 02=?==?∫S S S D ? ?（除q 点外的空间) 通量为零（大小相等） '- ,'q q 球面等位（位于球心）'q 思路 图1.7.6 不接地金属球的镜像用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个 数，大小与位置。 图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图 任一点电位 ) d d 1(π4210r R r R r q +?=ε?d q 0π4ε?＝ 球面电位 思考 3. 不同介质分界面的镜像 t 2t 1E E =n 2n 1D D =根据唯一性定理 图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像 θεθεθεcos π4' 'cos π4'cos π42 22 12 1r q r q r q =+ q q 2 12 1 'εεεε+?=q q 2122''εεε+=和解得θθθsin π4' 'sin π4'sin π42 2 2r q r q r q =?下页 上页 返回图1.7.10 电场分布图 试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。 思考题：中的电场由q 与q ’共同产生，q ’ 等效替代极化电荷的影响。 1ε中的电场由q ”决定，q ”等效替 代自由电荷与极化电荷的作用。 2ε图1.7.11 点电荷q 1与q 2分别置于与区域中 1ε2ε思考 下页 上页返回提示 1.7.2 电轴法（Electric Axis Method ） (导线以外的空间) 02 =??const B 导体=? ∫?=?S 电荷分布不均 , d τS D ∫ =?S 电荷分布不均匀 ,d τS D const A 导体=? 能否用高斯定律求解？ 思考边值问题 下页 上页 返回 1.7.12 长直平行双传输线 1. 两根细导线产生的电位 1 10 Q 01ln π2d π21 C +?== ∫ρετ ρρετ?ρ 以y 轴为参考电位，C=0，则 2 22 20120)()(ln π2ln π2y b x y b x P +++?==ετρρετ?令：C，等位线方程=P ?22 22 2)()(K y b x y b x =+++?C P +=+=12021ln π2ρρ ετ???2 20 2ln π2C += ρετ ?图 1.7.13 两根带电细导线 下页 上页返回K 取不同值时，得到一族偏心圆。 a 、h 、 b 满足关系 22b a +2 22222 )12()11(?=+?+?K bK y b K K x 整理后，等位线方程[]0,h 圆心坐标圆半径 1 22?= K bK a 图1.7.14 两根细导线的等位线 b K K h 1 122?+=2 22 )1 2( b K bK +?=222)11(b K K ?+=2h =x y E E x y =d d 4 )2(2 1 2212 K b K y x +=?+根据，得到E x 和E y 分量 ???=E 图1.7.15 两细导线的场图 E 线方程 思考 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？ 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。 2. 电轴法 ) 1 1(π221 02 1 ρρρρετe e E ?= P ( 以y 轴为参考电位) 例1.7.3试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。 b ) 圆柱导线间的电场与电位解：a ) 取圆柱坐标系 1 2 0ln π2ρρ ετ?=p 2 2a h b ?=电轴位置下页 上页 返回 图1.7.16 平行传输线电场的计算 例1.7.4试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。 ?? ???+=?=?=212 2222 21212h h d a h b a h b 图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置 2 1,,h h b 确定 ?解： 下页 上页返回例1.7.6已知平行传输线之间电压为U 0, 试求电位分布。2 2)2 (a d b ?=?? ? ????+??????+= )()(ln )()(ln π200a h b a h b a h b a h b U ετ?? ?=?=h d a h b 22 2 2 解：确定电轴的位置 1 2 0ln π2ρρετ?=12 0ln ) ()(ln 2ρρ ?a h b a h b U ???+= 所以设电轴线电荷，任一点电位 τ±下页 上页 返回 图1.7.19 电压为U 0的传输线 镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的理论基础是： 镜像法（电轴法）的实质是： 镜像法（电轴法）的关键是： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意： 下页 上页 返回 工程范例 1.8.1 电容器的电容（Capacitance of Capacitor ) Capacitance and Distributed Capacitance 1.8 电容及部分电容 U Q C = 定义：pF μF,F,单位：电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。 工程上的电容器：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。 电容的计算思路： Q 解：设内导体的电荷为q ，则 q =?∫S d S D r r r q r q e E e D 2 02π4,π4ε==)1 1(π4d 0b a q U b a ?= ?=∫εr E 同心球壳间的电压a b ab U q C ?== 0π4ε球形电容器的电容a C 0π4ε=当时 ∞→b （孤立导体球的电容） 例1.8.1试求同心球壳电容器的电容。图1.8.1 同心球壳电容器 1.8.2 部分（分布）电容（Distributed Capacitance ) 1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数 图1.8.2 三导体静电独立系统 多导体系统静电独立系统部分电容 基本概念 下页 上页 返回 导体的电位与电荷的关系为 3 222110010q a q a q a q a ＋++=?) (3210q q q q ＋+?=3 322110020q b q b q b q b ＋++=?3 322110030q c q c q c q c +++＝?3 1321211110q a q q ＋αα?+=3 2322212120q a q q ++=αα?3 3323213130q a q a q a ++=?q α=?下页 上页 返回 导体i 电位的贡献； αi i —自有电位系数，表明导体i 上电荷对 α —电位系数，表明各导体电荷对各导体电 位的贡献； αi j —互有电位系数，表明导体j 上的电荷对 导体i 电位的贡献； 下页 上页 返回 矩阵形式 q α=? 2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 3 33232131332322212123132121111?β?β?β?β?β?β?β?β?β++=++=++=q q q β —静电感应系数，表示导体电位对导体电 荷的贡献； βii —自有感应系数，表示导体i 电位对导体i 电荷的贡献； βij —互有感应系数，表示导体j 电位对导体i 电荷的贡献。? ?βαq 1==?矩阵形式： 下页 上页返回 3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容 ） －（）－3113211211312111()(??β??β?βββ??++=q 13 1312121010U C U C U C ++=2323202021212U C U C U C q ++=30 30323231313U C U C U C q ++=u c q =矩阵形式 部分电容的性质 静电独立系统中n ＋1个导体有 个部分电容2 ) 1(+n n 部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连； 部分电容可将场的概念与电路结合起来。 图1.8.3 部分电容与电容网络 例1.8.2试计算考虑大地影响时，两线传输线的 部分电容及等效电容。已知d >>a , 且a < 32 ) 12(22)1(=+=+n n 21 122010,C C C C ==解：部分电容个数 由对称性，得 2 201221221121101)() (???τ???τC C C C +?=?+=(1) 图1.8.4 两线输电线及其电容网络 下页 上页 返回 电容与带电量无关，故,0,121==ττ则 d d h a h 220 20 14ln π212ln π21+= =ε?ε?利用镜像法，两导体的电位),ln π2(1 20a d r r >>= ετ代入式（2），得 2 1012122112110)(0)(1??????C C C C +?=?+=(2) 下页 上页 返回 图1.8.5 两线输电线对大地的镜像 联立解得 两线间的等效电容：) 42ln(π22 20 2010201012d h d d h C C C C C C e +?= ++ =εad d h h C 2 201042ln π2+= ε( ) ( ) 2 22222012)4(ln )2(ln 4ln π2d d h a h d d h C +?+= εd d h C hd d h a C d h a hd C a h C 2 2 102 2 0122 20120104ln π2124ln π21042ln π212ln π211+?++? =+?+?=εεεε下页 上页 返回 20 2021212121210101U C U C q U C U C q +=+=所以 2020210101 U C q U C q ==，静电屏蔽在工程上有广泛应用。 图1.8.6 静电屏蔽 三导体系统的方程为： 4. 静电屏蔽 当时，01=q 0 1212=U C 0 2112==C C ;010=U 说明1 号与2 号导体之 间无静电联系，实现了静电屏蔽。 下页 上页 返回 1.9 静电能量与力 1.9.1 静电能量(Electrostatic Energy )Electrostatic Energy and Force 1. 用场源表示静电能量 12 012 222π4R q q q W ε?==)(213333q q q q W +=?＝ q 3 从移到c 点，所需能量∞q 2 从移到b 点，需克服q 1 的电场力做功， ∞q 1 从移到a 点不受力，所需能量W 1=0，∞图1.9.1 点电荷的能量 总能量)(π41311 3233212210321R q q R q q R q q W W W W ++= ++=ε)]()()([π412123 23113233121213312210R q R q q R q R q q R q R q q +++++? =εi i i q q q q ????∑==++=3 1 33221121)(21推广1：若有n 个点电荷的系统，静电能量为 i n i i q W ?∑== 1 21单位：J （焦耳） 推广2 ：若是连续分布的电荷，l S V q d ,d ,d d τσρ=∫=V V W , d 1ρ?, d 1 ∫=S S W σ?∫=l l W d 21τ? 2. 用场量表示静电能量 ? ??????=??D D D )()（矢量恒等式 ∫∫?????=V V V V W ]d d ) ([21 ??D D ∫∫?+?=V S V d 21d 21E D S D ?J d 21 单位： V W V ∫?=E D 能量密度 3J/m 2 1 E D ?= w 因当时，面积分为零，故 ,1 3r D ∝?∞→r ,2r s ∝能量∫??V V d 21 D ?==∫V V W d 21ρ?下页 上页 返回 例1.9.1试求真空中体电荷密度为的介质球产生 的静电能量。 ρr r E r r E V W V V V d π421＋d π421d 21222022 1e 2 1∫∫∫=?= εεE D ??? ??? ?><=a r r a a r r r r e e E 2 0333ερερ）＋（0 521519π2εερa = 解法一由场量求静电能量 下页 上页返回解法二 由场源求静电能量 球内任一点的电位 )2－2(3 d π43/π4d π43/π4＝0 2 22203 2 3εεερερερ?a r a r r a r r r a a += +∫∫∞r 代入式（1）) 151(9π2 d π4)22(3210 5220 2 2202εερεεερ+=+?=∫a r r a r a W a d 21 ∫=V V W ?ρ(1) 下页 上页 返回 1.9.2 静电力(Electrostatic Force ) 1. 虚位移法( Virtual Displacement Method ) 功= 广义力×广义坐标 广义坐标距离面积体积角度广义力机械力 表面张力 压强 转矩 单 位N N/m N/m 2N m 广义力f ：企图改变广义坐标的力。广义坐标g ：距离、面积、体积、角度。下页 上页 返回 力的方向：f 的正方向为g 增加的方向。 （1）常电荷系统（K 断开）g f W d d 0e +=e d d W g f =?表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场. const e =??? =k q g W f 在多导体系统中，导体p 发生位移d g 后,其功能关系为外源提供能量=静电能量增量+电场力所作功g f W W d d d e +=即 图1.9.3 多导体系统( K 断开) ∑=k k q W d d ?∑∑+=g f q q k k k k d d 21 d ??外源提供能量的增量 说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。 （2）常电位系统（K 闭合）广义力是代数量，根据f 的“±”号判断力的方向。 const e =??= k g W f ?图1.9.4 多导体系统( K 闭合) 解法一：常电位系统 c d W f =??= ?e 0222 022 d S U d C U ε2 e 21CU W =d S C 0 ε=例1.9.3试求图示平行板电容器极板的电场力。 图1.9.5 平行板电容器 取d 为广义坐标（相对位置坐标） 负号表示电场力企图使d 减小，即电容增大。 下页 上页 返回 解法二：常电荷系统 S d q C q W 022 e 2＝21ε?= 0202 ==S q d W f c q ε负号表示电场力企图使d 减小，即电容增大。 2 2 0022 0022222d U S E S S D S f εεεε?=?=? =下页 上页 返回 2. 法拉第观点（Farade’s review ） 法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为 图1.9.9 根椐场图判断带电体受力 E D ?=2 1 f )m N (2下页 上页 返回 图1.9.7 电位移管受力情况 图1.9.8 物体受力情况 例1.9.5计算平板电容器中介质分界面上的压强。 图(a ) ）2 1221211 1(22121εε?= ?=?=D DE DE f f f 若，则力由 指向。21εε>2112 , ,0εεf f f ><结论: 分界面受力总是从大的介质指向小的介质。 εε下页 上页 返回 图1.9.10 平行板电容器 (a ) (b ) 图(b )2 1f f f ?=结论: 分界面受力总是从大的介质指向小的介质。 εε若，则力由 指向。2121 , ,0εεf f f ><21εε>(b ) ）(2 2121212 21εε?=?= E E D E D 静态场的应用 图1.9.11 静电分离 Steady Field Applications 图1.9.12 静电喷涂