ch10_2格林公式平面曲线积分路径无关性

格林公式及其在曲线积分求解中的应用

南昌工程学院 《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用 课程名称数分选讲 系院理学院 专业信息与计算科学 班级2012级1班 学生姓名魏志辉 学号2012101316 指导教师禹海雄 设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日

什么是曲线积分？？ 1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插 入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对 坐标轴的曲线积分了。

道路坐标计算公式

曲线坐标计算 1、曲线要素计算 （1）缓和曲线常数计算 内移距R l 24/p 2 s = 切垂距 23 s 240/2/m R l l s -= 缓和曲线角R l R l s s πβ/902/0??== （2）曲线要素计算 切线长 m R T ++=2/tan )p (α 曲线长 ?+=?-+=180/]180/)2([20απβαπR l R l L s s 外矢距 R R E -+=)]2/cos(/)p [(0α 切曲差 L T q -=2 2、主要点的里程推算

s s s S l YH HZ )/22l -(L QZ YH )/22l -(L HY QZ l +=+=+=+=-=ZH HY T JD ZH 检核： HZ T JD =-+q 3、方位角计算 根据已知JD1和JD2的坐标计算出 21JD JD -α 偏角βαα±=--211JD JD JD ZH ?±-=-18011JD ZH ZH JD αα 4、计算直线中桩坐标 (1)计算ZH 点坐标： ZH JD JD ZH ZH JD JD ZH T y y T x x --?+=?+=1111sin cos αα (2)计算HZ 点坐标： 2 11211cos cos JD JD JD HZ JD JD JD HZ T y y T x x --?+=?+=αα (3)计算直线上任意点中桩坐标 待求点到JD1的距离为i L 2 112 11sin cos -JD JD i JD i JD JD i JD i i L y y L x x HZ T L --?+=?+=+=αα里程 待求点里程 5、计算缓和曲线中桩坐标 (1)第一缓和曲线上任意点中桩坐标 在切线坐标系中的坐标为： s i s i Rl l y Rl l l x 6/)(40/3 25=-= ZH 到所求点方位角：

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

坐标计算方法

旋转坐标系法求缓和曲线坐标 1、旋转坐标系原理 1.1旋转公式 1cos 1sin 1sin 1cos x x y y x y αααα =-=+ 对于测量坐标系逆时针旋转为α取正值，顺时针为负。例如：原坐标系中的()1,1点，坐标系旋转45 °后，在目标坐标系为(。 1cos 451sin 4501sin 451cos 45x y =*?-*?==*?+*?=

2、利用旋转坐标计算缓和曲线任意点的坐标原理 利用缓和曲线坐标公式求 5913 48 16 3711 2610 14034565990401633642240l l l x l A A A l l l y A A A =-+-=-+ 然后旋转坐标轴，γ为方位角，把原坐标系逆时针旋转方位角。 1cos 1sin 1sin 1cos x x y y x y γγγγ =-=+ 3、用旋转坐标系法求曲线坐标 已知： ①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：0l ④过ZH 点的切线方位角：γ ⑤转向角系数：K (1或－1)左转为-1右转为1 计算过程： 3.1、求直缓点ZH 的坐标 3.1.1缓和曲线要素

A =2 03 00 2242240()tan 2 l p R l l m R T R p q α = =- =++ 00cos sin z z x x T y y T γγ =-=- 3.1.2求第一缓和曲线上任意点在原坐标系中的坐标 5913 4816 3711 2610 14034565990401() 633642240l l l x l A A A l l l y K A A A =-+- =-+ 左转为K=-1右转为K=1，因为右转时y1为正，左转时y1为负 3.1.3旋转坐标系 1cos 1sin 1sin 1cos z z x x x y y y x y γγγγ =+-=++ 3.2、求圆曲线上任意点的坐标 3.2.1求圆曲线上任意点在原坐标系上的坐标

圆曲线缓和曲线计算公式

圆曲线缓和曲线计算公式

圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类：默认分类|字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 学习园地2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的

计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。（一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资

曲线坐标计算

曲线坐标计算 一、 圆曲线 圆曲线要素：α---------------曲线转向角 R---------------曲线半径 根据α及R 可以求出以下要素： T----------------切线长 L----------------曲线长 E----------------外矢距 q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差） 各要素的计算公式为： ??=180π αR L (弧长) )12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数） 圆曲线主点里程：ZY=J D －T QZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －q JD=QZ ＋q ／2（校核用） 1、基本知识 ◆ 里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。 ◆ 表示方法：DK26＋284.56。 “+”号前为公里数，即26km ，“+”后为米数，即284.56m 。

CK ——表示初测导线的里程。 DK ——表示定测中线的里程。 Ｋ——表示竣工后的连续里程。 铁路和公路计算方法略有不同。 2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法） 已知条件：起点、终点及各交点的坐标。 1）计算ZY、YZ点坐标 通用公式： 2）计算曲线点坐标 ①计算坐标方位角 i 点为曲线上任意一点。 li 为i 点与ZY点里程之差。 弧长所对的圆心角 弦切角 弦的方位角 当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。 ②计算弦长

③计算曲线点坐标 此时的已知数据为： ZY（x ZY，y ZY）、 ZY- i、C。 根据坐标正算原理： 切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得： 利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得： 式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。当起点为ZY 时，“±”取“＋”，X0=X(ZY), Y0=Y(ZY), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入；当起点为YZ时，“±”取“-”，X0=X(YZ), Y0=Y(YZ), 曲线为左偏时应以y i=-y i代入； 注：1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2、切线性质圆的切线与过切点的半径相垂直 3、弦切角定理弦切角等于它所夹弧上的圆周角 4、弧长公式 由L/πR=n°/180°得L=n°πR/ 180°=nπR/180 二、缓和曲线（回旋线） 缓和曲线主要有以下几类： A：对称完整缓和曲线（基本形）------切线长、ls1与ls2都相等。B: 非对称完整缓和曲线---------------切线长、ls1与ls2都不相等

曲线积分和格林公式学习总结

高 数 作 业 姓名：徐艳涛 班级：电子商务1133 学号：201161102348

曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、s z y x f d ),,(? Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数 ) ,,(z y x f 中的点) ,,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ = ; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ = = = ; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(2 2 += ?Γ 4、第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)() () (t z z t y y t x x ，β α ≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ =? β α )) (),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[2 2 2 ++。 例1 计算? Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π 20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++) 3 82(22)1(3 2 20 πππ + = += ?dt t 例2 ?Γds y ||，其中Γ为球面2 2 2 2 =++z y x 与平面y x =的交线； 解 Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos = ==，π 20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=， 根据对称性得到? L ds y ||=2 4d cos 24 2 =?t t π 例3 计算?Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中:Γ???? ?==+1 222z a y x )0(>a 解 Γ:?? ? ??===1sin cos z t a y t a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222 ∴ ?Γ ds z y x )(2 22++) 1(2)1(2 2 20 +=+= ?a a adt a ππ

公路坐标计算公式

一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度

α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式

公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径

P1——曲线起点处的曲率 P2——曲线终点处的曲率 α——曲线转角值 四、竖曲线上高程计算 已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”) ②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”) ③变坡点桩号：S Z ④变坡点高程：H Z ⑤竖曲线的切线长度：T ⑥待求点桩号：S 计算过程： 五、超高缓和过渡段的横坡计算

曲线积分和格林公式

什么是曲线积分？？ 1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界， 在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx 或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;

）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出 4.格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【证明】先证

圆曲线和缓和曲线坐标推算公式(附带例题)

圆曲线和缓和曲线坐标推算公式 一、直线上的坐标推算 ???++0i m i 0i m i sina L Y Y cosa L X X ＝＝ 式中：Xm 、Ym ——直线段起点M 坐标 Li ——直线段上任意点i 到线路起点M 的距离 a 0——直线段起点M 到JD1的方位角 二、圆曲线上任一点的坐标推算 ①、圆曲线上任一点i 相对应的圆心角：i i L R 180π?? ＝ 式中：Li ——圆曲线上任一点i 离开ZY 或YZ 点的弧长 ②、圆曲线上任一点i 的直角坐标：???-）（＝＝i i i i cos 1R Y Rsin X ??（可不计算）.

③、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的偏角：i i i L R 902 π?? ?＝ ＝ ④、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的弦长：)sin(2)2 sin( 2C i i i R R ?=?＝ ⑤、圆曲线ZY 或YZ 点到任一点i 的弦长的方位角：i jd y z jd zy i a a ?±→→或＝ ⑥、所以圆曲线上任意点i 的坐标为：???++i i YZ ZY i i i YZ ZY i sina C Y Y cosa C X X 或或＝＝ 例题： 已知一段圆曲线,R=3500m ，Ls ＝553.1m ，交点里程K50+154.734，ZY 点到JD 方向方位角为A=129°23′18.3″，右偏9°3′15.8″，ZY 点里程K49+877.607，YZ 点里程K50+430.707，起点坐标为x ＝389823.196，y ＝507787.251，求K50+200处中点坐标及左右各偏12.5m 的坐标。 解：K50+200处的曲线长度为Li ＝322.393m K50+200相对应的方位角："'?????52.39165393.3223500 180L R 180i ＝＝＝ππa K50+200相对应的偏角："'???? ??76.19382393.3223500 90L R 902 i i i ＝＝＝ ＝ ππ? K50+200到zy 点的弦长：m 279.32276.19382sin 35002Rsin 2C i i ＝＝＝"'???? zy 点到K50+200中桩的方位角： "'?"'?+"'??+→06.38113276.193823.1823129a a i jd zy i ＝＝＝ K50+200左、右偏12.5m 的方位角： "'??-"'??-+82.5739449082.573913490a a ＝＝＝左i A "'??+"'??++82.57391349082.573913490a a ＝＝＝右i A 所以K50+200处的坐标为： ?? ?"'??++"'??++6484 .50802606.381132sin 279.322251.507787sina C Y Y 4354 .38960706.381132cos 279.322196.389823cosa C X X i i ZY i i i ZY i ＝＝＝＝＝＝

曲线积分与格林公式学习总结

曲线积分与 格林公式学习总结 王德才 201121102340 电子商务1133班

一、 曲线积分 1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(?Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数) ,,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ （1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ =; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ ===; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=?Γ （2）第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ=?β α))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。 例1 计算? Γ ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++)3 82(22)1(3 2 20 πππ +=+= ?dt t 3第一类曲线积分 （1 ）公式：= 应用前提: 1）曲线L 光滑,方程可以写成为:

坐标计算公式

坐标计算公式 一、计算公式 1、圆曲线坐标计算公式β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角 △X=sinβ×R △Y=(1-cosβ)×R C= β △X、 △Y X、 X1、 α R 2 L代表起算点到准备算的距离。 LS代表缓和曲线总长。 X1、Y1代表起算点坐标值。 3、直线坐标计算公式 X=X1+cosα×L Y=Y1+sinα×L

X1、Y1代表起算点坐标值 α代表直线段方位角。 L代表起算点到准备算的距离。 4、左右边桩计算方法 X边=X中+cos（α±90°)×L Y边 90° 例题 α( 求 解: Y=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943 求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m. 解:根据公式线路左侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082

Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384 线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680 Y边 Y边 例题 α(ZH 求 解: β=｛ 里程左右边桩, 解:根据公式线路左侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182 Y边=Y中+sin （α±90°)×L Y边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246

曲线积分及其及路径无关问题

曲线积分与路径无关问题 1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为 ),(y x ρ求弧AB 的质量m 。 ?=L ds y x f m ),(, (2)若BA L AB L ==21,，则?1 ),(L ds y x f =?2 ),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分 与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为???==) () (t y t x ψ? ， )(βα≤≤t ,其中)(t ?、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψ?， 则曲线积分?L ds y x f ),(存在，且 ? L ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψ?ψ?β α +?? )(βα< 特别,当1),(=y x f 时, ? L ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。 当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则 ? L ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d a )(1)(,2'+??； 把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程? ??==)(x g y x x ，)(b x a ≤≤， ? L ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d c )(1),(2'+?? )(d y c ≤≤ 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线 L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

第二节 第二类曲线积分与格林公式

第二节第二类曲线积分与格林公式 一、单项选择题 ()()() ()()()()() 2()A.2 B.1 C. 1 1.L 1A 1,0B 0,1L 12A D.2 2.2 A. 1 B.e 1 1,0B 1,2 L y y L x y x y x y dx dy e x dx xe y dy e y +-=--++-=-+=-=+??设为直线上从点到的直线段，则设为抛物线-上从点到的一段弧，则()()2223222 C.e 5 .5 sin 3.A(2,0)B(0,0)31cos 1sin 3 A. e (12)1 B. 2e (12)1 C. 3e (12)1 D. 4x L D e x t t L x y xe dx y t x y y dy πππππππ-+=-?+?=-? ??+ ??-? ??----?? ??--???从点到点如果是摆线的一段弧，则的值为( )()()()()() 22223e (12)14..d d .d d .d d .d d 5.0,01,1d (sin )d 7 A. cos1 B. 4L L L L L A x y x y B x x xy y C x xy y D y x x y L y x x y x x y y ππ??--?? +++++=--+=-?????积分值与路径无关的是设是上从点到点之间的有向弧，则()()()()()()()() 26.L 1,0,0,00,1L 7.0,0077 7cos1 C. D. 4444 (3)d (2)d A. 0 B. 1 C. 2 D ,11,1. 1 A. L L x y x x y y x dy ydx L π----+-=-+=-?? 设为三个顶点分别为和的三角区域的边界，的方向为顺时针的方向，则为从点经点到点的折线，则1 B. 2 C. 0 D. 1 -

EXCEL曲线坐标计算公式

公式解析一．坐标转换 X =A +N COSα-E SINαY =B +N SINα+E COSαN=(X-A) COSα±(Y-B)SINαE=(Y-B)COSα±(X-A)SINα A,B为施工坐标系坐标原点α为施工坐标系与北京坐标系X轴的夹角（旋转角）即大地坐标系方位角X,Y为北京坐标值N，E为施工坐标值 二．方位角计算 1.直线段方位角: α=tanˉ1 [(Y b-Y a)/(X b-X a)] 2.交点转角角度: α=2 tanˉ1 (T/R) 计算结果①为﹢且＜360，则用原数; ②为﹢且＞360，则减去360; ③为﹣，则加上180. 3.缓和曲线上切线角: α=?ZH±90°*Lo2/(π*R* Ls） α= Lo/(2ρ)=Lo2/(2 A2)=Lo2/(2R*Ls) ρ—该点的曲率半径 4.圆曲线上切线角: α=?HY±180°*Lo/(π*R） ?ZH—直缓点方位角, ?HY—缓圆点方位角, 注：以计算方向为准，左偏，取"﹣"；右偏，取"﹢"。 左偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹣"，第二段缓和曲线上取"﹢" ； 右偏，则第一段缓和曲线和圆曲线上取"﹢"，第二段缓和曲线上取"﹣" .。 。 符号说明: A—回旋线参数（A2=R* Ls）Ls—缓和曲线长度R—曲线半径Lo—曲线长度：计算点位到特殊点(ZH、HY、YH、HZ)的长度

三．坐标值计算 1．直线段坐标计算公式： 直线两端点A.B间距离为S；A点坐标为A(X a, Y a)；方位角为αX b= X a+S*cosα Y b= Y a+S*sinα 2．缓和曲线及圆曲线坐标计算公式： ①缓和曲线坐标计算公式： X=X ZH+(Lo-Lo^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls^4)-Lo^13/( 599040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R^8*Ls^8))*cosα-(Lo^3/(6 *R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*Ls^3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(9 676800*R^7*Ls^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))*sinα Y=Y ZH+(Lo-^5/(40*R^2*Ls^2)+Lo^9/(3456*R^4*Ls^4)-Lo^13/(59 9040*R^6*Ls^6)+Lo^17/(175472640*R^8*Ls^8))*sinα+(Lo^3/(6* R*Ls)-Lo^7/(336*R^3*Ls^3)+Lo^11/(42240*R^5*Ls^5)-Lo^15/(96 76800*R^7*Ls^7)+Lo^19/(3530096640*R^9*Ls^9))* cosα 符号说明: X ZH—直缓点X坐标值Y ZH—直缓点Y坐标值A—回旋线参数（A2=R* Ls）Lo—计算点位到特殊点的长度Ls—缓和曲线长度R—曲线半径α—方位角 注:式中，紫色部分为缓和曲线任意点的坐标增量(支距坐标)。第一段缓和曲线从直缓点计算到缓圆点(Z H→HY)，第二段缓和曲线从缓直点计算到圆缓点(HZ→YH)，与第一段计算方向相反。

曲线积分和路径的无关性

§ 22.2曲线积分和路径的无关性 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。对同一 个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。 在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。 定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数， D 是单连通区域，则 F 列命题等价： ⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有 P x,y dx Q x, y dy 0。 C ⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分 P x, y dx Q x, y dy I 与路径无关（只依赖曲线的端点）。 ⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ； P Q ⑷ 在D 内处处成立。 y x 定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时， 如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么 x,y U x, y Pdx Qdy x o ,y o 在D 内连续并且单值。这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。 原函数的求法: （1）U x,y x P x, y dx x y Q x 0, y dy C ； y o 或 x y （2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。 y o 例1 :求原函数u

(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy； 2 2 (2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。 定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。于是，对D内任一闭路C C Pdx Qdy n , 这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。 例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。 x y

圆曲线坐标计算公式带例题

圆曲线坐标计算公式 β=180°/π×L/R （L= βπ R/180°）弧长公式β为圆心角 △X=sinβ×R △Y=(1-cosβ)×R C= 弦长 X=X1+cos (α ±β/2)×C Y=Y1+sin (α ±β/2)×C β代表偏角,（既弧上任一点所对的圆心角）。β/2是所谓的偏角（弦长与切线的夹角）△X、△Y代表增量值。 X、Y代表准备求的坐标。 X1、Y1代表起算点坐标值。 α代表起算点的方位角。 R 代表曲线半径 缓和曲线坐标计算公式 β= L2/2RL S ×180°/π C= L - L5/90R2L S2 X=X1+cos (α ±β/3)×C Y=Y1+sin (α ±β/3)×C L代表起算点到准备算的距离。 LS代表缓和曲线总长。 X1、Y1代表起算点坐标值。 直线坐标计算公式 X=X1+cosα×L Y=Y1+sinα×L X1、Y1代表起算点坐标值 α代表直线段方位角。 L代表起算点到准备算的距离。 左右边桩计算方法 X边=X中+cos（α±90°)×L Y边=Y中+sin（α±90°)×L 在计算左右边桩时，先求出中桩坐 标，在用此公式求左右边桩。如果 在线路方向左侧用中桩方位角减去 90°，线路右侧加90°，乘以准备算 的左右宽度。 例题:直线坐标计算方法 α(方位角)=18°21′47″X1=84817.831 Y1=352.177 起始里程DK184+714.029 求DK186+421.02里程坐标

解:根据公式X=X1+cosα×L X=84817.831+COS18°21′47″×(86421.02—84714.029)=86437.901 Y=Y1+sinα×L Y=352.177+sin18°21′47″×(86421.02—84714.029)=889.943 求DK186+421.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m. 解:根据公式线路左侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86437.901+cos(18°21′47″- 90°)×3.75=86439.082 Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=889.943+sin(18°21′47″- 90°)×3.75=886.384 线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86437.901+cos(18°21′47″+ 90°)×7.05=86435.680 Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=889.943+sin(18°21′47″+90°)×7.05=896.634 例题:缓和曲线坐标计算方法 α(ZH点起始方位角)=18°21′47″X1=86437.901 Y1=889.941 起始里程DK186+421.02 曲线半径2500 缓和曲线长120m 求HY点坐标,也可以求ZH点到HY点任意坐标 解:根据公式β=L2/2RLS×180°/π β=｛1202/(2×2500×120)｝×(180°/π)= 1°22′30.36″ C=L-L5/90R2LS2 C=120-1205/(90×25002×1202)=119.997 X=X1+cos(α±β/3)×C X=86437.901+cos(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=86552.086 Y=Y1+sin(α±β/3)×C Y=889.941+sin(18°21′47″-1°22′30.36″/3)×119.997=926.832 求DK186+541.02里程左右边桩,左侧3.75m,右侧7.05m. 解:根据公式线路左侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=86553.182 Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)- 90°｝×3.75=923.246 线路右侧计算: X边=X中+cos（α±90°)×L X边=86552.086+cos｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=86550.026 Y边=Y中+sin（α±90°)×L Y边=926.832+sin｛(18°21′47″-1°22′30.36″)+ 90°｝×7.05=933.574 缓和曲线方位角计算方法 α=(起始方位角±β偏角)= 18°21′47″-1°22′30.36″=16°59′16.64″ 注:缓和曲线在计算坐标时,此公式只能从两头往中间推,只能从ZH点往HY点推,HZ点往YH

第十一章曲线积分及格林公式习题课

第十一章 曲线积分及格林公式习题课 一、原式111000(11xdx x x ydy = ++?+=∫∫∫ 二、原式40002(1)4a a x a a ae e dx e ad e ππθ= ++=?+∫∫ 三、原式2222001(cos sin cos sin )(1cos 4)44 t t t t dt t dt π ππ=+=?∫∫= 四、（1）22 22(1)((1))Q P x y 2 x y x y ????==???+，原式0= （2）:1cos ,sin ,:02l x r t y r t t π=+=→ 原式()()2222222201cos sin 21l ydx x dy r t r t dt r x y ππ????==?+∫∫ v =? 五、2y xy ?′=2()，x x ?= 原式()()22 1,122 (1,1)(0,0) 0,01|22x y xy dx yx dy =+=∫= 六、 22 :()()1D x a y a ?+?≤ 左式11[ ()][()]22()()D D D x d x d d y x ?σ?σσ??=+=+≥=∫∫∫∫∫∫π §11.4 对面积的曲面积分 §11.5 对坐标的曲面积分(1) 一 . 1. :z Σ=，，22:D x y a +≤ 2dS = 原式D zdS a 3πΣ===∫∫∫∫ 2. 原式2222dS Rh h R R R ππΣ ===∫∫ 3. 原式1100(1(1)120 x D xy x y dx xy x y dy ?=??=??=∫∫∫ 二 . 222 1)2x y M zdS rdr 15πσπΣ+≤====∫∫∫∫ 三. (,,)(,,0)R x y z dxdy R x y dxdy ∑∑=±∫∫∫∫