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_周髀算经_光程极限数值来由新探

《自然科学史研究》 第24卷 第1期(2005年):84~90

S tudies in the H istory of N atural Sciences Vol.24 No.1(2005)

《周髀算经》光程极限数值来由新探

陈斌惠

(清华大学科学技术史暨古文献研究所,北京100084)

摘 要 《周髀算经》中光程极限167000里这一概念和数值在整个《周髀

算经》宇宙体系中占有重要的地位。唐如川和陈文熙认为日出和日落时分,太

阳离周城的距离就是光程极限,但在具体推算上还存在一些问题。如果考虑

《周髀算经》中春秋分与实际春秋分的时间差(《周髀算经》中的春秋分按照四分

法计算得来),以及由于地球轨道近日点的变化(117度/世纪)所导致的春秋分

时间的变动,则可得到比较精确的结果,从而使这一数据的来由得到比较合理的

说明。

关键词 《周髀算经》 光程极限

中图分类号 N092∶P12092

文献标识码 A 文章编号 100020224(2005)0120084207

1 问题的缘起

《周髀算经》是中国现存最古老的一部天文学、算学著作。为了解释昼夜现象和昼夜长短随太阳轨道迁移的变化,书中引入了光程极限这一概念,有关原文见下:

“春分之日夜分以至秋分之日夜分,极下常有日光;秋分之日夜分以至春分之日夜分,极下常无日光。故春秋分之日夜分之时,日光所照适至极,阴阳之分等也。冬至夏至者,日道发敛之所至,昼夜长短之所极。春秋分者,阴阳之修,昼夜之象。昼者阳,夜者阴;春分以至秋分,昼之象,秋分以至春分,夜之象。故春秋分之日中,光之所照北至极下,夜半日光之所照亦南至极,此日夜分之时也。故日照四旁各十六万七千里。人所望见,远近宜如日光所照。”[1]

由述文可知,日光向四周照射的极限距离或者说光程极限是167000里,而人极目远望所能见到的距离也是同样数值。也就是说,日光照不到167000里之外,人也不可能看见167000里之外的景物,当太阳离人167000里之外时,人眼看不到太阳,人所处的位置就是黑夜;反之当太阳离人167000里之内时,人眼可以看到太阳,人所处的位置就是白天。

收稿日期:2003207221;修回日期:2004207206

作者简介:陈斌惠,1974年生,湖南常德人,清华大学科学技术史暨古文献研究所硕士研究生。

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《周髀算经》在引入日照四旁167000里之后,在说明现象方面取得了相当程度的成功。书中指出,“冬至之日正东西方不见日”;“冬至昼极短,日出辰而入申。阳照三,不覆九,东西相当正南方。夏至昼极长,日出寅而入戌。阳照九,不覆三,东西相当正北方。”这些都与观测事实相符。程贞一、席泽宗曾就此指出:

“由这光照半径,陈子模型大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化。……同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象。”[2]

此外,《周髀算经》还通过光程极限提出了宇宙直径的概念,从而构造了一个完整的宇宙模型。

光程极限167000里这个数据在《周髀算经》的宇宙体系中虽十分重要,但原书中并没有对这一数据的来由给出详细的说明,因而其来由成为历代《周髀算经》研究的主要问题之一。

2 前人对于光程极限数据来由的解释

前人对于这一数据的来由归纳起来主要有四种不同的解释。

第一种是汉代赵爽的注。赵爽根据“春秋分日夜分之时,日光所照适至极”认为光程极限等于中衡半径减去璇玑半径。这一解释虽然数值上不差分毫,但没有任何物理上的实在意义。

第二种解释以钱宝琮([3],44页)和曲安京[4]为代表。认为,167000里的光程极限是由设定的宇宙直径810000里推导而来,因为81在阴阳学家眼里是一个最完整的数字。这种解释摒弃了理性的科学思维,而带有神秘主义的色彩。同时我们也很难理解根据一个具有特殊地位的数字推出来的光程极限就恰好在说明现象方面能够取得相当程度的成功。如果在阴阳学家眼里最完整的数字不是81而是另外一个数字,是不是光程极限也要相应改变呢?但我们知道没有其他数值在说明现象方面能够比167000里更加成功。

第三种解释以江晓原为代表,认为光程极限167000里和“勾之损益寸千里”一样,是《周髀算经》宇宙模型引入的一个公理。《周髀算经》是建立在公理基础上的演绎体系[5]。但是公理的引入一般是说明两者之间不证自明的定性关系,似还没有一个包含具体数值在内的公理。具体数值只能通过观测或计算得来,或是人为规定。人为规定的情况,比如:1米等于100厘米,一个圆周等于360度等等。只有光程极限概念在《周髀算经》中可以作为公理存在,而不能将光程极限等于167000里作为公理,以此回避这一数值的来由。

第四种解释以唐如川和陈文熙为代表([3],42~47页)。他们认为167000里应当从日出和日落出发,根据计算得来。这种思路符合科学思维,但在具体方法上还存在一些问题,因而都未能获得令人满意的结果。其中唐如川于1957年从夏至和冬至方位计算周城在日道平面投影处的日距。冬至计算结果误差较大而夏至计算的结果为166941里,与167000里十分接近。但是唐如川在计算夏至日出方向时采用了正东北方,而根据陈遵妫按周城纬度估算,夏至日出的方向应当为东偏北30度。二者相距过远。同时,即使

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图1 春分日落图结果等于167000里,这个距离也不是太阳到周城的距离,因而还是不能说明昼夜的成因。陈文熙在《平天说》一文中选取春分落日进行计算,试图证明日落时太阳与周城的连线距离等于167000里。这种思路与光程极限的定义相一致,具体计算见春分落日图(图1)。图中,设SS′代表东西,P M代表南北,P M⊥SS′,OM⊥SS′,PS =中衡半径=178500里,P M=周城与极下的距离=103 000里,OM=天平面高度=80000里,OS2=O M2+PS2-P M2=27653250000,∴OS=166293里。这个结果精度较高,误差仅为014%,但由于《周髀算经》中的春分是用四分法计算得来的,并不是真正意义上的春分,因此,在《周髀算经》中的春分这天,太阳升落的方位并不是正东西方。这时就存在一个角度差。这个角度差在

陈文熙的计算中既无法排除也无法定量。这种情况下就断言,角度差会在一定程度上和计算结果的误差相抵消根据不足。这是陈文熙解释的一个主要缺陷。

3 重新探讨光程极限数值来由的主要依据

可以参照陈文熙的《平天说》一文,以天和地为两个相互平行的平面进行计算。关于《周髀算经》宇宙模型还存在一个平天、盖天之争。但在处理各种计算时,大多数学者都不同程度地认可平天模型。陈美东在《中国科学技术史?天文学卷》中即指出:“因地为平面,天亦为平面”[6]。

光程极限这一概念及其具体数值的引入在说明昼夜成因方面取得了相当的成功。因此,可以将结果视为导入这一概念的目的。即,引入光程极限这一概念主要是为了说明昼夜成因问题。否则引入光程极限就没有任何意义。我们有理由相信,古人在构造这一宇宙模型的时候所引入的每一个新概念都是有其实际意义的,而不会随意引入不必要的概念。这与现代科学中新模型、新概念的提出是一致的。而引入光程极限的结果也说明了这一概念在整个《周髀算经》宇宙模型中的意义。

既然引入光程极限这一概念是为了说明昼夜成因,其具体数值的得来也只能从昼夜现象上着手,即日出和日落时分,太阳离周城的距离就是光程极限。接下来的问题就在于怎样计算日出或日落时分太阳到周城的直线距离了。

在天地皆为平面的情况下,只要知道太阳运行轨道的半径和太阳升落的方位,就可以计算出太阳到周城的直线距离。由于当时的数学水平,还不能对任意角度的三角形进行计算,只能运用勾股定理对直角三角形进行计算。因此古人一定会选取太阳升落在正东西方时进行计算,但这一天并不是《周髀算经》中的春、秋分。这一点非常关键,必须将两者严格地区分开来。陈文熙的局限就在于他虽然看到了两者的区别,但在计算中却没能完全区分开。

需要说明的是,为什么不能按《周髀算经》中的春、秋分进行计算。《周髀算经》中的春、秋分是按四分法直接计算而来的。其意义在于太阳刚好运行在中衡上,其轨道半径为

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178500里,而与太阳升落方向无关。由此可见,《周髀算经》中的春、秋分与后来的春、秋分从根本上说是两个不同的概念,而不仅仅是时间上的差异。《周髀算经》全文中没有提到过太阳在春、秋分时从正东西方升落也就毫不奇怪了。江晓原认为根据167000里的光程极限计算,在春、秋分时太阳升落的方向不在正东西方,而对《周髀算经》加以指责是没有道理的[7]。因为江所说的春、秋分是《周髀算经》中的春、秋分,与日出方位并没有任何必然的关系,更不需要太阳在这一天从正东西方升落。在《周髀算经》中春、秋分时太阳不从正东西方升落才是正确的。如果根据光程极限计算太阳在春、秋分时刚好从正东西方升落,反而说明计算有误,或是精度不高了。

在澄清两个不同的春、秋分概念之后,再看光程极限数值的计算问题,其实很简单。古人可以观测到某一天太阳刚好从正东西方升落,(这一天应当是现代意义上的春、秋分,但当时并没有这个概念)然后根据这一天在一年中的位置(或者说距离冬夏二至的时间)来计算这一天太阳运行的轨道半径。因为在《周髀算经》的宇宙模型中,太阳轨道的半径是在内外衡之间匀速变化的。冬至时半径最大为238000里,夏至时最小为119000里。其余时间轨道半径在两者之间。知道太阳在正东西方升落,又知道太阳运行的轨道半径,这样就可以用勾股定理计算此时太阳到周城的距离了,也就是可以计算光程极限的数值了。无论是从计算方法上还是从计算的精度上来说,古人进行这样的计算都是没有问题的。勾股定理全书曾多次应用,而计算的精度,在上卷中计算“夏至之日,日下至周”时就曾经达到015里。

4 古时春、秋分的位置问题

古人利用圭表测得的冬夏二至和现代意义上的冬夏二至是一致的。古人测得的太阳从正东西方升落的这一天也正是现代意义上的春、秋分。就现在而言,从冬至到第二年春分的时间大概是89天,利用这个数据计算误差较大。根据现代天文学,由于地球轨道近日点的变化(117度/世纪),两个节气之间的时间长度也是变化的。查阅张培瑜著《3500年历日天象》[8]可以知道,在公元元年前后约500年的时间内上年冬至到下年春分的时间长度约为90天,再往前推这个时间长度是91天到92天左右。那么我们应当选取一个什么样的时间长度进行计算呢?反过来也就是说要先求出古人通过计算得到167000里这个数据时,冬至与春分之间的时间差是多少?

需要特别说明的是,在下面的计算中先是根据167000里这一数值推得当时的春秋分时间(或《周髀算经》大致成书时间),再用这一结果反过来求167000里这一数值。从表面上看,这种方式相当于循环论证。但其意义在于指出167000里这一数值有可能是古人通过观测与计算得到的,而且具有非常好的精度。

5 具体数值的计算

511 太阳运行轨道半径的变化率

太阳在冬至日的轨道半径为238000里,在夏至日的轨道半径为119000里。冬夏至

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之间相隔半个回归年,即1821625天。太阳轨道半径从冬至开始每天都会缩短一些。这个数值是:(238000-119000)÷1821625=651161里/天。

512 反推《周髀算经》大致成书时间

当光程极限等于167000里时,真正意义上的春分这天也就是古人进行观测的这一天,日出时太阳到周城的直线距离是167000里,太阳在地面上的投影距离周城的距离:

SM=SO2-MO2=1670002-800002=146591(里),

这时太阳轨道的半径:

SP=SM2+P M2=1465912+1030002=179159(里),

太阳距离外衡即冬至日轨道 238000-179159=58841(里)。按照太阳轨道匀速变化,这一天距离冬至的时间应当是 58841÷651151≈9013天。也就是说,当时冬至到真正春分的时间长度是9013天。通过查阅《3500年历日天象》,观测到这个数值的大致年代应当在公元前250年左右。这个年代与现在一般认为《周髀算经》成书不晚于公元前100年大致相符,也与一般认为《周髀算经》中的部分内容可以上溯到战国时期相一致。

513 光程极限的计算

根据上面求得的年代大约在公元前250年左右,上年冬至到下年太阳从正东方升起的那一天(即真正意义上的春分)的时间长度为9013天。这个观测精度在当时是应该可以达到的。因为古人可以利用测定回归年的长度时所使用的方法,通过多年的观测来得到这个平均数字。利用9013天按照和上面相反的方法计算可得春分日出时太阳到周城的直线距离为16700015里。具体计算如下:

春分日太阳轨道半径为:

SP=238000-9013×651161=17915916(里)

光程极限:

SO=SP2-P M2+OM2=1791602-1030002+800002=16700015(里)这一数据与167000里的误差仅为百万分之三。由于这一数据是一个理论常数,在科学史上处理各种理论数据的时候,往往会用理论与实际观测得到的结果相互修正。对16700015进行修正而取整数是很自然的事。

514 观测精度不够情况下光程极限的计算

假设当时对于春分日(真正春分日,即观测太阳从正东方升起的那天)的直接观测达不到013天的精度,结果又会怎样呢?我们知道,在《周髀算经》中的春、秋分是由四分法直接计算得来的,在《周髀算经》中冬至到春分的时间长度为365125÷4=9113天,这与公元前250年左右,上年冬至到下年春分的实际时间长度9013天刚好相差1天。在观测精度不高的情况下,得出太阳在正东方升起的这一天为春分的前一天的结论应该是没有问题的。也就是说观测的误差不大于1天,在当时是能够做到的。虽然观测精度不高,但当时的计算精度还是很高的。在已知冬至到春分的时间为9113天的情况下,又知道太阳从正东方升起的这一天在春分的前一天。这时仍然可以得出从冬至到太阳从正东方升起的那天(真正春分)的时间长度为9113-1=9013(天)。光程极限的计算结果仍然和前面一样。

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6 关于选择秋分进行计算的补充说明

从理论上说古人既有可能利用现代意义上的春分计算光程极限,也有可能利用现代意义上的秋分计算光程极限。由于实际春、秋分在《周髀算经》七衡六间图中的位置是不重合的,因此选取秋分进行计算可能会得到不同的结果。但是,如果固定夏至日太阳运行的轨道半径为119000里,在公元前250年左右,以夏至到真正的秋分日的时间长度来求秋分日太阳运行的轨道半径,再计算此日日出或日落时太阳到周城的直线距离,同样能够得到非常近似的结果。具体计算如下:首先查得,公元前250年左右夏至到秋分的时间长度为9213天左右。秋分日太阳轨道距离夏至日太阳轨道为9213×65116=60143(里)。秋分日太阳轨道半径为119000+60143=197143(里)。此日太阳从正东西方升落。升落时太阳到周城的直线距离为166983里,误差为万分之一。这个误差虽比利用冬至到春分的时间长度计算的结果要大一些,但仍然可以认为是很小的。

通过上面的论述,可以得出两点结论:(1)光程极限的大小应当等于日出或日落时分太阳到周城的直线距离。以当时的观测能力和数学水平有可能通过实测与计算求得这一距离。(2)如果能够将光程极限167000里这一数值建立在观测和计算的基础之上,则不必预设一个810000里的宇宙直径,从而,使《周髀算经》宇宙模型中的所有数据都可以建立在实际观测和数学计算的基础之上。

参考文献

1 赵爽注.周髀算经[M].北京:商务印书馆,1957.

2 程贞一,席泽宗.陈子模型和早期对于太阳的测量[A].中国古代科学史论?续篇[C].京都大学人文科学研究所, 1991.367~383.

3 陈文熙.平天说[J].科学技术与辩证法,1995,12(2).

4 曲安京.《周髀算经》的盖天说:别无选择的宇宙结构[J].自然辩证法研究.1997,13(8):37~40.

5 江晓原.周髀算经———中国古代惟一的公理化尝试[J].自然辩证法通讯,1996,18(3):43~48.

6 陈美东.中国科学技术史?天文学卷[M].北京:科学出版社,2003.140.

7 周髀算经[M].江晓原,谢筠译注.沈阳:辽宁教育出版社,1996.35~36.

8 张培瑜.3500年历日天象[M].郑州:大象出版社,1997.887~917.

A New I nqu i ry on the Va lue of Ulti m a te L i ght D ist ance

i n Zhou B i Suan J ing

CHEN B inhui

(Institute of S&T H istory and Ancient D ocum ents,Tsinghua U niv.,B eijing100084,China) Abstract According t o Zhou B i Suan J ing(A rithmetical Classic of the Gnomon and the Circu2 lar Paths),the sun could illum inate an area only167000li in diameter.This concep ti on and numeri2 cal value occup ied a very i mportant position in the cos m ic system of Zhou B i Suan J ing.The cause of the above value is one of the most i mportant issues in the study of Zhou B i Suan J ing over the years.

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Tang Ruchuan and Chen W enxi p r obed this issue in the pers pective of rationality and held the view that at sunrise or sunset the distance bet ween the sun and Zhoucheng is the ulti m ate light distance. But as p r oblem s existed in inference,they did not obtain a satisfact ory result.

I f the ti m e err or bet ween the equinox in Zhou B i Suan J ing and in reality and the alteration of the ti m e of equinox caused by the change of perihelion(117degree/c)are taken int o considerati on, we may obtain a comparatively accurate result.So the cause for the data of ulti mate light distance can be exp lained reas onably.

Key words Zhou B i Suan J ing,ulti mate light distance

责任编辑:康小青《陈国符道藏研究论文集》由上海古籍出版社出版

2004年上海古籍出版社出版了《陈国符道藏研究论文集》。该文集是由南开大学历史系陈生玺教授整理编辑的。

陈国符先生(1914~2000年)是中国著名化学家,又以道藏研究称誉国际汉学界。他一生致力于纤维素化学的教学与研究工作以及道藏、中国炼丹史的研究。自上世纪30年代接触中国炼丹术,40年代在昆明西南联合大学利用教学之余系统研究道藏,著成《道藏源流考》(中华书局,1949、1963年),开辟了道藏学这一新的学术领域。“凡是读《道藏》者,必先读此书。”此后,陈先生先后在北京大学、天津轻工业学院、天津大学任教,著述不辍,道藏研究伴随一生,是中国三大宗教研究家之一(佛教汤用彤、伊期兰教马坚、道教陈国符)。论文集收录了陈国符晚年的12篇论著,并用附录的形式把未曾发表的一些札记、手稿、信函、自传等10篇文章收入其后。

陈国符先生在上世纪80年代末就有出版论文集的计划,为此,他拟定了篇目,撰写了自序。这些论文大部分曾经发表于各学术刊物上,后作者又进行了增订。此次文集的出版完成了陈国符先生的遗愿。

该书是一本学术专著,内容涉及道藏经研究法,外丹黄白法经诀出世朝代,本草学,内丹外丹,明清道教音乐,《玉音法式》线谱研究以及历代道观、宝卷、道教与文学、外丹黄白法评议、简明自传等,对中国道教史和科技史研究都有重要意义。

(新溪)

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