高中数学不等式证明的常用方法经典例题
关于不等式证明的常用方法
重难点归纳
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果
作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因
2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要
有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一.有些不
等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法
典型题例
例1证明不等式n n
213
12
11<+
++
+
(n ∈N *)
知识依托 本题是一个与自然数n 有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等
例2求使
y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值
知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把
a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值
例3已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +
a 1)(
b +b 1)≥4
25
证法一 (分析综合法） 证法二 (均值代换法) 证法三 (比较法） 证法四 (综合法) 证法五 (三角代换法）
巩固练习
1 已知x 、y 是正变数,a 、b 是正常数,且
y
b
x a +=1，x +y 的最小值为 _ 2 设正数a 、b 、c 、d 满足a +d =b +c ，且|a －d |＜|b －c |，则ad 与bc 的大小关系是_________
3 若m ＜n ，p ＜q ，且(p －m )(p －n )＜0，(q －m )(q －n )＜0，则m 、n 、p 、q 的大小顺序是__________
4 已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1 求证
(1)a 2+b 2+c 2≥
3
1
(2)232323+++++c b a ≤6 5 已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明 x ，y ，z ∈［0，3
2
］
6 证明下列不等式
(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则
c b a y b a c x a c b ++
+++22z 2
≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ，则z y x y x z x z y +++++≥2(z
y x 1
11++) 7 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n
(1)证明 n i A i m ＜m i A i n (2)证明 (1+m )n ＞(1+n )m
8 若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证 a +b ≤2，ab ≤1
不等式知识的综合应用
典型题例
例1用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)
知识依托 本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值
例2已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时|f (x )|≤1
(1)证明 |c |≤1；
(2)证明 当－1 ≤x ≤1时，|g (x )|≤2；
(3)设a ＞0，有－1≤x ≤1时， g (x )的最大值为2，求f (x )
知识依托 二次函数的有关性质、函数的单调性，绝对值不等式
例3设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ＞0)，方程f (x )－x =0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜a
1 (1)当x ∈［0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；
(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，证明 x 0＜
2
1
x 巩固练习
1 定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等
式，其中正确不等式的序号是( )
①f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a ) A ①③
B ②④
C ①④
D ②③
2 下列四个命题中 ①a +b ≥2
ab ②sin 2x +
x
2
sin 4
≥4 ③设x ，y 都是正数，若y x 91+=1，则x +y 的最小值是12 ④若|x －2|＜ε，|y －2|＜ε，则|x －y |＜2ε，其中所有真命题的序号是__________
4 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )=x 的两实数根为x 1，x 2
(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数f (x )的对称轴为x =x 0，求证x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|=2，求b 的取值范围
6 设函数f (x )定义在R 上，对任意m 、n 恒有f (m +n )=f (m )·f (n )，且当x ＞0时，0＜f (x )＜1
(1)求证 f (0)=1，且当x ＜0时，f (x )＞1；
(2)求证 f (x )在R 上单调递减；
(3)设集合A ={ (x ，y )|f (x 2)·f (y 2)＞f (1)}，集合B ={(x ，y )|f (ax －g +2)=1，a ∈R }，若A ∩B =?，求a 的取值范围
7 已知函数f (x )=1
22
2+++x c
bx x (b ＜0)的值域是［1，3］， (1)求b 、c 的值；
(2)判断函数F (x )=lg f (x )，当x ∈［－1，1］时的单调性，并证明你的结论； (3)若t ∈R ，求证 lg
57≤F (|t －61|－|t +61|)≤lg 5
13 数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
【命题趋向】
数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用. 【典例分析】
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立?f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立?f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. 【例1】等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1
a n 恒成立的正整数n 的取
值范围.
【例2】（08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．
(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值范围．【点评】 一般地，如果求条件与前n
A
B
C
D
S
项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解
题型二 数列参与的不等式的证明问题
此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+q ＜1
2(S 2p ＋S 2q )．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）
因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.
【例4】 (08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝0，a n+1＝ca n 3＋1－c ，c ∈N*，其中c 为实数.(Ⅰ)证明：a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c ＜13，证明：a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*；（Ⅲ）设0＜c ＜13，证明：a 12＋a 22＋…＋a n 2
＞n ＋1－2
1－3c
，n ∈N*.
题型三 求数列中的最大值问题
求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.
【例5】 (08·四川)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.
【例6】 等比数列{a n }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－1
2
．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n
取何值时，f(n)有最大值．
题型四 求解探索性问题
数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.
【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ)求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k ，使
S k+1－2
S k －2
＞2成立. 【点评】在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.
【例8】 (08·湖北)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n+1＝2
3a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整
数. （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
数列与不等式命题新亮点
例1 把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____.
点评:恰当的分组,找到各数之间的内在联系是解决之道.此外,这种题对观察能力有较高的要求. 例2 设{}n a 是由正数构成的等比数列, 12n n n b a a ++=+,3n n n c a a +=+,则( )
A. n
n b c > B. n n b c < C. n n b c ≥ D. n n b c ≤
点评:此题较易入手,利用作差法即可比较大小,考察数列的递推关系. 例3 若对(,1]x ∈-∞-,不等式2
1
()2()12
x x m
m --<恒成立,则实数m 的取值范围( )
A. (2,3)-
B. (3,3)-
C. (2,2)-
D. (3,4)-
例4四棱锥S-ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证: 131(2,)n n
P P n n N ++=≥∈(3)求证: 2365>(2,)24
n n P P P n n N -+++≥∈…
例5 已知函数
()2f x x x =+.
(1)数列
{}n a 满足: 10a >,()1n n a f a +'=,若111
12n
i i
a =<+∑
对任意的n N ∈恒成立,试求1a 的取值范围; (2)数列
{}n b 满足: 11b =,()1n n b f b +=()n N ∈,记1
1n n
c b =
+,k S 为数列{}n c 的前k 项和, k T 为数列{}n c 的
前k 项积,求证
17
10n
k k k k
T S T =<+∑. 例6 (1)证明: ()ln
1(0)x x x +<> (2)数列{}n a 中. 11a =,且()1
12
11
122n n n a a n n --??=+
+≥ ???; ①证明: ()7
24
n a n ≥
≥ ②()21n a e n <≥ 【专题训练】
1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有
（ ）
A ．a 4a 6＜a 6a 8
B ．a 4a 6≤a 6a 8
C ．a 4a 6＞a 6a 8
D ．a 4a 6≥a 6a 8
2．设{a n }是由正数构成的等比数列，b n ＝a n+1＋a n+2，c n ＝a n ＋a n+3，则
（ ） A ．b n ＞c n
B ．b n ＜c n
C ．b n ≥c n
D ．b n ≤c n
3．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）
A ．a 6＝b 6
B ．a 6＞b 6
C ．a 6＜b 6
D ．a 6＞b 6或a 6＜b 6 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足５＜a k ＜８，则k ＝
（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 5．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）
A ．S 4a 5＜S 5a 4
B ．S 4a 5＞S 5a 4
C ．S 4a 5＝S 5a 4
D ．不确定 6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数f(n)＝
S n
(n ＋32)S n+1
的最大值为
（ ）
A ．
120
B ．
130
C ．140
D ．
150
7．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx －1
2
)，lg(1－y)顺次成等差数列，则
（ ）
A ．y 有最大值1，无最小值
B ．y 有最小值
1112，无最大值C ．y 有最小值11
12
，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值1 8．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是
（ ）
Ａ．(－∞，－1]
Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞)
Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．设等比数列{a n }的首相为a 1，公比为q ，则“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1＞a n ”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分比要条件
D ．既不充分又不必要条件
11．{a n }为等差数列，若
a 11
a 10
＜－1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝
（ ）
A ．11
B ．17
C ．19
D ．21
12．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝1
2
，a n ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{a n }
的前n 项和S n 的取值范围是 （ ） A ．[1
2
，2)
B ．[1
2
，2]
C ．[1
2
，1)
D ．[1
2
，1]
13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S n
n
2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都
成立．则M 的最小值是__________．
14．无穷等比数列{a n }中，a 1＞1，|q|＜1，且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半，则q 的取值范围是________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)2
cd
的最小值是________.
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．4
16．等差数列{a n }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A ．若d ＜0，且S 3＝S 8，则{S n }中，S 5和S 6都是
{S n }中的最大项；②给定n ，对于一定k ∈N*(k ＜n)，都有a n -k ＋a n+k ＝2a n ；③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项；④存在k ∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号 其中真命题的序号是____________.
17．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{a n }的通项n a ；（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值．
18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)
若列数｛b n
｝满足b 1
＝1,b n +1
＝b n
＋2a n ，求证：b n
·b n +2
＜b 2n +1
.
19．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝
3－a n -1
2
，n ＝2，3，4，…. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n+1，其中n 为正整数． 20．已知数列{a n }中a 1＝2，a n+1＝(2－1)( a n ＋2)，n ＝1，2，3，….
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }中b 1＝2，b n+1＝
3b n ＋4
2b n ＋3
，n ＝1，2，3，….证明：2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，… 21．已知二次函数y ＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N*)均在函
数y ＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m
20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m
22．数列
{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n = ，
，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．
利用导数处理与不等式有关的问题
一、 利用导数证明不等式
（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式
某个区间上导数大于（或小于）0时，则该单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。
1、 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大
（小），来证明不等式成立。
例1：x>0时,求证；x 2x 2
-－ln(1+x)＜0
2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。 例2：已知：a,b ∈R,b>a>e, 求证:a b >b a , (e 为自然对数的底)
（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。
导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例3、求证：n ∈N *,n ≥3时，2n >2n+1 例4、x b 22g
(x)(1)(1)A a x
=-+-的定义域是A=[a,b )，其中a,b ∈R +,a 若x 1∈I k =[k 2,(k+1)2), x 2∈I k+1=[(k+1)2,(k+2)2) 3、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。 例5：f(x)= 13 x 3 －x, x 1,x 2∈[－1,1]时，求证：|f(x 1)－f(x 2)|≤43 二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m 例6、已知函数a 9f (x)(x)(a R)x =+∈,对f(x)定义域内任意的x 的值，f(x)≥27恒成立，求a 的取值范围 例7、已知a ＞0，n 为正整数， （Ⅰ）设y=n a x )(-，证明1 )(--='n a x n y ； （Ⅱ）设f n (x)=x n －n a x )(-，对任意n ≥a ，证明f ’n+1 (n+1)＞（n+1）f ’n （n ）。 三、利用导数解不等式 例8：函数f(x)= 2x 1ax(a 0)+->,解不等式f(x)≤1 '、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a，b为实数，贝当且仅当ab>0时，等号成 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a —b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，贝等号成立，即b落在a，c之间 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到 判别式法证 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是 错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A> B,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数，设a、b€ R,且a^b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： ① 当ab< —1时，式①显然成立； 当ab>—1时，式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二：当a=—b 时，原不等式显然成立； 当a M— b 时, ???原不等式成立。 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1．已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且1a >1 b ，x >y . 求证： x x ＋a > y y ＋b . 证明：∵ x x ＋a － y y ＋b ＝ bx －ay x ＋a y ＋b ， 又1a >1 b ，且a 、b 均为正实数， ∴b >a >0. 又x >y >0， ∴bx >ay . ∴ bx －ay x ＋a y ＋b >0，即x x ＋a >y y ＋b . 2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立． 证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得 a 2＋ b 2＋ c 2 ≥3(abc )23 ，① 1 a ＋1 b ＋1 c ≥3(abc )1 3-，② 所以(1 a ＋1 b ＋1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋(1a ＋1b ＋1 c )2 ≥3(abc ) 23 ＋ 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 ＋9(abc ) 23 -≥227＝63，③ 所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc ) 23 ＝9(abc ) 23 - 时，③式 等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314 时，原式等号成立． 法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 同理1 a2＋ 1 b2 ＋ 1 c2 ≥ 1 ab ＋ 1 bc ＋ 1 ac ，② 故a2＋b2＋c2＋(1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )2≥ab＋bc＋ac＋ 3 1 ab ＋3 1 bc ＋3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝31 4时，原式等号成立． 3．(2012·豫南九校联考)已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋1 x2－2xy＋y2 ≥2y ＋3. 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 2x＋ 1 x2－2xy＋y2 －2y＝2(x－y)＋ 1 x－y2 ＝(x－y)＋(x－y)＋ 1 x－y2 ≥33 x－y2 1 x－y2 ＝3， 所以2x＋ 1 x2－2xy＋y2 ≥2y＋3. 4．已知正实数a，b，c满足 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，求证：a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9.证明：因为a，b，c均为正实数， 所以 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证： a＋ b 2 ＋ c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a＋ b 2 ＋ c 3 )( 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c ＝9. 因为 1 a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝1，所以a＋ b 2 ＋ c 3 ≥9， 当且仅当a＝3，b＝6，c＝9时，等号成立． 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c ③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ） ⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ； （2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0 12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ； 分析法证明不等式 山东 林 博 分析法是不等式证明的基本方法，但它不失为不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释． 例1 已知：a b c +∈R ，，， 求证：3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决． 证明：为了证明3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤， 只需证明323ab c abc --≤， 即证明332abc c ab c ab ab +=++≤． 而3333c ab ab c ab ab abc ++=≥成立，且以上各步均可逆， ∴32323a b a b c ab abc +++????-- ? ????? ≤． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口． 例2 已知关于x 的实系数方程2 0x ax b ++=有两个实根αβ，，证明： （1）如果||2α<，||2β<，那么2||4a b <+，且||4b <； （2）如果2||4a b <+，且||4b <，那么||2α<，||2β<． 分析：本题涉及参数较多，应注意它们之间的等量关系． 证明：∵αβ，是方程20x ax b ++=的两个实根， ∴a αβ+=-，b αβ=． （1）欲证2||4a b <+，且||4b <． 只要证2||4αβαβ+<+，且||4αβ<， 而||2α<，||2β<，从而有||4αβ+<，40αβ+>． 故只要证224()(4)αβαβ+<+，只要证22(4)(4)0αβ-->． 浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 2.3不等式的证明（2）——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是（ ） A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b 3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是（ ） c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证：2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a . 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??=不等式证明的基本方法
高中不等式的证明方法
3.均值不等式(全国卷1)
不等式证明的常用基本方法
不等式典型例题之基本不等式的证明
高中数学基本不等式证明
不等式证明的基本方法
放缩法证明不等式的基本策略
高中数学竞赛均值不等式讲义
北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题
证明不等式的几种常用方法
【高中数学】公式总结(均值不等式)
经典不等式证明的基本方法
证明不等式的基本方法(20200920095256)
分析法证明不等式
浅谈高中数学不等式的证明方法
不等式的证明分析法与综合法习题
高中数学讲义 均值不等式
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