5第五章 真空中的静电场
第五章 真空中的静电场
一、基本内容
1.电荷 库仑定律 （1）电荷守恒定律
电荷守恒定律：在一个孤立的系统内，不论发生什么物理过程，正负电荷的代数和总是保持不变的。
电荷守恒定律对宏观和微观物理过程都成立。 （2）电荷的量子化
元电荷e ：电子所带电量的绝对值。
C 1060.119-?=e
电荷的量子化：物体所带的电荷是元电荷的整数倍的现象。即
,3,2,1=±=N Ne q
在物体所带电荷的数目非常巨大的情况下，可以认为电荷是连续分布的。 （3）库仑定律
点电荷：本身的几何线度与其到考察点的距离相比小得多的带电体。
真空中的库仑定律：真空中两个静止点电荷q 1和q 2之间的相互作用力的大小与q 1与q 2
的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。即
r r q q F
3
210π41ε=
r e r q q
2210
π41ε= 其中r
是由施力电荷向受力电荷所作的矢径， r e
是r
的单位矢量。ε0=8.85×10-12C 2/(N 〃m 2)为真空电容率。 （4）电场和电场强度
电荷周围空间存在电场，处在电场中的其它电荷会受到电场力。 静电场：由相对于观测者静止的带电体产生的电场。 电场是一种特殊形态的物质。
试验电荷：为定量描述电场而引入的、具备电量充分小和几何线度充分小两个条件的电荷。
电场强度E
：放置在考察点的单位正试验电荷所受的电场力。即
q F
E = 电场强度的单位为N/C 或V/m 。
点电荷q 在电场E
中所受的电场力为
E q
F =
匀强电场：空间各点的场强大小和方向都相同的电场。 点电荷q 的电场强度为
r e r q r r q E
2
030π41π41εε==
2.电场强度叠加原理
电场强度叠加原理：多个带电体在某点产生的的电场强度，等于各个带电体单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。即
∑==n i i E E 1
离散电荷系统的电场强度叠加原理为
∑∑====
n i r i
i n i i i i i
e r q r r q E 120130π41π41
εε 连续电荷系统的电场强度叠加原理为
?Ω=
r e r q E 20
d π41ε
其中Ω 泛指带电体所占据的空间。如果电荷连续分布在一个体上，Ω 用V 代替，电荷元d q =ρd V ，其中的电荷体密度定义为V q d /d =ρ；如果电荷连续分布在一个面上，Ω用S 代替，电荷元d q =σd S ，其中的电荷面密度定义为S q d /d =σ；如果电荷连续分布在一条线上，Ω 用L 代替，电荷元d q =λd L ，其中的电荷线密度定义为L q d /d =λ。 3.高斯定理 （1）电场线
电场线：为了形象地描述电场分布，在电场中作出一系列的曲线，使曲线上每一点的切
线方向都与该点的场强方向一致。
电场线的性质：电场线①起于正电荷（或来自无穷远），止于负电荷（或伸向无穷远）；②不相交；③不形成闭合曲线。
在电场中任一点，通过与场强方向垂直的单位面积的电场线条数（即电场线密度）等于该点电场强度的大小。因此电场线密集处场强大，稀疏处场强小。 （2）电通量
电通量Φe ：通过电场中给定曲面的电场线条数。 通过曲面S 的电通量为
?=S
e S E Φd cos θ??=S
S E
d
（3）高斯定理
高斯定理：在真空中通过闭合曲面S （称为高斯面）的电通量等于该曲面所包围的代数和除以ε0。即
∑?=
?i
i S
q S E 0
1d ε
注意：①E
是高斯面内、外所有电荷在高斯面上共同激发的总场强；②∑i
i q 是对高斯面内
的电荷求和，即只有高斯面内的电荷才对总穿过高斯面的电通量有贡献。 4.静电场的环路定理
静电场的环路定理：在静电场中电场强度的环流为零。即
0d =??L
l E
该定理表明静电场是保守力场（或有势场）。 5. 电势能和电势 （1）电势能
设P 0点为零电势能参考点，即00
=P ε，则电场中P 点的电势能为
?
?==0
d P P
PP P l E q W
ε
即电荷q 在电场中某点的电势能，等于将该电荷由该点沿任意路径移到零电势能参考点时静电场力所做的功。
如果电荷分布在有限区域时，取无穷远处为零电势能参考点，即0=∞ε，这时电场中P 点的电势能为
?
∞
∞?==P
P P l E q W d 0ε
（2）电势
设P 0点为零电势参考点，即00
=P U ，则电场中P 点的电势为
??==
0P P
P
P l E q
U
d ε
即电场中某点P 的电势U P 等于①置于P 点的单位正电荷所具有的电势能，或②将单位正电荷从 P 点沿任意路径移动到零电势参考点时静电场力所做的功。
如果电荷分布在有限区域时，取无穷远处为零电势参考点（在工程应用中取大地的电势为零），即0=∞U ，这时电场中P 点的电势为
?
∞
?==
P
P
P l E q
U
d ε
点电荷的电势为
r
q
U 0π4ε=
电势的单位是V 。
电场中a 、b 两点的电势差（或电压）U ab 为
?
?=-=b
a
b a ab l E U U U d
（3）电势、电势能、电场力的功之间的关系
电势与电势能的关系为
P P U q 0=ε
电场力的功与电势能、电势的关系为
)(0b a b a ab U U q W -=-=εε
（4）电势叠加原理
电势叠加原理：多个带电体在空间某点产生的电势等于各个带电体单独存在时在该点产生的电势的代数和。即
∑==n
1
i i U U
离散电荷系统的电势叠加原理为
∑
==n
i i
i
r q U 10π4ε
连续电荷系统的电场强度叠加原理为
?
Ω=r q
U 0
π4d ε
6.电场强度与电势的关系 （1）等势面
等势面：电势相等的点构成的曲面。
在绘制等势面时，一般两相邻等势面间的电势差相等。
静电场中等势面的性质：①沿等势面移动电荷时电场力不做功；②电场线与等势面处处正交；③任意两个等势面不相交。 （2）电场强度与电势的关系
电势梯度是指电势在空间的变化率，其定义为
U U ?=grad k z
U j y U i x U
??+??+??=
电场强度与电势的关系：在电场中任一点的电场强度矢量，等于该点的电势梯度矢量的负值。 即
U U E -?=-=grad
该式表明①电场强度E
的方向是电势变化最快的方向；②等势面越密集的地方电场越强，等势面越稀疏的地方电场越弱；③电场强度E
总是指向电势降低的方向。
7.典型带电体的电场 （1）电偶极子的电场
电偶极子：由两个相距很近、等值异号的点电荷构成的电荷系统。
电偶极子的轴：由-q 到+q 的矢径l
。
电偶极子的电偶极矩：l q p
=
电偶极子的电势分布为
2
030π4cos π4r p r r p U εθε=?=
其中r
是从电偶极子的中心指向场点的矢径。
电偶极子的电场分布为
j y x pxy
i y x y x p E 2
/52202/522022)
(π43)(π4)2(+++-=
εε 在电偶极子的延长线上（y =0）和中垂线上（x =0）的电场强度分别为
i x
p E
3
0π2ε=
i y
p E
3
0π4ε-= （2
如图5-1所示，均匀带电细棒外的电场分布为
j a
i a E )cos (cos π4)sin (sin π4210120ββελ
ββελ-+-=
无限长（β1=0、β2=π）带电细棒的电场分布为
j a
E
0π2ελ=
半无限长带电细棒一端正上方（β1=0、β2=π/2）的场强为
j a
i a E
00π4π4ελελ+=
（3）均匀带电圆环轴线上的电场
均匀带电圆环轴线上的电势分布为
r q
U 0π4ε=
2
20
π4x R q +=
ε 均匀带电圆环轴线上的电场分布为
i r
q E θεcos π42
0=
i x R qx
2
/3220)(π4+=ε
图5-1
A
（4）均匀带电圆盘轴线上的电场
均匀带电圆环盘线上的电势分布为
)(2220
x x R U -+=
εσ
均匀带电圆环盘线上的电场分布为
i x
R x E )1(2220+-=εσ
无限大带电平面（R →∞）两侧的场强为
2εσ=
E 平行板电容器两极板之间的场强为
εσ=
E （5）均匀带电球面的电场
均匀带电球面的电势分布为
??????
?>≤=R r r
Q R r R Q
U ,π4,π400
εε 均匀带电球面的电场分布为
??
?
??><=R r e r Q R r E r ,π4,020
ε 二、思考与讨论题目详解
1.电场和电场强度
1、如图5-2所示，在坐标(b ，0) 、(-b ，0)处放置分别放置点电荷+q 和-q 。M (x , 0)点和N (0, y )点分别为x 轴和y 轴上的点。当x >>b 、y >>b 时，这两点场强的大小分别等于多少？方向如何？ 【答案：30πx qb E M ε=
，沿x 轴正方向；3
02πx qb
E N
ε=，沿x 轴负方向】 详解：由于x >>b 、y >>b ，因此该点电荷系统相当于电偶极子。
M 点的场强大小为
3
030ππ22x
qb
x bq E M εε==
方向沿x 轴正方向。
N 点的场强大小为
3
0302ππ42x
qb
x bq E N εε==
方向沿x 轴负方向。
2、设有一个无限大的均匀带正电荷的平面。x 轴垂直于带电平面，坐标原点在带电平面上，规定电场强度E
的方向沿x 轴正向为正、反之为负，试画出该无限大均匀带电平面周围空间各点的场强随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线。 【答案：见图5-3】
详解：
3、图5-4（a ）所示为一条沿x 轴放置的无限长分段均匀的带电直线，电荷线密度分别
为＋λ(x ＜0)和－λ (x ＞0)，xOy 坐标平面上点P (0，r )处的场强E
等于多少？
【答案：
i a
0π2ελ】
详解：由教材【例5-2】可知，在均匀带电细棒的一端，与棒垂直的平面上一点的电场
图5-2
图5-3 （a ）
（b ）
图5-4
强度为
j a
i a E
00π4π4ελελ+=
因此得两段均匀带电细棒在P 点产生的电场强度方向如图5-4（b ）所示。由于+E
和-
E
的y 分量大小相等，方向相反，相互抵消。而x 分量大小相等，方向相同，因此xOy 坐标平
面上点P (0，r )处的场强E
为
i a
E
0π42ελ?
=i a 0π2ελ=
4、如图5-5（a ）所示，A 、B 为真空中两个平行的无限大均匀带电平面，已知两平面之间的电场强度大小为E 0，两平面外侧的电场强度大小均为03
1
E ，方向如图所示。A 、B 两个无限大带电平面上的电荷面密度分别等于多少？ 【答案：0034E ε；003
2
E ε-
】
详解：A 、B 两个无限大均匀带电平面在左、中、右三个区域产生的电场强度如图5-5（b ）所示，可见左、右两个区域内两个分场强的方向相同，因此这两个区域内的电场强度大小相等，均为
0003
1
22E B A =+εσεσ 中间区域内两个分场强的方向相反，由题意可知A 带电平面产生的分场强大，因此该区域的电场强度大小为
00
022E B
A =-εσεσ 以上两式联立解得A 、
B 两个无限大带电平面上的电荷面密度分别为
σA σB （a ）
03
1E 03
1E 0
E
（b ）
A
E B
E 图5-5
0034E A εσ= 003
2E B εσ-=
5、图5-6所示为一个半径为R 的带有缺口的细圆环，缺口的长度为δ (δ < 3 08R Q εδ 2π，从O 点指向缺口中心】 详解：如果细圆环均匀带电，则由于各个等长的微元在O 点产生的场强大小相等、方向相反，它们一一抵消，使得O 点场强为零。 在电荷线密度不变的情况下，缺口处的电荷微元被挖掉了，其对称处的微元在O 点产生的场强不能被抵消，它形成了有缺口细圆环圆心O 处的场强。其场强大小为 2 04R E ελδ π= 由于δ < R Q R Q π≈-π= 22δλ 圆心O 处的场强大小 3 0208π24R Q R Q R E εδ εδ2π= π= 方向从O 点指向缺口的中心。 6、如图5-7（a ）所示，一根电荷线密度为λ的无限长带电直线垂直通过图面上的A 点。一个带有电荷q 的均匀带电球体的球心处于B 点。△ABC 是边长为r 的等边三角形，为了使C 点处的场强方向垂直于BC ，带电直线和带电球体带同号电荷还是异号电荷？λ和q 的数量关系怎样？ 【答案：异号；r q λ=】 图5-6 （a ） λ q （b ） λ q 详解：无限长带电直线和均匀带电球体在C 点产生的场强大小分别为 r E 012ελπ= 2 024r q E επ= 1E 的方向平行于AC 边， 2E 的方向平行于BC 边，如果带电直线和带电球体带有同号电荷，1E 平行于BC 边的分量与2E 的方向相同，它们的合场强方向就不会垂直于BC ，因此这两 个带电体必须带有异号电荷，才能使1E 平行于BC 边的分量与2E 的方向相反，如果这个分 量的大小与2E 的大小相等，合场强的方向就垂直于BC 边了，如图5-7（b ）所示。这时 2160cos E E = 将E 1和E 2的表达式代入上式，有 2 00460cos 2r q r εελπ=π 解之得 r q λ= 2.高斯定理 1、如图5-8所示，半径为R 的半球面置于场强为E 的均匀电场中，如果场强方向沿x 轴正方向，通过半球面的电通量等于多少？如果场强方向沿y 轴正方向，通过半球面的电通量又等于多少？ 【答案：0；πR 2E 】 详解：如果场强方向沿x 轴正方向，则从半球面的左面穿入的电通量等于从半球面右面穿出的电通量，通过半球面电通量的代数和等于0。 如果场强方向沿y 轴正方向，我们可以认为半球面与其底面构成一个高斯面，由于高斯面内部没有包围电荷，由高斯定理得 0d d d 2 1 =?+?=????S S S S E S E S E 其中??1 d S S E 、??2 d S S E 分别为通过底面和半球面的电通量。 由于底面为平面，场强方向与底面垂直，电场线穿入该底面，因此通过底面的电通量为 图5-8 E R S E S E S E S S S 2πd d d 1 1 1 -=-=-=???? 由高斯定理得过半球面的电通量为 ? ??-=?1 2 d d S S S E S E E R 2 π= 2、如图5-9（a ）所示，一条均匀带电直线长度为r ，电荷线密度为＋λ，以导线中点O 为球心，R 为半径(R ＞r )作一个球面，则通过该球面的电通量等于多少？带电直线的延长线与球面交点P 处的电场强度的大小等于多少？方向如何？ 【答案： 0ελr ；) 4(220r R r -πελ；沿矢径OP 方向】 详解：由于球面内包围的电量为λr ，因此通过该球面的电通量为 d ελr S E S =?? 为求P 点的场强，以导线中点O 为原点，沿矢径OP 方向为x 轴正方向建立如图5-9（b ）所示的坐标系，则微元d x 在P 点产生的场强大小为 2 0)(4d d x R x E -π= ελ 方向沿x 轴正方向。 对上式积分得P 处的电场强度大小为 ? --π=22 2 0)(4d r r x R x E ελ?---π- =22 20)()d(4r r x R x R ελ2 2 014r r x R --π=ελ) 4(220r R r -π=ελ 该处的电场强度方向沿矢径OP 方向。 3、图5-10是一个边长为a 的正方体，如果将电荷为q 的正点电荷放在正方体中心N 点，则通过正方体的一个侧面∑ 的电通量等于多少？如果将q 放在正方体一个顶点M 处，通过该侧面的 P （a ） E d P （b ） d x 图5-9 电通量又等于多少？ 【答案： 06εq ；0 24εq 】 详解：当电荷为q 的正点电荷放在正方体中心N 点时，根据高斯定理可知，通过整个正方体表面的电通量为0 εq ，由对称性可知，通过正方体每一个面的电通量相等，因此通过 侧面∑ 的电通量为 6εq Φe Σ= 如果将q 放在正方体一个顶点M 处，这时可以以M 点为原点建立三维直角坐标系，根据高斯定理可知，通过八个卦限的电通量为 εq ，本题的正方体占据其中一个卦限，因此通 过整个正方体的电通量为 8εq 。由于电场线与上、左、后表面平行，因此通过这三个面的电通量为0。考虑到对称性，通过下、右（即侧面∑）、前表面的电通量，因此这种情况下通过侧面∑ 的电通量为 0831εq Φe Σ?=0 24εq = 4、如图5-11示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为λ1和λ2，则在内圆柱面内部、两圆柱面之间和外圆柱面外部的电场强度大小分别等于多少？ 【答案：0； r 01π2ελ；r 02 1π2ελλ+】 详解：以共轴无限长圆柱面的轴为轴、作半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量为 rlE S E S π2d =?? 由高斯定理得 ∑= i i q rlE 0 1 π2ε λ1 R 2 图5-11 R 1 λ2 由此解得 rl q E i i 0π2ε∑= 在内圆柱面内部，即r 0=∑i i q ，由上式即得 0=E 在两圆柱面之间，即R 1 l q i i 1λ=∑，因此 rl l E 01π2ελ= r 01 π2ελ= 在外圆柱面外部，即r >R 2，由于 l l q i i 21λλ+=∑，因此 rl l E 021π2)(ελλ+= r 02 1π2ελλ+= 5、在场强为E 的均匀电场中，有一半径为R 、长为l 的半圆柱面，其轴线与E 的方向垂直。在通过轴线并垂直E 的方向将此 柱面切去一半，如图5-12所示。则穿过剩下的半圆柱面的电通量等于多少？ 【答案：RlE 2】 详解：认为半圆柱面、长方形截面、上下底面构成一个高斯面，由于高斯面内部没有包围电荷，由高斯定理得 0d d d d d 4 3 2 1 =?+?+?+?=??????S S S S S S E S E S E S E S E 其中??1 d S S E 、??2 d S S E 、??3 d S S E 、??4 d S S E 分别为通过半圆柱面、长方形截面、上底面、 下底面的电通量。 由于电场线与上底面、下底面表面平行，因此 0d d 4 3 =?=???S S S E S E 由于长方形截面为平面，场强方向与其垂直，电场线穿入该底面，因此 RlE S E S E S E S S S 2d d d 2 2 2 -=-=-=???? 由高斯定理得通过半圆柱面的电通量为 ???-=?2 1 d d S S S E S E RlE 2= 6、图5-13中的（a ）、（b ）两条曲线表示球对称性静电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称中心的距离。它们分别是由什么带电体产生的电场？ 【答案：半径为R 的均匀带电球面；半径为R 的均匀带电球体】 详解：半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面的电场分布为 ?? ???><=R r r q R r E , π4,020ε 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球体的电场分布为 ?????? ?><=R r r q R r R qr E , π4,π42 030εε 7、图5-14中的两条曲线（a ）、（b ）表示轴对称性静电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称轴的距离，它们分别是由什么带电体产生的电场？ 【答案：半径为R 的无限长均匀带电圆柱面；半径为R 的无限长均匀带电圆柱体】 详解：半径为R 、电荷线密度为λ的无限长均匀带电圆柱面的电场分布为 图5-13 E (b) (a) 图5-14 E (b) (a) ?? ???><=R r r R r E , π2,00ελ 半径为R 、电荷线密度为λ的无限长均匀带电圆柱体的电场分布为 ?????? ?><=R r r R r R r E ,π2,π2020ελελ 3.电势、电势能和电场力做功 1、图5-15所示是点电荷+q 形成的电场，取图中P 点处为电势零点，则M 点的电势等于多少？ 【答案： )1 1(π40a r q -ε】 详解：根据电势定义式得 ? ?=P M M r E U d ? =a r r r q d π42 0ε)1 1(π40a r q -=ε 2、如图5-16所示，有N 个电量均为q 的点电荷以两种方式分布在圆周L 上，一种方式是无规则分布，另一种方式是均匀分布。在这两种情况下，在过圆心O 并垂直于圆平面的轴上任一点P 处的场强是否相等？电势是否相等？ 【答案：场强不相等；电势相等】 详解： N 个电量均为q 的点电荷分布圆周L 上，各个点电荷在P 处产生的场强大小相等，将各个场强沿平行于OP 和垂直于OP 方向进行分解，在电荷均匀分布的情况下，其垂直于OP 方向的场强分量一一抵消，总场强的大小等于所有平行分量的和，方向平行于OP ；在电荷无规则分布的情况下，总场强的平行分量大小仍然等于所有平行分量的和，而垂直于OP 方向的场强分量不能完全抵消，它与总场强的平行分量叠加的结果使得总场强的大小大于电荷均匀分布时的总场强，方向也不再与OP 平行。因此，在这两种情况下，P 处的场强不相等。 不论电荷在圆周L 上是否均匀分布，各个电荷在P 处产生的电势都相等，它们的代数和也相等，即两种情况下P 处的电势相等。 图5-15 L 图5-16 3、如图5-17所示，一个半径为R 1的无限长圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为λ。在它外面同轴地套有一个半径为R 2的接地薄金属圆筒，圆筒原来不带电。设地的电势为零，则在内圆柱面内部、距离轴线为r 处的P 点的场强大小和电势分别等于多少？如果P 点在 两个金属圆筒之间或外圆柱面的外部，上述结果有什么变化？ 【答案：0， 120ln π2R R ελ；r 0π2ελ，r R 20ln π2ελ；0，0】 详解：该带电系统的场强分布为 ???????≥>>≤=2 1201 , 0π2, 0R r R r R r R r E ， ελ 由电势定义式得r ≤R 1时的电势分布为 1 200ln π2d π2d 0d 2 1 10 R R r r r l E U R R R r P P ελελ=+=?=? ?? R 1 r R r r l E U R r P P 200ln π2d π2d 2 ελελ==?=? ? r>R 2时的电势分布为 0d 0d 2 ==?=?? R r P P r l E U 4、如图5-18所示，两个同心均匀带电球面，内球面半径为a 、带电荷Q 1，外球面半径为b 、带电荷Q 2 。设无穷远处为电势零点，则在两个球面之间、距离球心为r 处的P 点处的电势U 等于多少？如果P 点在内球面的内部或在外球面的外部，P 点处的电势U 分别等于多少？ 【答案： 20201π4π4R Q r Q εε+；202101π4π4R Q R Q εε+ ；r Q Q 02 1π4ε+】 详解：由高斯定理容易得到该带电系统的场强分布为 ???? ????? ≥>>≤=2 2 02 122 011 ,π4π4,0R r r Q R r R r Q R r E εε， 图5-17 图 5-18 Q 2 由电势定义式得r ≤R 1时的电势分布为 ?? ?? ∞+++=?=221 10 d π4d π4d 0d 20 2 1201R R R R r P P r r Q Q r r Q r l E U εε 2 02 10120212101π4π4π4)11(π4R Q R Q R Q Q R R Q εεεε+ =++-= R 1 ?? ? ∞++=?=22 d π4d π4d 20 2 1201R R r P P r r Q Q r r Q l E U εε 2 02 012021201π4π4π4)11(π4R Q r Q R Q Q R r Q εεεε+ =++-= r>R 2时的电势分布为 ?? ∞+=?=r P P r r Q Q l E U d π4d 202 10 ε r Q Q 0 21π4ε+= 5、真空中有一个半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q 。如果选取无穷远处电势为零，则球心处电势等于多少？如果在球面上挖去一块很小的面积δ (连同其上电荷)，若其它电荷分布不发生改变，则挖去小块后球心处电势又等于多少？ 【答案： R Q 0π4ε；)41(42 0R R Q π-πδε】 详解：半径为R 、总电荷为Q 的均匀带电球面，在选取无穷远处的电势为零时，球心处的电势为 R Q R Q U S 00 π4π4d εε= =? 在球面上挖去的小面积δ上的电荷为σδ，这相当于在完整的球面上补上一块电荷-σδ。因此挖去小块后球心处的电势为 R Q R R Q U 000π4π4π4εσδεσδε-=-+= 其中电荷面密度为2 π4R Q = σ，因此 )41(42 0R R Q U π-π= δ ε 6、一个半径为R 的绝缘实心非均匀带电球体，电荷体密度为ρ =ρ0r (其中r 为离球心的距离， ρ0为常量)。如果选取无穷远处电势为零，讨论球内(r 【答案：033012)4(ερr R -；r R 04 04ερ】 详解：以r （r ≤R ）为半径，作与绝缘实心球同心的高斯面。由于电荷分布具有球对称性，因此高斯面上各个点的场强大小相等，方向沿半径方向向外。则通过该高斯面的电通量为 E r S E S E S E S S S 2 π4d d d ===?? ?? 在高斯面内，作半径为a （a ≤r ）与高斯面同心的微分球壳，其中的电荷为 a a a a q d π4d π4d 302ρρ== 积分得高斯面内包围的总电荷为 400 30πd π4d r a a q q r V ρρ===?? 由高斯定理得 4 02 ππ4ερr E r = 由此解得绝缘实心带电球体内部（r ≤R ）的场强为 2 04ερr E = 如果高斯面作在绝缘实心带电球体的外部（r >R ），则由高斯定理得 4 02 ππ4ερR E r = 由此解得绝缘实心带电球体外部（r >R ）的场强为 2 04 04r R E ερ= 由电势定义式得绝缘实心带电球体内部（r ≤R ）的电势分布为 ??? ∞∞ +=?=R R r P r r R r r l E U d 4d 4d 2 40 020ερερ 0300330412)(ερερR r R +-=0 33012) 4(ερr R -= 绝缘实心带电球体外部（r >R ）的电势分布为 r R r r R l E U r P 04020 404d 4d ερερ==?=?? ∞∞ 7、如图5-19所示，点电荷+Q 位于圆心O 点处，P 、A 、B 、C 为同一圆周上的四个点。如果将试验电荷q 0从P 点分别移动到A 、B 、C 各点，则电场力所做的功分别等于多少？ 【答案：都等于0】 详解：电场力是保守力，因此电场力所做的功等于电势能的减少量，即 )(b a ab U U q W -= 由于P 、A 、B 、C 各点的电势相等，因此将试验电荷q 0 从P 点分别移动到A 、B 、C 各点，电场力所做的功相等，均等于0。 8、如图5-20所示，在电荷为q 的点电荷静电场中，将另一个电荷为q 0的点电荷从A 点移到B 点。A 、B 两点距离点电荷q 的距离分别为r 1和r 2。则移动q 0的过程中电场力做的功等于多少？ 【答案： )1 1(π42 100r r qq -ε】 详解：A 、B 两点的电势分别为 10π4r q U A ε= 2 0π4r q U B ε= 移动q 0的过程中电场力做的功为 )(0B A AB U U q W -=)1 1(π42100r r qq -= ε 9、已知均匀静电场的电场强度V/m )800300(j i E +=，则点A (5,1)和点B (4,2)之间的 电势差U AB ＝? (点的坐标x 、y 的单位为m) 【答案：500V 】 详解：由电势差定义式得A 、B 两点的电势差为 ? ?=B A AB l E U d ???+=?+=2 1 45 d 800d 300d )800300(y x r j i B A V 500= 10、如图5-21所示，A 点与B 点间距离为2R ，OCD 是以B 点为中心、R 为半径的半圆形路径。 A 、B 两处各放有一个点电荷，电荷分别为＋q 和－q 。将另一个电荷为Q 的点 图5-19 B C 图5-20 q B 第十章 静电场中的能量精选试卷（Word 版 含解析） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U =可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 2．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如右图所示，ab 、cd 分别是正方形两条边的中垂线，O 点为中垂线的交点，P 、Q 分别为cd 、ab 上的点，且OP ＜OQ . 则下列说法正确的是 A ．P 、O 两点的电势关系为p o ??< B ．P 、Q 两点电场强度的大小关系为E Q 第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷 q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200) 1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ 式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 20)(4dq R x x E x πε 232210)(24R x R x +?=πλπε2 32201)(2R x x R +=ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 322021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 R O λ1 λ2 l x y z 第十章 静电场中的能量精选试卷（提升篇）（Word 版 含解析） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U 可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 2．在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A 、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8.0J ，在M 点的动能为6.0J ，不计空气的阻力，则（ ） A ．从A 点运动到M 点电势能增加 2J B ．小球水平位移 x 1与 x 2 的比值 1：4 C ．小球落到B 点时的动能 24J 第6章静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. 一个不带电的导体球壳半径为r , 球心处放一点电荷, 可测得球壳内外的电场．此后将该点电荷移至距球心r/2处, 重新测量电场．试问电荷的移动对电场的影响为下列哪 一种情况? [ ] (A) 对球壳内外电场无影响 (B) 球壳内外电场均改变 (C) 球壳内电场改变, 球壳外电场不变 T6-1-1图 (D) 球壳内电场不变, 球壳外电场改变 2. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 [ ] (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 3. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 [ ] (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 4. 当一个带电导体达到静电平衡时 [ ] (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 T6-1-5图 5. 一点电荷q放在一无限大导体平面附近, 相距d, 若无限大导体平面与地相连, 则导体平面上的总电量是 [ ] (A) qq (B) - (C) q (D) -q 22 6. 在一个绝缘的导体球壳的中心放一点电荷q, 则球壳内、外表面上电荷均匀分布．若 使q偏离球心, 则表面电荷分布情况为 [ ] (A) 内、外表面仍均匀分布 (B) 内表面均匀分布, 外表面不均匀分布 (C) 内、外表面都不均匀分布 (D) 内表面不均匀分布, 外表面均匀分布 7. 带电量不相等的两个球形导体相隔很远, 现用一根细导线将它们连接起来．若大球半径为m, 小球半径为n, 当静电平衡后, 两球表面的电荷密度之比σ m／σ n 为 mnm2n2 [ ] (A) (B) (C) 2 (D) 2 nmnm 8. 真空中有两块面积相同的金属板, 甲板带电q, 乙板带电Q．现 将两板相距很近地平行放置, 并使乙板接地, 则乙板所带的电量为 [ ] (A) 0 (B) －q (C) - q+Qq+Q (D) 22 T6-1-8图 9. 在带电量为+q的金属球的电场中, 为测量某点的电场强度E, 现在该点放一带电量为(+q/3)的试验电荷, 电荷受力为F, 则该点的电场强度满足 6F 3F[ ] (A) E> (B) E> qq 3F 3FT6-1-9图 (C) E< (D) E= qq 测得它所受力为F．若考虑到q不是足够小, 则此时F/q比P点未放q 时的场强 [ ] (A) 小 (B) 大 (C) 相等 (D) 大小不能确定 10. 在一个带电量为Q的大导体附近的P点, 置一试验电荷q, 实验 一． 选择题 [ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线 密度分别为＋ (x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： E E +-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε= 合，方向如图。 ［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通 量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 ［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］ 4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空 间各点的电场强度E 随距离平面的位置坐标x 变 化的关系曲线为(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)： 【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为： (+0;0) 2E i x x σε=± > -< “”号对应“”号对应 ［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为： (A) r Q Q 0214επ+． (B) 202 10144R Q R Q εεπ+ π． (C) 0． (D) 1 01 4R Q επ． 【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 ［ C ］ 6（自测提高10）如图所示，在真空中半径分别为R 和2R 的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷+q 和－3q ．今将一电荷为+ Ｑ的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为： (A) R Qq 04πε． (B) R Qq 02πε． (C) 08Qq R πε． (D) R Qq 083πε． 【提示】：静电力做功()AB A B QU Q V V =-等于动能的增加。其中： 00034428A q q q V R R R πεπεπε--= + = ?； 0003242428B q q q V R R R πεπεπε--=+= ?? 代上即得结果。 二．填空题 1．（基础训练13）两根互相平行的长直导线，相距为a ，其上均匀带电， 2 x 第六章静电场 一、 单选题(本大题共33小题，总计99分) 1.(3分) 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，取无穷远处为零电势点，则在距离球面r （R r >）处的电势为［ ］ A 、0 B 、R 0 εσ C 、r R 02 εσ D 、r R 02 4εσ 2.(3分) 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，取无穷远处为零电势点，则在距离球面r （R r <）处的电势为［ ］ A 、0 B 、R 0 εσ C 、r R 02 εσ D 、r R 02 4εσ 3.(3分) 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <), 所带电荷分别为a q 和b q ．设某点与球心相距r ，当a R r <时，取无限远处为零电势，该点的电势为［ ］ A 、r q q b a +?π041ε B 、 r q q b a -?π041ε C 、???? ? ?+?b b a R q r q 041 επ D 、???? ??+?b b a a R q R q 0 41επ 4.(3分) 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <), 所带电荷分别为a q 和b q ．设某点与球心相距r ，当b R r >时，取无限远处为零电势，该点的电势为［ ］ A、 r q q b a + ? π 4 1 ε B、 r q q b a - ? π 4 1 ε C、?? ? ? ? ? + ? b b a R q r q 4 1 επ D、?? ? ? ? ? + ? b b a a R q R q 4 1 επ 5.(3分)试判断下列几种说法中哪一个是正确的［］ A、电场中某点电场强度的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 B、在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的电场强度处处相同 C、电场强度可由q F E/ =定出，其中q为试验电荷，q可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力 D、以上说法都不正确 6.(3分)电荷面密度分别为σ ±的两块无限大均匀带电平面如图放置，则其周围空间各点电场强度E 随位置坐标x变化的关系曲线为(假设电场强度方向取向右为正、向左为负) ［］ A、 B、 高中物理第十章 静电场中的能量精选测试卷检测题（WORD 版含答案） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．在真空中有水平放置的两个平行、正对金属平板，板长为l ，两板间距离为d ，在两极板间加一交变电压如图乙，质量为m ，电荷量为e 的电子以速度v 0 （v 0接近光速的1/20）从两极板左端中点沿水平方向连续不断地射入两平行板之间．若电子经过两极板间的时间相比交变电流的周期可忽略不计，不考虑电子间的相互作用和相对论效应，则（ ） A ．当U m ＜22 2 md v el 时，所有电子都能从极板的右端射出 B ．当U m ＞22 2 md v el 时，将没有电子能从极板的右端射出 C ．当22 2 2m md v U el =时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之 比为1：2 D ．当22 2 2m md v U el = 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为12【答案】A 【解析】 A 、 B 、当由电子恰好飞出极板时有：l =v 0t ， 2 122d at =，m eU a md =由此求出：22 2 m md v U el = ，当电压大于该最大值时电子不能飞出，故A 正确，B 错误；C 、当2222m md v U el = ，一个周期内有12的时间电压低于临界电压22 2 md v el ，因此有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为1：1，故C 错误,D 、若 22 2 2m md v U el = ，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为21 121 =-，则D 选项错误．故选A ． 【点睛】该题考查了带电粒子的类平抛运动，和平抛运动具有相同规律，因此熟练掌握平抛运动规律是解决这类问题的关键． 2．如图所示，分别在M 、N 两点固定放置两个点电荷+Q 和-2Q ，以MN 连线的中点O 为 第七章 真空中的静电场 7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 )41()2 2( 420+= a q F πε＝,252 0a q πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1） 求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。 解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则 2 02 0)(4)(4ξπεξ λξπεξ λ-= -= x d x d dE 则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为 )1 1(4)(400 20 x L x x d E L --=-= ? πελξξπελ ＝ ) (40L x x L -πελ方向沿ξ轴正向。 （2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y 2 04r dx dE πελ= θπελcos 42 0r dx dE y = ， θπελsin 42 0r dx dE x = 因θ θθθcos ,cos ,2y r d y dx ytg x ===， 习题7－1图 dq ξ d ξ 习题7－2 图a x x dx 习题7－2 图b y 代入上式，则 )cos 1(400θπελ-- =y ＝)1 1(4220L y y +--πελ，方向沿x 轴负向。 θθπελ θd y dE E y y ??= =0 0cos 4 00sin 4θπελy = ＝ 2204L y y L +πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。 解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。 θπεθ λsin 42 0R Rd dE x = ??==πθπελ 00sin 4R dE E x R 02πελ = 2 02 2R q επ= ，如图，方向沿x 轴正向。 7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， x E 01 2πελ= 两线间的相互作用力为 θ θπελ θd y dE E x x ??-= -=0 0sin 4x 习题7－3图 λ1 习题7－4图 第十章 静电场中的能量 一、选择题 1．外力克服静电力对电荷做功时，( )。 A ．电荷的动能一定增大； B ．电荷的动能一定减小； C ．电荷一定从电势能大处移到电势能小处； D ．电荷一定从电势能小处移到电势能大处。 2．(多选)图示为静电场的一部分电场线，下列说法正确的是( )。 A ．A 点电势高于B 点电势； B ．A 点电势低于B 点电势； C ．A 点电场强度大于B 点电场强度； D ．A 点电场强度小于B 点电场强度。 3．(多选)关于电势，下列说法正确的是( )。 A ．电场中某点的电势，其大小等于单位正电荷由该点移动到零电势点时，静电力所做的功； B ．电场中某点的电势与零电势点的选取有关； C ．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低； D ．电势是描述电场性质的物理量。 4．对于电场中A 、B 两点，下列说法正确的是( )。 A ．电势差U AB ＝ AB W q ，说明两点间的电势差U AB 与静电力做功W AB 成正比，与试探电荷的电荷量q 成反比； B ．A 、B 间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点静电力所做的功； C ．将1 C 电荷从A 点移到B 点，静电力做1 J 的功，这两点间的电势差为1 V ； D ．电荷由A 点移到B 点的过程中，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功。 5．如图所示，Q 是带正电的点电荷，P 1、P 2为其电场中的两点。若E 1、E 2为P 1、P 2 两点的电场强度大小，φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势，则( )。 A ．E 1＞E 2，φ1＞φ2； B ．E 1＞E 2，φ1＜φ2； 第六章 真空中的静电场 习题选解 6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：以三角形上顶点所置的电荷(q -) 为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为 题6-1图 2 2 2 2 1004330cos 42r q r q f πεπε=??= 中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为 2 233200434r Qq r Qq f πεπε==??? ? ?? 由12f f =，得 Q =。 6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234 Th 的中心为159.010r m -=?。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？ 解：（1）由反应 238 234492 902U Th+He → ，可知 α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==? Th 离子带90个单位正电荷，即 1929014410Q e C -==? 它们距离为159.010r m -=? 由库仑定律可得它们之间的相互作用力为： 19199 122152 0 3.21014410(9.010)5124(9.010) Q Q F N r πε---???==??=? （2）α粒子的质量为： 2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=??+?=? 由牛顿第二定律得： 28227512 7.66106.6810 F a m s m α--= ==??? 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。 解：由图可知，第3个电荷与其它各 电荷等距，均为2 2 r m = 。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为 题6-3 图 题6-3 图 N r q q F 22 133 10108.141 -?== πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45o 角。 6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-?=，B 点放置点电荷 C q 92108.4-?-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。 解：A 点电荷在C 点产生的场强为 1E ，方向向下 142 11 01108.141 -??== m V r q E πε B 点电荷在C 点产生的场强为2E ，方向向右 142 22 02107.241 -??== m V r q E πε 第十章 静电场中的能量精选试卷检测题（Word 版 含答案） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U 可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 2．空间某一静电场的电势φ在x 轴上的分布如图所示，图中曲线关于纵轴对称。在x 轴上取a 、b 两点，下列说法正确的是（ ） A ．a 、b 两点的电场强度在x 轴上的分量都沿x 轴正向 B ．a 、b 两点的电场强度在x 轴上的分量都沿x 轴负向 C ．a 、b 两点的电场强度在x 轴上的分量大小E a 第九章 真空中的静电场 一． 选择题 [ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷 线密度分别为＋(x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： 022E E a πε+-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε=合，方向如图。 ［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 A b c a q E + E - E 合 O +λ -λ x y (0, a ) +λ -λ x y (0, a ) ［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］ 4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围 空间各点的电场强度E 随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)： 【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为： (+0;0)2E i x x σ ε=± > -<“”号对应“”号对应 ［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为： (A) r Q Q 0214επ+． (B) 202 10144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1 01 4R Q επ． 【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 x 第十章 静电场中的导体和电介质 一．选择题 ［ B ］1、（基训2） 一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平 行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面 密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为： (A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ． (B) σ 1 = σ21- ， σ 2 =σ2 1 +． (C) σ 1 = σ21- ， σ 1 = σ2 1 -． (D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． 【解析】 由静电平衡平面导体板B 内部的场强为零，同时根据原平面导体板B 电量为零可以列出 σ 1S+σ 2S=0 02220 2010=-+εσεσεσ ［ C ］2、（基训4）三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两个带有等量同号电荷，丙球不带电，已知甲、乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F ；现用带绝缘柄的丙球先与甲球接触，再与乙球接触，然后移去，则此后甲、乙两球间的静电力为 (A)3F/4； (B)F/2； (C)3F/8； (D)F/4。 【解析】 设甲、乙两球带有电量为q ，则用带绝缘柄的丙球先与甲球接触后，甲球带电量为q/2，丙球再与乙球接触，乙球带电量为3q/4。根据库仑定律可知接触后甲、乙两球间的静电力为原来的3/8。 ［ C ］3、（基训6）半径为R 的金属球与地连接。在与球心O 相距d =2R 处有一电荷为q 的点电荷。如图10-6所示，设地的电势为零，则球上的感生电荷q '为： (A) 0． (B) 2q ． (C) -2 q ． (D) -q ． 【解析】 利用金属球是等势体，球体上处电势为零。球心电势也为零。 0442q o o dq q R R πεπε' '+=? R q R q d o q o o 244πεπε-='?' R q R q 2- =' 2 q q -='∴ ［ C ］4、（基训8）两只电容器，C 1 = 8 μF ，C 2 = 2 μF ，分别把它们充电到 1000 V ， A B +σσ1σ2 O R d q 普通物理学 程守洙第六版 静止电荷电场总结 真空中的静电场 教学目的要求 1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理； 2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用； 3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能； 4. 掌握电势和电势叠加原理； 5. 了解电场强度和电势梯度的关系. 本章内容提要 ⒈两个基本定律 ① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一. ② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即 121212 122201212012 4π4πr q q q q r r r εε= ?=r F e ⒉两个重要物理量 ① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即 q F E = ② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则 d p p p W V q ∞ = =??E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为 d p p V ∞ =??E l 微分关系是 grad V =V =--?E ⒊两个重要定理 ① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即 1 d i S S q ε?= ∑? 内 E S ② 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零.即 0d =??l E 高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场. ⒋三个叠加原理 ① 静电力叠加原理 作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即 1 n i i ==∑F F ② 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加，即 1 n i i==∑E E ③ 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加，即 1 n p Pi i V V ==∑ ⒌几个基本概念 ① 电场 电荷周围存在的一种特殊物质，称为电场.它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角动量，它的特殊性在于能够叠加.相对于观察者静止的电荷在其周围所激发的电场称为静电场.静电场对外的表现主要有：对处于电场中的其他带电体有作用力；在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功. ② 电场线 为形象地反映电场而人为地在电场中描绘的曲线.其画法规定：电场线上某点的 高中物理必修第3册第十章 静电场中的能量试卷测试卷 （word 版，含解析） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U =可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 2．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如右图所示，ab 、cd 分别是正方形两条边的中垂线，O 点为中垂线的交点，P 、Q 分别为cd 、ab 上的点，且OP ＜OQ . 则下列说法正确的是 A ．P 、O 两点的电势关系为p o ??< B ．P 、Q 两点电场强度的大小关系为E Q 第六章 真空中的静电场 §6-1 电荷 库仑定律 5.电荷的量子化效应：到目前为止的所以实验表明，一切带电体包括微观粒子所带的电量 q ，都是某一基本电荷量的整数倍，这个基本电荷就是 e = 1.602 10-19 库仑 一个带电体带的电量 q = ne n = 1,2,3,... 只能取不连续的值，这称为电荷的量子化。 宏观带电体的带电量 q e ，准连续 二、库仑定律与叠加原理 库仑定律是两个点电荷相互作用的定律。 2.库仑定律 实验给出：k = 8.9880 10 9 N·m2/C2 121200 22014q q q q F k r r r r πε== ▲ 库仑定律适用的条件： ? 真空中点电荷间的相互作用 ? 电荷对观测者静止 41πε= k 0 —真空介电常量 2212o m /N C 1085.841 ??== -k πε 3.静电力的叠加原理 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。 离散状态: ∑==N i i F F 1 2004i i i i r r q q F πε= 连续分布: 2004r r dq q F d πε= ?=F d F 结论：库仑力比万有引力大得多，所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。 §6-2 静电场 电场强度 一、电场 电荷间的相互作用是通过场来传递的 2. 静电场的对外表现： 静电场：相对于观察者静止的电荷所产生的电场称为静电场。 静电场最重要的表现有两方面： ★研究方法： 电场能量—引入电势 U E 电场力—引入场强 二、电场强度 1.试验电荷 q 0 及条件 { 点电荷(尺寸小) q 0 足够小，对待测电场影响小 4.场强叠加原理 设有若干个静止的点电荷q1、q2、…… qN ，它们单独存 在时的场强分别为N E E E ,2,1，则它们同时存在时的场强为 i N i i i N i i N i i r r q E q F q F E 012011004∑∑∑=======πε 三、电场强度的计算 1. 点电荷的电场强度 000 220000144ππq q F q E r r q r q r εε==?= 特点: (1)是球对称的; (2)是与 r 平方成反比的非均匀场。 22 2. 点电荷系的电场强度 q 1 ·· ·· ··q i q 2 E E i P ×r i 点电荷 q i 的场强： 2o 4i r i i r e q E i πε = ∑ =i i r i r e q E i 2 o 4πε 总场强： 点电荷系 场强叠加原理 【最新整理，下载后即可编辑】 第六章 真空中的静电场 习题选解 6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为 题6-1图 2 2 22 1004330cos 42r q r q f πεπε= ??= 中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其 大小为 2 2 3 3200434r Qq r Qq f πεπε = = ??? ? ?? 由12f f =，得 3 Q q = 。 6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234Th 的中心为159.010r m -=?。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？ 解：（1）由反应2382344 92902U Th+He →，可知 α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==? Th 离子带90个单位正电荷，即 1929014410Q e C -==? 它们距离为159.010r m -=? 由库仑定律可得它们之间的相互作用力为： 19199 122152 0 3.21014410(9.010)5124(9.010)Q Q F N r πε---???==??=? （2）α粒子的质量为： 2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=??+?=? 由牛顿第二定律得： 282 27 5127.66106.6810F a m s m α--= ==??? 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的 1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。 解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为2 2 r m = 。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为 题6-3 图 题6-3 图 N r q q F 2 2 13310108.141 -?== πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45角。 6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-?=，B 点放 第十七章 真空中的静电场 17-1．三个相同的点电荷放置在等边三角形的三个顶点上，在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？ 解 设等边三角形的边长为a ，则由顶点到中心的距离为33a ；设顶点处电荷为q ，中心处电荷为Q ，Q 与q 反号．考虑到等边三角形的对称性，可知Q 受其它三个电荷的合力为零，与Q 的大小无关；顶点处三个电荷q 所受合力的大小相同． 上方顶点处电荷q 受其它三个电荷的作用力如图所示，合力为 零要求 02cos30F F =o 即 22 2 003244(33) q a a πεπε? ?= 可求出33Q q =-． 17-2．电子所带电量最先是由密立根通过油滴实验测得的，其实验装置如图所示．一个 很小的带电油滴在均匀电场E ρ 中，调节A 、B 两端的电压，使作用在油滴上的电场力与油 滴所受重力平衡．如果油滴的半径为41.6410cm -?，在平衡时51 1.9210V m E -=??，求油 滴上的电荷．已知油的密度为3 0.851g cm -?． 解 由0qE mg +=r r ，可得 343 R g mg q E E ρπ== 635 4 851314(16410)98 319210 ....-?????=? 1980210C .-=?5e = 17-3．半径为R 、电荷线密度为η的半圆形带电线如图所示，求圆心O 点的场强． 解 在带电曲线上取一个长度为d l 的电荷元，其电量d d q l η=．电荷元在O 点的场强 为d E r ，如图所示．由于电荷分布对Ox 轴对称，所以全部电荷在O 点产生的总场强沿Oy 方 向的分量之和为零，O 点的总场强E r 沿Ox 方向，(d )x E E i =?r r ． 由于d =d l R θ，所以 200d cos cos d cos d d 44x l E E R R ηθηθ θθπεπε?== = 于是 22 2200 cos (d )(sin )44E i |i R R ππππηθηθθπεπε--==?r r r 02i R ηπε= r 17-4．如图所示，匀强电场E ρ 与半径为R 的半球面1S 的轴线平行．试计算通过此半球面的E ρ 通量．若以半球面的边线为边，另取一个任意形状的曲面2S ，问2S 的电通量多大？第十章 静电场中的能量精选试卷(Word版 含解析)
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