二次函数性质总结

二次函数性质一览表

二次函数的有关知识

一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a ≠0)：

1、一般式：y=ax 2

+bx+c [已知抛物线任意三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)可设一般式求得] 2、顶点式：y=a(x-h)2

+k [已知顶点坐标（h ，k ）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]

3、两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2) [已知抛物线与x 轴是的两个交点（x 1，0），（x 2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]

二、二次函数图象平移变换关系：

三、二次函数图象（抛物线）与x 轴交点情况的判断：

y ＝ax 2

+bx+c （a ≠0，a 、b 、c 都是常数）

四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：

1、二次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2

+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x 为未知 数的一元二次方程ax 2

+bx+c ＝0的解（从图象上进行判断）。

2、二次函数y ＝ax 2

+bx+c 在x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax 2

+bx+c ＞0的解；在x 轴下方的图象上的点的横

坐标是一元二次不等式ax 2+bx+c ＜0的解。 五、关于x 轴、y 轴对称的二次函数图象的关系：

二次函数y ＝ax 2

+bx+c 与y ＝－ax 2

+bx+c 关于x 轴对称，即关于x 轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数 和常数项相同。

六、二次函数y ＝ax 2+bx+c,当a 、b 同号时，对称轴直线x ＝－a

b 2在x 轴的负半轴，即y 轴的左则；当a 、b 异号时，对称轴直线x ＝

－

a

b

2在x 轴的正半轴，即y 轴的右则；当c ＞0时，图象交于y 轴的正半轴；当c ＝0时图象一定过原点；当c ＜0时，图象交于y 轴

的负半轴。

七、任意一个二次函数y ＝ax 2

+bx+c(a ≠0，不考虑b 和c 的取值)都可以化为y=a(x+

)

2a

b 2

+

a

b a

c 442-的形式,即顶点坐标为(a b

2－，a

b

ac 442

-), 当x=-a

b

2时，y 有最值，即y 最值=

a

b a

c 442

-,对称轴是直线x=-

a

b 2.