不动点定理及其应用_高考_
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
角谷静夫不动点定理
一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=?（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈?(x i)且y i→y0，则有y0∈?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若?(x)为A的一非空凸集，且?(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明?(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数?(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{?(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,?和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。 在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m1
不动点原理及其应用
题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用 主要内容： 不动点理论一压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用目录： 一、弓丨言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点 函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点 即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。使f(X0)X o,则X o就是 一个不动点。 二、压缩映像原理 定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理) 设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压缩映射，则T 在X上存在唯一的不动点
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射 距离空间又称为度量空间 定义：(距离空间)设X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ，满足下面三个条件： (1)。(x,y) 0，而且(x, y) 0，当且仅当x y； (y,x)； (2)。(x,y) (3)。(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。 这里叫做X 上的一个距离，以为距离的距离空间X 记作(X, ) 定义：(完备的距离空间) 距离空间( X, ) 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。 定义：(压缩映射)称映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如果存在0 a 1，使得(Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。
三、在微分方程中的应用 定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题 d y f(x,y), dx y(x o) y o. 假设f(x,y)在矩形区域 R： |x x o | a, | y y°| b 内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I [X。h,X。h]上有且仅有一个解，其中 h min2，寻｝, M (m y a>R| f(x,y)|. (1)。传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明： a.转换成等价的积分方程 x y y o x f(t,y)dt x o b.构造皮卡迭代序列 c.证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解 d.证明解唯一 (2)。压缩映像原理证明 根据上面的理论，先定义X C[x。h, X。h] C(l) 然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)|
不动点定理及其应用(高考)
摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 目录
不动点定理研究
前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧
Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用综述 摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有 ,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1） 则称T 是压缩映射。 定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- （1.4） 由于1α<，故11n m α--<，得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-（1.5） 所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备， x X ?∈，
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space
不动点定理及其应用 0 引言 在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论 [1-3] .而在非线性泛函中是 研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义. 定义 0.1设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =. 对此定义,有以下理解. 1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x . 2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点. 在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算. 本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳. 1 Banach 不动点定理及其应用 1.1相关概念 首先介绍本文用的一些概念. 定义1.1.1[3] 设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在 0>N ,使得当N n m >,时,()ερ 目录 内容摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1．引言 (1) 2．不动点定义及定理介绍 (2) 2.1不动点相关定义 (2) 2.2不动点思想 (2) 2.3不动点相关定理 (6) 3．不动点思想在其他学科的应用 (8) 3.1在求数列通项公式中的应用 (8) 3.2在求方程解中的应用 (11) 3.3在求函数解析式中的应用 (12) 4．不动点定理在证明中的应用 (14) 4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14) 4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15) 4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17) 4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17) 4.5 不动点定理在图论中的证明 (14) 参考文献 (18) 致谢 (19) 内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。 关键词：不动点不动点思想不动点定理应用 Abstract： Key words： 1．引言 泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中。许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。 不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。 2．不动点相关定义及定理介绍 2.1不动点相关定义 定义1 设X 为非空集合，:T X X ?是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成 立，则称x 为映射T 的一个不动点。 特别地，函数()f x 是定义在D R ì上的函数，如果x D $ 使得()f x x =成立，则称x 为函数()f x 的一个不动点。 定义 2 设(),X r 是距离空间，T 是X 到其自身的映射，且对于任意的 ,x y X ?，不等式()(),,Tx Ty x y r qr ￡都成立，其中q 是满足01q ?的常数。则 称T 是X 上的压缩映射。 2.2不动点思想 首先，对于函数()y f x =的不动点，有两个方面的理解： 1）()y f x =的不动点，是方程()0f x x -=的根。 2）()y f x =的不动点，是函数()y f x =与y x =的交点。 有了这两个方面的理解，很显然，可以用不动点思想来求方程的根和函数的 不动点理论在数列中的应用 四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明 摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。 关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。 Fixed point theory in the sequence of application Abstract : Understand metric space under the fixed point principle, and study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance. Key words : Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality. 1预备知识 1.1 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在数)10<<αα（，使得对所有X y x ∈,，成立 ()()y x d Ty Tx d ,,α≤， （()y x d ,表示实数直线R 上任何两点y x ,之间的距离） 则称T 是压缩映射。 压缩映射从几何角度来说，就是点x 和y 经T 映射后，它们的像的距离缩短了，不超过()y x d ,的)10<<αα（倍。 1.2 定理及其证明 定理 1 设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么在X 内必 X x ∈?，使得x Tx =。 证明：设0x 是X 中的任意一点，令01Tx x =，...0212===x T Tx x ， Brouwer不动点定理的几种证明 学院名称： 专业名称： 学生姓名： 指导教师： 二○一一年五月 摘要 Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果. 关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想. 关键词：Brouwer；不动点. ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point. 布劳威尔不动点理论 布劳威尔荷兰数学家。1881年2月27日生于荷兰的奥弗希，1966年12月2日卒于布拉里克姆。1904年毕业于阿姆斯特丹大学。后在G.曼诺利的影响下，开始接触拓扑学和数学基础。1912年为阿姆斯特丹大学教授，同年为荷兰皇家科学院院士。他强调数学直觉，坚持数学对象必须可以构造，被视为直觉主义的创始人和代表人物。他在拓扑学的突出贡献是建立布劳威尔不动点定理以及证明维数的拓扑不变性（1910）。1912年起，他特别关心集合的原始地位及排中律的作用，建立构造主义的数学体系，包括可构造连续统；集合论的构造基础，构造的测度论，构造的函数论等。 拓扑学——是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογ?α的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。 不动点理论如果f 是n＋1维实心球Bn+1＝｛x∈R n+1｜x｜≤1｝到自身的连续映射（n＝1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）＝x0）。此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常重要，也有很多的实际应用。 假如你去登山，假设上午8点从山脚出发，一路上饱览风光，中午12点到达山顶。在山上玩乐过夜，第二天8点从山顶出发，原路返回，悠哉悠哉下山，中午12点恰好到达山脚。那么，根据有趣的布劳威尔不动点定理，存在这样一个现象：肯定在某个时刻，你在山上的位置和昨天在山上的位置是恰好一样的。或者说，两次到达山上某个地点的时间是相同的。倒一杯咖啡，然后用一个汤匙慢慢搅动咖啡，慢慢地轻轻地搅，不要让咖啡溅出。不动点定理告诉我们，无论怎么搅动，咖啡中有一点在原来的位置上没有动。当你继续搅动，让这一点离开原来的位置，但是无法阻止另一点回到最开始的位置上。 本人认为，如果不动点理论真的可以应用到时间和空间上，那么就可以说， 不动点定理及其应用综述 摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和Volterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （） 则称T 是压缩映射。 定理（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 2 1021010,, ,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤++ + 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 不动点定理及其应用 1 引言 大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述． 2 背景介绍 把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理． 3 基本的定义及定理 定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件： ①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ= ),(x y ρ； ③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素． 则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ． 注 距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的 ,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ 容易看到①、②、③都满足． 定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在 ,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则 称X 为完备的距离空间． 定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式 ),(),(y x a y x ρρ≤T T （1） 不动点定理在微分方程中的应用 摘要：本文在简介不动点定理的重要结论的基础上,重点研究了利用Banach压缩映射原理来证明Picard定理和Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,并且利用Banach压缩映射原理和Schauder定理进一步来研究不动点定理在微分方程中应用. 关键词：不动点定理;Banach压缩映射原理;Schauder不动点定理;微分方程 一引言 不动点定理是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,不动点定理在自然科学中有着广泛的应用.在文献[1]中利用Picard的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理;在文献[2]中利用Schauder不动点定理和不等式证明了积分方程解的存在和唯一性;在文献[3]中作者用Banach不动点定理来简化了Picard 定理的证明,并且利用Leray—Schauder不动点定理以此说明了不动点定理在微分方程中的应用.在文献[7]中作者用分析方法讨论两类不动点定理即Banach压缩映像原理和Schauder 不动点定理分别在Picard解的存在唯一性定理和Peano解的存在性定理证明过程中的应用. 二不动点定理的重点结论 不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”. ?α1使得ρ（Tx,Ty）定义1称T：（X,ρ）→（X,ρ）是一个压缩映射,如果存在0? αρ ≤(x,y),() x y X ?∈ ,. 定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)é.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：设X是一个完备的度量空间,映射?:Χ→Χ把每两点的距离至少压缩λ倍,即d（?（x）,?(y))≤λd(x,y),这里λ是一个小于1的常数,那么?必有而且只有一个不动点,而且从Χ的 任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点. 这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础. 定理 1.2布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点. 用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济 探究不动点的奥秘 一．不动点引入 在研学课的课堂上老师向我们简单的介绍了在数学函数中的不动点的性质，是指“被这个函数映射到其自身一个点”。老师举了一个简单的例子：取一个浅盒和一张纸，纸恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球，再把小球扔进盒里。拓扑学家已经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方。 通过具体找到这个点，就能说明这个问题了。 纸被揉成球以后，看它投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么底板的一部分就肯定对应于一部分纸团） 假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。 就是说： 整个纸盒对应于纸团 纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块 纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块 纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块 ………………………… 不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点。 这是生活中不动点的例子。老师接下来又举了个函数的例子：定义在实数上的函数f， f(x) = x^2 - 3x + 4， 则2是函数f的一个不动点，因为f(2) = 2。 也不是每一个函数都具有不动点。例如f(x) = x + 1就没有不动点。因为对于任意的实数，x永远不会等于x + 1。用图像的话来说，不动点意味着点(x,f(x))在直线y = x上，或者换句话说，函数f(x)的图像与那根直线有共点。这个例子的情况是，这个函数的图像与那根直线是一对平行线。 下面老师讲了不动点在函数迭代中的应用。迭代时只有函数单调才有不动点，并 不动点定理在经济学中的应用 数本1301 王敏 摘要 不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。 关键词：不动点、博弈论、纳什均衡 一、不动点定理 定义1：设X 是一个拓扑空间。如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ，使得B A X ?=，则称X 是一个不连通空间；否则，称X 是一个连通空间。]1[ 引理1：设X 是一个连通空间，R X →:f 是一个连续映射，则)(f X 是R 中的一个区间。]1[ 引理2:（介值定理）设R b a f →],[：是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射，则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ，存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。]1[ 定理：（不动点定理）设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射，则存在]1,0[z ∈使得z =）（z f 。]1[ 证明：如果0)0(f =或者1)1(f =，则定理显然成立。下设0)0(f >，1)1(f <。定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。容易验证f 是一个连续映射，并且这时又0)0( 3.4 不动点理论 3.4.1 不动点定理 定义 3.4.1 设(,)X ρ是度量空间，:A X X →是一个映射。若存在数,01αα≤<，使对任意,x y X ∈，有 (,)(,)Ax Ay x y ραρ≤ (3.4.1) 则称A 是X 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping ). 若X 是线性空间，则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ). 注 为简明起见，这里用A x 记()A x . 由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的(01)αα≤<倍。 定理3.4.1 压缩映射是连续映射。 证 证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列0()n x x n →→∞，必有 ()n Ax Ax n →→∞. 因为点列0()n x x n →→∞，即：0(,)0()n x x n ρ→→∞, 又因为A 是压缩映射，即存在数,01αα≤<，使得 00(,)(,)n n Ax Ax x x ραρ≤, 所以 0(,)0 ()n Ax Ax n ρ→→∞, 即： ()n Ax Ax n →→∞. 证毕！ 定义3.4.2 设X 是一集，:A X X →是一个映射。若*x X ∈，使得 **Ax x =, (3.4.2) 则称*x 为映射A 的一个不动点(Fixed Point ). 设:A X X →是一个映射，即：:()A x Ax x X ∈ ，定义： 2 :A x AAx ， 3 :,, :k k A x A A A x A x A A x 个， 1,2,3,k = . 定理3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(,)X ρ是完备的度量空间， :A X X →是一个压缩映射，则X 中必有A 的唯一不动点。 证 先证明映射A 在X 中存在不动点。 在X 中任取一点0x ，从0x 开始，令 2 1021010, , ,, , 1,2,n n n x Ax x Ax A x x Ax A x n -======= ， 这样得到X 中的一个列点{}n x . 往证{}n x 是基本点列。 因为A 是压缩映射，所以存在数,01αα≤<，使得 111(,)(,)(,) (1)n n n n n n x x Ax Ax x x n ρραρ+--=≤≥. (3.4.3) 反复应用上式，由归纳法得 110(,)(,) (1)n n n x x x x n ραρ+≤≥. (3.4.4) 于是，对任意正整数p ，由(3.4.3)及三点不等式得 1121(,)(,)(,)(,)n p n n p n p n p n p n n x x x x x x x x ρρρρ+++-+-+-+≤+++ 1 2 10()(,)n p n p n x x α α αρ+-+-≤+++ 1010(,)(,)0 ()11n n p n x x x x n ααα ρρα α +-= < →→∞--, (3.4.5) 即{}n x 是基本点列。 因为X 是完备空间，所以{}n x 在X 中存在唯一的极限* x ，使得泛函分析中不动点理论及其应用
不动点理论在数列中的应用
Brouwer不动点定理的几种证明
布劳威尔不动点理论
Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用
不动点定理在微分方程中的应用
探究不动点的奥秘
不动点定理
3.4 不动点理论