数值分析复习题

第一章 习题解答与问题

一、习题解答

1 设x>0，x 的相对误差限为δ，求 ln x 的误差。

2 设 x = – 2.18 和 y = 2.1200 都是由准确值经四舍五入而得到的近似值。求绝对误差限ε( x ) 和 ε( y ) 。

4 已知近似数x 有两位有效数字，试求其相对误差限。 解：| e r (x) | ≤

5 × 10– 2 。 5 设 y 0 = 28，按递推公式 y n = y n-1 –

783/ 100 ( n = 1，2，…) 计算到y 100。若取

≈78327.982 （五位有效数字），试问，计算 y 100 将有多大的误差？

8 序列{ y n }满足递推关系 y n = 10y n-1 – 1 (n = 1，2，……)。若取 y 0 = 2≈1.41（三位有效数字），按上述递推公式，从y 0计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解 取 x 0 = 1.41，记 e(x 0) = 1.41 –2。根据

x n = 10x n-1 – 1 (n = 1，2，……)

得

e(x n ) = 10e(x n-1) (n = 1，2， (10)

所以

e(x 10) = 1010e(x 0)

从y 0计算到y 10时误差估计为 |e(x 10)| = 1010 |e(x 0)| ≤0.5×108。这是一个数值不稳定的算法。 2．设计算球体V 允许其相对误差限为 εr (V)=1%（或| e r (V) | ≤1/%），问测量球半径R 的相对误差限εr (R) 最大为多少?

3.简述如何避免误差危害(简答题)

1.避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法，否则可能会扩大舍入误差，甚至出现溢出。

2. 避免两相近数相减，否则会使有效数字严重损失

3. 尽可能防止大数吃掉小数字，否则可能影响结果的可靠性

4. 简化计算步骤，减少运算次数

5.选用数值稳定的算法 P19页：1 ，2 ， 5， 6， 7， 10, 12

第二种复习题

一 填空题

1 2

()31f x x =+则[1,2,3]f =

2 75()39f x x x x =+-=，则017[2,2,,2]f =（ ），018

[2

,2,,2]f =（ ）

3 若n 次多项式()(0,1,,)j l x j n = 在1n +个节点0

1x

x x <<< 上满足条件

1,;

()(,0,1,,)0,.j k k j l x j k n k j =?==?

≠?

称之为插值基函数。

011011()()()()

()()()()()

k k n k k k k k k k n x x x x x x x x l x x x x x x x x x -+-+----=

----

余项为(11()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=

+ 4均差与差分的关系：11[,,],!m

k k m k m

f x x f m h +=? 差分与导数的关系()

(),n

n

n k f h f

ξ?=

一、习题解答

1．求经过A (0，1)，B (1，2)，C (2，3)三个样点的插值多项式 2．已知函数)(x f y =的数据如下表

试作一个三次插值多项式P 3(x ),利用P 3(x )计算3

解：令x k = k

k 根据Newton 插值公式

)]}

()[({))(()()(23

4

2121213

4

12213-+-++=--+

-++=x x x

x x x x x x x P

由于被插值函数x

x f 3=)(，故取 x = 1/2，便得

222

1

34212122112133=-+-++=≈)]}()[({)/(P

3．已知函数y = f (x )解：由于x=0333(1)=1得方程组

?

?

?=+-=-11

b a a b 解之：a =1，b = 0 所以，H 3(x ) = x 3。

8．求一个次数不高于4次的多项式P (x ),使它满足:P (0) =0，P’(0) =0，P (1) =1，P’(1) =1，P (2) =1，并写出其余项表达式.

解：由题意 P (x ) = x 2(ax 2 + b x + c )，由插值条件得方程组

1

24412341=++=+++=++)(c b a c b a c b a 求解，得 a =1/4，b= – 3/2 ，c =9/4。所以

)()(4

9

234122+-=x x x x P

插值余项为)()()(!

)()

(2151225--=

x x x f x R ξ 名词解释：1拉格朗日插值基函数及余项

2课后习题1 ，5 ， 8 ， 13 ，14 ，16

第三章 复习题

1．求 f (x ) = e x 在区间[–1，1]上的三次最佳逼近多项式。

解：利用勒让德多项式作基函数，即 P (x ) = a 0 p 0(x ) + a 1 p 1(x ) + a 2 p 2(x ) + a 3 p 3(x )，其中

p 0(x ) = 1，p 1(x ) = x ，

2123)(22-=

x x p ，x x x p 2

325)(33-= 利用正交性，得系数为

?-+==

11)()(2

12),(),(dx x f x p n p p f p a n n n n n ( n = 0，1，2，3) 而

11

11

10)()(----==??

e e dx e dx x

f x p x

11

1

1

112)()(---==??

e dx xe dx x

f x p x

??----=-=111

21

127)2

123()()(e e dx e x dx x f x p x e e dx e x x dx x f x p x 537)2325()()(1113113-=-=---?? ≈-?=-)(2110e e a 1.1752，≈?=-11223

e a 1.1036，

≈-?=-)7(2512e e a 0.3578，≈-?=-)537(2

7

13e e a 0.0705

所以，

P (x ) = 1.1752 + 1.1036 x+ 0.3578)2123(

2-x +0.0705)2

3

25(3x x - =0.9963+0.9978 x + 0.5367 x 2 + 0.1762 x 3

（可直接写方程组，最后结果不用写数字）

4. 2．求a ，b 使

?

-+2

/02]sin [πdx x b ax 最小。

例1 求3

2

()221f x x x x =++-在[1,1]-上的最佳2次一致逼近多项式. 例2求32

()221f x x x x =++-在[0,1]上的最佳2次一致逼近多项式.

例3 设()f x =求[0,1]上的最佳一次一致逼近多项式

例4 设()f x =求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式 例5 设3

()f x x =，求[1,1]-上的2次最佳平方逼近多项式 二 填空题

1. 伯恩斯坦多项式为（ 0

(,)

()(1)n

k

n k

n k n k

B f x f x x k n

-=??=- ???

∑

）

2. 连续函数空间[,]C a b 中的 1-范数、2-范数和∞-范数分别为max (),a x b

f

f x ∞

≤≤=

1

()b

a

f

f x dx =?，1

2

2

2

(())b

a

f

f x dx =?。

3. 设0{()}n x ?∞

是[,]a b 上带权()x ρ的正交多项式，则()(1)n x n ?≥在区间[,]a b 内有（ n ） 个不同的零点.

4. 勒让德多项式重要性质：1

10,()()2,21

n m m n P x P x dx m n n -≠??

=?=?+??；01()1,(),P x P x x == 22()(31)/2,P x x =- ；

5. 切比雪夫多项式有很多重要性质：2

2()21T x x =- ，3

3()43,T x x x =-；()n T x 在区间

[1,1]-上有n 个零点21

cos

,2k k x n

π-= 1,2,,k n = 6. 求3

2

()221f x x x x =++-在[1,1]-上的最佳2次逼近多项式为*

231()()()2

P x f x T x =-

27

12

x x =+-

7. 在所有最高次项系数为1的n 次多项式中，勒让德多项式()n

P x 在[1,1]-上与零的平方误差最小.

8.用辗转相除法将222236()66

x x

R x x x +=++化为连分式（ ）。

第三章课后重要习题 12,13,14,19

第四章复习题

1． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并指明所构造出的求积公式

所具有的代数精度。

（1）)()0()()(101h f A f A h f A dx x f h

h ++-≈--?； （2）)()0()()(10122h f A f A h f A dx x f h

h ++-≈--?

；

（3）

)](3)(2)1([3

1

)(211

1

x f x f f dx x f ++-≈?-； （4）)]()0([)]()0([2

)(2

0h f f ah h f f h dx x f h '-'++≈?

2． 分别运用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx e x ?

1

，并估计各种方法的误

差（要求小数点后至少保留5位）。 Cotes 公式（略）

3． 推导下列三种矩形求积公式（不考）

2

)(2

)()()()(a b f a f a b dx x f b

a

-'+

-=?η 2

)(2

)()()()(a b f b f a b dx x f b a

-'--=?η 3

)(24

)()2()()(a b f b a f a b dx x f b a

-''++-=?η 解：将定积分转化为积分上限（或积分下限）函数 （1）令 ?

=

x a

dt t f x F )()(1，显然0)(1=a F ，F 1(b)=?b

a

dt t f )(。

利用泰勒中值定理，有

)(2

)()()()()(12

111ξF a b a F a b a F b F ''-+'-+=

由于，)()(1a f a F ='，)()(1ξξf F '=''。所以

)(2

)()()()(2

ξf a b a f a b dx x f b a

'-+-=?

（2）令 ?

=

b x

dt t f x F )()(2，则0)(2=b F ，?=b a

dt t f a F )()(2。

利用泰勒中值定理

)(2

)()()()()(22

222ηF b a b F b a b F a F ''-+'-+=

由于)()(2b f b F -='，)()(2ηηf F '-=''。所以

)(2

)()()()(2

ηf a b b f a b dx x f b a

'---=?

（3）由泰勒中值定理

)()2

(21)2()2()2(

)(2

ξf b a x b a f b a x b a f x f ''+-++'+-++= 积分，得

??

''+-++-=b a b a

dx f b a x b a f a b dx x f )()2

(21)2(

)()(2

ξ

由积分第二中值定理

322))((12

1

)2()()()2(a b f dx b a x f dx f b a x b a b

a -''=+-''=''+-??γγξ 故

3)(24

)

()2()()(a b f b a f a b dx x f b a

-''++-=?

γ

5. 证明求积公式（不考）

)]5/32(5)2(8)5/32(5[9

1

)(3

1

+++-≈?

f f f dx x f

具有5次代数精度。 证：令x = t + 2，则

???

--+=+=1

1

1

1

3

1

)2()2()(dx x f dt t f dx x f

三阶Legendre 多项式)35(2

1

)(33x x x P -=

的零点为 5

3

0-=x ，x 1 = 0，5

32=

x 故，以三个零点为求积结点，构造插值型求积公式的系数

?-----=

1

12010210))(()

)((dx x x x x x x x x A ，?-----=1

12101201))(()

)((dx x x x x x x x x A

?-----=1112021

02))(())((dx x x x x x x x x A

经计算，得

950=

A ，981=A ，9

52=A 所以求积公式

)]5/32(5)2(8)5/32(5[9

1

)(3

1

+++-≈?

f f f dx x f

必具有5阶代数精度。 二 填空题

1 牛顿-柯特斯公式()0

()

()n

n n k

k k I b a C

f x ==-∑ 的代数精度至少为（ N ）

，偶数时的代数精度为（N+1 ），科特斯系数的两个特征为（

()

1n

n k k C

==∑ ）和（()()

C n n k n k C -= ）

2 插值型求积公式

0()()n

b

k

k a

k A

f x f x dx =≈∑?至少具有( N )次代数精度,且其求积系数

之和是（b a - ）,最高代数精度为( ) 3 设5

2

()31f x x x =+-，求积公式

2

()()b

k k a

k A f x f x dx =≈∑?是Gauss 型的，则

20

()()b

k k a

k f x dx A f x =-∑?

=（ 0 ）

4 复合梯形公式为（ 1

1

[()2()()]2n n k k h

T f a f x f b -==++∑ ）

复合辛普森求积公式为（ 11

1/201

[()4()2()()]6n n n k k k k h

s f a f x f x f b --+===+++∑∑ ）

5如果求积公式

()()()n

b

k k a

k f x x dx A f x ρ=≈∑?

具有（ ）次代数精度，相应公式(6.4)称为

高斯求积公式.

6计算函数在某点处的导数的中点公式为（ ） 6简述代数精度的定义（名词解释） 课后习题重点：

P136:10 P117 例8

第五章 复习题

例1 求方程3

2

()11.138.841.770f x x x x =-+-=的有根区间.（搜索法） 解 根据有根区间定义，对 ()0f x =的根进行搜索计算，结果如下：

由此可知方程的有根区间为[1,2],[3,4],[5,6].

例2 用二分法求方程3

()10f x x x =--=在区间[1.0,1.5]内的一个实根，要求准确到小数

点后第2位,试问k =？

*()/2k k k x x b a -≤-1()/2k b a +=-1

110.005,2

2k +=

?<

6k = 例4 用不同格式的迭代方法求方程2

30x -= 的根

2()3f x x =-可改写为各种不同的等价形式(),x x ?=其不动点为*x =的迭代法：（不考） 13(2)k k x x +=，3(),x x ?=23

(),x x

?'=-(*) 1.x ?'=-

211(3)(3),4k k k x x x +=--21()(3),4x x x ?=--1

()1,

2

x x ?'=-(*)10.134 1.x ?'=-

≈< 113

(4)(),2k k k

x x x +=+(*)0.x ??''==

例5 对于收敛的牛顿法，其速度至少是2阶的，且有12*(*)

lim

(*)2(*)k k k

x x f x x x f x +→∞''-='-

例6 用牛顿法解方程e 10x

x -=

7-1 01

2

3456

()x

f x --++--+

计算结果*x =2

1(1)3,k k k x x x +=+-()21,x x ?'=+2

()3,x x x ?=+-(*)1 1.

x ??''==>

00.510.5710220.567163

0.56714

k k x 例7 对于给定的正数 C ，应用牛顿法解二次方程2

0,x C -=可导出求开方值C 的计算程

序11()2k k k

C

x x x +=

+。证明这种迭代公式对于任意初值00x >都是收敛的. （P224）

例8 证明方程 1 – x – sin x = 0 在区间[0，1]上有一根。使用二分法求误差不大于

4102

1

-?的根需二分多少次？（不考）

证明 令f(x) = 1 – x – sin x ，则f(0) = 1，f(1)= – sin 1。于是 f(0) f(1)< 0，故所给方程在区间[0，1]上必有根。又因为

x x f cos 1)(--='

所以，函数 f(x) 在区间[0，1]内单减。故，方程在区间[0，1]内只有一个根。 利用二分法收敛定理，由

4

1

10212

01-+?≤-n 得 2n ≥ 104，所以二分法求根至少需14次二分计算能满足误差要求。 例9 给出求222+++= n x 的迭代格式，并证明2lim =∞

→n n x 。

解 取初值：21=

x ，迭代格式：n n x x +=+21 ( n =1，2，…… )。

首先证明数列有上界。显然， x 1< 2。设对k ，有 x k < 2成立，则对于( k+1)有 22221=+<+=+k k x x

由数学归纳法知，对任意n 有 x n < 2。故数列有上界。

现证明数列单增。由

12

21

>=

+>

+=+n

n

n n n

n n

n x x x x x x x x 知，数列单调增加。由极限定理，该数列必有极限，设为 x *，由

n n n n x x +=∞

→+∞

→2lim

lim 1

得

**2x x +=

化为二次方程，求出两个根分别为：– 1和 2，舍去负根，得x * =2 。 例10 应用牛顿迭代法于方程 x 3 – a = 0，导出求立方根 3

a 的迭代公式，并讨论其收敛

阶。

解：令 f(x) = x 3 – a ，则牛顿迭代公式

2

231

3323n

n n n n n x a x x a x x x +=--=+ 故迭代函数为

2332)(x

a x x +=

?

而

33232)(x a x -=

'?，4

2

)(x a

x =''? 将 x * =

3

a 代入，得0)(*='x ?，3*/2)(a x =''?

故用牛顿迭代法求解方程 x 3 – a = 0，导出求立方根 3a 的迭代是二阶收敛。

例11 已知方程 x 3 – x 2 – 1 = 0 在 x 0 = 1.5 附近有根，试判断下列迭代格式的收敛性。

（1）2

1/11n n x x +=+；（2）1/

11-=+n n x x ；（3）32

11n n x x +=+。（不考）

解： （1）2/11)(x x +=?，3

/2)(x x -='?，在 x 0 = 1.5 附近有1|)(|<'x ?成立，故迭代

格式收敛； （2）1/1)(-=x x ?，3

)1(21)(--=

'x x ?，在 x 0 = 1.5 附近有1|)(|≥'x ?成立，故迭

代格式不收敛；

（3）3

2

1)(x x +=?，3

2

2)

1(32)(x x

x +-='?，在 x 0 = 1.5 附近有1|)(|<'x ?成立，故迭

代格式收敛。

例12 应用牛顿迭代法于方程21)(x

a

x f -==0，导出求平方根a 的迭代公式，并用此公式计算115。 解：因为3

2)(x a

x f =

'，所以牛顿迭代公式为 a x x x a x a x x n n n

n n n 223

/2/13

3

21-=--=+ 取初值x 0 =11，迭代计算4次后得

10.71304347826087 10.72378910023906 10.72380529472693 10.72380529476361 取

≈11510.7238052947

已经得到12位有效数字。

例13 证明由迭代格式n

n n x x x 121+=+ ( n = 0，1，…… )产生的迭代序列 {x n }，对任意的x 0>0，均收敛于2。 证明：对迭代格式，得)2(212

1+=

+n n

n x x x ，等式两端同减2，并进行配方，得 21)2(21

2-=-+n n

n x x x

同理可得

21)2(21

2+=

++n n n x x x 将上面两式相除，得

2

211)

2()2(2

2+-=

+-++n n n n x x x x

反复递推，得

1

2

2002112

211]2

2[

]2

2[

)2()2(2

2++-==--=+-=

+---++n x x x x x x x x n n n n n n

令

2

200+-=

x x q

则有

n

q x x n n 22

2=+-

化简，得

n

n

q

q x n 22112

-+=

对任意的x 0>0，由于 | q | < 1，故迭代序列收敛于2。

例16 设x * 是非线性方程 f(x) = 0 的单根，证明在牛顿迭代法中，有

)(2)()(lim **2**1x f x f x x x x n

n n '''=--+∞→ 解：由于x * 是 f(x) = 0 的单根，故当x n ≈x *时，0)(≠'n x f ，利用Tylor 展开式

)(2

)()()()()(2

n n n n n f x x x f x x x f x f ξ''-+'-+=

其中，ξn 介于x 和x n 之间。上式中取x=x *，由牛顿迭代公式

)

()

(1n n n n x f x f x x '-

=+

得

)

(2)

()(2

*

*

1n n n n x f f x x x x '''-=-+ξ

由于

*lim x x n n =∞

→，*lim x n n =∞

→ξ

所以

)(2)()(lim **2**1x f x f x x x x n n n '''=--+∞→ 例17 设a 为正实数，试建立求a

1

的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并

考虑迭代公式产生的数列{ x n }的收敛性。（不考） 解 构造函数a x x f -=

1)(，由于a

1

是该函数的零点，且2/1)(x x f -='，对方程f(x) = 0应用牛顿迭代公式，得

x n+1 = x n ( 2 – a x n ) ( n= 0，1，2，… )

该迭代函数不含有除法运算。由迭代公式，得

1 – a x n+1 = 1 – a x n (

2 – a x n ) = ( 1 – a x n )2， (n = 0，1，2，… )

递推，得

n

ax ax n 20)1(1-=-，(n = 0，1，2，… )

解得

])1(1[1

20n ax a

x n --=

所以数列{ x n }收敛的充要条件为：| 1 – a x 0 | < 1。即

0 < x 0 < 2/a

6．证明：对于C>0，迭代格式

C

x C x x x n n n n ++=+2

2

1

3)3( (n= 0，1，2，…… ) 是计算C x =*

的三阶方法。（不考）

填空题：

1． 迭代过程1()k k x x ?+=收敛的充分条件是（()1x ?'<）

2． 2

()(5)x x x ?α=+-，要使迭代法1()k k x x ?+=

局部收敛到*

x =

α的取值范

围是（0α<<） 3．用迭代法1()k k k x x f x λ+=-求方程3

2

()10f x x x x =---=的根，使迭代序列{}k x 法具有平方收敛，则（1

'()

k f x λ=

） 4．迭代法1221

3k k k

x x x +=

+

收敛于*x =，此迭代序列是（ ）阶收敛的。 5. 求方程3

2

()11.138.841.770f x x x x =-+-=的有根区间.（搜索法）[1,2],[3,4],[5,6]. 6. 用二分法求方程3

()10f x x x =--=在区间[1.0,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后第2位,试问k =？6k =

7. 对于收敛的牛顿法，其速度至少是（ 2 ）阶的，且有12*lim

(*)k k k

x x x x +→∞-=-（(*)

2(*)f x f x ''' ）

8. 应用牛顿迭代法于方程 x 3 – a = 0，导出求立方根 3

a 的迭代公式

（2

23

13323n

n n n n n x a x x a x x x +=--=+）

数值分析复习题及答案65177

数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析复习题及答案

数值分析复习题及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数值分析复习题 一、选择题 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点( )() 0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数 ()() 01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ． 232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+=D ． 230.5 1.5 x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商 ()()()211221 14 ,3 21f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ?? = ? -??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+==，则 []12,,n n n f x x x ++= 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123 101(1)(1)y x x x =+ +- ---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差 ()01,f x x = ？ 13. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===，那么() 33C =

数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

数值分析习题集及答案Word版

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值分析期末考试复习题及其答案.doc

数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

数值分析课后题答案

数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试题集

2 A J ：；［则 || A 「一— 仙二 ------------- 'a+1 2 3 设「_1 J ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解。 (试卷一) 一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2 有几位有效数字。 二 ( 1 多项式 三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式 H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c) ( a ：：： c ：： b ) 求f (x) -H(x)，并证明之。 1 四(15分)计算， : =10』。 o 1 +X 五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。 六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y , ■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。 (试卷二) 一 填空(4*2分) 1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中 1 （x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 ------- 数值分析试题集

3 2 * * * 4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。 广1 —0.5 a ' 二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3 l -a -0.5 1 』 1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代 收敛最快？ 2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。 "V " = f(X y) 三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该 、、y°= y(x°) 公式的精度。 四(14分)设A X =b为对称正定方程组 1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围； 『2 -1 -1、、 1、『0 、 2用此法解方程组-12 0-X2=1 L1 0

数值分析习题集及答案

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计 算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、填空 1. 设 2.3149541...x * =，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 . 2.设一阶差商 ()()()21122114 ,321f x f x f x x x x --= = =---， ()()()322332 615 ,422f x f x f x x x x --= = =-- 则二阶差商 ()123,,______ f x x x =11/6 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。p49 4. 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01 x =， 那么 1______x =。 1.5 5．解初始值问题 00 '(,)()y f x y y x y =?? =?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 ()()[]11,,2 ++++k k k k k y x f y x f h y 6、 1151A ??= ? -??，则A 的谱半径 ＝ 6 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则 []12,,n n n f x x x ++= —————— ————3 和 []123,,,n n n n f x x x x +++= _______________0_____ 。 8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ） ___。

《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )；

9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ? ????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。

数值分析复习题及答案(20200829181216)

曲 為 viZk# 数值分析复习题 、选择题 1.3.142和3.141分别作为 的近似 、数具有（） 和 （）位有效数字? A . 4 和 3 B . 3 和 2 C . 3和4 D . 4 和 4 2 1 2 1 f x dx -f 1 Af(：) f (2) 2.已知求积公式 1 6 3 6 ，则 A =() 1 1 1 2 A . 6 B .3 C 2 D . 3 为 2x 2 x 3 0 2x 1 2x 2 3x 3 3 A . l o X = 0, l 1为 0 B . 1。X 。= 0, h X 1 C . l o X o = 1, l 1为 1 D . l 0 X = 1 I 1 X 1 1 f x 4.设求方程 的根的牛顿法收敛， 则它具有（ ) 敛 速。 3.通过点x o ，y o X l ， y i 的拉格朗日插值基函数 l o x ,h x 满足( 5.用列主元消元法解线性方程组 x ( 3x 2 2 作第一次消元后得到的第 3个方程（ X 2 X 3 2 2x 2 1.5x 3 3.5 C . 2x 2 X 3 3 D X 2 0.5X 3 1.5

曲為viZk#、填空 1.设x 2.3149541...,取5位有效数字，则所得的近似值x= 2?设一阶差商则二阶差商 X1,X 2 f X1,X2,X3 X 2 X 1 X2,X3 X 3 X 2

2 f (X ) 3x 5, x k kh, k 0,1,2, …,则 f X n , x n 1,X n 2 X n ，人 1,x n 2 , x n 3 若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 -塞德尔迭代都 12?—阶均差 f x 0,x 1 18?设 X (2, 3,7)T ,则 ||X|1 3.设 X (2, 3, 1)T ,则 Mik ||X || 4. 2 求方程x x 1- 25 的近似根，用迭代公式 x ■x 1.25，取初始值沧1，那么X1 5. 解初始值问题 y' f (x, y) y(x o ) Y o 近似解的梯形公式是 Y k 1 6、 ，则A 的谱半径；打= 7、 9、 解常微分方程初值问题的欧拉( Euler )方法的局部截断误差为 y 10 — 10、为了使计算 x 1 _2 (x J? (x 的乘除法运算次数尽量的少，应将表达式改写 11?设 X (2,3, 4)[则 IIX 11 I|X||2 13.已知n 3时，科茨系数 C 。3 1，C13 C/ 3 ，那么 C 33 14.因为方程 2x 在区间 1,2 上满足 ，所以 X 0 在区间内有根。 15.取步长h 0-1，用欧拉法解初值问题 的计算公式 16.设 X 2.40315是真值 X 2.40194 的近似值, 位有效数字。 17.对 f (X )x 3 x 1 ,差商 f[Q 1,2,3] )。

数值分析计算方法试题集及答案

数值分析复习试题 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值 x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-： *** r x x e x -= ()()()*'1**y f x x εε≈? ()() () ()'***1**r r x f x y x f x εε≈ ? ()()()() ()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε??≈?+??? ()()()()() ** * *,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈ ?+??? 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误 差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取 1.73≈-21 1.73 10 2 ≤?。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得 到,则相对误差限为 0.0000204 . 7、 递推公式,??? ? ?0n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误 差为 81 10 2 ?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3* =π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。