三角函数的图像与性质--知识点与题型归纳解读

●高考明方向

1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数

在区间? ??

??

－π2，π2内的单调性．

★备考知考情

三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.

《名师一号》P55

二、例题分析：

（一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3

函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1

2

的定义域为____________

解析 要使函数有意义必须有?

???

? sin x >0，cos x －1

2≥0， 即?????

sin x >0，cos x ≥12，解得????

?

2k π

∴2k π

3

＋2k π，k ∈Z.

∴函数的定义域为{x |2k π

3

＋2k π，k ∈Z}．

例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．

解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即

sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，

函数的定义域为??????

????x ???

2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．

例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4

函数y ＝2sin ? ??

??

πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之

和为( )

A ．2－ 3

B ．0

C ．－1

D ．－1－ 3

解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π

6

.

∴sin ? ????π

6x －π3∈????

??－32，1.

∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；

例2．（2）8月月考第17题(1)

17．（满分12分）已知函数

22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．

（I ）当[0,]2

x π

∈时，求()f x 的值域；

222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分

)24

x =++ …………3分

……4分

即()

f x的值域为2]

+. …………………6分

注意：《名师一号》P56 高频考点例1 规律方法2

求三角函数的值域的常用方法之二：

化为求sin()

=++

y A x b

ω?的值域

如：①sin cos

y a x b x

=+

sin()

y A x?

=+

②22

sin sin cos cos

y a x b x x c x

=++

sin2cos2

y d x e x f

=++

sin(2)

y A x b

?

=++

注意弦函数的有界性！

变式:《名师一号》P58 特色专题典例1

若函数f(x)＝a sin x－b cos x在x＝

π

3处有最小值－2，则常数a，b的值是()

降幂

合一变换

合一变换

A ．a ＝－1，b ＝ 3

B ．a ＝1，b ＝－ 3

C ．a ＝3，b ＝－1

D ．a ＝－3，b ＝1

解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)

?

?

???其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，

则???

－a 2＋b 2＝－2，

f ? ????π3＝32a －1

2b ＝－2，

解得???

a ＝－3，

b ＝1.

【名师点评】 解答本题的两个关键：

①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．

例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)

当x ∈????

??

π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值

是________，最大值是________．

解:∵x ∈??????π6，7π6，∴sin x ∈????

??

－12，1.

又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )

＝2? ?

???sin x －142＋78

.

∴当sin x ＝14时，y min ＝7

8；

当sin x ＝－1

2

或sin x ＝1时，y max ＝2.

注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：

把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．

练习: (补充)

（1）求函数22

tan 1

()tan 1

x f x x -=+的值域

【答案】[

)1,1-

（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+??

??=∈ ? ?????

的值域

【答案】)

+∞

2222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x x

x x x x x x f x x x

π++==

+??==+ ?

????

∈∴> ???≥

=

注意：求三角函数的值域的常用方法之三：

求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域

注意约束条件----三角函数自身的值域！

例2．（4）(补充)

求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域

【答案】12??

-

+????

注意：求三角函数的值域的常用方法之四：

《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？

③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)．

利用2

2

sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题

变式:

求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域

例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)

《名师一号》P14 问题探究 问题（6） 当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．

(补充)如两点间距离、直线斜率等等

求函数4sin 12cos 4

+=-x y x 的值域

解:()114sin sin 442

2cos 2cos 2

????

+-- ? ?

????==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4?

?- ??

?P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线

段斜率的2倍,设过点12,4?

?- ??

?P 的点的直线方程为

()1

2

+=-y k x 即1204---=kx y k

1

=解得34=-k 或512=k 答案：35,26??-????

注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法

练习：求函数[]cos 10,sin 2

-=∈-x y x x π的值域

答案：40,3??????

变式：求函数cos 1

,sin 2

22-??

=∈-??-??

x y x x ππ的值域

答案：10,2??????

拓展:8月月考第16题

函数22

)24()2cos x x x

f x x x

π

+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .

22

222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x x x x x x x x f x x x x x x x π

+++++++===+

+++，记2sin ()2cos x x

g x x x

+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，

所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，

最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，

所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.

（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5

设函数f (x )＝sin ? ?

?

??2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为π2的奇函数

D.最小正周期为π

2

的偶函数

答案 B

例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）

(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，

③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ?

???2x －π

4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A ．①②③

B ．①③④

C ．②④

D ．①③

解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π

2＝π；由

函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ?

???2x ＋π

6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ????2x －π4的周期为π2

，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义．

(2)利用公式：

y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|

， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π

|ω|

.

例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2

函数f(x)＝sin ?

???ωx ＋π

3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________

【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.

f(x)＝sin ????ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32

sin ωx ＋3

2

cos ωx ＝3sin ????ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π

2

.

注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值

是函数的半周期π

|ω|

，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函

数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．

练习:《加加练》P3 第11题

例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）

(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ

3

(φ∈[0,2π])是偶函数，

则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3

解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ

3

是偶函数，

∴f (0)＝±1.

∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2

(k ∈Z)．

∴φ＝3k π＋3π

2

(k ∈Z)．

又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π

2.故选C.

变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ

3

(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？

例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）

(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ??

??

4π3，0

中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2

解：(3)由题意得

3cos ????2×4π3＋φ＝3cos ????2π

3＋φ＋2π ＝3cos ????2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π

6

.

注意：【规律方法】

(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值，若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.

(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． 《名师一号》P56 问题探究 问题4

如何确定三角函数的对称轴与对称中心？

若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数， 则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．

若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数， 则当x ＝0时，f (x )＝0.

如果求f (x )的对称轴，

只需令ωx ＋φ＝π

2

＋k π(k ∈Z)，求x .

(补充)结果写成直线方程！ 如果求f (x )的对称中心的横坐标，

只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)即可． (补充)结果写点坐标！

同理对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，可求其对称轴与对称中心， 对于y ＝A tan(ωx ＋φ)可求出对称中心．

练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3

已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)????|φ|≤π

2为偶函数，则φ的值为________．

【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．

∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ????x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ?

???x ＋φ＋π

3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π

2

＋k π，k ∈Z ，

即φ＝π

6＋k π(k ∈Z)．

又∵|φ|≤π2，∴φ＝π

6

.

练习2：《计时双基练》P247 第3题

（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6

下列函数中，周期为π，且在????

π4，π2上为减函数的是( )

A ．y ＝sin ????2x ＋π2

B ．y ＝cos ????2x ＋π2

C ．y ＝sin ????x ＋π2

D ．y ＝cos ???

?x ＋π2

解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.

又函数在????

π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.

练习1：《计时双基练》P247 第7题

函数y cos x π??

=- ???

24的单调递减区间为

练习2:《加加练》P1 第11题

（2）《名师一号》P57 高频考点 例2

已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ????ωx ＋π

4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；

(2)讨论f (x )在区间????0，π

2上的单调性．

解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ????ωx ＋π

4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ?

???2ωx ＋π

4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.

从而有2π

2ω

＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f (x )＝2sin ?

???2x ＋π

4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π

4

.

当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π

8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π

2

时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间???

?0，π

8上单调递增， 在区间????

π8，π2上单调递减．

注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？

(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．

(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，

ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4

(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间? ??

??

π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．

【规范解答】 先化简，再用换元法求解． f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .

令t ＝sin x ，∵x ∈????

π6，π2，

∴t ∈????12，1.

∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1????12

由题意知－a 2×(－2)≤1

2

，∴a ≤2.

∴a 的取值范围为(－∞，2]．

课后作业

一、计时双基练P247 基础1-11、 课本P56变式思考1

二、计时双基练P247培优1-4

课本P56变式思考2、3 预习 第五节

练习：

1、设函数f (x )＝2sin(

2πx ＋5

π

)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )

A ．4

B ．2

C ．1 D.

1

2

分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，

∴对?x ∈R ，－2≤f (x )≤2.

取到最值时x ＝

2

π

＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期． 解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝

2

T

＝2. 故选B.

2、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。

3、（12天津文7）将函数)0(sin )(>=ωωx x f 的图像向右

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

知识讲解 三角函数的性质及其应用 提高

三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00)或向右(?<0)平行移动|?|个单位，得到sin()yAx???的图象； （3）周期变换:把sin()yAx???的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的?1倍（纵坐标不变），可得到sin()yAx????的图象. （4）若要作sin()yAxb????，可将sin()yAx???的图象向上(0)b?或向下(0)b? 平移b个单位，可得到sin()yAxb????的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释： 由sinyx?的图象利用图象变换作函数sin()yAx????的图象时要特别注意：当周期

变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴

三角函数的图像与性质练习题

. 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 :

由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 )

三角函数图象和性质(总结的很全面_不看后悔)

三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉

专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = =

三角函数的图像和基本性质

三角函数的图像和基本性质 2、五点法作图：()sin y A x b ω?=++ 3、周期公式：()sin y A x ω?=+的周期： ()tan y A x ω?=+的周期： 4、基本概念：()sin y A x ω?=+ 振幅： 相位： 初相： 频率：

三角函数公式 2、已知角α终边上一点P的坐标() ,x y， sinα= ，cosα= ， tanα= 。（2r= ） 3、扇形公式：弧长公式：；面积公式： 4、诱导公式 （1）() sin2k απ += （2）() sinαπ += () c o s2k απ += () cosαπ += () t a n2k απ += () tanαπ += （3）() sinα -= （4）() sinπα -= () c o sα -= () cosπα -= () t a nα -= () tanπα -= （5）sin 2 π α ?? - ? ?? = （6）sin 2 π α ?? + ? ?? = c o s 2 π α ?? - ? ?? = cos 2 π α ?? + ? ?? = tan 2 π α ?? - ? ?? = tan 2 π α ?? + ? ?? = 5、同角三角函数的基本关系：平方和关系：；商的关系： 6、和差公式：() sinαβ += () sinαβ -= () cosαβ += () cosαβ -= () tanαβ += () tanαβ -=

7、二倍角公式：sin 2α= cos 2α= = = tan 2α= 8、降幂公式：2 sin α= 2 cos α= 9、辅助角公式：sin cos a b αα+=

三角函数图像与性质知识点总结和经典题型

函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >

三角函数所有公式及基本性质

三角函数所有公式及基本性质整理

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一、任意角的三角比 （一）诱导公式 ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtg k tg =+)2( ααπctg k ctg =+)2( ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- ααtg tg -=-)( ααctg ctg -=-)( ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtg tg =+)( ααπctg ctg =+)( ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtg tg -=-)( ααπctg ctg -=-)( ααπsin )2sin(-=- ααπcos )2cos(=- ααπtg tg -=-)2( ααπctg ctg -=-)2( ααπ cos )2 sin( =- ααπ sin )2 cos(=- ααπ ctg tg =-)2 ( ααπ tg ctg =-)2 ( ααπ cos )2sin( =+ ααπsin )2cos(-=+ ααπctg tg -=+)2( ααπ tg ctg -=+)2( ααπcos )23sin( -=- ααπsin )23cos(-=- ααπctg tg =-)23( ααπ tg ctg =-)23( ααπcos )2 3sin( -=+ ααπsin )23cos(=+ ααπctg tg -=+)23( ααπ tg ctg -=+)2 3( （二）关系结构图 （三）三角比符号 αsin α sec α tg α ctg αcos α csc 1 + + _ _ cos α&sec α sin α&csc α + + _ _ + + _ _ tg α&ctg α

必修4三角函数的图像和性质专题练习

三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质

一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 .

故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( )

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2.

3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w T π2= . （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值 当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ，

? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间； Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤； 方法一：)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想 欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二：)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y

三角函数所有公式及基本性质[整理]

一、任意角的三角比 （一）诱导公式 ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k ααπtg k tg =+)2( ααπctg k ctg =+)2( ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- ααtg tg -=-)( ααctg ctg -=-)( ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtg tg =+)( ααπctg ctg =+)( ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtg tg -=-)( ααπctg ctg -=-)( ααπsin )2sin(-=- ααπcos )2cos(=- ααπtg tg -=-)2( ααπctg ctg -=-)2( ααπ cos )2 sin(=- ααπ sin )2 cos(=- ααπ ctg tg =-)2 ( ααπ tg ctg =-)2 ( ααπ cos )2sin( =+ ααπsin )2cos(-=+ ααπctg tg -=+)2( ααπ tg ctg -=+)2( ααπcos )23sin( -=- ααπsin )23cos(-=- ααπctg tg =-)23( ααπ tg ctg =-)23( ααπcos )2 3sin( -=+ ααπsin )23cos(=+ ααπctg tg -=+)23( ααπ tg ctg -=+)2 3( （二）关系结构图 （三）三角比符号

二、三角恒等式 1.同角三角比的关系 倒数关系 1csc sin =αα 1sec cos =αα 1=ααctg tg 商数关系 α α αcos sin = tg α α αsin cos = ctg 平方关系 1cos sin 22=+αα αα22sec 1=+tg αα22csc 1=+ctg 2.两角和与差的三角比 两角差的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos( +=- 两角和的余弦公式 βαβαβαsin sin cos cos )cos( -=+ 两角差的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 两角和的正弦公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ 两角差的正切公式 βαβ αβαtg tg tg tg tg +-= -1)( 两角和的正切公式 β αβ αβαtg tg tg tg tg -+= +1)( 形式)sin(?α+A π ????ααα20,sin ,cos ) sin(cos sin 222222<≤+=+=++=+b a b b a a b a b a 3.二倍角的三角比 α α ααααααα αα22222122sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin tg tg tg -= -=-=-== 4.半角的三角比 _

三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ?? 4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πx R 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x ) 的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数y ＝cos ? ???? 23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α

π4) D．y＝cos 2x ＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋

三角函数的性质

三角函数的性质 一.1.基础知识精讲： y=sinx y=cosx y=tanx (x y cot =) 定义域: R R ? ????? +≠∈2,|ππk x R x x {}πk x R x x ≠∈,| 值域: [-1,1] [-1,1] R R 周期: 2π 2π π π 奇偶性: 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调区间: 增区间;?? ????++-ππππk k 22,22; []πππk k 2,2+-; ??????++-ππππk k 2,2 减区间??????++ππππk k 223,22 ; []πππk k 2,2+ 无 对称轴:2π π+=k x πk x = 无 对称中心: ()0,πk ??? ??+0,2ππk ?? ? ??0,2πk （以上均Z k ∈） 2.重点: 三角函数的值域（最值）、周期、单调区间的求法及未经给出的三角函数的特征研究. 二.问题讨论 例1： (1)cos cos()3 y x x π=++的最大值是? (2)2sin(3)4 y x π=-的图象的两条相邻对称轴之间的距离是. 例2.P[60](1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域; (2).求函数y=lgsin(cosx)的定义域 [思维点拔] 例3：求函数y=sin 6x+cos 6x 的最小正周期,并求出X 为何值时Y 有最大值.

例4求下列函数的值域： （1）3cos 2sin 22-+=x x y （2）10cos 23sin 3+-= x x y 解（1）2121cos 21cos 2cos 222-??? ? ?--=-+-=x x x y 215,4921cos 41,2121cos 23,1cos 1-≤≤-∴≤??? ??-≤∴≤-≤- ∴≤≤-y x x x 即原函数的值域为?????? -2 1,5 （2）010cos 2≠+x 310cos 2sin 3+=-∴y x y x ()310sin 492+=-+∴y x y ?，其中32tan y =?，由()249310sin y y x ++=-?和()1sin ≤-?x 得()222 49310.1493 10y y y y +≤+∴≤++, 整理得0582≤+y y ,所以085≤≤- y 即原函数的值域为?? ????- 0,85 [思维点拔] 前面学过的求函数的值域的方法也适用于三角函数，但应注意三角函数的有界性 .例5：求下列函数的定义域： 1）x y x tan log 22 1+ += （2）x x y cos 21)2sin 2lg(---= 解(1)x 应满足()???? ?????∈+≠>≥≥+z k k x x x x 200tan 0log 221ππ,即为()?????∈+<≤≤

三角函数图像及其性质

【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是，

递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。