谱估计1
谱估计1
毕敬腾 29720139110地方研究生一队
一、 问题背景
有两个ARMA 过程，其中信号1是宽带信号，信号2是窄带信号，分别用AR 谱估计算法、ARMA 谱估计算法和周期图算法估计其功率谱。
产生信号1的系统函数为
1234
123410.35440.35080.17360.2401()1 1.3817 1.56320.88430.4906z z z z H z z z z z --------++++=
-+-+
激励白噪声的方差为1。 产生信号2的系统函数为
12
12341 1.58570.9604()1 1.6408 2.2044 1.48080.8145z z H z z z z z ------++=
-+-+
激励白噪声的方差为1。每次实验使用的数据长度为256。 二、 实验任务
1. 对信号1，分别使用AR(4)，AR(8)，ARMA(4,4)和ARMA(8,8)模型
进行谱估计，对AR 方法采用自协方差算法，对ARMA 算法采用改进的Yule-Walker 方程算法，也用周期图法作谱估计。做20次独立实验，将20次实验结果画在一张图上，观察谱估计的随机分布性质，另将20次的平均值和真实谱画在一张图上进行比较。 2. 对信号2，分别使用AR(4)，AR(8)，AR(12)，AR(16)，ARMA(4,2)，
ARMA(8,4)和ARMA(12,6)模型进行谱估计，对AR 方法采用自协方差算法，对ARMA 算法采用改进的Yule-Walker 方程算法，也用周期图法作谱估计。做20次独立实验，将20次实验结果画在一张图上，观察谱估计的随机分布性质，另将20次的平均值和真实谱画在一张图上进行比较。
3. 对各种算法的性能进行比较分析。 三、 实验原理
1. 周期图法
设x(n)为零均值平稳随机序列。定义N 点序列
()
1
()0
N x n p n p N x n else
≤≤+-?=?
?
及其付氏变换
1
()()()p N j n
j n N N
n n p
X x
n e
x n e ωωω+-∞
-?-?=-∞
==
=
∑∑
x(n)的功率谱密度
21?()()()x N N
P I X N
ωωω== 2. 基于AR 模型谱估计法
已知随机序列x(n)符合AR(p)模型，即：
1
()()()
p
i i x n a x n i u n ==--+∑
其中p 为未知整数。现有x(0) x(1)… x(N -1)共N 个样本，要
估计x(n)的功率谱密度。
当阶数p 已知时，利用x(n)的自相关函数与AR 模型参数的关系，可建立Y-W 方程
12
1()()01,2()()0
p
x i x i p
x i x
i R m a R m i m p R m a R m i m σ==?
+-==????+-==??
∑∑
得到AR 模型的Yule-Walker 方程组如下：
211(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0p R R R p a R R R p a R p R p R σ--????????????-???????=????????????-????????
令：
(0)
(1)(1)(1)(2)(0)R R R p R R p R p R --????
?
?=????
--?? []
(1)(2)()T
R R R p =---r
1
2
T
p a a a ??=??
a
得：R ?=a r
根据Levinson-Durbin 递推法解Yule-Walker 方程。
矩阵R 的秩为p ，因此Y-W 方程有唯一解。即AR 模型的参数可由p 个Yule-Walker 方程唯一确定。
则功率谱估计：
2
2
1?()1x
p
j i
i i P a e ωσω-==+∑
四、 实验结果
分别对信号1与信号2利用matlab 进行谱分析，其中，激励白噪声的方差为1，均值为0，每次实验使用的数据长度为256。
1. 对信号1，分别使用AR(4)，AR(8)，ARMA(4,4)和ARMA(8,8)模型进行谱估计。
（1）用周期图法进行20次谱估计，实验中数据长度为256.
100120140160180
图（1）信号120次期图法谱估计
对信号1的20次周期图法谱估计，取平均值并与真实谱进行比较。
图（2）信号1周期图法平均谱估计与实际谱
（2）对信号1用AR 模型法进行谱估计，实验中将数据长度为256。下图为阶数P=4时，进行20次AR （4）谱估计所得结果。
00.10.20.30.40.5
图（3）信号120次AR（4）模型谱估计
对信号1的20次AR（4）模型谱估计，取平均值并与真实谱进行比较。
图（4）信号1 AR（4）模型平均谱估计与实际谱
（3）下图为P=8时，进行20次AR（8）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
0102030405060708090
图（5）信号1 20次AR （8）模型谱估计
05101520253035
图（6）信号1 AR （8）模型平均谱估计与实际谱
（4）下图为P=4，Q=4时，进行20次ARMA （4,4）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
100120140
图（7）信号120次ARMA （4,4）模型谱估计
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
图（8）信号120次ARMA （4,4）模型平均谱估计与实际谱
（5）下图为P=8，Q=8时，进行20次ARMA （8,8）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
500100015002000250030003500
图（9）信号1 20次ARMA （8,8）模型谱估计
100120140160180
图（10）信号120次 ARMA （8,8）模型平均谱估计与实际谱
信号1分别使用AR(4)，AR(8)，ARMA(4,4)和ARMA(8,8)模型进行谱估计的方差。
200400600800100012001400160018002000
图（11）信号1 分别使用AR(4)、AR(8)、ARMA(4,4)、ARMA(8,8)谱估计方差
2. 对信号2，分别使用AR(4)，AR(8)，AR(12)，AR(16)，ARMA(4,2)，ARMA(8,4)和ARMA(12,6)模型进行谱估计。
（1）用周期图法进行20次谱估计，实验中数据长度为256。
0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5
图（12）信号2 20次期图法谱估计
对信号2的20次周期图法谱估计，取平均值并与真实谱进行比较。
图（13）信号2周期图法平均谱估计与实际谱
（2）对信号2用AR模型法进行谱估计，实验中将数据长度为256。下图为阶数P=4时，进行20次AR（4）谱估计所得结果。
图（14）信号2 20次AR（4）模型谱估计
对信号2的20次AR（4）模型谱估计，取平均值并与真实谱进行比较。
图（15）信号2 AR（4）模型平均谱估计与实际谱
（3）下图为P=8时，进行20次AR（8）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
图（16）信号2 20次AR（8）模型谱估计
图（17）信号2 AR（8）模型平均谱估计与实际谱
（4）下图为P=8时，进行20次AR（12）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
图（18）信号2 20次AR（12）模型谱估计
00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5
图（19）信号2 AR（12）模型平均谱估计与实际谱
（5）下图为P=8时，进行20次AR（16）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
图（20）信号2 20次AR（16）模型谱估计
图（21）信号2 AR（16）模型平均谱估计与实际谱
（6）下图为P=4，Q=2时，进行20次ARMA（4,2）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
4
图（22）信号2 20次ARMA（4,2）模型谱估计
00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5
图（23）信号2 20次ARMA（4,2）模型平均谱估计与实际谱（7）下图为P=8，Q=4时，进行20次ARMA（8,4）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
图（24）信号2 20次ARMA（8,4）模型谱估计
图（25）信号2 20次ARMA（8,4）模型平均谱估计与实际谱（8）下图为P=12，Q=6时，进行20次ARMA（12,6）模型谱估计，并取平均值并与真实谱进行比较。
5
00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5
图（26）信号2 20次ARMA（12,6）模型谱估计
4
图（27）信号2 20次ARMA（12,6）模型平均谱估计与实际谱对信号2分别使用AR(4)，AR(8)，AR(12)，AR(16)，ARMA(4,2)，ARMA(8,4)和ARMA(12,6)模型进行谱估计的方差。
图（28）信号1 分别使用AR(4)、AR(8)、ARMA(4,4)、ARMA(8,8)谱估计方差
四、实验总结
（1）根据实验所得结果，可以看出AR模型谱估计比周期图法谱估计产生的谱线波形波动范围小，方差相对较小。
（2）无论对于宽带信号，还是窄带信号，AR模型谱估计均能得到较好的估计结果。但AR模型在进行谱估计时需要选取合理的阶数，阶数过小对信号的拟合也会变差，阶数过大，会产生一些不必
要的峰值。
一维光子晶体中缺陷层厚度与缺陷模的关系
一维光子晶体中缺陷层厚度与缺陷模的关系[摘要]采用传输矩阵法,分析了缺陷层厚度与缺陷模波长之间的关系，即：一 定的缺陷层厚度范围内，缺陷模的波长将随缺陷层厚度的增大而发生红移，且两者呈线性关系。利用这个关系，设计了一种精确计量微小位移的方法。 [关键词]一维光子晶体传输矩阵法缺陷微小位移测量 光子晶体（Photonic Crystal, Pc）是一种因折射率空间周期变化而具有光子能带的新型光学微结构材料。它的基本特征是具有光子带隙，频率落在带隙中的电磁波是禁止传播的。利用它我们可以制造出以前无法制作的甚至是全新理论的高性能器件，如光子晶体激光器、光子晶体波导及光纤等。由于一维光子晶体具有控制光模式及其光传输的优异能力且易于制备，它在光子晶体应用中占据了重要地位。含有缺陷的一维光子晶体的特性已经有文章进行过讨论，但是就缺陷层厚度和缺陷模位置的关系尚无明确的阐述。本文对这一问题进行了研究，并利用结论设计了一种监测微小位移的方法。 一、一维光子晶体的传输矩阵分析方法 光在光子晶体中的传播服从Maxwell方程组。实际研究光子晶体的过程中比较常用的计算方法有平面波展开法、时域有限差分法、传输矩阵法等等。对于一维光子晶体，使用传输矩阵法是比较方便的。 根据法拉第电磁感应定律，可以推出单层介质膜的传输特性： 只要给出各层的参数，就能得到每一层的特征矩阵，利用（1.3）式和（1.4）式，就可以计算处一维光子晶体的透射谱。 当一维光子晶体中所包含的层数比较大时，矩阵连乘的计算量是非常大的,需要用计算机来进行计算。本文利用MATLAB程序来实现数值的计算。 二、缺陷模位置与缺陷层厚度关系的数值研究 取一维光子晶体模型参数为，高折射率层折射率,低折射率层折射率n ＝1.35，入射光中心波长λ＝1550nm，缺陷层两侧的膜周期数N＝10，缺陷层的折射率。取缺陷层厚度时，可以看到在透射谱中出现了光子带隙，带隙中含有十分尖锐的缺陷态。缺陷态的性质已有文章介绍，在这里不再讨论。 图2波长-透射率谱，缺陷层厚度d＝λ/4＝387.5nm 在光子带隙的范围内（1200nm-1800nm）扫描缺陷态的透射峰，即记录不同的缺陷层厚度d和缺陷模位置。取d的变化范围为50nm-1000nm，可以得到d
第3章 平稳随机过程的谱分析
第3章 平稳随机过程的谱分析 付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。 对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？ 3.1 随机过程的谱分析 3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析 )(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是： 1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件； 2．)(t f 绝对可积： +∞
3.1.2 随机过程的功率谱密度 一、样本函数的平均功率 问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取 )(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分 析。 问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能 量是无限的，需考虑平均功率。 若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足 +∞<=? -∞→T T T dt t x T W 2 )(21 lim W 称为样本函数)(t x 的平均功率。 对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。 二、截取函数 对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T ， 它满足： ???? ?≥<=T t T t t x t x T 0 ) ()( 称)(t x T 为)(t x 的截取函数。 三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T 的付里叶变换一定存在： ??--+∞ ∞--==T T t j t j T T dt e t x dt e t x X ωωω)()()( 其付里叶逆变换为： ? +∞ ∞ -= ωωπ ωd e X t x t j T T )(21 )( 其帕塞瓦（Parseval ）等式为 ? ? ? +∞ ∞ --+∞ ∞ -= =ωωπ d X dt t x dt t x T T T T 2 2 2 )(21 )()(
固体物理小论文一维光子晶体
一维光子晶体层状碘化铅/碘甲基氨的色散关系 自1987 年Yablono vitch[ 1 ] 在周期性排列的电介质中发现光子禁带以来, 人们对光子晶体这种人工结构已做了大量的研究工作。一维光子晶体, 其结构简单（图示1）, 易于制备, 可以设计滤波器、薄膜太阳能电池等光电子学器件的常用结构。 使用CVD法制备卤化铅（碘化铅）层状结构，后期退火在每层碘化铅中加入碘甲基氨，由于二者的介电常数相差较大且呈周期排布所以在堆垛方向上形成一维光子晶体（图示2）。
通常描述光子晶体能带结构的物理参量主要是透射谱、反射谱及其）（k ω色散关系.本文中我们用平面波展开发计算色散关系[2]. 光子晶体理论分析中应用最早、最广的一种方法就是平面波展开法。在计算光子晶体光子能带结构时,平面波展开法直接应用了结构的周期性,将麦克斯韦方程从实空间变换到离散傅立叶空间,将色散关系计算简化为对代数本征值问题的求解. 假设光子晶体处在无源空间, 且是由各向同性、无损耗、非磁性、无色散的线性介质组成 入射波t i e x E t x E ω-=)(),( 由麦克斯韦方程给出其波动方程 2222),()(,t t x E a x x t x E ??=??ε）（ 图2 碘化铅层状结构SEM 图
削去时间 )()(-2222x E c x x x E εω=??）（ a 为晶格常数，)(x ε为周期性介电函数， nm a nm a a a a 4040212 1==+= ???<<<<=a x a a x x 1211 ,0,)(εεε 1a 为碘化铅厚度，2a 为碘甲基氨厚度，假设二者相等，根据图2可估算大概尺度为40nm 1ε为碘化铅介电常数，2ε为碘甲基氨介电常数，查阅资料取31=ε62=ε 将周期函数)(x ε做周期展开 ∑∞-∞== n x a n i n e x πεε2)( 其中 ?-=a x a n i n e x a 02)(1πεε 积分得 ???????≠??????--=+=-0,1)(20,12212211n e n i n a a a a a a n i n πεεπεεε 将E(x)展开得到布洛赫波的形式 ∑∞-∞=+= m x a m k i e m B x E )2()()(π 将②③带入①中 ① ② ③
时域有限差分法在一维光子晶体数值模拟方面的研究
文章编号:100525630(2006)0420037206 时域有限差分法在一维光子 晶体数值模拟方面的研究Ξ 宋 琦1,高劲松1,王笑夷1,王彤彤1,陈 红1,郑宣鸣1,申振峰1,凌 伟2 (1.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所光学技术研究中心,吉林长春130033; 2.海军驻长春地区航空军代表,吉林长春130033) 摘要:介绍了时域有限差分法的基本原理,并对一维光子晶体薄膜中传播的电磁场作 了模拟和分析。通过对光子晶体透射谱的研究,讨论了不同周期数和不同介电常数比对光 子晶体带隙的影响,最后通过在周期介质层状结构中引入缺陷层构造了光子缺陷态。 关键词:时域有限差分法;光子晶体;光学禁带;缺陷态 中图分类号:O 734 文献标识码:A Study on the FD T D si m ula tion of the 1-D photon ics crysta l SON G Q i 1,GA O J in 2song 1,W A N G X iao 2y i 1,W A N G T ong 2tong 1CH EN H ong 1,ZH EN G X uan 2m ing 1,S H EN Z hen 2f eng 1,L ing W ei 2(11Op tical T echno logy and R esearch Cen ter ,Changchun In stitu te of Op tics ,F ine M echan ics and Physics , Ch inese A cadem y of Sciences ,Changchun 130033,Ch ina ; 21A viati on Comm issary of N avy in Changchun ,Changchun ,130033Ch ina ) Abstract :T he p rinci p le of fin ite difference ti m e dom ain (FD TD )w as p resen ted ,and analysis of electrom agnetic field in 1D p ho ton ics crystal (PC )w as p erfo rm ed .B ased on the study of tran s m ittance of 1D PC ,influence of differen t p eri ods and dielectric con stan t rati o s on the p ho ton ics band gap w ere discu ssed .T he defect state w as fo rm ed by in troducing the defect layer in to p eri od structu re . Key words :fin ite difference ti m e dom ain (FD TD );p ho ton ics crystal ;p ho ton ics band gap ;defect state 1 引 言 光子晶体是近年来深受关注的一个新兴研究方向[1～3]。光子晶体是由多种介电材料构成的复合结构。由于其在空间周期性排布的特殊结构与半导体材料极其相似,光子晶体也拥有与电子晶体的电子禁带相似的光子禁带(p ho ton ics band gap ,PB G ),频率落在光子禁带中的光子将被严格禁止,而在禁带中人为的引入缺陷将构造出光子的局域态,从而达到对光子的“捕获”的目的。 光子晶体的应用主要基于光子晶体的能带结构中存在的光子带隙与局域态。利用光子晶体的特殊性第28卷 第4期2006年8月 光 学 仪 器O PT I CAL I N STRUM EN T S V o l .28,N o.4 A ugu st,2006 Ξ收稿日期:2006206230 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60478035) 作者简介:宋 琦(19802),男,辽宁省辽阳市人,硕士,主要从事光子晶体理论及现代薄膜制备方面的研究。
随机过程知识点汇总
第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。
功率谱和功率谱密度的区别
谱让人联想到的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。 功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。 有两点需要注意： 1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 频谱分析： 对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱密度： 功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。
由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。 信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。 功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。 功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域。 通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。 一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度； 2. 用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度； 3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。 三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周
光子晶体透射谱
na=2.10;nb=1.46;n1=1;n2=1; d=1064; c3=0;c1=asin(n1*sin(c3)/na);c2=asin(na*sin(c1)/nb);c4=asin(nb*sin(c2)/n 2); d1=1064; a=d1/(4*na);b=d1/(4*nb); Ba=2*pi*na*a*cos(c1)/d; Bb=2*pi*nb*b*cos(c2)/d; f=4*pi*1e-7; e=1e-9/(36*pi); m=sqrt(e/f); za=m*cos(c1)*na;zb=m*cos(c2)*nb;z1=f*cos(c3)*n1;z2=f*cos(c4)*n2; p1=cos(Bb);p2=-i*sin(Bb)/zb;p3=-i*zb*sin(Bb);p4=cos(Bb); P=[p1 p2;p3 p4]; q1=cos(Ba);q2=-i*sin(Ba)/za;q3=-i*za*sin(Ba);q4=cos(Ba); Q=[q1 q2;q3 q4]; O=Q*P; for n=1:100; O1=O^n; O11=O1(1,1);O12=O1(1,2);O13=O1(2,1);O14=O1(2,2); z1=sqrt(e/f)*n1*cos(c3);z2=sqrt(e/f)*n2*cos(c4); t=2*z1/(z1*(O11+z2*O12)+O13+z2*O14); t1=abs(t); h1(1,n)=t1; end n=1:100; plot(n,h1); xlabel('周期'); ylabel('透射率');title('光子晶体透射率随周期变化'),grid on
随机过程分析
随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， 即均值
?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
频谱分析与功率谱分析
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱 频谱和功率谱有什么区别与联系？ 谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换， 是一个时间平均（time average）概念 功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别： 1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。 功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。 功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。 功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。 谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列）2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。 频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的 结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变 量的频谱函数F(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密 度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱是个什么概念？它有单位吗? 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。 功率谱密度，从名字分解来看就是说，观察对象是功率，观察域是谱域，通常指频域，密度，就是指观察对象在观察域上的分布情况。一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。 一是用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；二是用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；三是用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。三种定义方式对应于不同的用处，首先第一种方式前提是平稳随机过程不包含周期分量并且均值为零，这样才能保证相关函数在时差趋向于无穷时衰减，所以lonelystar说的不全对，光靠相关函数解决不了许多问题，要求太严格了；对于第二种方式，虽然一个平稳随机过程在无限时间上不能进行傅立叶变换，但是对于有限区间，傅立叶变换总是存在的，可以先架构有限时间区间上的变换，在对时间区间取极限，这个定义方式就是当前快速傅立叶变换（FFT）估计谱密度的依据；第三种方式是根据维纳的广义谐和分析理论：Generalized harmonic analysis, Acta Math, 55(1930),117-258,利用傅立叶-斯蒂吉斯积分，对均方连续的零均值平稳随机过程进行重构，在依靠正交性来建立的。 另外，对于非平稳随机过程，也有三种谱密度建立方法，由于字数限制，功率谱密度的单位
随机分析论文
题目建筑热过程随机分析的背景、方法和应用 南京大学信息与控制学院，南京210044 摘要：本文分析了建筑热过程的随机特性的背景，提出一种研究室外随机气象条件和室内随机自由得热共同作用下的建筑热过程的随机分析的方法，并给出该方法在暖通空调中的几个应用领域，以及对该方法的理论和实测的验证过程。 关键词：建筑热过程；随机分析；供暖空调 Title Building thermal process background, the method of stochastic analysis and Applications Nanjing University, Nanjing 210044 Abstract：This paper analyses the stochastic characteristics of building thermal processes in the background, the method of stochastic analysis of a research on outdoor random weather conditions and indoor random free building heat under the interaction process, and gives the method in HV AC applications, as well as the method of theoretical and experimental verification process. keywords：building thermal process；random analysis；heating and air conditioning 1 引言 建筑热过程是研究建筑环境特性、分析评价节能建筑、设计建筑环境的控制系统（供热、通风、空调）的基础。建筑热过程是由于室外气象条件和室内各种热源（人、照明及设备）作用在建筑物上而造成的建筑室内环境的温湿度变化。因此它取决于室外气象状况、室内热源状况及建筑物结构的热性能参数。然而，由于室外气象参数与室内的各种热源均不是确定的过程，而是具有很大的不确定成分的随机过程，因此，这些随机因素作用于建筑物，使建筑内的热环境变化过程（理论变化过程）亦成为一随机过程。
随机过程读书笔记
随机过程读书笔记 《应用随机过程》读书笔记 早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。 在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。 一定义1 随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如
果对 n0,Xn时(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里 如果对Xnmax0,Xn。我们称过程Xn,n0为关于Yn,n0的上鞅，n0,Xn是(Y0,,Yn)的函数，EXn，并且E(Xn1|Y0,,Yn)Xn，这里 Xnmax0,Xn。若Xn,n0兼为关于Yn,n0的下鞅与上鞅，则称 之为关于Yn,n0的鞅。 根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题： 适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当Xn,Fn,n0是上鞅。如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，a，b是两个正常数，则aXnbYn,Fn是下鞅。 如果Xn,Fn，Yn,Fn是两个下鞅，则 。 max(Xn,Yn),Fn或min(Xn,Yn),Fn是下鞅 下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X1,X2独立同分布，分布函数为PXi1PXi1，于是，可以将Xi(i1,2,)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元。 12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输的总钱数，W00，无论如
随机过程知识点汇总
第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 4?特征函数离散连续 重要性质：，，， 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 0 — 1分布 二项分布泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵 二.随机过程的基本概念 1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增 量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 2 .随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。 （1）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （2）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （3）协方差函数且有 （4）相关函数（3）和（4）表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。 (5)互相关函数：，是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。 ，那么，称为互相关函数。若，则称两个随机过程不相关。 3 ?复随机过程 均值函数方差函数 协方差函数相关函数 4?常用的随机过程 (1)二阶距过程：实(或复)随机过程，若对每一个，都有(二阶距存在) ，则称该随机过程为二 阶距过程。 (2)正交增量过程：设是零均值的二阶距过程，对任意的，有 ，则称该随机过程为正交增量过程。
第二章 平稳随机过程的谱分析
第二章平稳随机过程的谱分析 本章要解决的问题： ●随机信号是否也可以应用频域分析方法? ●傅里叶变换能否应用于随机信号？ ●相关函数与功率谱的关系 ●功率谱的应用 ●采样定理 ●白噪声的定义 2.1 随机过程的谱分析 2.1.1 预备知识 1、付氏变换: 对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即： 满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为： 2、帕赛瓦等式 由上面式子可以得到： ——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。 物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 2 ) (ωX X 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称 2 ) (ωX X 为 能量谱密度。 2.1.2、随机过程的功率谱密度 一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？ 随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。 但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。 为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做 某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。 x(t): 截取函数T 图2.1 x(t)及其截取函数 x(t)满足绝对可积条件。因此，当x(t)为有限值时，裁取函数T x(t)的傅里叶变换存在，有 T x(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T 式的变化）
功率谱和功率谱密度的区别
谱让人联想到的Fourier变换, 是一个时间平均（time aｖeｒａｇｅ)概念，对能量就是能量谱,对功率就是功率谱。 功率谱的概念是针对功率有限信号的,所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。保留了频谱的幅度信息,但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。 有两点需要注意:?1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fouriｅr变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列)?2. 功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fｏuｒieｒ变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fｏuｒiｅｒ变换是否收敛。 频谱分析： 对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数Ｆ(ω)。频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。 功率谱密度: 功率谱密度(PSＤ),它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方,也就是当信号的负载为1欧姆（ohm）时的实际功率。 由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。维纳－辛钦定理（Wｉener－Khinchin ｔｈeｏｒｅｍ)提供了一个简单的替换方法,如果信号可以看作是平稳随机过程,那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。 信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。如果信号不是平稳过程,那么自相关函数一定是两个变量的函数,这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。 随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。?功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。?功率谱具有单位频率的平均功率量纲。所以标准叫法是功率谱密度。从名字分解来看就是说,观察对象是功率，观察域是谱域。 通过功率谱密度函数,可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于一条直线。 一般我们讲的功率谱密度都是针对平稳随机过程的，由于平稳随机过程的样本函数一般不是绝对可积的，因此不能直接对它进行傅立叶分析。可以有三种办法来重新定义谱密度，来克服上述困难。?1. 用相关函数的傅立叶变换来定义谱密度；?２．用随机过程的有限时间傅立叶变换来定义谱密度；?3. 用平稳随机过程的谱分解来定义谱密度。?三种定义方式对应于不同的用处,首先第一种方
(完整)随机过程总结,推荐文档
第一章随机变量基础 1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？ 答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。 2 全概率公式的含义？ 答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。 3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？ 答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。 4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？ 答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。 5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？ 答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。 6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？ 答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。 第二章随机过程的基本概念 1 什么是随机现象？ 答：对于某个客观对象，在观测前能知道其可能的结果，但不能明确知道是可能结果中的哪一个，那么该客观对象称为随机现象。 2 如何理解随机过程？ 答：一个理解：随机过程是一组样本函数的集合；根据这个理解，可用试验的方法研究随机过程，通过随机试验观测其各个样本函数，观测次数越多，所得样本函数的数目越多，就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解：随机过程可看作是一簇随时间变化的随机变量的集合；随机过程可视为多维随机变量的推广，时间分割越细，多维随机变量的维数越大，对随机过程的统计描述也就越全面，因此，概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。 3 为什么完全描述一个随机过程需要用概率函数族？ 答：随机过程是一簇随时间变化的随机变量的集合，对于每一个固定时刻，它们都是随机变量，可以用概率函数来描述。这些不同时刻的随机变量是相互联系的，要描述它们间的各阶关联特性就必须用各阶概率函数。因此，完全描述一个随机过程必须用概率函数族。 4 可用哪些数字特征部分描述随机过程？