《线性代数》第1章习题解答
《线性代数》第一章习题解答
1．确定下列排列的逆序数，并指出它们是奇排列还是偶排列. （1） 41253 （2）654321 （3）(1)(2)321n n n --?? 解：（1）(41253)4τ= 偶排列
（2）(654321)15τ= 奇排列 （3）12((1)
321)(1)n n n n τ-??=-，
当441n =??+或时： 偶排列 当4243n =?+?+或时，奇排列.
2．设四阶行列式
1
3251270643
11
9
16
231419
--，试求：142232,,A A A .
解：14
1412
70
(1)
4311908162314
A +=--=， 22
221
2
5
(1)
4119803161419
A +-=--=-， 23
321
25
(1)
1206660161419
A +-=-=- 3．设四阶行列式
124111
1125
68
3
152
----，试求：41424344.A A A A +++
解：4142434412411111
0256
8111
1
A A A A -+++=
=-.
4．计算下列行列式：
（1）3
52
4
23124- （2）1112132122
3100
0a a a a a a （3）1210
0321
4103
1263
------ （3）
142324
32333441424344
00
000
0a a a a a a a a a a
（5）
1001100110
1a b c
d
--- （6）
0000a b a a a b b a a a
b a
（7）
1111111
11111
1
1
11x x y
y
+-+-
解：（1）-69 （2）132231a a a - （3）0 （4）14233241a a a a
（5）1abcd ab cd ad ++++ （6）2
2
2
(4)b b a - （7）2
2
x y 5．证明：
（1）2
2322()1
1
1
a a
b b a
a b b a b +=-
（2）33()ax by
ay bz az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by
ay bz
z
x
y
++++++=++++
（3）
2
22222222222
2
2
2
(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++
(4)
2
2
2
2
4444
1111()()()()()()()
a b c d a b a c a d b c b d c d a b c d a
b
c
d
a b c d =------+++解：证明略.
6．已知：0
231111x
y z
=，求下列各行列式的值.
（1）1113
3
3
023111x
y
z （2）111
1341
1
1
x y z --- （3）334361
1
1
x
y
z x
y z x y z +++++ 解：（1）
1
3
（2）1 （3）2 7．n 阶行列式 111213
121
22232313233312
3
n n
n
n n n n nn
a a a a a a a a D a a a a a a a a = 中， 若： ,1,2,
,ij ji a a i j n =-= 那么称n D 为反对称行列式（n 阶）.
证明：奇数阶反对称行列式等于零.
证
明
：
11
21221
1
3
2
123
n n n n n n n n
n
n
nn
n
n
n
nn
a a
a a a a a
a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a
a a a a a a --------==--------21(1)(1)n n n n D D D ?+=-?=-=-，0n D ∴=.
8． 计算n 阶行列式
（1）
00
10
020
0100000
n n
- （2
）
100
0020
00010
n n
-
（3
）
000
00
0000
x y x x y y
x （4）
12121
2
n n n m
x m
x x x x m x x x x ---
（5）12311
1
0000
220
00
11n n n n
-----
（6）123
11111
11
111111
11
1n
a a a a ++++
（7）0
12
1
1
11100
1
001
n a a a a - (120n a a a ?≠)
解： （1）(3)2
(1)
!n n n +-? （2）1(1)!n n +-?
（3）1
(1)n n n x y ++- （4）1
1
()
()n
n i i m x m -=--∑（各列加到第一列）
（5）1
(1)(1)!2n
n -?
?+（各列加到第一列） （6）112
2
11111
11111110
1
1
1
n n
a a a a D a ++++=
+
1
2
111210000
1
1
1
n n n n n a a a D a D a a a ---=+
=+
1212212
1[]n n n n n a a D a a a a a a ----=++ 1
212312
212
1n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---=
=++
++
1
1
1(1)n
n
i i i i
a a ===
?+∏∑
(7) 112101
1()n n n i i a a a a a a --=-∑
(各列乘1
i
a -加到第一列 11i n ≤≤-) 9． 证明： （1）
1212112
2
1
10000100
0001n n n n n
n
n n x
x x a x a x a x a x a a a a x a -------=+++
+
+
-
+（2）
cos 10001
2cos 100cos()012cos 000
1
2cos n ααααα
=
（3）
123112231
111
00
0000(1)000
00
0n n n
i
n i i
n n n
a x a a a a x x x x a x x x x x x -=--+--=+-∑
，这里 1230n x x x x ???
?≠.
（4）
1
10
00100()01000
01
n n a b ab a b
ab a b a b a b a b
a b
++++-=≠+-+
证明：
（1） 左 1
21
2
1
2
1
1000
100
01n n
n
n n x x C xC a a a x a x a
x a -----+-+++
211
2
1
1
1
0000
01000
1n n n n i
n i i C xC C xC
x a x x a ---=--++-++∑
1
11
(1)
()(1)n
n n
n i n i i x a x +--==-+?-∑111n n n x a x a x x --=++
++=右
（2） 当1n =时成立， 设当n k =时成立，则当1n k =+时，行列式按
第1k +行展开
1cos 10
1
2
cos 0
2cos 2cos 0
11
D D θθ
θθ
?+?=?-
12cos 2cos cos cos(1)cos(1)D D k k k θθθθθ??-=?-=?--=+
故命题成立. （3）.
31
1
2
1
23
112
11
100001100(1)()
000100
1
1
n n n n
a a a a a x x x x x n j n x x x χ--+--≤≤-j 各列提出因子
左3
22
3
1
121210100)()
01100
1
i
n i
n
n
a a a a x x x x i n n C C C x x x =++++-
∑12
1
()(1)i
i n
a n x i x x x ==+∑=右
（4） 00001
00
0000
01
n a
a
b ab D a b ab a b
+==
+++左
0001
00
0000
1
b ab a b ab a b ab a b
+++
=11000100
00
1
n a a b ab a D b
a b -+?++
1100
0100
01
n b ab a D b a b
-=?++1n n a D b -=?+ 同理由,a b 的
对称性，可得：1n
n n D b D a -=?+两式联立消去1n D -，得11
n n a b n a b
D ++--=
10． 利用范德蒙行列式计算
（1）
1
111437516
9
49
25
6427343125
-- （2）
1111234514
9
16
182764
解： （1）10368 （2） 12 11． 用拉普拉斯定理计算下列行列式
（1）56000
15600
15600015600015
（2）a a a
b x y y b y x y b
y
y
x
λ
解： （1）560160565015605615
16
015
015
D =
?-?=665 （2）000000
a a a a b
x y y y y x x y D y x x y x y
λ
--=
---
(1)(2)00000000
000
n a a a a b
x n y
y y y x y x y x y
λ
-+--=
--
00000
00(1)000
(
2)
00
000
x y x y n a x y b
x n y
x y x y
λ
----=
?
+---2[(2)(1)]()n x n y n ab x y λλ-=+-?---
12. 用克莱姆法则解下列线性方程组
（1）123412
42341234258
3682254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--=??-+=-??+-+=? （2）123412341234123425323321348256642x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??--+-=-??-++-=-??--+=?
解：（1）123427,81,108,27,27?=?=?=-?=-?= 12343,4,1,1x x x x ==-=-=
（2）123417,34,0,17,85?=?=-?=?=?= 12342,0,1,5x x x x =-===
13. 求k 的值，使下列方程组有非零解
0020kx y z x ky z x y z ++=??
+-=??-+=?
解：211
1
13404 1.21
1
k k
k k k ?=-=--=∴==--或k
14．设有方程组33331x y z ax by cz d a x b y c z d ?++=?
++=??++=?
试求它能用克莱姆法则求解的条
件，并求出解. 解：
3
3
3
111
()()()()0
a
b c b a c a c b a b c a b c ?==---++≠,,,0
a b a c b c a b c ∴≠≠≠++≠时有解，且解为： 123()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
b d
c
d c b d b c x b a c a c b a b c d a c a c d d b c x b a c a c b a b c b a d a d b a b c x b a c a c b a b c ---++=
---++---++=---++---++=
---++
14. 设1212
2221211111
121
1111()n n n n n n n x a a a F x x
a a a x a a a -------=，其中11,
n a a -互不相同。
请说明()F x 为1n -次多项式，并求出()0F x =的全部根.
解： 1
1
11
()()
()n i
i j i j i n F x a
x a a -=≤≤≤-=
--∏∏
， 最高次1n x -前系数为：
1
11
(1)()n i j j i n a a -≤≤≤---∏
，()0F x =的全部根为(1,2,
,1)i a i n =-.