考点跟踪训练26 圆的基本性质
一、选择题
1.(2011·上海)矩形ABCD 中,AB =8,BC =3 5,点P 在边AB 上,且BP =3AP ,如果圆P 是以点P 为圆心,PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是( )
A. 点B 、C 均在圆P 外
B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内
C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D .点B 、C 均在圆P 内 答案 C 解析 如图,AB =8,BP =3AP ,得BP =6,AP =2.在Rt △APD 中,PD = 3 52
+22
=7>BP ,
所以点B 在圆P 内;在Rt △BPC 中,PC = 3 52
+62
=9>PD ,所以点C 在圆P 外.
2.(2011·凉山)如图,∠AOB =100°,点C 在⊙O 上,且点C 不与A 、B 重合,则∠ACB 的度数为( ) A .50° B .80°或50° C .130° D .50° 或130°答案 D
解析 当点C 在优弧上,∠ACB =1
2
∠AOB =50°;当点C 在劣弧上,∠ACB =180°-50°=
130°.综上,∠ACB =50°或130°.
3.(2011·重庆)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠OCB =40°,则∠A 的度数等于( )
A .60°
B .50°
C .40°
D .30° 答案 B 解析 在△OBC 中,OB =OC ,∠OCB =40°,∴∠BOC =180°-2×40°=100°.
∴∠A =12∠BOC =1
2
×100°=50°.
4.(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB =10,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽AB 是( )
A .16
B .10
C .8
D .6 答案 A
解析 在Rt △OBC 中,OB =10,OC =6,∴BC =102-62
=8.∵OC ⊥AB ,∴AC =BC. ∴AB =2BC =2×8=16.
5.(2011·嘉兴)如图,半径为10的⊙O 中,弦AB 的长为16,则这条弦的弦心距为( )
A .6
B .8
C .10
D .12 答案 A
解析 作弦心距OC ,得AC =BC =12
×16=8.连接AO ,在Rt △AOC 中,OC =102-82
=6.
二、填空题
6.(2011·扬州)如图,⊙O 的弦CD 与直径AB 相交,若∠BAD =50°,则∠ACD =____度. 答案 40解析 ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°.∴∠B =90°-∠BAD =90°-50°=40°.∴∠ACD =∠B =40°.
7.(2011·安徽)如图,⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直,垂足为E ,且AB =CD ,已知CE =1,ED =3,则⊙O 的半径是________________.答案 5 解析 画OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,垂足分别为M 、N ,连接OD.
∵AB =CD ,∴OM =ON.易证四边形OMEN 是正方形.∵CN =DN =12CD =1
2×(1+3)=2,∴EN =
CN -CE =2-1=1.∴ON =1.∴在Rt △DON 中,OD =12
+22
= 5.
8.(2011·杭州)如图,点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,CD 的度数等于84°,CA 是∠OCD 的平
分线,则∠ABD +∠CAO =________. 答案 48°解析 ∵OA =OC ,∴∠CAO =∠ACO.又∵∠ABD =∠ACD ,∴∠ABD +∠CAO =∠ACD
+∠ACO =∠DCO.在△CDO 中,OC =OD ,∠COD=====m
CD =84°, ∴∠DCO =180°-84°
2
=48°,即∠ABD +∠CAO =48°.
9.(2011·威海)如图,⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ,若AE =5,BE =1,CD =4 2,则∠AED =___________. 答案 30°
解析 连接DO ,画OF ⊥CD ,垂足是F.∴CF =DF =12CD =1
2
×4 2=2 2.∵AB =AE +BE =5
+1=6,∴DO =12
AB =3.在Rt △DFO 中,OF =32- 2 22
=1,在Rt △OFE 中,OE =3-
1=2,OF =1.∴∠AED =30°.
10.(2011·舟山)如图,AB 是半圆直径,半径OC ⊥AB 于点O ,AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ,
连接CD 、OD ,给出以下四个结论:①AC ∥OD ;②CE =OE ;③△ODE ∽△ADO ;④2CD 2
=CE·AB.其中正确结论的序号是_______.
答案 ①④ 解析 ∵OC ⊥AB ,∴A C =B C =90°.∵AD 平分∠CAD ,∴∠CAD =∠BAD ,CD =BD =45°.∴∠CAB=====m 12
BC =45°,∠DOB=====m
BD =45°,∴∠CAD =∠DOB ,
AC ∥OD ;在△ACO 中,AC>AO ,AE 平分∠CAO ,∴CE≠EO;由AC ∥OD ,得△ODE ∽△CAE ,而∠CAD =∠BAO ,∠ACE≠∠AOD ,∠AEC≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似,即△ODE 与△ADO 不相似;连接BD ,有BD =CD ,可求得∠B =67.5°,又∵∠CED =∠AEO =67.5°,∴∠B =
∠CED.又∵∠CDE =∠DOB =45°,∴△CDE ∽△DOB ,CD DO =CE DB
,CD·DB=CE·DO,∴CD 2
=
CE·? ??
??12AB ,即2CD 2
=CE·AB.故结论①、④正确.
三、解答题
11.(2011·上海)如图,点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上,且OA =3,AC =2,CD 平行于AB ,并与A B 相交于点M 、N.
(1)求线段OD 的长; (2)若tan ∠C =1
2
,求弦MN 的长.
解 (1)∵CD ∥AB ,∴∠OAB =∠C ,∠OBA =∠D.∵OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA.∴∠C =∠D. ∴OC =OD.∵OA =3,AC =2,∴OC =5.∴OD =5. (2)过点O 作OE ⊥CD ,E 为垂足,连接OM.
在Rt △OCE 中,OC =5,tan ∠C =12,设OE =x ,则CE =2x.由勾股定理得x 2+(2x)2=52
,解
得x 1=5,x 2=-5(舍去).∴OE = 5.在Rt △OME 中,OM =OA =3,
∴ME =OM 2
-OE 2
=32
-52
=2.∴MN =2ME =4.
12.(2011·江西)如图,已知⊙O 的半径为2,弦BC 的长为2 3,点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外).
(1)求∠BAC 的度数;(2)求△ABC 面积的最大值.
(参考数据:sin60°=32,cos30°=32,tan30°=3
3
.)
解 (1) 解法一:连接OB 、OC ,过O 作OE ⊥BC 于点E(如图).∵OE ⊥BC ,BC =2 3,
∴BE =EC = 3.在Rt △OBE 中,OB =2,∵sin ∠BOE =BE OB =3
2
,∴∠BOE =60°,
∴∠BOC =120°,∴∠BAC =1
2
∠BOC =60°.
解法二:连接BO 并延长,交⊙O 于点D ,连接CD.(如图)∵BD 是直径,∴BD =4,∠DCB =90°.
在Rt △DBC 中,sin ∠BDC =BC BD =2 34=3
2
,∴∠BDC =60°,∴∠BAC =∠BDC =60°.
(2)因为△ABC 的边BC 的长不变,所以当BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最大,此时点A 落在优弧BC 的中点处.如图,过O 作OE ⊥BC 于E ,延长EO 交⊙O 于点A ,则A 为优弧BC
的中点.连接AB 、AC ,则AB =AC ,∠BAE =1
2
∠BAC =30°.在Rt △ABE 中,∵BE =3,∠BAE
=30°,∴AE =BE tan 30°=3,∴S △ABC =1
2×2 3×3=3 3.
答:△ABC 面积的最大值是3 3.
13.(2011·德州)●观察计算
当a =5,b =3时, a +b
2与ab 的大小关系是__________________;
当a =4,b =4时, a +b
2
与ab 的大小关系是__________________.
●探究证明
如图所示,△ABC 为圆O 的内接三角形,AB 为直径,过C 作CD ⊥AB 于D ,设AD =a ,BD =b. (1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ;
(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示). ●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出a +b
2
与ab 的大小关系是:
________________________. ●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框,直接利用探究得出的结论,求出镜框周长的最小值.
解 观察计算: a +b 2>ab ;a +b 2=ab.探究证明:(1)∵AB =AD +BD =2OC ,∴OC =a +b
2
.
∵AB 为⊙O 直径,∴∠ACB =90°.∵∠A +∠ACD =90°,∠ACD +∠BCD =90°,∴∠A =∠
BCD.∴△ACD ∽△CBD.∴AD CD =CD BD .即CD 2
=AD·BD=ab ,∴CD =ab.
(2)当a =b 时,OC =CD, a +b 2=ab ;a≠b 时,OC>CD, a +b 2>ab.结论归纳: a +b
2
≥ab.
实践应用:
设长方形一边长为x 米,则另一边长为1x 米,设镜框周长为l 米,则l =2(x +1x ) ≥4 x·
1
x
=4 .当x =1
x
,即x =1(米)时,镜框周长最小.此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.
14.(2011·肇庆)已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 为直径,∠CBA 的平分线交AC 于点F ,交⊙O 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,且交AC 于点P ,连接AD. (1)求证:∠DAC =∠DBA ; (2)求证:P 是线段AF 的中点;
(3)若⊙O 的半径为5,AF =15
2
,求tan ∠ABF 的值.
解 (1)证明:∵BD 平分∠CBA ,∴∠CBD =∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角, ∴∠DAC =∠CBD.∴∠DAC =∠DBA.
(2)证明:∵AB 为直径,∴∠ADB =90°.又∵DE ⊥AB 于点E ,∴∠DEB =90°.∴∠ADE +∠EDB =∠ABD +∠EDB =90°.∴∠ADE =∠ABD =∠DAP.∴PD =PA.又∵∠DFP +∠DAC =∠ADE +∠PDF =90°,且∠ADE =∠DAC ,∴∠PDF =∠PFD ,∴PD =PF.∴PA =PF ,即P 是线段AF 的中点.
(3)解:∵∠DAF =∠DBA ,∠ADB =∠FDA =90°,∴△FDA ∽△ADB ,∴AD DB =AF
AB
.∴在Rt △ABD
中,tan ∠ABD =AD DB =AF AB =15
210=34,即tan ∠ABF =
3
4
.
15.(2011·广州)如图1,⊙O 中AB 是直径,C 是⊙O 上一点,∠ABC =45°,等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角,点D 在线段AC 上. (1)证明:B 、C 、E 三点共线;
(2)若M 是线段BE 的中点,N 是线段AD 的中点,证明:MN =2OM ;
(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900
)后,记为△D 1CE 1(图2),若M 1是线段BE 1的中点,N 1是线段AD 1的中点,M 1N 1=2OM 1是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由. 解 (1)证明:∵ AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB =90°.∵ ∠DCE =90°,∴∠ACB +∠DCE =180°,∴ B 、C 、E 三点共线.
(2)证明:如图,连接ON 、AE 、BD ,延长BD 交AE 于点F.
∵ ∠ABC =45°,∠ACB =90°,∴ BC =AC.又∠ACB =∠DCE =90°,DC =EC ,
∴ △BCD ≌△ACE.∴ BD =AE ,∠DBC =∠CAE.∴∠DBC +∠AEC =∠CAE +∠AEC =90°.
∴ BF ⊥AE.∵ AO =OB ,AN =ND ,∴ ON =1
2
BD ,ON ∥BD.∵ AO =OB ,EM =MB ,
∴ OM =12AE ,OM ∥AE.∴ OM =ON ,OM ⊥ON.∴ ∠OMN =45°.又 cos ∠OMN =OM
MN
,∴ MN =2OM.
(3) M 1N 1=2OM 1成立,证明同(2).