江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学
2015届高三第四次模拟考试
数学1
1.已知集合A ={-1,0,2},B ={x |x =2n -1,n ∈Z},则A ∩B = .
2.已知复数z 1=1-2i ,z 2=a +2i(其中i 为虚数单位,a ∈R ).若z 1·z 2是纯虚数,则a 的值为 .
3.从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为a .从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为b ,则a ≤b 的概率为 .
4.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为400,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 .
5.右图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 .
6.若函数f (x )=sin(ωx )(0ω>)在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32
ππ
上单调递增,则ω的值
为 .
7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
C
的渐近线方程为 .
8.已知实数x ,y 满足10,30,330.x y x y x y -+??
+-??--?
≥≥≤,则当2x -y 取得最小值时,x 2+y 2的值为 .
9.在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线C :y =e x 上一点,直线l :x +2y +c =0经过点P ,且与曲线C 在点P 处的切线垂直,则实数c 的值为 .
10.设x >0,y >0,向量a =(1-x ,4),b =(x ,-y ),若a //b ,则x +y 的最小值为 .
11.已知f (x )是定义在区间[-1,1]上的奇函数,当x <0时,f (x )=x (x -1).则关于m 的不等式f (1-m )+f (1-m 2)<0的解集为 .
12.设S n 为数列{a n }的前n 项和,若S n =na n -3n (n -1)(n ∈N*)且a 2=11,则S 20= .
13.在△ABC 中,已知sin A =13sin B sin C ,cos A =13cos B cos C ,则tan A +tan B +tan C 的值为 . 14.在平面直角坐标系xOy 中,设A ,B 为函数f (x )=1-x 2的图象与x 轴的两个交点,C ,D 为函数f (x )的图象上的两个动点,且C ,D 在x 轴上方(不含x 轴),则AC BD ?的取值范围为.
15.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对边的长.若a cos B=1,b sin A
,且A-B=
4
.
(1)求a的值;(2)求tan A的值.
16.如图,在四面体ABCD中,AD=BD,∠ABC=90°,点E、F分别为棱AB、AC上的点,点G 为棱AD的中点,且平面EFG//平面BCD.求证:
(1)EF=1
2
BC;(2)平面EFD⊥平面ABC.
A
B D
G
E
F
17.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π mL,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与前表面积有关.已知易拉罐的侧面制造费为m元/cm2,易拉罐上下底面的制造费用为n元/cm2 (m,n 为常数).
(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于r(cm)的函数表达式,请求求定义域;
(2)求易拉罐制造费最低时r(cm)的值.
18.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为F,左准线为l,P为
椭圆上任意一点,直线OQ⊥FP,垂足为Q,直线OQ与l交于点A.
(1)若b=1,且b 2 .①求椭圆C的方程;②是否存在点P,使得 1 10 FP FQ =? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; (2)设直线FP圆O:x2+y2=a2交于M、N两点,求证:直线AM,AN均与圆O相切. 19.设函数f(x)=(x-a)ln x-x+a,a∈R. (1)若a=0,求函数f(x)的单调区间; (2)若a<0,试判断函数f(x)在区间(e-2,e2)内的极值点的个数,并说明理由;