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不等式练习题2

不等式练习题2
不等式练习题2

初二数学第一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》练习题

丹东市第二十九中学 范伟君

一、填空题

1.不等式0103≤-x 的正整数解是_______________________.

2.当x ________时,代数式52

3--x 的值是非正数.

3.当m ________时,不等式(2-m )x <8的解集为x >

m -28

. 4.若x=23

+a ,y=32

+a ,且x >2>y ,则a 的取值范围是________.

5.x 的一半与4的差不小于x 的5倍,用不等式表示为_____________.

6.一种药品说明书上写着:“每日用量60~120mg 分3~ 4次服用”一次服用这种药的剂量a 的范围是

7.已知方程组???=+-=+2212y x m

y x 的解x 、y 满足x +y >0,求m 的取值范围为________.

8.商品价格第一年上升了10%,第二年下降了(m -5)%(m >5)后,仍不低于原价,则m 的值应为________.

9.设四个连续正整数的和S 满足5030<<S ,求这些连续正整数中的最小数为________.

10.x ________时,代数式()

25

5722--+x x 的值不大于()

5122+x

11.不等式组?????-≥+<312

134x x x x 的解集是__________________. 12. 若2x x a ≤??≤?

的解集是2x ≤,则a 的取值范围是_________. 13.2≥x 的最小值是a ,6-≤x 的最大值是b ,则.___________=+b a

14.生产产品,原需a 小时,提高工效后,可节约时间8%至15%,若现在所需时间为b 小时,则__< b <__

15.若不等式组?

??>

12y x y ax 的解是???==,,

3b y x 则不等式02<+a bx 的解集是________.

17若不等式组121x m x m +??>-?

≤无解,则m 的取值范围是________. 二、选择题

1.下列不等式中,是一元一次不等式的是 ( )

A .012>-x

B .21<-

C .123-≤-y x

D .532>+y

2已知点M (3a -9,1-a )在第三象限且它的坐标都是整数则a 的值为( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3.如图,用不等式表示数轴上所示的解集,正确的是( )

-1 0 1 2 3 4 5

A .x ≥-1

B .x ≥-1 或x <4

C .-1≤x <4

D .-1≥x >4

4.如果2m 、m 、1-m 这三个数在数轴上所对应的点从左到右依次排列,m 的取值范围( )

A .m >0

B .m >21

C .m <0

D .0<m <21

5.若不等式组3

x x a >??>?的解集是x a >,则a 的取值范围是( )

A .3a <

B .3a =

C .3a >

D .3a ≥

6..在数轴上与原点的距离小于3的点对应的x 应满足( )

A 、x>3

B 、-3

C 、x<3

D 、x>3或x<-3

7.如图1,在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 ( )

A .121

->x B .323

-≥+x C .11-≥+x D .42>-x

8.若方程3(x+1)=2(3-x)-5m 的解是负数则m 的取值范围是( )

A 、m>-53

B 、m<-53

C 、m>53

D 、m<53

9..若两个不等式的解集相同,这两个不等式叫做同解不等式.下列两不等式是同解不等式的是(

) A .484<-x 与12->x B .93≤x 与3≥x C .x x 672<-与x 47≤-

D .0321

<+-x 与231

->x

10..解下列不等式组,结果正确的是 ( )

A. 不等式组???>>37x x 的解集是3>x

B. 不等式组

???->-<23

x x 的解集是23-<<-x

C. 不等式组???-<-<13

x x 的解集是1-24

x x 的解集是24<

<-x

11.若1-=a a

,则a 只能是 ( )

A .1-≤a

B .0

C .1-≥a

D .0≤a

12.关于x 的方程632=-x a 的解是非负数,那么a 满足的条件是 ( )

A .3>a

B .3≤a

C .3

D .3≥a

13.在数学表达式-3<0,4x+3y>0,x=3, 2x +2xy+2

y ,x ≠5,x+2>y+3中,是不等式的有(

)个

. A .1 B. 2 C .3 D .4

14.下列说法中正确的是( )

A .x=3是不等式2x>1的解

B .x=3是不等式2x>1的唯一解

C .x=3不是不等式2x>1的解

D .x=3是不等式2x>1的解集

15.若x>y,则ax>ay.那么一定有( ).

A .a>0 B. a ≥0 C. a <0 D. a ≤0

16. 若a -b<0,则下列各式中一定正确的是( )

A .a>b B. ab>0 C. a

b >0 D. -a>-b

17. 若a>b,则下列不等式中,不成立的是( )

A .a -3>b -3 B. -3a>-3b C. 33a b

D. -a<-b

18、若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为

三、解下列一元一次不等式(或组)并把它们的解集在数轴上表示出来

1.解不等式:?????+>+<-+13

414)1(2x x x x 2. 93621≤-<-x 3. x 为何值时,代数式2)

1(3+-x 的值比代数式331

-+x 的值大.4.已知关于x 、y 的方程组?

??=-=+m y x y x 212. (1)求这个方程组的解;(2)当m 取何值时,这个方程组的解中,x 大于1,y 不小于-1.

四、列一元一次不等式(或不等式组)解应用题

1.某种植物适宜生长在温度为18℃~20℃的山区,已知山区海拔每升高100米,气温下降0.5℃,现在测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山的哪一部分为宜?(假设山脚海拔为0米)

2.在爆破时,如果导火索燃烧的速度是0.8㎝/s ,人跑开的速度是4m/s ,为了使点导火索的人在爆破时能够跑到100m 以外的安全地区,设导火索的长为s.

(1)用不等式表示题中的数量关系;

(2)当导火索的长s 是下列长度时,人能及时跑到安全地区吗?①15cm; ②20cm; ③25cm.

3.新学期开始了,学校的宿舍如果五5个人住一间则有19个人没得住,如果8个人住一间则有一间宿舍没住满。问学校有几间宿舍?

4.商场文具部的某种毛笔每支售价25元,书法练习本每本售价5元. 该商场为促销指定了两种优惠办法 甲:买一支毛笔就赠送一本书法练习本. 乙:按购买金额打九折付款.

某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x (x ≥10)本.

(1) 写出每种优惠办法实际付款金额y 甲(元),y 乙(元)与x (本)之间的关系式;

(2) 比较购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠办法付款更省钱?

5. 八(2)班共有50名学生,老师安排每人制作一件A 型或B 型的陶艺品,学校现有甲种制作材料36kg ,乙种制作材料29kg ,制作A 、B 两种型号的陶艺品用料情况如下表:

(1)设制作B 型陶艺品x 件,求x 的取值范围;

(2)请你根据学校现有材料,分别写出七(2)班制作A 型和B 型陶艺品的件数.

一元一次不等式组专项练习题

一元一次不等式组部分练习题 一、填空 1、不等式组()122431223 x x x x ?--≥???-?>+??的解集为 2、若m-??<+? 的解集是 3.若不等式组2113 x a x ??无解,则a 的取值范围是 . 4.已知方程组2420 x ky x y +=??-=?有正数解,则k 的取值范围是 . 5.若关于x 的不等式组61540 x x x m +?>+???+? 有解,则m 的范围是( ) A .2m ≤ B .2m < C .1m <- D .12m -≤< 2、不等式组2.01x x x >-??>??-><<-<<

均值不等式测试题(含详解)

均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当00且a(a+b+c)+bc=324-,则2a+b+c 的最小值为( ) A .13- B .13+ C .223+ D .223- 二.填空题: 8.设x>0,则函数y=2- x 4 -x 的最大值为 ;此时x 的值是 。 9.若x>1,则log x 2+log 2x 的最小值为 ;此时x 的值是 。 10.函数y=1 4 2-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ;此时x=_________. 11.函数f(x)=2 42 +x x (x ≠0)的最大值是 ;此时的x 值为 _______________.

基本不等式练习题及答案解析

1.若xy>0,则对x y+ y x说法正确的是() A.有最大值-2B.有最小值2 C.无最大值和最小值D.无法确定 答案:B 2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是() A.400 B.100 C.40 D.20 答案:A 3.已知x≥2,则当x=____时,x+4 x有最小值____. 答案:2 4 4.已知f(x)=12 x+4x. (1)当x>0时,求f(x)的最小值; (2)当x<0 时,求f(x)的最大值. 解:(1)∵x>0,∴12 x,4x>0. ∴12 x+4x≥2 12 x·4x=8 3. 当且仅当12 x=4x,即x=3时取最小值83, ∴当x>0时,f(x)的最小值为8 3. (2)∵x<0,∴-x>0. 则-f(x)=12 -x +(-4x)≥2 12 -x ·?-4x?=83, 当且仅当12 -x =-4x时,即x=-3时取等号. ∴当x<0时,f(x)的最大值为-8 3. 一、选择题 1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() A.x+1 2x B.x 2-1+ 1 x2-1 C.2x+2-x D.x(1-x) 答案:C 2.函数y=3x2+ 6 x2+1 的最小值是() A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-3

解析:选D.y=3(x2+ 2 x2+1 )=3(x2+1+ 2 x2+1 -1)≥3(22-1)=62-3. 3.已知m、n∈R,mn=100,则m2+n2的最小值是() A.200 B.100 C.50 D.20 解析:选A.m2+n2≥2mn=200,当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程: ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a+ a b≥2 b a· a b=2; ②∵x,y∈(0,+∞),∴lg x+lg y≥2lg x·lg y; ③∵a∈R,a≠0,∴4 a+a≥2 4 a·a=4; ④∵x,y∈R,,xy<0,∴x y+ y x=-[(- x y)+(- y x)]≤-2?- x y??- y x?=-2. 其中正确的推导过程为() A.①②B.②③C.③④D.①④解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑. ①∵a,b∈(0,+∞),∴b a, a b∈(0,+∞),符合基本不等式的条件,故①的推导 过程正确; ②虽然x,y∈(0,+∞),但当x∈(0,1)时,lg x是负数,y∈(0,1)时,lg y是负数,∴ ②的推导过程是错误的; ③∵a∈R,不符合基本不等式的条件, ∴4 a+a≥24 a·a=4是错误的; ④由xy<0得x y, y x均为负数,但在推导过程中将全体 x y+ y x提出负号后,(- x y)均 变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确. 5.已知a>0,b>0,则1 a+ 1 b+2ab的最小值是() A.2 B.2 2 C.4 D.5 解析:选 C.∵1 a+ 1 b+2ab≥ 2 ab +2ab≥22×2=4.当且仅当 ?? ? ??a=b ab=1 时, 等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4. 6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()

(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)

不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

不等式经典题型专题练习(含答案)-

不等式经典题型专题练习(含答案) :__________ 班级:___________ 一、解答题 1.解不等式组: ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-,并在数轴上表示不等式组的解集. 2.若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1

5.解不等式组:并写出它的所有的整数解. 6.已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x>0,y>0,数a的取 值围. 6.求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解. 7.求适合不等式﹣11<﹣2a﹣5≤3的a的整数解. 8.已知关于x的不等式组的整数解共有5个,求a的取值围. 9.若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >,求k的取值围.

10.解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和. 11.已知x ,y 均为负数且满足:232x y m x y m +=-?? -=?①②,求m 的取值围. 12.解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数集. 14.若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数,则: (1)求m 的取值围 (2)化简:42m m -++ 15.我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿,将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人,那么有12人安排不下;如果每间住8人,那么有一间房还余一些床位,问该校可能有几间住房可以安排学生住宿?住宿的学生可能有多少人?

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .

不等式练习题(带答案)

不等式基本性质练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 ( ) A .2 B .22 C .24 D .4 2.分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 ( ) A .必要条件 B .充分条件 C .充要条件 D .必要或充分条件 3.设a 、b 为正数,且a + b ≤4,则下列各式中正确的一个是 ( ) A . 111<+ b a B .111≥+b a C . 211<+ b a D . 211≥+b a 4.已知a 、b 均大于1,且log a C ·log b C=4,则下列各式中,一定正确的是 ( ) A .a c ≥b B .a b ≥c C .bc ≥a D .a b ≤c 5.设a =2,b=37- ,26- = c ,则a 、b 、c 间的大小关系是 ( ) A .a >b>c B .b>a >c C .b>c>a D .a >c>b 6.已知a 、b 、m 为正实数,则不等式 b a m b m a >++ ( ) A .当a < b 时成立 B .当a > b 时成立 C .是否成立与m 无关 D .一定成立 7.设x 为实数,P=e x +e -x ,Q=(sin x +cos x )2,则P 、Q 之间的大小关系是 ( ) A .P ≥Q B .P ≤Q C .P>Q D . P b 且a + b <0,则下列不等式成立的是 ( ) A . 1>b a B . 1≥b a C . 1

广东高考数学(理)一轮题库:7.4-基本不等式(含答案)

第4讲基本不等式一、选择题 1.若x>0,则x+4 x 的最小值为( ). A.2 B.3 C.2 2 D.4 解析∵x>0,∴x+4 x ≥4. 答案 D 2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1 a + 4 b 的最小值是( ). A.7 2 B.4 C. 9 2 D.5 解析依题意得1 a + 4 b = 1 2? ? ? ? ? 1 a + 4 b( a+b)= 1 2? ? ? ? ? ? 5+ ? ? ? ? ? b a + 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5+2 b a × 4a b =9 2 ,当且仅当 ?? ? ?? a+b=2 b a = 4a b a>0,b>0 ,即a= 2 3 , b=4 3 时取等号,即 1 a + 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3.小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

又v -a =2ab a + b -a =ab -a 2a +b >a 2-a 2a +b =0,∴v >a . 答案 A 4.若正实数a ,b 满足a +b =1,则( ). A.1a +1 b 有最大值4 B .ab 有最小值1 4 C.a +b 有最大值 2 D .a 2+b 2有最小值 22 解析 由基本不等式,得ab ≤a 2+b 2 2 = a +b 2 -2ab 2 ,所以ab ≤1 4 ,故B 错; 1 a +1 b =a +b ab =1ab ≥4,故A 错;由基本不等式得a +b 2 ≤ a +b 2 = 1 2 ,即a +b ≤ 2,故C 正确;a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ≥1-2×14=1 2, 故D 错. 答案 C 5.已知x >0,y >0,且2x +1 y =1,若x +2y >m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ). A .(-∞,-2]∪[4,+∞) B .(-∞,-4]∪[2,+∞) C .(-2,4) D .(-4,2) 解析 ∵x >0,y >0且2x +1 y =1, ∴x +2y =(x +2y )? ???? 2x +1y =4+4y x +x y ≥4+2 4y x ·x y =8,当且仅当4y x =x y , 即x =4,y =2时取等号, ∴(x +2y )min =8,要使x +2y >m 2+2m 恒成立, 只需(x +2y )min >m 2+2m 恒成立, 即8>m 2+2m ,解得-4

精选一元一次不等式组练习题及答案

八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中,解集是2<x <3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ,1+a ,-a ,则a 的取值范围是( ) A 、a <12 B 、a <0 C 、a >0 D 、a <-12 3、不等式组10235x x +??+??,②4x >,③2x <,④21x ->-,从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组是( )A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y +1>0与y -2<0,则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是 . A B C D

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1.基本不等式 若a>0,,b>0,则 a + b 2 ≥ab ,当且仅当 时取“=”. 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正;(一正) (2)和或积为定值;(二定) (3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等) 2.常用不等式 (1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ). 2 a b +()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2 b a +)2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a,b∈R). (4) b a + a b ≥2(a,b同号且不为0). (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2+b2 2 (a,b∈R). (6) b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3+b3+c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a+b+c 3 ≥ 3 abc;() ,,0 a b c> 3.利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a +b≥,a2+b2≥. (2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.

设a,b∈R,且a+b=3,则2a +2b的最小值是( ) 解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42, 当且仅当a=b=3 2 时取等号,故选B. 若a>0,b>0,且a+2b-2=0, 则ab的最大值为( ) 解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤1 2 .当且仅当a =1,b=1 2 时等号成立.故选A.

基本不等式练习题及答案

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)函数y=x+1 x (x>0)的值域为( ). A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2.下列不等式:①a2+1>2a;②a+b ab ≤2;③x2+ 1 x2+1 ≥1,其中正确的个 数是 ( ).A.0 B.1 C.2 D.3 3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ). B.1 C.2 D.4 4.(2011·重庆)若函数f(x)=x+ 1 x-2 (x>2)在x=a处取最小值,则a= ( ). A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 5.已知t>0,则函数y=t2-4t+1 t 的最小值为________. 考向一利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1 x + 1 y 的最小值为________; (2)当x>0时,则f(x)= 2x x2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x>1,则f(x)=x+ 1 x-1 的最小值为________. (2)已知0<x<2 5 ,则y=2x-5x2的最大值为________. (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________. 考向二利用基本不等式证明不等式

【例2】?已知a>0,b>0,c>0,求证:bc a + ca b + ab c ≥a+b+c. . 【训练2】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1. 求证:1 a + 1 b + 1 c ≥9. 考向三利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x>0, x x2+3x+1 ≤a恒成立,则a的取值 范围是________. 【训练3】(2011·宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是________. 考向三利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n 的关系是g(n)=80 n+1 .若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为 f(n)万元. (1)求出f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元 【试一试】(2010·四川)设a>b>0,则a2+ 1 ab + 1 a a-b 的最小值是 ( ). A.1 B.2 C.3 D.4 双基自测

不等式计算专项练习及答案

不等式计算专项练习 一、解答题 1.解不等式组,并且把解集在数轴上表示出来. 2.求不等式组的整数解. 3.计算下列不等式(组): (1)x-<2-. (2)-2≤≤7 (3); (4) 4.已知:y1=x+3,y2=-x+2,求满足下列条件时x的取值范围:(1)y1<y2 (2)2y1-y2≤4 5.解不等式组: 6.求下列不等式组的解集 7.(1)计算:(-2)-2×|-3|-()0 (2)解不等式组: 8.解不等式组,并指出它的所有整数解. 9.解不等式组:,并写出该不等式组的整数解.

11.解不等式组并写出的所有整数解. 12.(1)解方程:. (2)求不等式组:. 13.求不等式组的整数解. 14.(1)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来. (2)解不等式组: 15.求不等式组的非负整数解. 16.解不等式(组),并把它们的解集在数轴上表示出来 (1); (2) 17.(1)解不等式组 (2)在(1)的条件下化简:|x+1|+|x-4| 18.已知关于x,y的方程组的解为正数. (1)求a的取值范围; (2)化简|-4a+5|-|a+4|. 19.(1)解不等式2->+1,并把它的解集在数轴上表示出来; (2)求不等式组的整数解. 20.解不等式组:. 21.解不等式组 22.解不等式组,并把它们解集表示在数轴上,写出满足该不等式组的 所有整数解.

23.解不等式组:;在数轴上表示出不等式组的解集,并写出它的整数 解. 24.解不等式组:. 25.解不等式组 26.解不等式组 ) 27.当x 是不等式组 的正整数解时,求多项式(1﹣3x )(1+3x )+(1+3x ) 2 +(﹣x 2)3÷x 4的值. 28.解方程与不等式组: 解方程:;解不等式组: 29.解不等式组. 30.解不等式组,并写出不等式组的整数解. 31.(1)解不等式组: (2)解方程: 32.解不等式组: . 33.解不等式组,并在数轴上表示它的解集. 34.(1)解方程: ; (2)解不等式组: ,并把解集在数轴上表示出来.

均值不等式含答案

课时作业15均值不等式 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( ) x A.无最大值,有最小值7 B.无最大值,有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号,

有最大值一1,无最小值.

1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分)???当x=\时, 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n

基本不等式(含答案)

§3.4 基本不等式:ab ≤ a + b 2 材拓展 1.一个常用的基本不等式链 设a >0,b >0,则有: min{a ,b }≤21a +1b ≤ ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22≤max{a ,b }, 当且仅当a =b 时,所有等号成立. 若a >b >0,则有: b <21a +1b 0,则a b +b a ≥2. 3.利用基本不等式求最值的法则 基本不等式ab ≤a +b 2 (a ,b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值. (1)当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即ab ≤????a +b 22,当且仅当a =b 时, 等号成立. (2)当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 注意:利用基本不等式求代数式最值,要注意满足三个条件:①两个正数;②两个正数的积或和为定值;③取最值时,等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”. 4.函数f (x )=x +k x (k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到,其最值又确实存在,我们可以利用函数f (x )=x +k x (k >0)的单调性加以解决. 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )=x +k x (k >0)在(0,k ]上单调递减,在[k ,+∞)上单调递增. 因为函数f (x )=x +k x (k >0)是奇函数,所以f (x )=x +k x (k >0)在(-∞,-k ]上为增函数,在[-k ,0)上为减函数.

最新基本不等式练习题及答案

双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2 +1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .

【训练2】 已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1. 求证:1a +1b +1 c ≥9. 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】?(2010·山东)若对任意x >0,x x 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是 ________. 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x >0,y >0,xy =x +2y ,若xy ≥m -2恒成立,则实数m 的最大值是________. 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】?某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x 不得超过5 m .房屋正面的造价为400元/m 2,房屋侧面的造价为150元/m 2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙高为3 m ,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? 【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )= 80 n +1 .若水晶产品的销售价格不变,第n 次投入后的年利润为f (n )万元. (1)求出f (n )的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【试一试】 (2010·四川)设a >b >0,则a 2+1 ab +1 a (a - b ) 的最小值是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 双基自测 D .(2,+∞) 答案 C 2.解析 ①②不正确,③正确,x 2+ 1x 2+1=(x 2 +1)+1x 2+1 -1≥2-1=1.答案 B 3.解析 ∵a >0,b >0,a +2b =2,∴a +2b =2≥22ab ,即ab ≤1 2.答案 A

含参不等式专项练习题(经典)

含参不等式专项练习题(经典) 例1 不等式组21 159????+?+?+x m x x x 的解集是,则m 的取值范围 练习:已知不等式组的取值范围是则的解集为a x a a x a x ,5351??? ??+???? 练习:若不等式组???≤≥-m x x 062无解,则求m 的取值范围 练习:若不等式组? ???≤?m x x 21有解,则求m 的取值范围 练习:关于x 的不等式组??????+?--x x a x x 4 22)2(3有解,则求a 的取值范围 类型二 根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范 围 例2关于x 的不等式组?????+?++-?a x x x x 4 231)3(32有四个整数解,则a 的取值范围是 练习:1、已知不等式组? ???+?-b x a x 122的整数解只有5,6,求b a 和的取值范围。 2、试确定a 的取值范围,使不等式组??? ????++?++?++a x a x x x )1(343450312恰有两个整数解。 类型三 根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围 例3 已知方程组? ??-=++=+m y x m y x 12312满足0?+y x ,求m 的取值范围 练习:已知的取值范围求且x a x b x a ,64,01623,0132?≤=--=+-。

练习:当k 为何负整数时,方程组???-=++=+1 34123k y x k y x 的解适合6?-?y x y x 且? 练习:已知???+=+=+1 2242k y x k y x 且的取值范围为则k y x ,01-?-? 练习:已知关于x 、y 的方程组? ??=+=-323y x m y x 是否存在m ,使上述方程组的解为正数?若存在,求出m 的取值范围。

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? =+((当且仅当x =1时取“=”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++) 当,即t=时,4 259y t t ≥?=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 4 y x = +的值域。 24(2)x t t +=≥,则2 24 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+

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