第二章第8课时向量的数量积(1) 教案 江苏省启东中学 高中数学 必修四

第8课时 §2.4 向量的数量积（1）

【教学目标】

一、知识与技能

（1）掌握向量的数量积及其几何意义；

（2）掌握向量数量积的重要性质及运算律；

（3）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

（4）掌握向量垂直的条件.

二、过程与方法

从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积

三、情感、态度与价值观

通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流

【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

【教学过程】

一、创设情景：

向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ 二、新课讲解 引入：

物理学中，物体所做的功的计算方法：

||||cos W F s θ= （其中θ是F 与s 的夹角）

． 1．向量的夹角： 已知两个向量a 和b （如图2），作OA a = ，OB b =

AOB θ∠=（0180θ≤≤

）叫做向量a 与b 当0θ= 时，a 与b 同向； 当180θ=

时，a 与b 反向； 当90θ=

时，a 与b 的夹角是90 ，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 2．向量数量积的定义：

）

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ?? 叫做a 与b 的

数量积（或内积），记作a b ? ，即||||cos a b a b θ?=?? ．

说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角

有关；

②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实 数与向量的积是一个向量；

③规定，零向量与任一向量的数量积是0 ．

3、数量积的性质：

设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||

a b a b θ?= ； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ?= ；当a 与b 反向时，||||a b a b ?=- ；

特别地：2||a a a ?=

或||a =

③||||||a b a b ?≤ ；

④a b ⊥ 0a b ??= ；

若e 是与b 方向相同的单位向量，则

⑤||cos e a a e a θ?=?= ．

4．数量积的几何意义：

（1）投影的概念：

如图，OA a = ，，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ= ．

1

1

1

||cos b θ 叫做向量b 在a 方向上的投影，

当θ为锐角时，它是正值；

当θ为钝角时，它是一负值；

当90θ=

时，它是0； 当0θ=

时，它是||b ； 当180θ=

时，它是||b - ． （2）a b ? 的几何意义：数量积a b ? 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ 的乘积。

三、例题分析：

例1 、判断正误，并简要说明理由 ①00=? ； ②00 =?； ③-0 ＝； ④?a b ||.||b a =；

⑤若0 ≠a ，则对任一非零,有?0≠； ⑥?=0，则与至少有一个为； ⑦对任意向量,,都有)()(c b a c b ?=?； ⑧与是两个单位向量，则22=.

例2、已知向量与向量的夹角为θ,2||=,3||=b ,分别在下列条件下求?:

(1) 0135=θ； （2）060=θ； （3）a ∥b ； (4) a ⊥b .

例3、已知正ABC ?的边长为2，设BC a = ，CA b = ，AB c = ，求a b b c c a ?+?+?

例4、已知||a = ||3b = ，||c = ，且0a b c ++= ，求a b b c c a ?+?+?

四、课时小结：1．向量数量积的概念；

2．向量数量积的几何意义；

3．向量数量积的性质。

五、反馈练习

(

)

()(

)

()()()(

)()值

，求的夹角为与若求已知的取值范围

的夹角为锐角时与，求当向量和的夹角与求若，求的夹角为与若（求：

垂直，则与，要使与则且与当与当θθλλλθ

λλθcos 2;,)1(,1,2,.845,32.7,61232)2(3260)1(34.632)2(1,2154.5___

45,22.4_____,36513,1210.3____

cos ___;.2__

___;___;.1y x y x y x b a b a b a b

a b a b a ⊥==+=+=++?===+?--?+?==+?-?====-?==-=??

? ???===?⊥==?=?=?

平面向量的数量积教案

§2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 博白县龙潭中学 庞映舟 一、教学重难点： 1、重点：平面向量数量积的概念、性质的发现论证； 2、难点：平面向量数量积、向量投影的理解； 二、教学过程： （一）创设问题情景，引出新课 问题：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运 算的结果是什么？ 新课引入：本节课我们来研 究学习向量的另外一种运算：平面向量的数量积的 物理背景及其含义 （二）新课： 1、探究一：数量积的概念 展示物理背景：视频“力士拉车”,从视频中抽象出下面的物理模型 背景的第一次分析： 问题：真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？ 答：实际上是力→F 在位移方向上的分力，即θCOS F → ,在数学中我们给它一个名字叫投影。 “投影”的概念：作图

定义：|→b |cos 叫做向量→b 在→ a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量； 2、背景的第二次分析： 问题：你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 分析：θCOS S F w →→=用文字语言表示即：力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积；功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算结果呢？ 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角是θ，则数量|→a ||→b |θcos 叫→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即有→a ·→b = |→a ||→b |θcos （０≤θ≤π）.并规定→0与任何向量的数量积为0. 注：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. 3、向量的数量积的几何意义： 数量积→a ·→b 等于→a 的长度与→b 在→a 方向上投影|→b |cos θ的乘积. 三、例题讲解： 例1 已知｜→a ｜＝5，｜→b ｜＝4，→a 与→b 的夹角θ=O 60，求→a ·→b 解：由向量的数量积公式得：（先复习特殊角度的余弦值） →a ·→b =|→a ||→ b |cos θ=5×4×cos O 60=5×4×21=10 练习1已知｜→a ｜＝8，｜→b ｜＝6，①→a 与→b 的夹角为O 60，②→a 与→b 的夹 角θ=00，求→a ·→ b ；

向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 新知检索 8.向量数量积满足交换律：·＝__________________________. 9.向量数量积满足分配律：（+）·＝______________________. 10.数乘向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ，有（?λ＝_________. 学法指导 本节课的学习目标是掌握向量数量积的运算规律，并准确运用；重点是注意结合律的正确使用.学习本节课应注意的问题： 1.对于分配律，用向量数量积的几何意义给出了证明.在学习与使用时，可以类比数量乘法的交换律.但要明确它们的不同. (1)已知实数)0≠b c b a （、、，则c a bc ab =?=；但对于向量、、，该推理是不正确的，即a ·b =b ·不一定能推出a =.只有当向量a 、b 、共线且同向时，才成立，否则就不成立. 比如：|a |＝3，|b |＝1，|c |＝3,< a ,b >=30°，=60°， 经过计算可知：·＝·，但≠. (2)对于实数c b a 、、有(ab )c =a (bc )，但对于向量、、c ，(·)·c ≠·(·c )，这是因为(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 一般并不共线，所以(a ·b )·c ≠a (b ·c ) . 2.教材中的例题1是直接对数量积性质、运算律的应用.其中推得结论： （1）2（+＝22||2||b b a a +?+; （2）（a +b ）·（a -b ）＝22||||-.在以后的运算中，可以直接运用. 3.用向量知识证明几何问题.用向量解题可分为三步：

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1. 了解向量的数量积的抽象根源。 2. 了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3. 数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4. 理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用 【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排：

2课时 五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为W F s cos ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b 的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a||b|cos ，（０≤θ≤π）. 并规定0 与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积 的定义a b = |a||b|cos 无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０ ≤θ≤π）

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：

2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F

高中数学的空间向量知识

高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线

人教A版高中数学必修四 2.4 《平面向量的数量积》教案

§2.4平面向量的数量积 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积 的运算律. 教学过程： 一、复习引入： 1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）

A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，

8.1.2 向量数量积的运算律

8.1.2 向量数量积的运算律 (教师独具内容) 课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行简单的应用． 教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用． 教学难点：平面向量数量积的运算律的证明. 【知识导学】 知识点 平面向量数量积的运算律 已知向量a ，b ，c 与实数λ，则 交换律 a ·b ＝□ 01b ·a 结合律 (λa )·b ＝□ 02λ(a ·b )＝□03a ·(λb ) 分配律 (a ＋b )·c ＝□ 04a ·c ＋b ·c 【新知拓展】 对向量数量积的运算律的几点说明 (1)向量数量积不满足消去律：设a ，b ，c 均为非零向量且a ·c ＝b ·c ，不能得到a ＝b .事实上，如图所示，OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c ，AB ⊥OC 于D ，可以看出，a ，b 在向量c 上的投影分别为|a |cos ∠AOD ，|b |cos ∠BOD ，此时|b |cos ∠BOD ＝|a |cos ∠AOD ＝OD .即a ·c ＝b ·c .但很显然b ≠a . (2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于a ·b ，b ·c 都是实数，(a ·b )c 表示与c 方向相同或相反的向量，a (b ·c )表示与a 方向相同或相反的向量，而a 与c 不一定共线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于向量a ，b ，c 等式(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立．( ) (2)若a·b ＝a·c ，则b ＝c ，其中a ≠0.( ) (3)(a ＋b )·(a －b )＝a 2 －b 2 .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应

(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F

12022-向量数量积的运算律

向量数量积的运算律 制作人：张明娟 审核人：叶付国 使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标： 1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算； 2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法； 3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法. 学习重点：向量数量积的运算律及其应用. 学习难点：向量数量积分配律的证明. 重点知识回顾： 1、两个向量的夹角的范围是： ； 2、向量在轴上的正射影 正射影的数量为 ； 3、向量的数量积（内积）：a ·b = ； 4、两个向量的数量积的性质： （1）b a ⊥? ； （2）a a ?= 或a = ； （3）θcos = ； 向量数量积的运算律 平面向量数量积的常用公式 证明：（1） （2） c b c a c b a b a b a b a b a a b b a ?+?=?+?=?=?=??=?))(3(;)()())(2(; 1λλλλ）（222 2))(1(b b a a b a +?+=+2 2))()(2(b a b a b a -=-+

典例剖析： 例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060， 求：（1）b 在a 方向上的投影； （2）a 在b 方向上的投影； （3） 例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求： ()() b a b a 32-?+） （））（；（）；（）（b a b a b a b a 32321 22+?-- ?（-+5 4取何值，问夹角为与t t b a -==0 120,1

例 3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？ 变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角. 练习题:求证菱形的对角线互相垂直. 例 4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.

向量数量积教案

公开课教案 课 题：6．8 向量的数量积 教学目标：1）向量的数量积 2）使学生理解向量的数量积和运算法则 3）使学生能初步利用向量的数量积的概念。 教学重点：理解向量的数量积 教学难点：：理解向量的数量积 教学方法：讲授法，启发引导教学 课堂类型：新授课 教学步骤： （一）复习巩固 1、提问：向量的线性运算都包括哪些运算？ 2、举两个向量的线性运算的例子，并计算出结果。 3、提问：向量的线性运算，其结果有什么特点？ （二）引入新课： 我们学过向量的线性运算，知道其计算结果都是向量，那么有没有一些向量的运算其计算结果不是向量呢？我们先来看一个物理上的知识，关于力做功的的 问题，功W=|F |·|S |cos θ这是一个由两个向量的模和它们的夹角余弦的乘积确定的，这节课我们就来学习这个内容。 （三）讲授新课 1、关于向量的规定： 1）、两个向量的夹角θ，记＜a ，b ＞。 0≤＜a ，b ＞≤π，＜a ，b ＞=＜b ，a ＞。 2）、规定：a ·b =|a | |b |（0≤θ≤π） 或者表示成：a ·b =|a | |b |cos ＜a ，b ＞（0≤＜a ，b ＞≤π） a ·b 表示向量a 与b 的数量积。 3）、思考：如果a 与b 是两个非零向量，那么在什么条件下 ①a ·b ＞0 ②a ·b ＜0 ③a ·b =0 4）、练一练 1）如果|a |=3，|b |=2，cos θ= - 2 1，那么a ·b = 。 2）|a |=21，|b |=4，θ=3 ，那么a ·b = 。 2、例题讲解 例1、根据下列条件分别求出＜a ，b ＞： 1）|a |=3，|b |=4，a ·b =6； 2）|a |=|b |=2，a ·b = -2。 例2：已知|a |=4，|b |=3，＜a ，b ＞=3 ，计算： 1）（a +b ）2 ； 2）（2a - b ）·（3a +2b ）。 3、向量的数量积运算的运算律 1）满足交换律及分配律 ①a ·b = b ·a ；②a ·（b +c ）=a ·b +a ·c 2）不满足结合律 （a ·b ）·c ≠a ·（b ·c ） 3）实数与向量相乘时，满足结合律 （k a ）·b =k （ a ·b ） 课堂练习： 书P93 1~3 课堂小结：1、向量的数量积定义； 2、向量数量积运算的运算律； 3、向量数量积的运算的特点：结果是一个实数。 课后作业：书P93 4 板书设计 6．8 向量的数量积 1、规定：1）、两个向量的夹角 2、例题讲解 2）、规定：两个向量的数量积 3、运算律

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》

第二课时向量数量积的运算律(可编辑修改word版)

= = AC ? ?? ? 2.3.2 向量数量积的运算律 类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模 【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。 【自主学习】： 向量数量积的运算律： （1） 交换律： 例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。 3 （2） 数乘 向量的数量积 结合律： 那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律： 变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600 , 求 。 【课堂互动】 类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证： 类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直： 已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。 （1） (a + b ) 2 = 2 + 2a ? b + 2 → → → → ；（2） a + b ?? a - b ? = ? ?? ? → 2 → 2 a - b ; 求证： AC ⊥ BD . 证明： → → → → 变式：已知 a = 3, b = 4, ?a , b ? = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b ) . 总结： a ⊥ b ? 。 a b

a b a ⊥ 变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。 2 【合作探究】 1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则 a ? b = a ? b 成 立 ， 对 于 向 量 3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3 的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若 a ? b = 0 ，则 k 的值为 。 a , b , a ? b = ? 成立吗？ 2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ? a = c ; 但对于向量， ab = bc ? a = c 还成立吗？ 4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2. 3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ? b )? c = a ? (b ? c )成立吗？ (a ? b ) ? c 表 示什么意义？ a ? (b ? c ) 表示什么意义？ 【当堂检测】 → → < >= 1200 , = = 5, (2a - b )? a = 1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则 （选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。 。 （1） 若 x = a + (t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t); （2） 求出函数 k=f(t)的最小值。 → → → → 2 2 、 a = 6, b = 8, ?a , b ? = 120 , 求 a + b , a + b .

高中数学 空间向量及其运算 教案

空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义. 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下： （1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的.） 当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜ （3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误，并简要说明理由.

空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量

平面向量的数量积的运算律

第十二教时 平面向量的数量积的运算律 要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件 复习： 1 ?平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2 ?判断下列各题正确与否： 1若a = 0,则对任一向量b ,有a b = 0。 2若a 0,则对任一非零向量b ,有ab 0。 3 若 a 0, ab = 0,则 b = 0。 4若ab = 0,则a 、b 至少有一个为零。 5 若 a 0, a b = a c ,贝U b = c 。 6若a b = ac ,贝U b = c 当且仅当a 0时成立。 7对任意向量a 、b 、c ,有（a b ） c a （b c ）。 8对任意向量a ,有a 2 = |a|2。 平面向量的运算律 1 .交换律：a b = b a 证：设 a , b 夹角为，贝U a b = |a||b|cos , b a = |b||a|cos 二 a b = b a ??? c （a + b ） = ca + c b 即：（a + b ） c = a c + b c 4.例题：P118-119 例二、例三、例四 （从略） 三、应用例题：（《教学与测试》第27课P156例二、例三） 例一、已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直, 解：如图：」ABCD 中：AB DC , AD BC , AC = AB AD 2 ■ 2 ? |AC |2=| AB AD |2 AB AD 而 BD = AB AD ? |BD |2=| AB AD |2 AB AD ?'?I c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2 2.( a) b = (a b) =a( b) 证 :若 > 0, ( a) b = |a||b|cos , (ab): = |a||b|cos , a (b): = |a||b|cos , 若 < 0, ( a) b =| a||b|cos() (ab): = |a||b|cos , a (b): =|a || b|cos() 3. (a + b) c =a c + b c 在平面内取一点 0,作OA = a, AB = b , |a||b|( cos ) = |a||b|cos , |a||b|( cos ) = |a||b|cos 。 __ !， __ p _____ h 2 ___ 2 ___ t k ? | AC |2 + |BDf = 2 AB 2AD = | AB |2 | BC |2 | DC |2 四、 小结：运算律 五、 作业：P119 习题5.6 7、8 《教学与测试》P152练习 |AD |2 ??? a + b （即OB ）在c 方向上的投影 等于a 、b 在c 方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos 2 教材: 目的: 过程: (V ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (V ) a 4 b 与7a 2b 垂直， 求a 与b 的夹角。 解：由(a + 3b)(7a 5b)= 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ① (a 4b)(7a 2b)= 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a b = b 代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为, 则 cos : =a b b 2 1 ? =60 |a||b| 2|b|2 2 2AB AD 例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和