2016年数学立体几何高考试题及答案
1.如图所示,P A⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN∥平面P AD.
(2)求证:MN⊥CD.
(3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
2如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;
(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.
BC=
PA=6,BC=8,DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
EF=BC=4
的中点.
(1)求证:AF∥平面PCE;
(2)求证:平面PCE⊥平面PCD;
(3)求四面体PEFC的体积.
AE CD
AE
,CD=
PD
V=S
PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(Ⅰ)PA⊥底面ABCD;
(Ⅱ)BE∥平面PAD;
(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
6如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面A1CD;
(Ⅱ)证明:平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
AC
D=
BCG==
所成角的正弦值.
7如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D 不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
8如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
(Ⅰ)证明:PB∥平面ACM;
(Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.
MN=
中,,所以
,
==
所成的正切值为
面PAB.
(1)求证:AB⊥平面PCB;
(2)求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值.
,PB=,
COD=.
1111AD 上一点,且AP =a
3,过B 1,D 1,P 的平面交底面ABCD
于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ =________.
2.如图,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,∠ADC =90°, 且AA 1=AD =DC =2,M ∈平面ABCD , 当D 1M ⊥平面A 1C 1D 时,DM =________.
3.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,P A =AB =2,BC =4,E 是PD 的中点.
(1)求证:平面PDC ⊥平面P AD ; (2)求点B 到平面PCD 的距离;
4.如图,PO ⊥平面ABCD ,点O 在AB 上,EA ∥PO ,四边形ABCD 为直角梯形,BC ⊥AB ,BC =CD =BO =PO ,EA =AO =12
CD .
(1)求证:BC⊥平面ABPE;
(2)直线PE上是否存在点M,使DM∥平面PBC,若存在,求出点M;
若不存在,说明理由.
5.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F
分别为DD1、DB的中点.
(1)求证:EF∥平面ABC1D1;
(2)求证:EF⊥B1C;
(3)求三棱锥B1-EFC的体积.
6.如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离.
1.
22
3
a ∵B 1D 1∥平面ABCD ,平面B 1D 1P ∩平面ABCD =PQ ,∴B 1D 1∥PQ , 又B 1D 1∥BD ,∴BD ∥PQ ,设PQ ∩AB =M ,∵AB ∥CD ,∴△APM ∽△DPQ ,
∴
PQ PM =PD
AP
=2,即PQ =2PM , 又△APM ∽△ADP ,∴PM BD =AP AD =13,∴PM =1
3BD ,
又BD =2a ,∴PQ =22
3
a .
2.[答案] 22 ∵DA =DC =DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直,故当点M 使四边形ADCM 为正方形时,D 1M ⊥平面A 1C 1D ,∴DM =2 2.
(2)过A 作AF ⊥PD ,垂足为F .
在Rt P AD 中,P A =2,AD =BC =4,PD =42+22=25,
AF ·PD =P A ·AD ,∴AF =2×425=455,即点B 到平面PCD 的距离为45
5.
4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ,
BC ?平面ABCD ,∴BC ⊥PO ,
又BC ⊥AB ,AB ∩PO =O ,AB ?平面ABP ,PO ?平面ABP ,∴BC ⊥平面ABP , 又EA ∥PO ,AO ?平面ABP ,∴EA ?平面ABP ,∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点,即点M 与点E 重合.
取PO 的中点N ,连结EN 并延长交PB 于F ,∵EA =1,PO =2,∴NO =1, 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直,
∴EF ∥AB ,∴F 为PB 的中点,∴NF =1
2
OB =1,∴EF =2,
又CD =2,EF ∥AB ∥CD ,∴四边形DCFE 为平行四边形,∴DE ∥CF , ∵CF ?平面PBC ,DE ?平面PBC ,∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可. 5. (1)证明:连结BD 1,在△DD 1B 中,E 、F 分别为D 1D ,DB 的中点,则EF ∥D 1B ,又EF ?平面ABC 1D 1,D 1B ?平面ABC 1D 1,∴EF ∥平面ABC 1D 1.
(2)证明:∵B 1C ⊥AB ,B 1C ⊥BC 1,AB ∩BC 1=B , ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1,
又BD 1?平面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1, 又EF ∥BD 1,∴EF ⊥B 1C .
(3)解:∵CF ⊥BD ,CF ⊥BB 1,∴CF ⊥平面BDD 1B 1, 即CF ⊥平面EFB 1,且CF =BF = 2
∵EF =1
2BD 1=3,B 1F =BF 2+BB 12=(2)2+22=6,B 1E =B 1D 12+D 1E 2=
12+(22)2=3,
∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, ∴VB 1-EFC =VC -B 1EF =13·S △B 1EF ·CF
=13×12·EF ·B 1F ·CF =13×12
×3×6×2=1. 6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ,∴PD ⊥BC .
由∠BCD =90°知,BC ⊥DC ,
∵PD ∩DC =D ,∴BC ⊥平面PDC ,∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h , ∵AB ∥DC ,∠BCD =90°,∴∠ABC =90°, ∵AB =2,BC =1,∴S △ABC =1
2
AB ·BC =1,
∵PD ⊥平面ABCD ,PD =1,∴V P -ABC =13S △ABC ·PD =1
3,
∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥DC ,∵PD =DC =1,∴PC =2,
∵PC⊥BC,BC=1,∴S△PBC=1
2PC·BC=
2
2,
∵V A-PBC=V P-ABC,∴1
3S△PBC·h=
1
3,∴h=2,∴点A到平面PBC的距离为 2.
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
近三年立体几何高考真题几详解 1、(2015年1卷6题)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( ) (A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ??==16 3 r =,所以米堆的体积为211163()5433????=3209,故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、(2015年1卷11题)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π,则r=( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π,解得r=2,故选B. 考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、(2015年1卷18题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E