专插本高等数学13页练习

第一章 函数、极限和连续

注：补充例题或习题已在题号前标注*

一、函数

例1（1）求函数()(

)ln 2f x x =++.（2）求函数()2

1

,2132,

23

x x

f x x x ?≤?+=??+<

的定义域.

例2设函数()2g x x =+，()()ln 2f g x x =+????，则()1f = . 例3已知()()ln 1f x x =+，()f x x ?=????，求()x ?. 例4

若1x ???

=

???

()x ?= . 例5已知()f x 的定义域为全体实数，()()11f x x x +=+，则()1f x -= . 例6判断函数(

)(

lg f x x =的奇偶性.

二、极限

例1求下列各题的极限

（1

）201lim sin 2x x →.（2）322232lim 6x x x x x x →-++--.（3）2112lim 11x x x →??- ?--??

.（4

）lim x →+∞.

例2设当0x →

1与2

sin x 是等价无穷小，则a = . 例3当0x →时，下列变量与x 为等价无穷小量的是（ ）. A.sin 2x B.1cos x -

D.sin x x 例4求下列各题的极限 （1）0tan 2lim

sin 5x x x →.（2）30tan sin lim sin x x x

x

→-.

例5求下列各题的极限

（1）1

1201lim 1x

x x +→??

?+??

.（2）32

2lim x x x x +→∞

-??

???

.（3）42

1lim 1x

x x x +→∞-??

?+??

.（4）lim 2x

x x a x a →∞+??

?-??

（其中a 为常数）. *例5求下列各题的极限 （1）10lim 3x

x

x

x

x a b c →??++

???

.（2）2

1lim cos x x x →∞?

? ???.（3

）0x →.

例6求下列各题的极限

（1）sin lim x x x

→∞.（2）23cos lim 1x x x

x x →∞+-.

例7

求lim ...n →∞

?

?+

++

. 例8在下列函数中，当0x →时，函数()f x 极限存在的是（ ）.

A.()1,00,

01,0x x f x x x x -?

B. (),

1,

0x x f x x x ?≠?=??=? C. ()1

,0

20,

01,

2x x f x x x x ??

D.()1

x

f x e = 例9（1）22212

lim ...n n n n n →∞??+++ ???.（2）10111011...lim ...n n n n m m x m m

a x a x a x a

b x b x b x b ---→∞-++++++++.

（3）lim 2sin

2n

n n x →+∞

.（4）01cos 2lim sin 2x x

x x

→-. （5）已知233lim

43x x kx x →+-=-，求常数k 的值.（6）已知222lim 22

x x ax b x x →++=--，求常数,a b 的值. 三、函数的连续性

例1设函数()1

sin ,0

,

01sin 1,

0x x x f x k x x x x ?

==???+>?在其定义域内连续，求常数k 的值. 例2设函数()2

2,0

,

01,1x x f x x a x bx x +≤??=+<

在(),-∞+∞上连续，求常数,a b 的值.

例3设函数()21,0

,

012,12

x x f x x x x x ?-

=≤≤??-<≤?

，讨论()f x 的间断点及其类型. 例4求下列函数的间断点并说明间断点类型

（1）()22132x f x x x -=-+.（2）(

)f x =.

例5证明方程42x

x =在10,2?

? ???

内至少有一个实根.

例6设()2x

f x e =-，求证()f x 在()0,2内至少有一个点0x ，使002x

e x -=.

第二章 一元函数微分学

一、导数与微分

例1设()y f x =在0x 处可导，则()()

000

2lim

h f x h f x h

→--= ;

()()

000

lim

x f x x f x x x

?→+?--?=? .

例2求下列函数的导数

（1

）y =（2

）y =（3）()232

1sin 2sec

x y x e +=+.（4）ln 2

x

x

y =.

（5）()2

y f x x ???=+??，其中()f u 及()x ?均可导.

（6）已知()f u 可导，求()ln f x '????、(){}n f x a '

??+??

和(){

}n

f x a '

+????.

（7）设11x y f x -??=

?+??

，()2

arctan f x x '=，求0x y ='. （8）设()f x 为二阶可导函数，且()221sin tan cos x

f x x +=，求()f x ''.

例3函数()(

),

0ln 1,0x x f x x x ??在0x =处是否连续，是否可导，为什么？

例4设函数()cos ,2

,22

x x f x x x πππ?≤??=??-+>??

（1）()f x 在2

x π

=

处是否可导？（2）若可导，求曲线过点,02π??

???

处的切线、法线方程. 例5设函数()2,1

,1

x x f x ax b x ?≤=?+>?在1x =处可导，求常数,a b 的值.

例6设曲线3

2y x x =+-上存在切线与直线41y x =-平行，求切点.

例7设函数()y f x =由方程()

2

sin x y xy +=确定，求

dy dx

. 例8设函数()y f x =由方程3

3

31x y xy +-=确定，求

x dy dx

=.

例9设函数

2

1x y x

=

-y '.

例10设函数()2

sin x y x =，求y '.

例11（1）设(2)cos n y x x -=，求()n y .（2）设()ln 1y x =+，求()n y .

例12已知cos sin t

t

x e t

y e t

?=??=??，求当3t π=时dy dx 的值. *例12已知参数方程()

2

arctan 1ln 1x t

y t =???=-+??，求dy dx 和22d y dx . ———————————————————————————————————————————————

练习题

1.已知函数()y f x =在x a =处可导，求()()

3lim x f a x f a x

?→-?-?.

2.求下列函数的一阶导数

（1

）3

ln ln 2y =.（2）sin 1tan x x y x =+.（3）ln

2x

x y =.（4

）y =3.用对数求导法求下列函数的一阶导数 （1）(

)

arcsin 21x

y x

=+. （2）21x

x y x ??

= ?+??

. 4.求下列隐函数的一阶导数y ' （1）1y

y xe =+. （2）()cos 0x y

e

xy ++=.

5.求下列函数的二阶导数y ''

（1

）(

ln y x =. （2）x

e y x

-=.

6.求下列函数的微分

（1）22

1arctan 1x y x

-=+. （2

）()0y x =>. 7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程

（1）sin cos 2x t y t =??=?，在4t π=处. （2）2

2

23131at x t at

y t ?=??+??=?+?

，在2t =处. ———————————————————————————————————————————————

二、导数的应用

例1不用求函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并指出其所在范围.

例2函数(

)1f x =()1,1-上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.

例3设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且在任一点处的导数都不为零，又()()0f a f b ?<， 试证：方程()0f x =在开区间(),a b 内有且仅有一个实根. 例4利用洛必达法则求下列极限

（1）201lim sin x x e x x →--.（2）lim m m n n x a x a x a →--.（3）11lim 1ln x x

x x →??- ?-?

?.（4）20lim ln x x x +

→. 例5求下列函数极限 （1）(

lim 12x x +

→+（2）sin 0

lim x

x x +

→.（3）2

2

22lim 1x x x x →∞??

+

?-??

. （4）1lim 1x

x x e →∞??- ???

.（5）421lim 1cos x x x →∞??- ???.（6）0sin sin lim 1cos x x e x x x →--.

例6证明不等式

（1）

()()ln 1,01x x x x x <+<>+.（用单调性或拉格朗）（2）()2

arctan ,01x

x x x x <<>+. *（3）()()11

,(0,1)n n n n nb a b a b na a b a b n ---<-<->>>.*（4）ln ,(0)a b a a b a b a b b

--<<>> 例7证明不等式[)1,1,0x

e x x >+∈-.

例8证明下列不等式 （1）()()21ln ,11

x x x x ->

>+.（2）当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.（3）当1x >

时，1

3x >-.

例9求函数()2

2x

f x x e -=的单调区间和极值.

例10求函数2

1x

y x

=

-的凹凸区间和拐点. 例11求函数4

210y x x =-+的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值. 例12求函数(

1y x =-.

例13求函数

y =

[]0,3上的最值.

例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线 （1）21x y x =

-.（2）

1x

x

y e =+.

——————————————————————————————————————————————— 练习题

1.不求出()()()()147f x x x x =---的导数，问方程()0f x '=至少有几个实根，并求出根所在的区间.

2.证明方程1

20x e

x -+-=仅有一个实根.

3.求下列函数的极值.

（1）()2

4

2f x x x =-.（2）()2

2

x f x x e

-=-.

4.当a 为何值时，点()1,3是曲线3

2

92

y ax x =+

的拐点.

5.（1）求曲线()5332075f x x x x =-++的凹凸区间及拐点.（2）求曲线y =的拐点.

6.证明下列不等式

（1）当1x >时，x

e e x >?.（2）()2

11cos 02

x x x -

<>.

7.设()f x 在[),a +∞可导，且x a >时()0f x k '>>，其中k 是常数.

证明：若()0f a <，则方程()0f x =在(),f a a a k ?

?-????

上有且仅有一根.

———————————————————————————————————————————————

第三章 不定积分与定积分

一、不定积分

例1（1）已知

()1

1x

x

f x e dx e C --

=-+?

，求()f x .（2）已知()arcsin xf x dx x C =+?，求()

1

dx f x ?

. 二、积分法

（一）直接积分法（公式法） 例1求下列不定积分

（1）

2

1x -.（2）))

1

1dx ?

.（3）()

22

1

1dx x x +?

. （4）3x

x

e dx ?.（5）236x x x dx +?.（6）4

2

1x dx x +?. 例2求下列不定积分 （1）2

sin

2x dx ?

.（2）22cos 2sin cos x dx x x ?.（3）1

1cos 2dx x

+?.（4）2tan xdx ?. （二）换元积分法

1.第一类换元法（凑微分法） 例1求下列不定积分

（1）2

x

xe

dx -?

.（2）()

2

2

arctan 1x dx x +?

. （3）32sin cos x xdx ?. （4）sin x x e e dx ?. *（5）?.

（5）

?.（6）2145dx x x ++?.（7）1

x x

dx e e -+?

.（8）

3

. 例2求下列不定积分

（1）22

sin cos x xdx ?

. （2）

41cos dx x ?. （3）1sin dx x ?. （4）1

cos dx x ?.

2.第二类换元法 例1

()20a >.

例2. 例3dx x

?

.

例4（1）

.（2）

.（3）

.（4）.

（三）分部积分法

例1（1）2cos x xdx ?.（2）2x x e dx -?.（3）2ln x xdx ?.（4）arctan xdx ?.（5）sin x

e xdx ?.（6）()sin ln x dx ?

.

*例13

sec xdx ?

.

例2已知()f x 的一个原函数是2

x e -，求()I xf x dx '=?

.

（四）一些简单的有理函数的积分 例1（1）

221dx x a -?.（2）2123dx x x --?.（3）21610dx x x -+?.（4）()

21

1dx x x +?.

———————————————————————————————————————————————

练习题

1.

计算下列不定积分

（1）2

34tan x x x dx ??+ ?

?.（2）211x x e dx e ----?.（3）3tan sec x xdx

?. （4）

.（5）2156dx x x --?

.（6）2112dx x x +

-?.（7

）214dx ?. （8）arcsin xdx ?.

（9）()2x +?.（10）()ln ln n n x x dx x x ??

+?

?????

?. ———————————————————————————————————————————————

三、定积分

（一）牛顿-莱布尼兹公式 （二）变上限积分 （三）定积分的计算

1.定积分的换元积分法（换元同时换限） 例1计算

?

.

例2计算1220

?

2.定积分的分部积分法 例1计算

120

arcsin xdx ?

.

例2计算下列定积分

（1）

1

arctan x xdx ?

.（2

）1

xdx ?

.（3）0

cos x xdx π?.（4）()2

1

sin ln e x dx π

?.

例3

计算定积分

2

4

sin π?

.

（四）定积分的综合题【热点】 例1求下列各题的导数 （1）(

)0

t

x dt Φ=?

.（2）(

)2x x

x Φ=?.

*例1已知

1

221

2x

x t f dt e e --??

=- ???

?

，求()10

f x dx ?.

例2求下列各题的极限

（1

）2

3

lim

x x x →?.（2

）sin 0tan 00

lim

x

x +

→??

.（3）22

20

lim

x

t x x t e

dt

x

-→∞

?.（此题HB 补充）

例3用积分变换证明等式

（1）证明()1

1

2

2111011x

x dx dx x x x =>++??.

（2）设()f x 为连续函数，证明()()0

sin sin 2xf x dx f x dx π

π

π

=

?

?.

例4设()[]201

,0,145x

f x dt x t t =

∈++?，求()f x 的最大值和最小值. 例5设()0cos 2x t f x dt t π=-?，求()20

f x dx π

?. （五）定积分的性质【热点】

参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6，性质7历年未考查过）

———————————————————————————————————————————————

练习题 1.设()40

tan n f n xdx π

=

?

，()n N ∈，证明()()1354

f f +=

. 2.

()()0

1cos x

x t f t dt x -=-?，证明()20

1f x dx π=?

.

3.设()1

lnt

1x

f x dt t

=

+?

，证明()211

ln 2

f x f x x ??+= ???. 4.设()f x 为连续函数，且()0f x >，[],x a b ∈，()()()

1

x

x

a

b

F x f t dt dt f t =

+?

?

，[],x a b ∈，证明方程

()0F x =在区间[],a b 上有且仅有一个实根.

5.设()()2

31x

x x t

dt ?=-+

-?，求()x ?的极值.

*5设()f x 连续，求()220

x

d tf x t dt dx -?. ———————————————————————————————————————————————

四、定积分的应用

（一）利用定积分求面积和体积

例1求由曲线1

y x

=

，2x =与3y =所围成平面图形的面积. 例2求抛物线()220y px p =>与直线3

2

y x p =-所围成的图形的面积.

例3求抛物线243y x x =-+-及其点()0,3-和点()3,0处的切线所围成的平面图形的面积.

例4求曲线2

y x =，2x =与直线0y =所围成的平面图形绕x 轴旋转后生成旋转体的体积.

例5试求抛物线2y x =在点()1,1处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转后所得旋转体 的体积.

（二）平面曲线的弧长

包括直角坐标情形和参数方程情形

例1计算曲线3

223

y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.

例2计算摆线()()

sin 1cos x a y a θθθ=-???=-??，()02θπ<<的长度.

五、广义积分的计算

例1计算下列广义积分 （1）2

x xe dx +∞

-?

.（2）20

1x dx x +∞

+?

.（3）()

31

ln e dx x x +∞?.（4）2122dx x x +∞-∞++?.

第四章 多元函数微积分

一、多元函数的定义

例1写出下列二元函数(),z f x y =的几何意义（表示何种空间曲面） （1）z ax by c =++.（2

）z =

（3

）z =.（4）22z x y =+.

二、二元函数的定义域

例1求下列函数的定义域

（1

）z =（2）()22

ln 1z x y =+-.（3

）z =（4

）z =三、多元函数的偏导数

例1求函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xy

x y x y f x y x y ?≠?+=??=?

在原点()0,0的偏导数. 例2设tan x y z y x ??=+

???

，求z x ??和z y ??. 例3设()sin xy z xe xy -=+，求

z x ??和z

y

??. 四、全微分的概念

例1求()arctan z xy =的全微分

五、复合函数的偏导数

例1设22

z u v =+，u x y =+，v x y =-，求

z x ??和z y ??. 例2设v

z u =，223u x y =+，42v x y =+，求

z x ??和z y

??. 例3设,

x z f xy y ??

= ???

，求dz . *例3设()

2

2,z f x x =，求dz .

例4求()

23,xy

z f x y e =+的全微分.

*例4设()2

,z f x u x u ==+，()cos u xy =，求

f x ??和z x

??. 六、隐函数的导数及偏导数

例1设(),z z x y =由下列方程确定，求

z x ??和z y

??. （1

）20x y z ++-=.（2）2

2

ln

z x z y

+=. *例1设2

2

2

40x y z z ++-=，求22z

x

??

七、高阶偏导数

例1设()

sin x y z ye

+=，求22z x ??和2z x y

???.

*八、高阶复合偏导数

参见习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）

——————————————————————————————————————————————— 练习题

1.求下列函数偏导数z x ??和z y ??：（1

）(ln z x =.（2）2y xe z y

=.

2.设

ln x z

z y

=，求z x ??和z y ??.

3.设z e xyz =确定(),z f x y =，求

z x ??和z

y

??. 4.设()

22

ln z x xy y =++，证明2z z

x

y x y

??+=??. ———————————————————————————————————————————————

八、二重积分

（一）二重积分的定义

（二）直角坐标下二重积分的计算 例1计算()2

2D

x

xy y dxdy ++??，(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤.

例2计算

2D

x ydxdy ??，D 由0x =，0y =与2

21x

y +=所围成的第一象限的图形.

例3计算sin D

x dxdy x ??，D 是由直线y x =与抛物线2

y x =所围成的区域. 例4计算

()2D

x y dxdy -??，D 由1y =，230x y -+=，30x y +-=围成.

（三）利用极坐标计算二重积分

例1计算2

2

x

y D

e

dxdy --??，D 是圆心在原点，半径为a 的圆.

例2计算

()22

ln 1D

x y d σ++??

，D 是圆周221x y +=及坐标轴围成的第一象限内的闭域. ———————————————————————————————————————————————

练习题 1.

设arctan

y z x =，求z x ??和z y ??. 2.设()2sin 2x y

z e

x y -=+，求

z x ??和z

y

??. 3.设()

2

ln 123z x y =++，求dz .

4.设2231xy x y =++确定y 是x 的函数，求

12

x y dy dx

==.

5.求xy

D ye

dxdy ??，其中积分区域D 是由y 轴，1y =，2y =及2xy =所围成的平面区域.

6.求

2D

ydxdy ??，式中积分区域D

1y ≤≤.

7. 变换积分次序，并计算积分

2

2

1

2

1

1

2

2

x

y y x x dx e dy dx e dy +?

???.

8.计算

222

x y D

e

dxdy +-??，式中积分区域D 由221x y +≤，0x ≥，0y ≥所确定.

———————————————————————————————————————————————

第五章 常微分方程

一、微分方程的基本概念

例1验证12cos sin x C kt C kt =+（1C 、2C 为任意常数）是方程22

20d x k x dt

+=的通解.

例2已知方程22

20d x k x dt +=的通解为12cos sin x C kt C kt =+，0t x A ==，求0

0t dx dt ==条件下的特解.

例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件. （1）2

2

x y C -=，05x y ==.

（2）()212x

y C C x e =+，00x y ==，01x y ='=.

（3）()12sin y C x C =-，1x y π==，0x y π='=.

二、可分离变量的微分方程 例1解微分方程2dy

xy dx

=. 例2求下列方程的通解

（1

'=2）

10x y dy dx +=.（3）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=.（4）()2310dy y x dx ++=. 例3求方程的初始问题2

sin ln x y x y y

y e π='=???=??的特解.

例4求初值问题()

cos 1sin 0x

ydx e ydy -++=，04

x y π

==

的特解.

三、一阶线性微分方程

例1求微分方程sin cos x

y y x e -'+=的通解.

例2求下列非齐次方程的通解

（1）tan sin 2y y x x '+=.（2）32d d ρρθ+=.（3）()212cos x y xy x '-+=.（4）()()3

222dy x y x dx

-=+-. 例3求

tan sec dy

y x x dx

-=，00x y ==的特解. 例4求下列方程的特解 （1）

sin dy y x dx x x +=，1x y π==.（2）cos cot 5x dy y x e dx +=，2

4x y π==-. 四、二阶常系数齐次线性微分方程

例1求解下列常系数二阶方程

（1）7120y y y '''-+=.（2）44100y y y '''++=.（3）20y y y '''++=. 例2求下列方程的特解

（1）340y y y '''--=，00x y ==，05x y ='=-.（2）250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.

*五、微分方程综合题【热点】

*例1设()()20

2

x

f x f t dt x +=?

，求()f x .

*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(),x y 处的切线斜率等于2x y +.

（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）

——————————————————————————————————————————————— 练习题 1.求方程

10x y dy

dx

+=的通解. 2.求方程y

xdy dx e dx +=的通解. 3.求方程cos sin 1dy

x

y x dx

+=的通解. 4.求下列方程满足初始条件的特解：0

2x

x y y e

y -='?+=??=??.

5.求下列二阶齐次方程的通解

（1）340y y y '''+-=.（2）225

0d y dy dx dx -=.（3）2220d s

s dt

-=.（4）()()()20x t x t x t '''++=. 6.求下列初值问题的特解

（1）求430y y y '''++=，()02y =，()06y '=. （2）求250y y ''+=，02x y ==，05x y ='=.

———————————————————————————————————————————————

第一章 函数的连续性 例6

设：f(x)=e^x －2－x 因为：

f(0)=1－2－0=－1<0 f(2)=e2－2－2=e2－4>0

且函数f(x)在(0，2)上不间断，则： 存在x0∈(0，2)，使得f(x0)=0

即存在x0∈(0，2)，使得：e^(x0)－2=x0 第二章

（2）sin 0

lim x

x x +

→

解:原式=lim(x →0)e^[sinx(lnx)]

=e^[lim(x →0)sinx(lnx)]

=e^[lim(x →0)(sinx/x)(xlnx)]

=e^[lim(x →0)(xlnx)](等价无穷小sinx~x 代换)

=e^{lim(x →0)[lnx/(1/x)]}

=e^{lim(x →0)[1/x/(-1/x^2)]}(洛必达法则)

=e^[lim(x →0)(-x)]

=e^0

=1

例6证明不等式

（1）()()ln 1,01x

x x x x

<+<>+.（用单调性或拉格朗）.

设f(x)=ln(1+x) (x>0)

取区间【1，1+x 】,显然f(x)在【1，1+x 】上连续，在（1，1+x ）上可导。中间点可选θx,(0<θ<1). 由拉格朗日中值定理得： f(1+x)-f(1)=f '(θx)(1+x -1) 即：ln(1+x)=x/(1+θx) 又：x/(1+x)＜x/(1+θx)

广东专插本高等数学2008-2010真题

2008年广东省普通高校本科插班生招生考试 《高等数学》试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有 一项是符合题目要求的） 1、下列函数为奇函数的是 A. x x -2 B. x x e e -+ C. x x e e -- D. x x sin 2、极限() x x x 10 1lim -→+= A. e B. 1 -e C. 1 D.-1 3、函数在点0x 处连续是在该点处可导的 A.必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C.充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4、下列函数中，不是x x e e 22--的原函数的是 A. () 2 2 1x x e e -+ B. () 2 2 1x x e e -- C. () x x e e 222 1-+ D. () x x e e 222 1-- 5、已知函数xy e z =，则dz = A. ()dy dx e xy + B. ydx +xdy C. ()ydy xdx e xy + D. ()xdy ydx e xy + 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、极限x x x e e x -→-0lim = 。 7、曲线y=xlnx 在点（1，0）处的切线方程是= 。 8、积分 ()?-+22 cos sin π πdx x x = 。 9、设y e v y e u x x sin ,cos ==，则 x v y u ??+??= 。 10、微分方程 012 =+-x x dx dy 的通解是 。 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、计算x x x x x sin tan lim --→。

广东省2011年专插本《高等数学》考试大纲(手录入版)

《高等数学》考试大纲 Ⅰ. 考试内容和要求 总体要求：考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学初步和常微分方程初步的基本概念与基本理论，掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法。应理解各部分知识结构及只是的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。 一、函数、极限和连续 （一）函数 Ⅰ.考试内容 （1）函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数。 （2）函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。 （3）反函数 （4）函数的四则运算与复合运算。 （5）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。（6）初等函数。 2、考试要求 （1）理解函数的概念，会求函数包括分段函数的定义域、表达式及函数值，并会作出简单的分段函数图像。 （2）掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性定义，会判断所给函数的相关性质。 （3）理解函数у=f（χ）与它的反函数у=f-1（χ）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 （6）掌握初等函数的概念。 （二）极限 1、考试内容 （1）数列和数列极限的定义。 （2）数列极限的性质：唯一性、有界性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界数列极限存在性定理。 （3）函数极限的概念：函数在一点处的极限定义，左、右极限及其与极限的关系，趋于无穷大（χ→∝，χ→﹢∝，χ→﹣∝）时函数极限的定义，函数极限的几何意义。 （4）函数极限的性质：唯一性、有界性、四则运算定理。 （5）无穷小量与无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

2016年广东专插本考试《高等数学》真题

2016年广东省普通高校本科插班生招生考试 《高等数学》试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数???<+≥+= 1 11 3)(x x x a x x f ， ，在点1=x 出连续，则常数=a A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知函数)(x f 满足6) ()3(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则=')(0x f A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 3．若点)2 1(，为曲线23bx ax y +=的拐点，则常数a 与b 的值应分别为 A ．-1和3 B ．3和-1 C ．-2和6 D ．6和-2 4．设函数)(x f 在区间[]1 1， -上可导，c 为任意实数，则? ='dx x f x )(cos sin A ． c x xf +)(cos cos B ．c x xf +-)(cos cos 错误!未找到引用源。 C ．c x f +)(cos D ．c x f +-)(cos 5．已知常数项级数∑∞ =1 n n u 的部分和)(1 *N n n n s n ∈+= ，则下列常数项级数中，发散的是 A ． ∑∞ =12n n u B ． ∑∞ =++1 1)(n n n u u 错误!未找到引用源。 C ．∑∞ =+1)1(n n n u D ．∑∞ =-1 ])53([n n n u 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。） 6．极限=∞ →x x x 3 sin lim 。 7．设 2 1x x y += ，则==0 x dy 。 8．设二元函数y x z ln =，则 =???x y z 2 。

广东专插本考试《高等数学》真题.doc

2018年广东省普通高校本科插班生招生考试 高等数学 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题只有一项符合题目要求） 1．=+→?)sin 1sin 3(lim 0x x x x x A ．0 B ．1 C ．3 D ．4 2．设函数)(x f 具有二阶导数，且1)0(-='f ，0)1(='f ，1)0(-=''f ，3)1(-=''f ，则下列说法正确的是 A ．点0=x 是函数)(x f 的极小值点 B ．点0=x 是函数)(x f 的极大值点 C ．点1=x 是函数)(x f 的极小值点 D ．点1=x 是函数)(x f 的极大值点 3．已知C x dx x f +=?2)(，其中C 为任意常数，则?=dx x f )(2 A ．C x +5 B ． C x +4 C ．C x +421 D ．C x +332 4．级数∑∞ ==-+13)1(2n n n A ．2 B ．1 C ． 43 D ．21 5．已知{}94) , (22≤+≤=y x y x D ，则=+??D d y x σ221 A ．π2 B ．π10错误！未找到引用源。 C ．23ln 2π D ．2 3ln 4π 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．已知???== 3log t 2y t x ，则==1t dx dy 。

7． =+?-dx x x )sin (22 。 8．=?+∞ -dx e x 021 。 9．二元函数1+=y x z ，当e x =，0=y 时的全微分===e x y dz 0 。 10．微分方程ydx dy x =2满足初始条件1=x y 的特解为=y 。 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11．确定常数a ，b 的值，使函数??? ????>+=<++= 0 )21(00 1)(2x x x b x x a x x f x ，，， 在0=x 处连续。 12．求极限))1ln(1(lim 20x x x x +-→． 13．求由方程x xe y y =+arctan )1(2所确定的隐函数的导数dx dy ． 14．已知)1ln(2x +是函数)(x f 的一个原函数，求?'dx x f )(． 15．求曲线x x y ++=11和直线0=y ，0=x 及1=x 围成的平面图形的面积A ． 16．已知二元函数2 1y xy z +=，求y z ??和x y z ???2． 17．计算二重积分??-D d y x σ1，其中D 是由直线x y =和1=y ，2=y 及0=x 围成的闭区域． 18．判定级数∑∞=+12sin n n x n 的收敛性． 四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19．已知函数0)(4)(=-''x f x f ，0=+'+''y y y 且曲线)(x f y =在点)0 0(， 处的切线与直线12+=x y 平行

专插本高数

说在前面 专插本高数考查的基本上都是基础性的东西，也就是说只要能真的掌握，不管题目怎么出都可以应付。很多人拼命做题，这是个错误。题海战术是针对已经掌握的人，或者说是想要拔尖的考生。高数跟中学的数学，不太一样。中学数学是比较直观的，而高数是比较抽象的，很多时候都无法在几何上表达出来。但是高数考来考去，不管是极限，还是微分、积分，都是导数，不过形式上稍微有点不同。 我之前稍微看了一下往年的考卷，据我分析70%是基础题，剩下的30%是稍微有点难度的（难度也不是很大吧，我想一般人尽管不能30%全拿，至少也可以在里面拿15分）。所以说只要掌握基础，拿65分以上是完全没问题的。很多人，觉得难，其实那是因为他们根本就没去学而已。其实高数比中学的数学简单多了，完全可以用几天的时间就可以掌握整本数。我之前专升本的时候，刚翻开书尝试做题的时候，基本上都不会做，也就是说基本上是0分。于是我一点一点的看，一点一点的去练，结果发现……原来高数可以用很段的时间就可以掌握。 专升本跟专插本的高数，难度基本一样，考试范围也差不多，而不同之处就是专升本要考概率，专插本要考常微方程。 专插本高数分为5个部分，函数极限与连续、一元函数微分、一元函数积分、多元函数微积分、常微方程。基本上大学高数，最简单的考上了。那些什么三重积分、四重积分、曲线积分那些难度高到吓人的内容都没有考到。 占分情况： 函数极限、连续约20% 一元函数微分约27% 一元函数积分约23% 多元函数微分约20% 常微方程约10% 一、函数极限与连续 升本、插本，又甚至是考研，第一或者第二道选择题肯定是极限，还有填空题也会常常出现一道。求极限通常都不难，可以说是送分题。插本、升本的话，后面大题会有计算题，占分也不少，而且同样是送分。这分不能丢！！！关于求极限的复习，关键是看懂书上的例题，至于练习嘛，就在书上的课后习题挑几道典型的练练就行了，不必做太多。要把时间花在重点上，微分、积分占分是最多的。 1.了解函数的定义（所谓“了解”，就是稍微有点知道就行了，可以不用深究，注意把 时间放到重点的地方）。不过值得注意的是，函数的定义域，定义域经常出在选择题。 值域也是。 2.5个函数性质一定要掌握，单调性、奇偶性、周期性、连续性、有界性。单调性、奇 偶性、周期性、连续性，这3个其实中学都练了不少，我想这个对你来说，应该也不难。对于连续性的判断方法：左极限=右极限→函数连续。关于间断也要看一下，至少搞清什么是第一类间断点，什么是第二间断点。可以这样记忆以及理解，左、右极限都存在但不相等的间断，是第一类间断点（跳跃性的），其余的都是第二类。 “间断”虽然考纲有写，但是……好像很少考……至少我没看见吧，但是以往万一，有多余时间就看看。

广东专插本考试《高等数学》真题

20XX 年广东省普通高校本科插班生招生考试 《高等数学》试题 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数???<+≥+= 1 11 3)(x x x a x x f ， ，在点1=x 出连续，则常数=a A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知函数)(x f 满足6) ()3(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则=')(0x f A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 3．若点)2 1(， 为曲线23bx ax y +=的拐点，则常数a 与b 的值应分别为 A ．-1和3 B ．3和-1 C ．-2和6 D ．6和-2 4．设函数)(x f 在区间[]1 1，-上可导，c 为任意实数，则? ='dx x f x )(cos sin A ． c x xf +)(cos cos B ．c x xf +-)(cos cos C ．c x f +)(cos D ．c x f +-)(cos 5．已知常数项级数∑∞ =1 n n u 的部分和)(1 *N n n n s n ∈+=，则下列常数项级数中，发散的是 A ． ∑∞ =12n n u B ． ∑∞ =++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =+1)1(n n n u D ．∑∞ =-1 ])53([n n n u 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分。） 6．极限=∞ →x x x 3 sin lim 。 7．设 2 1x x y += ，则==0 x dy 。 8．设二元函数y x z ln =，则 =???x y z 2 。

关于专插本高等数学知识点和例题

第一章 极限、连续与间断 本章主要知识点 ● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类 ● 连续函数的介值定理及应用 一、求极限的七类题型 这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。 （1）题型I () ()lim m x n P x P x ->∞ 方法：上下同除以x 的最高次幂 例1.3．1 11313lim -++-++∞ →x x x x x 解：原式=1 11313lim -++-++∞ →x x x x x =x x x x x 11111 313lim -++-++ ∞ →=3 例1.4．)214(lim 2 x x x x -+-+∞ → 解：原式=x x x x x 2141lim 2 ++-+-+∞ →=2 1 141 1lim 2++-+ -+∞ →x x x x =41- 例1.5．x x x x x x x 234234lim --+++∞→ 解：原式=x x x x x )2 1 ()43(1)21()43(1lim --+++∞→=1

（2）题型II () lim () m x a n p x p x → 原式=()(),0() , ()0,()0()()0 m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ? ≠??? ∞=≠??==??? 上下分解因式(或洛比达）, 例1.9．1 1lim 3 1--→x x x 解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝2 3 例1.10. 22 32lim 2 21=+-++→x x b x ax x 解：a+2+b=0, 原式=222) 2)(1() 2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III 若0)(lim =→x f a x ，)(x g 有界?0)()(lim =→x g x f a x 例 1.11. 2lim 1))x x →+∞+ 解：因为 lim x →+∞0，而 2 arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。 例1.12．2 2limln(1tan )cos ()x x x →+ 解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2 (cos 2 x 有界，所以 原式＝0． 例1.13 ．2006lim (sin(2006))x x →+∞

高数专插本试题及答案

高等数学 历年试题集及答案 (2005-2016)

2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试 《高等数学》试题 一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．． 的是 A 、1) sin(lim x =--→πππ x x B 、11sin lim x =∞ →x x C 、01sin lim 0 x =→x x D 、1sin 2 0x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且?+=c e dx x f x 2 )(，则? dx x x f )(= A 、22x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +2 1 3、设x x f cos )(=，则=--→a x a f x f a x ) ()(lim A 、-x sin B 、x cos C 、-a sin D 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是 A 、 |)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f = 5、已知x xy u )(=，则 y u ??= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞ →x x e x =。 7、定积分2 1 1 sin x e xdx --?=。 8、设函数x x x f +-=22ln )(，则(1)f ''=。 9、若函数1 (1),0,()(12),0. x a x x f x x x +≤?? =??+>?在x=0处连续，则a=。 10、微分方程 222x xe xy dy dx -=+的通解是。 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

关于专插本高等数学知识点和例题

关于专插本高等数学知识 点和例题 Last revision on 21 December 2020

第一章 极限、连续与间断 本章主要知识点 ● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类 ● 连续函数的介值定理及应用 一、求极限的七类题型 这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。 （1）题型I () ()lim m x n P x P x ->∞ 方法：上下同除以x 的最高次幂 例．1 11313lim -++-++∞ →x x x x x 解：原式=1 11313lim -++-++∞ →x x x x x =x x x x x 11111 313lim -++-++∞ →=3 例．)214(lim 2x x x x -+-+∞ → 解：原式=x x x x x 2141lim 2 ++-+-+∞ →=2 1 141 1lim 2++-+ -+∞ →x x x x =41- 例．x x x x x x x 234234lim --+++∞→

解：原式=x x x x x )2 1 ()43(1)21()43(1lim --+++∞→=1 （2）题型II () lim () m x a n p x p x → 原式=()(),0() , ()0,()0()()0 m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ? ≠??? ∞=≠??==???上下分解因式(或洛比达）, 例．1 1lim 3 1--→x x x 解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝2 3 例. 22 32lim 2 21=+-++→x x b x ax x 解：a+2+b=0, 原式=222) 2)(1() 2)(1(lim )2)(1()2(2lim 2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III 若0)(lim =→x f a x ，)(x g 有界?0)()(lim =→x g x f a x 例 . 22lim arccot(sin(1))3 x x x →+∞++ 解：因为 2lim 3x x →+∞+＝0，而 2 arccot(sin(1))x +有界，所以 原式＝0。 例．202 limln(1tan )cos ()x x x →+ 解：因为 ln(1tan )0x +→（0x →），)2 (cos 2x 有界，所以 原式＝0．

(整理)广东省专插本《高等数学》考纲.

高 等 数 学 Ⅰ.考试性质与目的 普通高等学校本科插班生招生考试（又称专插本考试）是由专科毕业生参加的选拔性考试，我院将根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。考试应有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。本大纲适用于所有需要参加《高等数学》考试的各专业考生。 Ⅱ.考试内容和要求 总体要求：考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学初步和常微分方程初步的基本概念与基本理论，掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法。应理解各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。 第一部分函数、极限和连续 （一）函数 Ⅰ.考试内容 （1） 函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 （2） 函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。 （3） 反函数 （4） 函数的四则运算与复合运算。 （5） 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 （6） 初等函数。 2．考试要求 （1）理解函数的概念，会求函数包括分段函数的定义域、表达式及函数值，并会作出简单的分段函数图象。 （2）掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性定义，会判断所给函数的相关性质。 （3）理解函数)(χf y = 与它的反函数)(1x f y -=之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。 （4）掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 （6）掌握初等函数的概念。 （二）极根 1．考试内容 （1）数列和数列极限的定义。 （2）数列极限的性质：唯一性、有界性、四则运算定理、夹逼定理、单调有界数列极限存在性定理。 （3）函数极限的概念：函数在一点处的极限定义，左、右极限及其与极限的关系，趋于无穷大（),,-∞→+∞→∞→x x x 时函数极限的定义，函数极限的几何

专插本《高等数学》考试大纲

《高等数学》考试大纲 Ⅰ．考试性质 普通高等学校本科插班生招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试.高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取.因此，本科插班生考试应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度. 本大纲适用于所有需要参加《高等数学》考试的各专业考生. Ⅱ．考试内容和要求 总体要求：考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学初步和常微分方程初步的基本概念与基本理论, 掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法.应理解各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题. 一、函数、极限和连续 (一) 函数 1．考试内容 (1)函数的概念:函数的定义，函数的表示法，分段函数. (2)函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性. (3)反函数. (4)函数的四则运算与复合运算. (5)基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数. (6)初等函数. 2．考试要求 (1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值, 会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图象. (2)掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的性质. (3)理解函数)(x f y =与它的反函数)(1 x f y -=之间的关系（定义域、值域、图象） ， 会求单调函数的反函数. (4)掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程. (5)掌握基本初等函数的简单性质及其图象.

广东专插本考试高数公式大全

高等数学公式平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边,

·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ- tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

高等数学公式大全(专插本专用)

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 122 11cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 2 2 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-= '? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0π π

广东专插本考试高等数学试题

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试 《高等数学》（公共课）试题 广东专插本考试资源网 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目 要求） 1．已经三个数列{a n ）、{b n ）和{c n ）满足a n ≤b n ≤c n （n ∈N +），且∞ →n lim a n =a ，∞ →n lim c n =c(a 、b 为常数，且a

2010韩山师范学院专插本历年真题《数学分析》

韩山师范学院2010年专升本插班生考试样卷 数学与应用数学 专业 数学分析 一、 填空题（每小题3分，共24分）： 1．. ,11 的取值范围为则实数收敛已知积分p dx x p ?+∞ 2． 2 )1sin(lim 21=-+-→x x x x 3．若函数 . ),(- 0 , 0 ,1)(=+∞∞?????=≠-=a x a x x e x f x 连续，则在 4．. , ln )4( 2=+=dx dy x x y 则设 5．若函数. )(')(=a f a x f 可导且取得极值，则在点 6．设 ?=?. )(' )()(' dx x f x f x f 是连续函数，则 7．若级数 {}. lim 1=∞ →∞=∑n n n n n nu u u 单调，则收敛， 8．设 . ),( 23=??+=x z y x f z f 则是可微函数， 二、计算题（每小题6分，共36分）： 1．x x x x tan cos 1lim 0-→ 2． ?=x t f dt e x f 0 2).0(',)(求设 3. xdx e e x x cos 2 ?-?--π π . 4. . )1( 1的收敛域函数项级数∑∞=-n n n x . 5. 第一型曲面积分 222221 S ,)(y x z d z y x S --=++??是上半球面其中σ.

6．{}??≤+=D dxdy y y x y x D 222,1|),(求二重积分设. 以下每题8分： 三、24lim 2 0=+-→x x 定义证明用函数极限的δε. 四、应用数列极限的Cauchy(柯西)收敛准则，证明数列}{n x 收敛，这里 222sin 22sin 1sin1n n x n +++= . 五、证明方程 ),( ln 是常数b a b ax x += 至多有2个正根. 六、计算第二型曲面积分 ??+-+S y zdxdy ydzdx x dydz z e x 233)sin ( 其中S 是下半球面的下侧221y x z ---=. 七、证明函数 42),( y x y x f += 在原点（0，0）处不可微.

《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷

广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试 高等数学 一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．函数22()2 x x f x x x -=+-的间断点是 A ．2x =- 和0x = B ．2x =- 和1x = C ．1x =- 和2x = D ．0x = 和1 x = 2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +? ，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知 ()tan , ()2x f x dx x C g x dx C =+=+? ?C 为任意常数， 则下列等式正确的是 A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+? B ． () 2tan () x f x dx x C g x -=++? C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+? D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++? 4．下列级数收敛的是 A ．1 1n n e ∞ =∑ B ．13 ()2 n n ∞ =∑ C ．3121()3n n n ∞ =-∑ D ．121()3 n n n ∞ =?? +????∑． 5．已知函数 ()b f x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．曲线33arctan x t t y t ?=+?=?，则0t =的对应点处切线方程为y = 7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =

专插本高等数学考试大纲

广东省2013年本科插班生招生考试大纲 《高等数学》 Ⅰ考试性质 普通高等学校本科插班生招生考试是由专科毕业生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，本科插班生考试应有较高信度、效度、必要的区分度和适当的难度。 本大纲适用于所有需要参加《高等数学》考试的各专业考生。 Ⅱ考试内容 总体要求：考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分初步和常微分初步的基本概念与基本理论，掌握或者熟练掌握上述各部分的基本方法。应理解各部分知识结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法，正确地判断和证明，准确地计算；能综合运用所掌握知识分析并解决简单的实际问题。 第一部分函数、极限和连续 ㈠函数 ⒈考试内容 ⑴函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。 ⑵函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性。 ⑶反函数。 ⑷函数的四则运处与复合运处。 ⑸基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 ⑹初等函数。 ⒉考试要求 ⑴理解函数的概念，会求函数包括分段函数的定义域、表达式及函数值，并会作出简单的分段函数图象。 ⑵掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性定义，会判断所给函数的相关性质。 ⑶理解函数y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。 ⑷掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。 ⑸掌握基本初等函数的简单性质及其图象。 ⑹掌握初等函数的概念。 ㈡极限

最新专插本高等数学公式版

专插本高等数学公式 版

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π