第三章 圆 全章学案

第三章圆

§3.1 车轮为什么做成圆形

学习目标:

经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．学习重点:

圆及其有关概念，点与圆的位置关系．

学习难点:

用集合的观念描述圆．

学习方法:

指导探索法.

学习过程:

一、例题讲解：

【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r

1

=2cm，

r 2=2．4cm，r

3

=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．

【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．

【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求

证：MC=NC．

【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．

【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？

【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

二、随堂练习

1．已知圆的半径等于5cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4cm ；（2）5cm ；（3）6cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．

2．点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是 ． 三、课后练习

1．P 为⊙O 内与O 不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到⊙O 上任一点的距离都小于⊙O 的半径 B ．⊙O 上有两点到点P 的距离等于⊙O 的半径 C ．⊙O 上有两点到点P 的距离最小 D ．⊙O 上有两点到点P 的距离最大

2．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．在⊙A 内 B ．在⊙A 上 C ．在⊙A 外 D ．不确定

3．两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ） A ．甲圆内 B ．乙圆外 C ．甲圆外，乙圆内 D ．甲圆内，乙圆外 4．以已知点O 为圆心作圆，可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 5．以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个

6．已知⊙O 的半径为3．6cm ，线段OA=725

cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．A 点在圆外 B ．A 点在⊙O 上 C ．A 点在⊙O 内 D ． 不能确定 7．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 D ．点P 在⊙O 上或⊙O 外

8．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．

10．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这圆的半径是 cm ． 11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．

12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15cm ，BC=10cm ，以A 为圆心，12cm 为半径作圆，则点C 与⊙A 的位置关系是 ．

13．⊙O 的半径是3cm ，P 是⊙O 内一点，PO=1cm ，则点P 到⊙O 上各点的最小距离是 ． 14．作图说明：到已知点A 的距离大于或等于1cm ，且小于或等于2cm 的所有点组成的图形． 15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．

16．在Rt △ABC 中，BC=3cm ，AC=4cm ，AB=5cm ，D 、E 分别是AB 和AC 的中点．以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，点A 、C 、D 、E 分别与⊙B 有怎样的位置关系？

17．已知：如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ．若以A 为圆心作圆，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径r 的取值范围．

18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？

19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？

20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）

A．20°B．30°C．40° D．50°

21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．

22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．

§3.2 圆的对称性（第一课时）

学习目标:

经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．

学习重点: 垂径定理及其应用．

学习难点: 垂径定理及其应用．

学习方法指导探索与自主探索相结合。

学习过程:

一、举例：

【例1】判断正误：

（1）直径是圆的对称轴．

（2）平分弦的直径垂直于弦．

【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．

【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．

【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．

【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．

如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？

如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？

如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？

二、课内练习：

1、判断：

⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）

⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.

（）

⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）

⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）

2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,

直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.

图中相等的线段有 .

图中相等的劣弧有 .

3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为弧AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.

4.如图,圆O 与矩形ABCD 交于E 、F 、G 、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE 的长.

5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．

6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建

的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在

圆的直径为 米．

三、课后练习：

1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD

2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离

3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：?=?BD AC

4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．

5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF

6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的

垂直平分线，

交⊙O 于E 、D 两点，求证，?

=?BC

21AE

7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF

8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB

9、已知如图等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求ABC 的长

10、已知：⊙O 与⊙O ＇相交于P 、Q ，过P 点作直线交⊙O 于A ，交⊙O ＇于B 使OO ＇与AB 平行求证：AB ＝2OO ＇

11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F

求证：EC＝DF

§3.2 圆的对称性（第二课时）

学习目标:

圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

学习重点:

圆心角、弧、弦之间关系定理．

学习难点:

“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

学习方法:

指导探索法.

学习过程:

一、例题讲解：

【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.

【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．

二、课内练习：

1、判断题

（1）相等的圆心角所对弦相等（）

（2）相等的弦所对的弧相等（）

2、填空题

⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．

3、选择题

如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为

E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．

A 、6 cm

B 、8 cm

C 、7 cm

D 、7.5 cm

4、选择填空题

如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ， 求证：OP 平分∠BPD ．

证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．

A OM⊥P

B B OM⊥AB

C ON⊥C

D D ON⊥PD 三、课后练习：

1．下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴

B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条

C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴

D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等 3．下列命题中，不正确的是（ ） A ．圆是轴对称图形 B ．圆是中心对称图形 C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．以上都不对 4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）

A ．

4

3R B ．

2

3R C ．3R D ．23R

5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ） A ．23 B ．3 C ．5 D ．25

6．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（ ） A ．4cm

B ．5cm

C ．42cm

D ．23cm

7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）

A ．3：2

B ．5：2

C ．5：2

D ．5：4

8．半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ：OF=（ ） A ．2：1 B ．3：2 C ．2：3 D ．0

9．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．24 D ．16 10．如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对

11．⊙O 中若直径为25cm ，弦AB 的弦心距为10cm ，则弦AB 的长为 ． 12．若圆的半径为2cm ，圆中的一条弦长2

3cm ，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离

为．

13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．

14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．

16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．

17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．

18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．

19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，

⌒

AC

⌒

AE，AC AE．

20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．

21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．

（1）求证：AC=DB；

（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？

24．已知一弓形的弦长为46，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．

25．如图，已知⊙O

1和⊙O

2

是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O

1

O

2

于点M，

⌒

⌒

EF

CD ，

O 1M和O

2

M相等吗？为什么？

§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）

学习目标:

（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；

（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；

（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．

学习重点: 圆周角的概念和圆周角定理

学习难点: 圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．学习方法:指导探索法.

学习过程:

一、举例：

1、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．

2、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC

3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？

5、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．

6、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是

．

7、如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？

8、已知等圆⊙O

1和⊙O

2

相交于A、B两点，⊙O

1

经过O

2

，点C是

⌒

B

AO

2

上任一点（不与A、O

2

、B重合），

连接BC并延长交⊙O

2

于D，连接AC、AD．求证：．

（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）

（3）如图b），若C点是

⌒

2

BO的中点，AC与O

1

O

2

相交于E点，连接O

1

C，O

2

C．求证：CE2=O

1

O

2

·EO

2

．

二、课外练习：

1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．

（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°

2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）．

（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°

3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）

（A）70°（B）65°（C）60°（D）)50°

5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．

6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．

7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC 于G．求证：

§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）

学习目标:

掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.

学习重点:

圆周角定理几个推论的应用.

学习难点:

理解几个推论的”题设”和”结论”．

学习方法:

指导探索法.

学习过程:

一、举例：

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD 和BD的长．

【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．

【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．

（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．

二、练习：

1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对

2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对

3．下列说法正确的是（）

A．顶点在圆上的角是圆周角

B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍

D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4．下列说法错误的是（ ）

A ．等弧所对圆周角相等

B ．同弧所对圆周角相等

C ．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．

D ．同圆中，等弦所对的圆周角相等

5．如图4，AB 是⊙O 的直径，∠AOD 是圆心角，∠BCD 是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=

．

6．如图5，⊙O 直径MN ⊥AB 于P ，∠BMN=30°，则∠AON= ．

7．如图6，AB 是⊙O 的直径，⌒

BC =⌒

BD ，∠A=25°，则∠BOD= ．

8．如图7，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D ，交⊙O 于点M ．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．

9．⊙O 中，若弦AB 长22cm ，弦心距为2cm ，则此弦所对的圆周角等于 ．

10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．

11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．

12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．

13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=53

，cos β=31

，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．

14．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．

（1）求证：AB 2

=AD ·AE ；

（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

15．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒

AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ． （1）求证：△ABE ∽△DBC ；

（2）已知BC=

2

5

，CD=

2

5，求sin ∠AEB 的值；

（3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．

16．如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．

§3.4 确定圆的条件

学习目标:

通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略． 学习重点:

1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．

2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 学习难点:

分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．

学习方法:

教师指导学生自主探索交流法.

学习过程:

一、举例：

【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）

①经过三点一定可以做圆；

②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；

③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．

A．4个B．3个C．2个D．1个

【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．

【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．

【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．

如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．

回答下列问题：

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．

（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．

（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．

【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．

【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．

二、随堂练习

一、填空题 1．经过平面上一点可以画 个圆；经过平面上两点A 、B 可以作 个圆，这些圆的圆心在 ． 2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆．

3．锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ． 二、选择题

4．下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C ．四边形都有一个外接圆 D ．圆有且只有一个内接三角形 5．下列命题中的假命题是（ ）

A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等

C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上

D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 6．下列图形一定有外接圆的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．菱形 三、课后练习

1．下列说法正确的是（ ）

A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点

B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上

C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点

D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在

2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ） A ．a=15，b=12，c=1 B ．a=5，b=12，c=12 C ．a=5，b=12，c=13 D ．a=5，b=12，c=14 3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ） A ．任意三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形

4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A ．5cm B ．6cm C ．7cm D ．8cm 5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．

A ．

2

3

B ．

3

3

C ．3

D ．2

1

6．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ） A ．2 B ．6 C ．12 D ．7 7．三角形的外心具有的性质是（ ） A ．到三边距离相等 B ．到三个顶点距离相等 C ．外心在三角形外 D ．外心在三角形内 8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A ．它到三角形三个顶点的距离相等

B ．它与三角形三个顶点的连线平分三内角

C ．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径

D ．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 9．下列说法错误的是（ ）

A ．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆

B ．任意一个圆都有无数个内接三角形

C ．任意一个三角形都有无数个外接圆

D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上

10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）

A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形

11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．

12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心

是．

13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．

14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．

15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．

16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．

17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．

19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．

20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．

21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）

22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．

23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？

§3.5 直线和圆的位置关系（第一课时）

学习目标:

经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。

学习重点:

直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质．

学习难点:

探索切线的性质．

学习方法:

教师指导学生探索法.

学习过程:

一、举例：

【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？

（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．

【例2】已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．

【例3】小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（铅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长，即可求出锅的直径．请你利用图说明她这样做的理由．

【例4】如图3-5-9，已知

⌒

AB，求作：（1）确定

⌒

AB的圆心；（2）过点A且与⊙O相切的直线．（注：

作图要求利用直尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）

【例5】东海某小岛上有一灯塔A，已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O点处测得A塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得A在其西北方向．如果该舰继续航

行，是否有触礁的危险？请说明理由．（提示2=1．414，3=1．732）

二、课内练习：

1．下列直线是圆的切线的是（）

A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线

C．到圆心距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线

2．⊙O的半径为R，直线ι和⊙O有公共点，若圆心到直线ι的距离是d，则d与R的大小关系是（）A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R

3．当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系是，圆心到直线的距离d与圆的半径r

之间的关系为 ．

4．已知⊙O 的直径为6，P 为直线ι上一点，OP=3，那么直线与⊙O 的位置关系

5．已知圆的直径为13cm ，圆心到直线ι的距离为6cm ，那么直线ι和这个圆的公共点的个数是 ．

三、练习：

1．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm 和5cm 两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。

2．如图1，AB 是⊙O 的弦，AD 是⊙O 的切线，C 为弧AB 上任一点，∠ACB=1080，∠BAD=__________。 3．如图2，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若BC= 6，EB=8，则EA= 。

4．如图3，在Rt △ABC 中，∠C=900

，AC=4，BC=3，E ，D 分别是AB ，BC 的中点，过E ，D 作⊙O ，且与AB 相切于E ，那么⊙O 的半径OE 的长为 。

5．如图4，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于OC ，若OA ＝2，且AD+OC=6，则CD=______________。

6．如图5，PT 是⊙O 的切线，切点是T ，M 是⊙O 内一点，PM 及PM 的延长线交⊙O 于B ，C ，BM=BP

＝2，PT ＝52，OM=3，那么⊙O 的半径为__________。 7．如图6，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别切⊙O 于D 、E 、F ，AB=7，AC=5，AD=2，则BC=_______。 8．如图7，AB 、CD 是两条互相垂直的直径，E 是OD 中点，延长AE 交圆于F ，AO=4厘米，则EF=_______厘米。

图

6 图7

9．如果圆心O 到直线l 的距离等于半径R ，则直线l 与圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）相切或相交

10．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为（ ）

A 、700

B 、900

C 、600

D 、450

11．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，割线PBC 过圆心

O ，∠ACP=300

，OC=1cm ，则PA 的长为（ ）

（A ）2cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）3cm

12．如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，如果PB=2，PC ＝8，那么PA 的长为（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）32

13．如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠AOB ＝1000，则∠ACB 的度数为（ ）

A D A E C B

全等三角形全章教案集

C 1 B 1 C A B A 1 课题：§11．1 全等三角形 课型：新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 教学方法：讲授法，讨论法，情景导入法 教学准备：多媒体，三角板 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一) 提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E

第十一章三角形全章教学设计

三角形的边

检测练习一、如图，在三角形ABC中， （1）AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC （2）假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C， 有路线。路线最近，根据是：， 于是有：（得出的结 论）。 （3）下列下列长度的三条线段能否构成三角形，为什么？ ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本（ P64例题，时间：5分钟） 要求：（1）、注意例题的格式和步骤，思考（2）中为什么要分情况讨论。 （2）、对这例题的解法你还有哪些不理解的？ （3）、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程啊！） 解： （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结 （一）这节课我们学到了什么？（二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 （1）等边三角形是等腰三角形 （2）三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 （3）三角形的两边之差大于第三边 （4）三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是（） A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少？ 【C】组（共小1-2题） 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒，他想再找一根，使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. （1）你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗？（长度为正整数） （2）想一想：如果已知两边，则构成三角形的第三边的条件是什么？

第13章内能导学案

第十三章内能 第1节分子热运动 一、情境引入 在教室的讲桌前，打开一瓶香水，整个教室的同学都很快能闻到香味.提出问题：我们为什么能够闻到香味？前排的同学和后排的同学为什么闻到香味的时间不同？ 二、互动新授 (一)物质的构成 指导学生阅读教材，课件出示自学指导题目． (1)常见的物质是由什么构成的？ (2)一般分子的直径有多大？ (3)人们通常用来量度分子的单位是什么？ 学生根据自学指导题目，阅读教材，回答出物质的组成，分子的大小数量级：10－10m. 教师结合教材图13.1－1，提出问题：分子就好像一个小球，排列在一起，一定存在间隙，组成物质的分子是静止不动的，还是在不断地运动？

教材图13.1－1 (二)分子热运动 1．扩散现象 学生小组实验：打开一盒肥皂，很快就能闻到香味．然后教师演示空气和氮气的扩散实验，如教材图13.1－2所示．先让学生观察空气和二氧化氮的集气瓶的颜色，并告诉学生二氧化氮的密度比空气大．在装有红棕色二氧化氮气体的瓶子上面，倒扣一个空瓶子，使两个瓶口相对，中间用一块玻璃板隔开．然后抽掉玻璃板，让学生认真观察两瓶气体的颜色有什么变化．小组讨论思考产生这种变化的原因是什么，说明了什么？ 教材图13.1－2 学生讨论交流得出：气体分子不停地运动．并得出扩散的定义：不同的物质在互相接触时彼此进入对方的现象，叫做扩散．上述现象属于气体的扩散现象． 课件演示液体发生扩散的实验：在量筒中装一半清水，用细管在水的下面注入硫酸铜的水溶液．由于硫酸铜溶液比水的密度大，硫酸铜溶液沉在量筒下部，可以看到无色的清水与蓝色硫酸铜溶液之间有明显的界面．静放几天后，界面逐渐模糊不清，如教材图13.1－3所示．教师可将已经放置几天的硫酸铜溶液与刚刚加入硫酸铜溶液的量筒向学生展示，让学生观察、对比现象． 开始时10日后20日后30日课件展示固体的扩散现象：将磨得很光滑的铅块和金块紧压在一起，在室温下放置5

《分式》全章导学案

第十五章 分 式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 一、自学指导 自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟) 总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，分 式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟) 总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A B ＝0. 点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3. 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式3x 2x －1无意义？(4) 分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3 的值为0? 解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3有意义，则分 母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式3x 2x －1无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝1 2；(4)要使分 式 12x |x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4的值为0，则有? ????|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9 x －3的值为0，则有? ????x 2 －9＝0x －3≠0，即x ＝－3. 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)

全等三角形全章教案(华东师大版)

19.1 命题与定理 一.教学目标： 1. 知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。知道判断一个命题是假命题的方法。 2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。 3、、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 二.教学要点：找出命题的条件（题设）和结论。三.教学重点：找出命题的条件（题设）和结论。 四.教学难点及突破措施：命题概念的理解。让学生多说，多讲，多练习。 五.教学时间：第九周第3节 六.教法设计：讲练结合 七.教学过程 一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。 二、探究新知 （一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。” （二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。

解三角形全章教案(整理)

数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

新人教版九年级物理全一册全册学案第13章

新人教版九年级物理全一册全册学案第13章 第十三章力和机械 第1节弹力弹簧测力计 学习目标： 1.明白什么是弹力及弹力产生的条件 2.明白弹簧测力计的制作原理 3.学会正确使用弹簧测力计测量力的大小方法 学习重点：弹力的概念、弹簧测力计的制作原理 学习难点: 会使用弹簧测力计 学习过程： 一、思维启动： 力的作用成效有、。 二、进行新课 （一）看教材图13.1—1所示，并利用手边物品进行试验，体验弹力。完成以下内容： 直尺、橡皮筋、弹簧等受力会发生形变，不受力时，物体的这种特性叫做。有些物体不能复原原状如，物体的这种特性叫。而物体由于弹性形变变化产生的力我们叫做。 针对训练：完成P54页动手动脑学物理第一题。 （二）弹簧测力计：看教材P52-53页，完成以下内容。 1、弹簧测力计原理：。 2、通过用弹簧秤测你头发能承担的拉力等实验合作探究弹簧测力计的使用；并总结使用弹簧测力计的注意事项： 针对训练：完成P54页动手动脑学物理第二.四题。 三、课堂小结 本节课我的收成有：

我还有这些疑问： 四、达标训练 1、用手拉弹簧测力计越来越费劲，是因为（） A．力是物体对物体的作用，物体间力的作用是相互的 B．因为人是受力的物体，因此感到费劲 C．弹簧越来越紧，阻力大，拉起来费 D．弹簧的伸长越长，所需拉力越大 2、使用弹簧测力计时，下面几种说法中错误的是（） A．弹簧测力计必须竖直放置，不得倾斜 B．使用前必须检查指针是否指在零点上 C．使用中，弹簧、指针、挂钩不能与外壳摩擦 D．使用时，必须注意所测的力不能超过弹簧测力计的测量范畴 3、下列关于弹力产生条件的说法中正确的是( ) A．只要两个物体接触就一定有弹力产生 B．只要两个物体相互吸引就一定有弹力产生 C．只要物体发生运动就一定受到弹力作用 D．只有发生弹性形变的物体才会产生弹力 4、如图所示的弹簧秤的最小分度是牛顿，它的测量范 畴______牛顿，用那个弹簧秤不能测量重力超过 牛顿的物体，下面挂的重物G是____牛顿． 5、一个水平放置的弹簧，在左右两端各用10N的水平拉力沿弹簧的径向向相反的方向拉弹簧，则这时弹簧受的弹力大小是N，若弹簧被拉长4cm，，若把此弹簧的一端固定，在另一端用20N的力拉，弹簧的伸长量为cm。

高中数学人教A必修四第三章全章导学案

鸡西市第十九中学学案 过点P 作1PA OP ⊥，垂足为A ，过点作PM x ⊥轴，垂足为M ，

鸡西市第十九中学学案

2014年（）月（）日班级姓名

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 1.已知α是锐角，若sin α＝3 5 ，则2cos ????α－π4=________. 2. 1cos 2x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π 12 cos )x x - x x sin15cos15o o + (两种方法) 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】 问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2x x ? ? ?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝ b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋ b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋ b 2 ， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π 2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 1．函数f (x )＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π 3的最大值是 2．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈? ?? ?0，π2的最小值为 3．函数f (x )＝2sin x 2sin ???? π3－x 2的最大值等于 4．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值． 《辅助角公式》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

第12章全等三角形学案

12.1 全等三角形 导学案 学习目标：1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 学习重点：全等三角形的性质． 学习难点：找全等三角形的对应边、对应角． 学习过程： 一．获取概念： 阅读教材P31-32页内容，完成下列问题： （1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。 （2）全等三角形的对应顶点： 、对应角： 、对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于” （4）全等三角形的性质： （5）如下图：这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.，.点A 与 点A 1是对 应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应角： 对应边： 。 C 1 1A B A 1 二 观察与思考： 1.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF （图甲）；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC （图乙）； 将△ABC 旋转180°得△AED （图丙）． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 2 . 说出乙、丙图中两个全等三角形的对应元素。

三、当堂反馈 1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?则这两个三角形中相等的 边 。相等的角 。 D C A B O D C A B E D C A B E O 图1 图2 图3 图4 2如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，指出其它的对应角 对应边：AB AE BE 3.已知如图3，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边 对应角 ． 4.如图4，,DBE ABC ???AB 与DB ，AC 与DE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠A B ，求BED ∠。 解： ∵∠ A+ ∠B+∠BCA=1800 ( ), 30,43=∠=∠A B ( ) ∴∠BCA= ∵,DBE ABC ???( ) ∴∠BED=∠BCA= ( ) 5.完成教材P32练习1、2 四、概括总结 找两个全等三角形的对应元素常用方法有： 1.两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法。 2.根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素． 3.全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． 4.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 五．课后反思

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。

新人教版一元二次方程全章学案

第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 预习检测 1.一元二次方程必须同时具备的三个条件： ①方程的两边都是；②方程中只含有个未知数；③未知数的最高次数是. 2.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项等），都能化成,这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中是二次项,是二次项系数；是一次项,是一次项系数；是常数项. 问题思考 1.下面的这些方程是一元二次方程吗？为什么？ ⑴0422=-+x x ； ⑵942=x ； ⑶3x =0； ⑷7532 =-x y ； ⑸ 13 2 =+x x ； ⑹22)1()2(-=+x x ； ⑺x x 32-=. 2.关于x 的方程0232=+-x mx 一定是一元二次方程吗？为什么？ 3.若关于x 的方程 012)2(=-++x x m m 是一元二次方程，则m =. 当堂检测 1.已知关于x 的方程：①0322 =-x ；②111 2 =-x ；③013 1212=+-x x ; ④022=++c y ay ；⑤5)3)(1(2+=+-x x x ；⑥02 =-x x ； 2 x -=

其中是一元二次方程的有（只填序号）. 2.方程 0112 =++mx x m )－（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ） A.任何实数 B.0≠m C .1≠m D.1-≠m 3.若x x m －m +-2 2 2)(-3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______. 4.将方程化成一般形式为___________,它的二次项系数为 _____，一次项系数为_____，常数项为______. 5.（湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．5500（1+x ）2=4000 B ．5500（1-x ）2 =4000 C ．4000（1-x ）2=5500 D ．4000（1+x ）2 =5500 ★6．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2 －n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． ★7.已知关于x 的方程 013)1()12 2=-+++-m x m x m （，求当m 为时，它是一元二次方程.当m 为时，它是一元一次方程. ★8.一元二次方程0)1()1(2 =+-+-c x b x a 化为一般形式后为01322=-x x －，则 c b a +的值为. ★★9.已知a 是方程0120142=+-x x 的一个根，求1 2014 201322++-a a a 的值. 21．2 解一元二次方程 21.2．1配方法（第一课时） 预习检测 1.解方程：092 =-x 解：移项得，92 =x ， 因此，=x ．（这里实际上就是求9的平方根.） 2 (21)(3)(21)6x x x -+--=

八年级数学下册 第三章 3.1 分式学案(2)(无答案) 北师大版

§3．1 分式（2） 【学习目标】 1.掌握分式的基本性质. 2.能利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形. 3.掌握分式约分的方法，能将分式化简. 【学习重点】 1.分式的基本性质. 2.利用分式的基本性质约分、化简. 【学前准备】 1、分式的定义________________________________________________ 2、下列哪些是分式 3、请你谈谈分数与分式有何区别. 【师生探究，合作交流】 一、分式的基本性质 分数的基本性质：分数的分子与分母都_________________________________，分数的值不变. 1、填空： ______；_______；________（a≠0）； ________(a≠0) ________（d≠0） 类比分数，你发现了什么？ 分式的基本性质：_________________________________________________ __________________________________________________________________ 例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）= (y≠0) ；（2）= 解：∵y≠0 ∴== 解：∵ x≠0 ∴

想一想：为什么“x≠0” 二、分式约分 利用分数的基本性质可以对分数进行约分化简.利用分式的基本性质也可以对分式约分化简. 1、复习分数约分： 化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如，3和12的最大公约数是3，所以==. 2、仿照分数约分，对分式进行约分 ==ac； ==； ==； = 3、约分的定义：___________________________________________________ 化简的结果中__________________________________的分式称为最简分式. 4、约分时先把分子分母中的多项式分解因式，化为积的形式，再约分。 5、如何寻找最大公因式： ①取相同字母系数的最大公约数； 它们的乘积就是最大公因式 ②取相同的字母； ③取相同字母中的最低次幂；你用了______分钟完成预习！例 2、化简下列各式（注意书写规范） ；；；；

全等三角形全章导学案及专题练习

鸡西市第十九中学学案

一、填空题 1．_____ 的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____ 上． 3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 4．如果ΔABC ≌ΔDEF ，则AB 的对应边是_____，AC 的对应边是_____，∠C 的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 5．如图1－1所示，ΔABC ≌ΔDCB ．（1）若∠D ＝74°∠DBC ＝38°，则∠A ＝_____，∠ABC ＝_____ （2）如果AC ＝DB ，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB ≌ΔDOC ，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 6．如图1－2，已知△ABE ≌△DCE ，AE ＝2 cm ，BE ＝1.5 cm ，∠A ＝25°，∠B ＝48°；那么DE ＝_____cm ，EC ＝_____cm ，∠C ＝_____°；∠D ＝_____°． 7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8．已知：如图1－3，ΔABD ≌CDB ，若AB ∥CD ，则AB 的对应边是 （ ） A ．DB B ．BC C ．CD D ．AD 9．下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 10．如图1－4，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么 BC 等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 11．如图1－5，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于 （ ） A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 三、解答题 13．已知：如图所示，以B 为中心，将Rt △EBC 绕B 点逆时针旋转90°得到△ABD ，若∠E ＝35°， 求∠ADB 的度数． 综合、运用、诊断 一、填空题 14．如图1－8，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝ 28∶5∶3，则∠α的度数为______． 图1－8 15．已知：如图1－9，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝2． （1）求∠F 的度数与DH 的长；（2）求证：AB ∥DE ． 图1－9 拓展、探究、思考 16．如图1－10，AB ⊥BC ，ΔABE ≌ΔECD ．判断AE 与DE 的关系，并证明你的结论． 图1－10

解三角形(复习课)教学设计

解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

相似全章导学案

石桥二中导学案（2015秋） 使用教师：学科：数学教学内容：第二十七章“相似”分析时间：2015.12.6 年级：九主备教师：备课组长签名：

使用教师 学科 数学 教学内容 27.1图形的相似（1） 时间 2015年12月7日 年级 九年级 主备教师 备课组长签名＿＿＿ 三 维 目 标 1．知识与能力: 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 2．过程与方法：经历探索、发现、创造、交流等丰富多彩的数学游戏活动，发展学生的数学能力和审美观. 3．情感态度与价值观: 使学生学会从数学的角度认识世界，解释生活、逐步形成“数学地思维”的习惯；以“生活中的数学”为载体，使学生体会相似图形的神奇，养成“学数学、用数学”的意识，培养学生的动手操作能力和创新精神. 重、难点： 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 教法与学法指导 一、自主预习 1 、请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能 对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图 27.1-1)( 课本图27.1-2) 2 、什么是相似图形? 3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗? 二、合作探究 1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=b c ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=b c ． 三、归纳反思 ⑴这节课我学会了： ⑵易错点： ⑶这节课还存在的疑问： 四、达标测评 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2、填空题 形状 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 或 而得到的。 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 6.下列说法正确的是（ ） A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B ．商店新买来的一副三角板是相似的. C ．所有的课本都是相似的. D ．国旗的五角星都是相似的. 7. 下列说法中，错误的是（ ） A.放大镜下看到的图象与原图象的形状相同 B.哈哈镜中人像与真人的形状是相同的 C.显微镜下看到的图象与原图象的形状相同 D.放大一万倍的物体与它本身的形状是相同的 教法与学法指导 观察图片，体会相似图形 小组讨论、交流．得到相似图形的概念 观察思考，小组讨论回答 教学反思：

人教B版数学高一版必修一本章整合学案第三章基本初等函数(Ⅰ)

本章整合 知识网络 专题探究 专题一指数、对数的运算问题 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 【应用1】已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为() A.6 B．9 C．12 D．18 解析：由2a＝3b＝k(k≠1)，知k>0，且a＝l og2k，b＝l og3k，将它们代入2a＋b＝ab，得2l og2k＋l og3k＝l og2k·l og3k，即 2 12k og ＋ 1 13k og ＝ 1 1213 k k og og ? ，所以2l og k3＋l og k2＝1，l og k9＋l og k2＝1，l og k18＝1，因此k＝18. 答案：D 【应用2】(1)化简 3 41 8 33 22 42 33 a a b b ab a - + ÷3 1 b a ? - ? 3ab (2)求值： 1 2 l g 32 49 － 4 3 l8＋l g 245 提示：利用指数与对数的运算法则运算即可． 解：(1)原式＝ 1 3 1111 22 3333 (8) (2)2() a a b b a b a - ++ × 1 3 11 33 2 a a b - × 1 3 a 1 3 b＝ 1 3(8) 8 a a b a b - - × 1 3 a× 1 3 a 1 3 b ＝3b.

初中数学《全等三角形》主题单元教学设计以及思维导图

全等三角形 适用年级八年级 所需时间课内8课时，课外2课时。 主题单元学习概述 从知识的特点上来讲，关于全等三角形的相关知识注重学生通过动手实践发现规律，注重培养学生的思维能力，注重数学与现实的联系；从心理学上讲，八年级学生的认知正从具体运算阶段向形式运算阶段转化，适当的动手操作活动以及问题丰富的现实背景可以帮助他们能更好地掌握相关知识。 《全等三角形》的内容，主要包括全等三角形的概念、全等三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质。全等三角形是研究图形的重要工具，只有灵活运用它们，才能学好相关知识。本章开始，使学生理解证明的过程，学会用综合法证明的格式。这是本章的重点，也是难点。对角平线的性质与判

定中也不提出互逆定理。这样不致于一下给同学们过多的概念，而加大学生负担。本章中注重让学生经历三角形全等条件的探索过程，更注重对学生能力的培养与联系实际的能力。 我将采用以下的教法与学法：1、引导学生通过动手操作，探究规律；2、注重推理能力的培养，提高理性思维水平；3、联系生产生活实际，增加学习动力； 发展学生的思维能力，沟通知识与现实的联系。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标（

知识与技能： 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。 2. 探索三角形全等的判定方法，并能灵活、综合运用。 3. 会作角的平分线，掌握角的平分线的性质并会利用它进行证明。 过程与方法： 1.经历三角形全等的探索过程，将两个三角形的六个要素随意组合针对每种情况做出分析与验证，得出三个定理，然后将其迁移到直角三角形的判定中来。 2．经历应用全等三角形及解角平分线的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 3．通过开放的设计题来发展思维，培养学生的创造力。 情感态度与价值观： 1.培养学习数学的兴趣，初步建立数学化归和建模的思想，积极参与探索，体验成功的喜悦。 2.通过体验抽象的数学来源于生活，同时又服务于生活。增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱