变位齿轮公法线长度合理性的判定
变位齿轮公法线长度合理性的判定 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰
摘要：文章给出了变位齿轮公法线长度合理性的判定方法。 关键词：跨齿数，公法线长度合理性，公法线测量点。
一、问题的提出
当审核变位齿轮工作图时怎样知其公法线长度是否合理？比如有个斜齿变位齿轮， ) 27(z 65 512===z mm m n ，，变位系数83.12=n x （71.01=n x ），法面压力角
020=n α，螺旋角030=β，齿顶高系数1=*n h ，顶隙系数25.0=*n c ，
全齿高mm h 10=。分度圆直径mm d 28.375=，齿顶圆直径mm d a 08.401=。跨齿数16=k ，公法线长度mm W kn 89.241=。跨齿数k=16是按《机床设计手册》上的公式计算的，公式为：
5.02cos arccos 1800++'=t
t x z z z k α z '——假想齿数，
97.761.50465z 504.130 0=?='==='，故时查手册当，n
t n t inv inv inv inv z z ααβαα。 t α——端面压力角，β
ααcos n t tg tg = ∴ t α=arc tg()cos βαn tg =arc tg()30
cos 2000
tg =22.7958770 t x ——端面变位系数，5848.130cos 83.1cos 0=?==βn t x x 。
今将各值代入公式，则
96.155.05848.1265795877.22cos 65arccos 180
76.970
0=+?+=k 。 按规定应取k=16。将k=16代入斜齿变位齿轮公法线长度计算式 []n n n n n n kn m x inv z k m W ααπαsin 2)5.0(cos +'+-=，则 []
mm inv W kn 89.24120sin 583.122076.97)5.016(20cos 5000=???++-=π。 跨齿数k=16和公法线长度mm W kn 89.241=都计算得正确无误，问：这条公法线长度是否合理？怎样知其合理与否？
公法线长度的计算在教材、手册上都讲得一清二楚了，何来合理与否呢？这是因为变位齿轮的跨齿数计算公式可谓形式多样，五花八门；同一个变位齿轮因使用的公式不同其跨齿数也往往不尽相同。比如上述的例题用公式(1)计算k=11，用公式（2）计算k=15，用公式（3）计算k=16，用公式（4）计算k=14 (见表1)。跨齿数不同，公法线长度自然不同。
那么在这4条线段中，那条才是合理的公法线长度呢？所以这里就有公法线长度合理性的问题。
表1 变位齿轮常见的几个跨齿数计算公式
所谓公法线长度的合理性，是指公法线的测量点（量具卡脚与齿廓的切点）是否在齿廓的合理部位。对标准齿轮而言，合理的测量点应在分度圆上；对变位齿轮而言公法线测量点应在“xm d 2+圆”上。因为在这两个部位附近测出的公法线长度比较准确。如测量点在齿顶部或齿根部则说明公法线长度是不合理的；如测量点在齿顶圆之外或齿根圆以内那就说明这条线段已不是公法线长度了，因为它不符合公法线长度的定义。所以，欲知公法线长度合理与否，只要知道它的测量点在齿廓上的部位，问题就迎刃而解了。
二、公法线长度合理性的判定方法
变位直齿轮公法线长度的合理性比较容易判定。请看公法线测量图：AB 是跨3个齿的公法线长度。AD 是公法线长度的一半，DO 是基圆半径，AO 是测量点所在圆的半径。因为△ADO 是直角三角形，故AO 22DO AD +=。由此，测量点所在圆的直径 22)2()2(2b k k d W d +=，整理此式后即为：
22b k k d W d +=
式中k W 为公法线长度，b d 为基圆直径。用齿顶圆直径a d 减去k d 后被2除即为公法线测量
点至齿顶的距离a s ，即：
2)(k a a d d s -=
图1 公法线长度测量
然后再用全齿高h 减去a s 即为测量点至齿根的距离f s ，即：
a f s h s -=
这样，测量点在齿廓上的部位就了如指掌了。以上就是直齿轮公法线长度合理性的判定方法。
那么斜齿轮怎样判定呢？从直齿轮的判定方法可以看出，只要计算出斜齿轮公法线测量点所在圆直径k d 问题就解决了。斜齿轮k d 的计算式为：
22
)cos (b kn b k W d d β+=
式中b β为斜齿轮基圆螺旋角。本文当年发表时并不是用这个公式计算k d 的，因为那时笔者尚不知有这个公式（这个公式是瑞士“齿轮手册”上的，我国教材、手册上还没有这个公式）。当年文章是用“当量直齿轮法”计算k d 的。欲知详情，请看拙作《变位斜齿轮满足公法线长度测量的有效齿宽的正确计算》一文后面的“作者闲话”，这里就不赘述了。下面以文章开头的那个例题为例对其公法线长度的合理性进行判定如下：
（1）计算公法线测量点所在圆直径k d 22
)cos (b kn b k W d d β+=
① 计算基圆直径b d t b d d αcos =
28.375=d （题给）
，0795877.22=t α（前已算出）。 97.345795877.22cos 28.3750==∴b d 。
② 计算公法线长度kn W
89.241=kn W （例题已经算出）
。 ③ 计算基圆螺旋角b β
t b tg tg αββcos =
000024321.28)795877.22cos 30(a )cos (a ===∴tg rctg tg rctg t b αββ
56.406)024321.28cos 89.241(97.345202=+=∴k d 。
（2） 计算斜齿轮的齿顶圆直径a d
08.401=a d （题给）
（3） 计算公法线测量点至齿顶、齿根的距离、
a s f s ① 测量点至齿顶的距离2)(k a a d d s -=
74.22)56.40608.401(-=-=∴a s 。
② 测量点至齿根的距离a f s h s -= ，10=h （题给）
74.12)74.2(10=--=∴f s 。
由计算结果知，该斜齿轮的公法线长度的测量点至齿顶的距离为负值（-2.74mm ），不在齿廓上（在齿顶圆之外），不符合公法线长度的定义，因此mm W kn 89.241=这条线段不是这个齿轮的公法线长度。以上就是斜齿轮公法线长度合理性的判定方法。
三、不合理的公法线长度出现的原因及对策
由上述的判定可知，虽然公法线长度是由公式计算出来的，且计算的正确无误，但它是不合理的。该齿轮合理的公法线长度应为mm W kn 37.212=（用公式4计算k=14，见表
1）。它的测量点至齿顶的距离为mm s a 79.3=，至齿根的距离mm s f 21.6=，基本在齿高的中点部位，情况良好。用公式1（见表1）计算k=11，这条公法线长度也不再轮齿上（在齿根圆以内），无法测量。用公式2（见表1）计算k=15，这条公法线长度虽然在齿廓上，但测量点距齿顶只有0.61mm 了，无法测量（以上结果都经验证得知）。所以在这4条线段中，只有mm W kn 37.212=这条才是合理的。同一个齿轮因使用的公式不同竟有4个不同的跨齿数。最多者k=16，最少者k=11，竟相差5个齿之多，这说明变位齿轮的跨齿数计算公式是有正有误，有优有劣的。就因为跨齿数不合理才导致公法线长度不合理。但跨齿数计算公式在哪些情况下不尽合理又无规律可循，因而有些公式使用起来就不那么放心。但变位齿轮公法线长度的合理性都用上述方法进行验证显然是不可能的。因而笔者在此提出两点建议：第一、凡变位齿轮的跨齿数一般尽可能的用公式4（见表1）计算。经大量算例验证，该公式计算出的跨齿数一般都是合理的；第二、公式4虽然情况良好，但计算比较麻烦。而且在角度变位中有时测量点有靠近齿顶的不良情况出现，故在此推荐笔者的经验公式，它可以快速地算出跨齿数。经验公式为：
z ——齿数，斜齿时z z '用代入。n t n t inv inv inv inv z
z αααα，='可查手册，亦可计算。 x ——变位系数，斜齿时n x x 用代入。
P ——与变位系数正负有关的系数。当变位系数为正（)0>x 时p=1.4，当变位系数为负（) 0 该公式经大量算例验证，情况良好（见《变位圆柱齿轮跨测齿数的简便计算》一文），是可以放心使用的。该公式最显著的特点是计算快。只要知道跨齿数和变位系数两个值，跨齿数立等可取。笔者再次将它推荐给设计变位齿轮的人们，使之不再受繁复的计算之苦。 注：该文1998年发表在《机械》杂志第2期上。 作者闲话 这篇文章写于1991年，但直到1998年才被发表。因为文章写成后并未立即投稿，而是先进行了一番调查。调查的方法是：给出算例（即文章开头的那个例题），算出公法线长度，然后问这条公法线长度是否合理？怎样知其合理与否。但出人意料，被调查的几个单位（两所高校，一家大型机械制造厂和两个科研设计单位）的某些人都解决不了这个问题，之后才投稿。结果不是退稿就是石沉大海。但退稿理由一看就知是推脱、应付和搪塞。只有北京一家工艺性质的杂志认真负责，退稿时还附上了“审稿意见”并签上了审稿人的名字。这家杂志的作法是最值得称道的，是难能可贵的。在我多年的投稿中再也没有遇到过这样的刊物。因我对“审稿意见”有异议，于是与审稿人争鸣起来。欲知详情，请看附在本文后面的“附录（4）”——《文章背后的文章——〈变位齿轮公法线长度合理性的判定〉一文的作者评述》和《斜齿轮公法线测量点所在圆直径（k d ）的计算》一文。 附录（4） 文章背后的文章 ——《变位齿轮公法线长度合理性的判定》一文的作者评述 周万峰 大家知道，判断公法线长度合理与否，首先需算出公法线长度测量点（量具卡脚与齿廓的切点）所在圆直径（k d ）的尺寸（见文章中的公法线测量图）。直齿轮的k d 是这样计算的，即22b k k d W d +=。那么斜齿轮的k d 怎样计算呢？斜齿轮k d 的计算公式是这样的，即22 )cos (b kn b k W d d β+=。（这个公式是“瑞士”手册上的，我国教材、手册上还没有这个公式）。那么当年笔者是怎样计算斜齿轮k d 的呢？为此它苦恼了我一两年的时间找不到计算办法。一天，我突发奇想：将斜齿轮看成是齿数为z '的当量直齿轮，用直齿轮的方法计算斜齿轮的k d 如何？于是立即给出算例进行计算，很快得出结果。但这种方法是否可行，心里是没底的。于是对这种方法进行分析：例如当跨齿数值=k 4.5072时，按规定应取5=k ，这时的公法线测量点应在分度圆以上，且离分度圆较远；当4012.5=k 时，按规定应取5=k ，公法线的测量点应在分度圆以下，且离分度圆较远；当0345.5=k 时，应取5=k ，这时测量点应在分度圆以下，但离分度圆会很近；当9870.4=k 时，按规定应取5=k ，测量点应在分度圆以上，且离分度圆很近。这样分析后立即给出算例进行验证，结果正如笔者所分析的那样。真是太高兴了，终于找到解决的办法了，于是于1991年写出了《变位齿轮公法线长度合理性的判定》一文。 文章写出后并未立即投稿。我想：斜齿k d 的计算肯定还有别的方法。于是想抛砖引玉，给出算例（即文章开头的那个例题），调查了两所高校的个别老师和两家科研、设计单位以及一家大型机械制造厂的一些工程技术人员。结果出乎笔者所料：他们都解决不了这个问题。有的说：“公式是书上的，计算方法和算出的数值也都是正确的，怎么会不合理呢？当我与一个齿轮研究生学历的人谈起这个问题时他问我：“什么是公法线长度的合理性？难道用书上的公式计算出的公法线长度还会不合理？”我一听就知他解决不了这个问题。因为连什么是“公法线长度的合理性”尚且不知，哪里还谈得上解决这个问题呢？于是我说：“比如有个50=z 、5=m 的直齿轮，说它的公法线长度是mm W k 10=或mm W k 500=合理吗？”他说：“怎么会这样短和这样长呢？”我说：“这个齿轮的公法线长度肯定在10mm ~mm 500之间，但从mm 10~mm 500有无穷多个值，那么哪个值才是这个齿轮合理的公法线长度呢？这不就是公法线长度的合理性的问题吗？”他不吭声了。我知道他解决不了这个问题，所以也没再说下去。 只有两所高校的个别老师，他们既不说这个例题算出的公法线长度是合理的，也不说是不合理的，但却都不约而同地建议我看某某手册。其实手册上哪有如何判定公法线长度合理性的内容呢？今天教材、手册上都没有这样的内容。有的老师还举例讲公法线长度的计算方法。其实我问的是怎样判断这条公法线长度是否合理的问题，我不是问你公法线长度如何计算（我会计算公法线长度），这不是答非所问吗？我明白了，两所高校的个别老师也解决不了这问题。但这个问题事实上是存在的。 调查完后才将稿件投给刊物。但不是退稿就是石沉大海。然而一看“退稿理由”就知是应付和搪塞。只有北京一家工艺性质的杂志认真负责，退稿时还附上了“审稿意见”并签上了审稿人的名字（这家杂志的作法是最值得称道的，是值得推崇的，是难能可贵的）。退稿理由有二：第一、审稿人认为文章用当量直齿轮算出的斜齿轮的k d 是“近似的，有误差的，影响判断的正确性”，于是审稿人给出了一个计算公式，即上述那个公式。他说用这个公式计算才能得出正确的数值。第二、审稿人认为：该稿中对斜齿轮未提及另一个判断条件：就是测量kn W 时轮齿必须有足够的宽度，否则公法线长度无法测量。判断公式为b kn W b βsin >。并且审稿人指明公式中的b β为基圆螺旋角。 关于审稿人提的第一个问题我认为是这样：我使用的方法开始时我认为没有误差，后来发现的确是有误差。但误差很小（小于1毫米），这样小的误差怎么能影响判断的正确性呢？所以审稿人的说法是主观的，臆测的，没有根据的。详见《斜齿轮公法线测量点所在 圆直径（)k d 的计算》一文。关于审稿人提的第二个问题我认为审稿人的概念是错误的。因为：我文章的命题是判断公法线长度是否合理，与齿宽能否进行进公法线长度的测量不相干。文章只要判断出公法线长度是否合理，它的任务就完成了。至于齿宽能否进行公法线长度的测量，那是斜齿轮的设计问题，不是本文的职责。所以，公法线长度合理与否与齿宽大小不相干。齿宽的大小首先根据强度条件来确定。如果一条公法线长度经判断是合理的，但因齿宽的大小不能测量，只能是改变齿宽，跟公法线长度的大小无关。审稿人连文章的主旨都没弄清楚，都没看明白，就哇啦哇啦地发表意见了。这样的审稿人今天不在少数。这里必须指出的是：验算斜齿轮齿宽能否进行公法线长度的测量的公式为βsin kn W b >。式中kn W 为斜齿轮的公法线长度，β为斜齿轮的分度圆螺旋角。教材、手册和科技书给出的都是这个公式，但审稿人始终坚持公式中应该用基圆螺旋角。 我的天！基圆在齿根圆附近，公法线的测量点怎么可能在齿根圆附近呢？当笔者指出他的概念错误时，审稿人还振振有词，牵强附会，强词夺理地进行辩解。由于没有裁判（编辑先生袖手旁观，不置一词），最后不了了之。无独有偶。一个国家级的杂志的审稿人也认为应该用基圆螺旋角。我非常不解：难道他们连教材、手册也没看过吗？怎么概念错误到这种地步呢？请读者诸公想想，由这样的人审稿，文章怎么能发表呢?所以有时文章不能发表并不是文章不正确，也不是文章没有学术价值，而是 审稿人往往以他们错误的概念否定文章的正确论点。不管你的文章多么正确，只要审稿人认为不正确，你的文章就休想发表。他们手中握有稿件生杀之大权，所以有时弄得作者束手无策，无可奈何，一点脾气都没有了。难道我们的学术就是这样的环境和机制吗？这样的环境和机制怎么能促进科技的发展和进步呢？ 偏差和齿轮的公法线长度有关，也就是说，同一精度级别的齿轮，由于它的齿数不同，公法线长度是不一样的，同理它的公法线长度的偏差范围也不是一样的。 公法线平均长度上偏差Ews=Ess*scosа-2e*sinа, Ess =-4fpt fpt齿距极限偏差（查表） 公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа, Esi=-16 fpt 公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа, Ts=12 fpt 1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr 2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=0.72,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级（查表）和分度圆直径决定 2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20° 3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess相同， Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа=-4Fpt ①式中fa为齿轮副中心距极限偏差， ②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙， jn min=jn1+jn2 jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm) a---齿轮副中心距 α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：11.5*10^-6,铸铁箱体：10.5*10^-6） Δt---工作温升（相对于20℃） 脚注1为齿轮，脚注2为壳体 jn2=K*mn （单位um) mn---法向模数 系数K---5~10（油池润滑） 10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑） 20（10 Esi=Ess+Ts Ts=(F r^2+br^2)^1/2*2tagα Fr---齿圈径向跳动（查表） br---切齿径向进刀公差（查表） 4、小结 要得到公法线长度上下偏差必须根据应用环境来确定精度等级，有三组公差精度分别为：运动精度、平稳性精度、接触精度，示例一、7-6-6GM、示例二、7FL 第一个示例表示运动精度7，平稳性精度和接触精度6，G和M代表齿厚上下偏差分别为-6fpt和-20fpt(买本书或下载齿轮手册上面有标准），fpt查表得，它属平稳性精度参数，第二个示例表示三组公差精度都为7，其他同上，只是齿厚公差带偏上一点了，F=-4fpt,L=-16fpt。汽车变速箱齿轮采用的是6级精度，一般7级精度差不多足够，有的地方要求低的可取更低精度，还有一般高速级齿轮副侧隙（公法线上偏差绝对值）应该留大一点，速度快齿轮副温升高，相对热膨胀大（齿轮副和壳体），同时高速级在前端，对回差影响不大。 invα公式 invα在手册中有表可查当手头没有手册, 则可按下式计算: invα=tgα-α等号右边第一项的α是角度值, 而第二项, α是弧度值, 计算时很不方便。为此, 将此式改为invα=tgα- απ/180则可直接利用计算器来计算, 很为方便 渐开线圆柱斜齿轮公法线计算： 公法线长度计算公式： ()[]n n n n mX Z W αααsin 2inv 0.5-k m cos t nk +?+??=π β cos m m t ?=n 0.5cos 180k 3 n +?=β αZ （k 为跨测齿数） k=？ βααcos tan tan n t = （t α为端面压力角，n α为法向压力角，即齿形角） t α=？ 用渐开线函数表查出t inv α=？ 将计算出的尺寸带入公式得出nk W =？ 公法线长度偏差计算公式： 1.根据参数表的数据查出相应的单个齿距偏差pt f =？ 2.根据参数表中相应的公差等级，查出相应的齿厚极限上偏差ss E =？、齿厚极限下偏差si E =？ 3.根据设计手册查出相应的齿圈径向跳动公差Fr 4.根据公式公法线上偏差n r n ss wms sin 72.0cos αα??-?=F E E 计算出上偏差（注意：计算时将齿厚极限上偏差的正负号带入计算） 5.根据公式公法线下偏差n r n si wmi sin 72.0cos αα??+?=F E E 计算出下偏差 表中都为法向模数） 为端面模数，一般参数为法向模数，（t m m n 例1：现有圆柱斜齿轮n M =3，Z=21，n α=20°，β=15°,公差等级为7FL ，求此圆柱斜齿轮公法线长度及其偏差： 解：一、求公法线长度 1.计算出跨测齿数0.5cos 180k 3n +?=βαZ =3.312（取整为k=3） 2.计算βααcos tan tan n t =≈ 0.3768 t α=20.6468°=20°38′48″ 3.查渐开线函数表得出t inv α=0.01645 4.通过公法线计算公式得出n4W =23.1148 二、求公法线长度偏差 1.根据参数表的数据查出相应的单个齿距偏差pt f =0.014 2.根据参数表中相应的公差等级，查出相应的齿厚极限上偏差 ss E =-4pt f =-0.056、齿厚极限下偏差si E =-16pt f =-0.224 3.根据设计手册查出相应的齿圈径向跳动公差Fr=0.036 4.根据公式公法线上偏差n r n ss wms sin 72.0cos αα??-?=F E E =-0.061 5.根据公式公法线下偏差n r n si wmi sin 72.0cos αα??+?=F E E =-0.202 综上所得该齿轮的公法线为061 .0201.0n4115.23--=W 齿轮公法线上下偏差计算公式 公法线平均长度上偏差Ews=Es*scosа-2e*sinа, 公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа, 公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа, 1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr 2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=0.72,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级和分度圆直径决定（你未给出分度圆直径及应用，所以我没办法给你准确数，你自己查表）。 2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20° 3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess相同， Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа ①式中fa为齿轮副中心距极限偏差， ②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙， jn min=jn1+jn2 jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm) a---齿轮副中心距 α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：11.5*10^-6,铸铁箱体：10.5*10^-6） Δt---工作温升（相对于20℃） 脚注1为齿轮，脚注2为壳体 jn2=K*mn （单位um) mn---法向模数 系数K---5~10（油池润滑） 10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑） 20（10 Fr---齿圈径向跳动（查表） br---切齿径向进刀公差（查表） 4、小结 要得到公法线长度上下偏差必须根据应用环境来确定精度等级，有三组公差精度分别为：运动精度、平稳性精度、接触精度，示例一、7-6-6GM、示例二、7FL 第一个示例表示运动精度7，平稳性精度和接触精度6，G和M代表齿厚上下偏差分别为-6fpt和-20fpt(买本书或下载齿轮手册上面有标准），fpt查表得，它属平稳性精度参数，第二个示例表示三组公差精度都为7，其他同上，只是齿厚公差带偏上一点了，F=-4fpt,L=-16fpt。汽车变速箱齿轮一般采用的是6级精度，有的地方要求低的可取更低精度，这样节省成本，还有一般高速级齿轮副侧隙（公法线上偏差绝对值）应该留大一点，速度快齿轮副温升高，相对热膨胀大（齿轮副和壳体），同时高速级在前端，对回差影响不大。 5、附图 齿轮公法线偏差计算 偏差和齿轮的公法线长度有关，也就是说，同一精度级别的齿轮，由于它的齿数不同，公法线长度是不一样的，同理它的公法线长度的偏差范围也不是一样的。 公法线平均长度上偏差Ews=Ess*scosа-2e*sinа, Ess =-4fpt fpt齿距极限偏差（查表） 公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа, Esi=-16 fpt 公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа, Ts=12 fpt 1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr 2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=0.72,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级（查表）和分度圆直径决定 2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20° 3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess相同， Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа=-4Fpt ①式中fa为齿轮副中心距极限偏差， ②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙， jn min=jn1+jn2 jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm) a---齿轮副中心距 α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：11.5*10^-6,铸铁箱体：10.5*10^-6） Δt---工作温升（相对于20℃） 脚注1为齿轮，脚注2为壳体 jn2=K*mn （单位um) mn---法向模数 系数K---5~10（油池润滑） 10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑） 20（10 % 计算斜齿轮公法线长度及其偏差 % 输入齿轮基本参数 Mn=4;z=60;an=20;bat=12.92; disp ' ' disp ' ========== 斜齿圆柱齿轮基本参数==========' fprintf(' 模数Mn = %3.2f mm \n',Mn) fprintf(' 齿数z = %3.0f \n',z) fprintf(' 压力角an = %3.3f 度\n',an) fprintf(' 螺旋角bat = %3.3f 度\n',bat) % 角度转换为弧度 hd=pi/180; anh=an*hd; bath=bat*hd; invan=tan(anh)-anh; % 计算跨齿数和公法线长度 ath=atan(tan(anh)/cos(bath)); invan=tan(anh)-anh; invat=tan(ath)-ath; zp=z*invat/invan; k=round(zp/9+0.5); Wkn=Mn*cos(anh)*(pi*(k-0.5)+zp*invan); disp ' ' disp ' ========== 计算斜齿圆柱齿轮公法线长度及其偏差==========' fprintf(' 端面压力角at = %3.3f 度\n',ath/hd) fprintf(' 相当齿数zp = %3.3f \n',zp) fprintf(' 跨齿数k = %2.0f \n',k) fprintf(' 公法线长度Wkn = %3.3f mm \n',Wkn) % 输入齿距极限偏差和齿圈径向跳动公差 fpt=0.028;Fr=0.071; % 输入齿厚极限偏差代号 H=-8;L=-16; % 计算齿厚极限偏差 Es=H*fpt;Ei=L*fpt; fprintf(' 齿厚上偏差Es = %3.3f mm \n',Es) fprintf(' 齿厚下偏差Ei = %3.3f mm \n',Ei) % 计算公法线长度极限偏差 Ews=Es*cos(anh)-0.72*Fr*sin(anh); Ewi=Ei*cos(anh)+0.72*Fr*sin(anh); fprintf(' 公法线长度上偏差Ews = %3.3f mm \n',Ews) fprintf(' 公法线长度下偏差Ewi = %3.3f mm \n',Ewi) 计算结果： ========== 斜齿圆柱齿轮基本参数========== 模数Mn = 4.00 mm 齿轮公法线测量 一、实验目的 1.熟悉齿轮公法线长度及其变动的测量方法; 2.熟悉齿轮公法线平均长度偏差的测量方法; 3.练习齿轮公差表格的查阅。 二、测量原理与器具 公法线长度变动ΔFw就是指在齿轮一周范围内,实际公法线长度的最大值Wmax与最小值Wmin之差。测量ΔFw可以得到齿距累积误差ΔFp中的切向误差部分,这一误差主要就是由于齿轮加工机床传动中分度蜗轮的回转中心与机床主轴(或工作台)的旋转中心不重合而产生的(通常称作运动偏心)。它使得同一齿轮上的基节或基圆齿厚不均匀,从而影响齿轮在传动中传动比变化的准确性。ΔFw主要反映由于运动偏心而造成的齿轮切向长周期误差。 图1 用公法线指示卡规测量公法线长度图2 用公法线百分尺测量公法线长度公法线平均长度Δwm则就是指在齿轮一周范围内,公法线实际长度的平均值与公称值之差。因公法线长度就是由若干个基节Pb与一个基圆齿厚Ss组成,而基节偏差比齿厚偏差小得多,故公法线平均长度偏差Δwm主要反映被测齿轮的齿侧间隙。 公法线长度可用公法线千分尺(如图1)、公法线指示卡规(图2)或万能测齿仪等测量。本实验采用公法线百分尺测量。 公法线千分尺就是在普通千分尺上安装两个大平面测头,其读数方法与普通千分尺相同。 三、测量步骤 1、确定被测齿轮的跨齿数K,并计算公法线公称长度W。 当测量一压力角为20°的非变位直齿圆柱齿轮时: W= m·[ 1、4761×(2K – 1) + 0、014Z] 式中: m——模数Z——齿数K——跨齿数 齿数Z 10～18 19～27 28～36 37～45 …… 跨齿数K 2 3 4 5 …… 2、根据公法线公称长度W选取适当规格的分法线千分尺并校对零位。 3、测量公法线长度:根据选定的跨齿数K用公法线千分尺测量沿被测齿轮圆周均布的5条公法线长度。 4、计算公法线平均长度偏差Δwm:取所测5个实际公法线长度的平均值W后减去公称公法线长度,即为公法线平均长度偏差Δwm。 5、计算公法线长度变动ΔFw:取5个实际公法线长度中的最大值与最小值之差,为公法线平均长度变动ΔFw。 公法线长度计算 以此次320改造为例，Ⅰ齿 Step1. 跨测齿数k 《机修手册》第一卷（下册）P11-152 表11-6-3 公法线长度跨测齿数k 的计算公式 0.111110.5=0.11111360.55k Z =+?+≈（四舍五入） Step2. 公法线长度W 《机修手册》第一卷（下册）P11-156 表11-6-5 直齿轮公法线长度 根据跨测齿数k=5和齿轮齿数Z=36，查上表，得到模数m=1，压力角=20α的公法线长度5=13.7888W ； 那么模数m=7的公法线长度5=7W =96.5216W ?。 Step3. 最终公法线长度W 及公法线长度公差 0min =()s W n SS T W W F j E ----最终公法线①. 《机修手册》第一卷（下册）P11-264 表11-9-25 公法线长度变动公差W F 值 根据精度等级：6级精度；分度圆直径区间：125252400 <≤mm。 查得：0.025W F mm =。 ②. 《机修手册》第一卷（下册）P11-265 表11-9-27 最小法向极限侧隙min n j 根据侧隙种类：d 类；中心距231a =，180231250<≤mm 。 查得：min 0.072n j mm =。 ③. 《机修手册》第一卷（下册）P11-267 表11-9-29 齿厚上偏差ss E 根据侧隙种类：d 类；法向模数m=7，1710≤≤；分度圆直径区间：250252315<≤mm ；精度等级：6级精度。 查得：0.063ss E mm =。 ④. 《机修手册》第一卷（下册）P11-269 根据精度等级：6级精度；法向模数m=7，1710≤≤；分度圆直径区间：250252315<≤mm 。 查得：0.080S T mm =。 那么： 0min =()s W n SS T W W F j E ----最终公法线00.080 0.08=(96.520.0250.0720.063)96.36W -----= （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 实验三 齿轮公法线长度的测量 （一） 实验目的 （1）掌握测量齿轮公法线长度的方法。 （2）熟悉公法线平均长度偏差和公法线长度变动的计算方法，并理解两者的含义和区别。 （二） 实验内容 （1）用公法线千分尺测量齿轮的公法线长度。 （2）根据测得值计算公法线平均长度偏差和公法线长度变动。 （三） 计量器具说明 公法线长度可用公法线千分尺、公法线指示卡规和万能测齿仪等测量。 公法线千分尺应用最多。如图3-1所示，它与普通外径千分尺相似，只是改用了一对直径为30mm 的盘形平面测头，其读数方法与普通千分尺相同。 图3-1 公法线长度测量 （四） 测量原理 公法线长度变动ΔF W 是指在齿轮一周范围内，实际公法线长度最大值与最小值之差。 公法线平均长度偏差ΔF W 是指在齿轮一周范围内，公法线实际长度的平均值与公称值之差。 测量时，要求测头的测量平面在齿轮分度圆附近与左、右齿廓相切，因此跨齿数k 不是任取得。当齿形角α=20°，齿数为z 时，取5.09 +=z k 的整数（四舍五入）。 对于直齿圆柱齿轮，公法线长度的公称值W 可按下式计算： ααπαsin 2])5.0([cos xm zinv k m W ++?= 式中： m ————被测齿轮模数； α————齿形角； z—————齿数； k—————跨齿数； x—————变位系数。 当α=20°，变位系数x = 0时， ]014.0)12(476.1[z k m W +?= W 和k 值也可从表3-1中查出。 表3-1 直齿圆柱齿轮公法线长度的公称值（α=20°，m=1，x=0） （五）测量步骤 （1）根据被测齿轮的α，m，z值，按上述公式计算或查表3-1确定被测齿轮的跨齿数k和公法线公称长度。 （2）用标准校对棒或量块校对所用千分尺的零位。 （3）用左手捏住公法线千分尺，将两测头伸入齿槽，夹住齿侧测量公法线长度，齿轮不动，左右摆动千分尺，同时用右手旋动千分尺套筒，使两测头合拢，直到手感到测头夹紧齿侧后，从千分尺的标尺上读数，此数即为公法线长度。 （4）依次测量齿轮上均布的六处公法线长度，记下各读数。 （5）计算公法线长度变动ΔF W。取六个测得值中的最大值（W max）与最小值（W min）之差，即 ΔF W = W max —W min （6）计算公法线平均长度偏差ΔF W。取六个测得值的平均值W与公称值W之差，即 ΔE W = W— W 齿数跨测齿数公法线长度 z K Wk m=2 m=3 m=4 m=5 m=6 m=7 42 4.484228.9684413.4526617.9368822.4211026.9053231.3895452 4.498228.9964413.4946617.9928822.4911026.9893231.4875462 4.512239.0244613.5366918.0489222.5611527.0733831.5856172 4.526249.0524813.5787218.1049622.6312027.1574431.6836882 4.540249.0804813.6207218.1609622.7012027.2414431.7816892 4.554259.1085013.6627518.2170022.7712527.3255031.87975102 4.568259.1365013.7047518.2730022.8412527.4095031.97775112 4.582269.1645213.7467818.3290422.9113027.4935632.07582122 4.596269.1925213.7887818.3850422.9813027.5775632.17382132 4.610279.2205413.8308118.4410823.0513527.6616232.27189142 4.624279.2485413.8728118.4970823.1213527.7456232.36989152 4.638289.2765613.9148418.5531223.1914027.8296832.46796162 4.652299.3045813.9568718.6091623.2614527.9137432.56603172 4.666299.3325813.9988718.6651623.3314527.9977432.664031837.6324315.2648622.8972930.5297238.1621545.7945853.427011937.6464315.2928622.9392930.5857238.2321545.8785853.525012037.6604415.3208822.9813230.6417638.3022045.9626453.623082137.6744415.3488823.0233230.6977638.3722046.0466453.721082237.6884515.3769023.0653530.7538038.4422546.1307053.819152337.7024615.4049223.1073830.8098438.5123046.2147653.9172224 3 7.71646 15.43292 23.14938 30.86584 38.58230 46.29876 54.01522 标准直齿轮（m=1 α=20°）公法线长度和跨测齿数 模数 （一） 实验目的 （1）掌握测量齿轮公法线长度的方法。 （2）熟悉公法线平均长度偏差和公法线长度变动的计算方法，并理解两者的含义和区别。 （二） 实验内容 （1）用公法线千分尺测量齿轮的公法线长度。 （2）根据测得值计算公法线平均长度偏差和公法线长度变动。 （三） 计量器具说明 公法线长度可用公法线千分尺、公法线指示卡规和万能测齿仪等测量。 公法线千分尺应用最多。如图3-1所示，它与普通外径千分尺相似，只是改用了一对直径为30mm 的盘形平面测头，其读数方法与普通千分尺相同。 图3-1 公法线长度测量 （四） 测量原理 公法线长度变动ΔF W 是指在齿轮一周范围内，实际公法线长度最大值与最小值之差。公法线平均长度偏差ΔF W 是指在齿轮一周范围内，公法线实际长度的平均值与公称值之差。 测量时，要求测头的测量平面在齿轮分度圆附近与左、右齿廓相切，因此跨齿数k 不是任取得。当齿形角α=20°，齿数为z 时，取5.09 +=z k 的整数（四舍五入）。 对于直齿圆柱齿轮，公法线长度的公称值W 可按下式计算： ααπαsin 2])5.0([cos xm zinv k m W ++-= 式中： m ————被测齿轮模数； α————齿形角； z —————齿数； k —————跨齿数； x —————变位系数。 当α=20°，变位系数x = 0时， ]014.0)12(476.1[z k m W +-= W 和k 值也可从表3-1中查出。 表3-1 直齿圆柱齿轮公法线长度的公称值（α=20°，m=1，x=0） （五）测量步骤 （1）根据被测齿轮的α，m，z值，按上述公式计算或查表3-1确定被测齿轮的跨齿数k和公法线公称长度。 （2）用标准校对棒或量块校对所用千分尺的零位。 （3）用左手捏住公法线千分尺，将两测头伸入齿槽，夹住齿侧测量公法线长度，齿轮不动，左右摆动千分尺，同时用右手旋动千分尺套筒，使两测头合拢，直到手感到测头夹紧齿侧后，从千分尺的标尺上读数，此数即为公法线长度。 （4）依次测量齿轮上均布的六处公法线长度，记下各读数。 （5）计算公法线长度变动ΔF W。取六个测得值中的最大值（W max）与最小值（W min）之差，即 ΔF W = W max —W min （6）计算公法线平均长度偏差ΔF W。取六个测得值的平均值W与公称值W之差，即 ΔE W = W—W 齿轮公法线公式推导 1.传统法计算公法线长 标准圆柱直齿轮、变位直齿轮，标准圆柱斜齿轮、变位圆柱斜齿轮的公法线依据基本关系式b b k S P k W +?=)1(推导出为： ])5.0[(cos απαzinv k m W k +?=1 α απαsin 2])5.0[(cos xm zinv k m W kx ++?=2])5.0[(cos n n n kn zinv k m W απα+?=3 n n n n n n knx m x zinv k m W ααπαsin 2])5.0[(cos ++?=4 所对圆心角分别为：α )2cos arccos()arccos(x z z r r x b x +==αα5 )cos tan arctan(βααn t =)2cos arccos()arccos( t t xt bx tx x z z r r +==αα6 依据等式α sin d W k =75.0+=z k πα' 7x x b kx mz d W αααtan cos tan ==8απ ααππαtan 2)tan (tan 5.0x z z k x ??++='8b t kn d W βαcos /sin =9b t z z k βαππα2tan tan 5.0++=' 9b tx t t b tx tx knx x z m d W βαβαcos /sin )2(cos /sin +==10...=k ' 10 2.补偿法计算标准直齿轮公法线长 W W W ?+=*11 各种圆柱齿轮的W 、*W 和W ?分别如图4、5、6所标示。由图4：'''2AA BB AA W =+=?。根据渐开线性质知：b b b b b b k k kP P k k S P k S P k W W AA ?=?=+??+?=?=)(])1[(])1[(2***'απcos 2'k m AA ?=12 k 为最接近*k 的整数，为实际测量的跨齿数，为整数值。由11式知 ) cos sin (cos sin απααπαk z m k m mz W k ?+=?+=133..补偿法计算变位直齿轮公法线公式推导 由图5,x x kx d W αsin =其中)2(x z m d x +=，x z z x 2cos arccos +=α α]cos sin )2[(cos sin απααπαk x z m k m d W x x x kx ?++=?+= （一） 实验目的 （1）掌握测量齿轮公法线长度的方法。 （2）熟悉公法线平均长度偏差和公法线长度变动的计算方法，并理解两者的含义和区别。 （二） 实验内容 （1）用公法线千分尺测量齿轮的公法线长度。 （2）根据测得值计算公法线平均长度偏差和公法线长度变动。 （三） 计量器具说明 公法线长度可用公法线千分尺、公法线指示卡规和万能测齿仪等测量。 公法线千分尺应用最多。如图3-1所示，它与普通外径千分尺相似，只是改用了一对直径为30mm 的盘形平面测头，其读数方法与普通千分尺相同。 图3-1 公法线长度测量 （四） 测量原理 公法线长度变动ΔF W 是指在齿轮一周范围内，实际公法线长度最大值与最小值之差。公法线平均长度偏差ΔF W 是指在齿轮一周范围内，公法线实际长度的平均值与公称值之差。 测量时，要求测头的测量平面在齿轮分度圆附近与左、右齿廓相切，因此跨齿数k 不是任取得。当齿形角α=20°，齿数为z 时，取5.09 +=z k 的整数（四舍五入）。 对于直齿圆柱齿轮，公法线长度的公称值W 可按下式计算： ααπαsin 2])5.0([cos xm zinv k m W ++-= 式中： m ————被测齿轮模数； α————齿形角； z —————齿数； k —————跨齿数； x —————变位系数。 当α=20°，变位系数x = 0时， ]014.0)12(476.1[z k m W +-= W 和k 值也可从表3-1中查出。 表3-1 直齿圆柱齿轮公法线长度的公称值（α=20°，m=1，x=0） （五）测量步骤 （1）根据被测齿轮的α，m，z值，按上述公式计算或查表3-1确定被测齿轮的跨齿数k和公法线公称长度。 （2）用标准校对棒或量块校对所用千分尺的零位。 （3）用左手捏住公法线千分尺，将两测头伸入齿槽，夹住齿侧测量公法线长度，齿轮不动，左右摆动千分尺，同时用右手旋动千分尺套筒，使两测头合拢，直到手感到测头夹紧齿侧后，从千分尺的标尺上读数，此数即为公法线长度。 （4）依次测量齿轮上均布的六处公法线长度，记下各读数。 （5）计算公法线长度变动ΔF W。取六个测得值中的最大值（W max）与最小值（W min）之差，即 ΔF W = W max —W min （6）计算公法线平均长度偏差ΔF W。取六个测得值的平均值W与公称值W之差，即 ΔE W = W—W 齿轮公法线长度公差怎么确定？听说是要查什么《齿轮精度》手册，请问有电子版的下载吗？图纸上标有精度要求及公差，但是与公法线长度公差并不一致，请问是什么意思？ 1、齿轮精度主要是控制齿轮在运转时齿轮之间传递的精度，比如：传动的平稳性、瞬时速度的波动性、若有交变的反向运行，其齿侧隙是否达到最小，如果有冲击载荷，应该稍微提高精度，从而减少冲击载荷带给齿轮的破坏。 2、如果以上这些设计要求比较高，则齿轮精度也就要定得稍高一点，反之可以定得底一点 3、但是，齿轮精度定得过高，会上升加工成本，需要综合平衡 4、你上面的参数基本上属于比较常用的齿轮，其精度可以定为：7FL，或者7-6-6GM 精度标注的解释： 7FL：齿轮的三个公差组精度同为7级，齿厚的上偏差为F级，齿厚的下偏差为L级 7-6-6GM：齿轮的第一组公差带精度为7级，齿轮的第二组公差带精度为6级，齿轮的第三组公差带精度为6级，齿厚的上偏差为G级，齿厚的下偏差为M级 5、对于齿轮精度是没有什么计算公式的，因为不需要计算，是查手册得来的。 6、精度等级的确定是工程师综合分析的结果，传动要求精密、或者是高负载、交变负载……就将精度等级定高一点 7、精度等级有5、6、7、8、9、10级，数值越小精度越高 8、（齿厚）偏差等级也是设计者综合具体工况给出的等级，精密传动给高一点，一般机械给低一点，闭式传动给高一点，开式传动给低一点。 9、（齿厚）偏差等级有C、D、E、F、G、H、J、K、L、M、N、P、R、S级，C级间隙最大，S级间隙最小。 10、不管是精度等级，还是偏差等级，定得越高，加工成本也越高，需要综合分析之后再具体的给出一个恰当的精度等级和偏差等级。 1、齿轮精度主要是控制齿轮在运转时齿轮之间传递的精度，比如：传动的平稳性、瞬时速度的波动性、若有交变的反向运行，其齿侧隙是否达到最小，如果有冲击载荷，应该稍微提高精度，从而减少冲击载荷带给齿轮的破坏。 2、如果以上这些设计要求比较高，则齿轮精度也就要定得稍高一点，反之可以定得底一点 3、但是，齿轮精度定得过高，会上升加工成本，需要综合平衡 4、你上面的参数基本上属于比较常用的齿轮，其精度可以定为：7FL，或者7-6-6GM 精度标注的解释： 7FL：齿轮的三个公差组精度同为7级，齿厚的上偏差为F级，齿厚的下偏差为L级 7-6-6GM：齿轮的第一组公差带精度为7级，齿轮的第二组公差带精度为6级，齿轮的第三组公差带精度为6级，齿厚的上偏差为G级，齿厚的下偏差为M级 5、对于齿轮精度是没有什么计算公式的，因为不需要计算，是查手册得来的。 6、精度等级的确定是工程师综合分析的结果，传动要求精密、或者是高负载、交变负载……就将精度等级定高一点 7、精度等级有5、6、7、8、9、10级，数值越小精度越高 8、（齿厚）偏差等级也是设计者综合具体工况给出的等级，精密传动给高一点，一般机械给低一点，闭式传动给高一点，开式传动给低一点。 标准直齿圆柱齿轮公法线长度计算式 20 [ 标签：齿圆柱齿轮,公法线长度 ] 我只知道公式。但对公式的某些符号不理解。请懂的朋友详细解释一下。 假如可以，请我帮我再计算下齿轮的公法线。 中心距103，2个齿轮一样的。齿数是59，模数=1.75 隨風飘逝回答:1 人气:51 解决时间:2010-09-10 22:31 满意答案 好评率：0% 分度圆直径d1=mz1=59*1.75=103.25 基圆直径db=d1*cos20~=42.13 o1o2=103则01p=103/2=51.5 o1n1=42.13/2=21.07 由勾股定理n1p=47 从而n1n2=94 提问人的追问 2010-09-10 13:27 能不能详细介绍下怎么计算出公法线长度的？最好附图。 提问人的追问 2010-09-10 13:40 公法线公式：W=mcosα[π(k-0.5)+zinvα]. 请问这公式每个变数什么意思。 m=模数，π=圆周率，这2个我知道。 zinvα什么意思？Z是不是就是齿数？而inv是什么意思？α又是多少度？ 回答人的补充 2010-09-10 14:41 α是压力角，标准齿轮取20度。invα=tanα-α是渐开线函数，表示的是压力角与展角的函数关系。z是齿数，K为公法线跨齿数。 提问人的追问 2010-09-10 15:02 我再问2个问题： 一、tanα-α这个怎么算？tanα应该是=一个数，而α则是角度，数-角度？也就是tan20°-20°？ 二、K是公法线跨齿数，我怎么知道这个数值是多少？ 回答人的补充 2010-09-10 22:23 将α化一下就行了，α/180*3.14就是数了，因为180度就是π=3.14。K是公法线跨齿数，可以通过草图来确定（就是数一下）。 回答人的补充 2010-09-10 22:29 注：公法线跨测齿数K对同一变位齿轮可取不同数值，但有一最佳值，可利用齿轮制作软件Geartrax2007做出圆柱齿轮图，从中得出最佳值。尤其指出的是：《机械设计手册》表格中的跨测齿数的选取有些不尽合理，有时在实际中根本无法测出。（引自网上所言）齿轮公法线偏差计算
斜齿轮公法线计算总结
齿轮公法线上下偏差计算公式
齿轮公法线偏差计算教学提纲
计算斜齿轮公法线长度和公差
齿轮公法线测量
齿轮公法线长度 计算
齿轮公法线长度的测量
跨测齿数与公法线长度
齿轮公法线长度的测量
齿轮公法线公式推导
齿轮公法线长度的测量
齿轮公法线长度公差怎么确定
标准直齿圆柱齿轮公法线长度计算式