2.4 绝对值 精讲精练

2.4 绝对值 精讲精练

[学习目标]

1.能正确理解绝对值的几何意义和代数意义；

2.能利用数轴理解绝对值的几何意义；

3.能利用绝对值的意义，重新认识相反数的意义． [典型例题]

例1 求下列各数的绝对值：103+

， －434， ３．８， －3

2

， ０ [解答] ｜103+｜＝ 103; ｜－434｜＝－（－434）＝4

3

4;

｜３.８｜＝３.８; ｜－32｜＝－（－32）＝3

2

; ｜０｜＝０.

[点拨]由绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝

对值；是它的相反数。 切不可写作 －434

＝｜－434｜＝4

3

4 例2．一个数的绝对值是８，求这个数． [解答] ±８

[点拨] 绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数． 例3．计算：

（１）－（－｜－２｜） （２）｜4

3

211

-｜ （３）｜＋４｜＋｜－３｜ （４）｜－２｜－｜＋１｜＋｜０｜ （５）－（｜－４．２｜×｜＋

|75） （６）｜|5

6||65-÷ [解答] （１）原式＝－（－２）＝２; （２）原式＝｜

4

3

|43|4346==-; （３）原式＝４＋３＝７; （４）原式＝２－１＋０＝１; （５）原式＝－3)75521(

-=?; （６）原式＝5665÷＝36

256565=?. [点拨]先进行绝对值符号内的运算，再去绝对值符号。 [基础训练] 一、填空题： 1、│32

│= ，│-

3

2

│= 。 2、+│+5│= ，+│-5│= ，-│+5│= ，-│-5│= 。

3、│0│= ，+│-0│= ，-│0│= 。

4、绝对值是6

2

1

，符号是“-”的数是 ，符号是“+”的数是 。 5、-0.02的绝对值的相反数是 ,相反数的绝对值是 。 二、选择题 6面四种说法:

① 互为相反数的两个数的绝对值相等; ② 正数和零的绝对值都等于它本身; ③ 只有负数的绝对值是它的相反数; ④

一个数的绝对值的相反数一定是负数.

其中正确的有( )

A.1 个

B.2个

C.3 个

D.4个 7.a 表示一个有理数,那么.( )

A.∣a ∣是正数

B.-a 是负数

C.-∣a ∣是负数

D.∣a ∣不是负数 8．绝对值等于它的相反数的数一定是( )

A.正数

B. 负数

C.非正数

D. 非负数 9．一个数的绝对值是最小的正整数,那么这个数是( )

A.-1

B.1

C.0

D.+1或-1 10． 设m,n 是有理数,要使∣m ∣+∣n ∣=0,则m,n 的关系应该是( )

A. 互为相反数

B. 相等

C. 符号相反

D. 都为零 三、解答题： 11.化简: （1）1+∣-3

1

∣ （2）∣-3.2∣-∣+2.3∣

（3）－（－│－２

5

2

│） （4）－│－（＋３．３│）

（5）－│＋（－６）│

12．填表:

一个数a -3.14 3.5 a 的相反数 -0.5 5.7 a 的绝对值

13．在数轴上表示下列各数并分别写出它们的绝对值:

３

21，－１21，－２．２，４，－３4

3

[思维拓展]

14. 数轴上一个点表示的数为８，将这个点向左移动１０．５个长度单位后，所表示的数的

绝对值是多少？

15．（1）若|a+2|+|b-1|=0,则a= b= ; （2）若|a-1|+[ab-2]2

=0,则

111

(1)(1)(11)(11)

a b a b a b +++=?++++ ________. （3）若|a|=3,|b|=2,且a+b<0,则a-b=______________. [探究实践]

16．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离是8,求这两个数.若数轴上表示这两数的点位于原点的同侧呢?

参考答案

一、填空题：

1、－32，32

2、5， 5， -5，-5

3、０，０，０

4、－6 21，＋6 2

1

5、-0.02，0.02

二、选择题

6. C

7. D 8． B 9． B 10． D 三、解答题： 11.化简: (1)1

3

1

(2)0.9 (3)2

5

2 (4)-3.

3 (5)-6

12． 0.5 0 -5.7 3.14 0 -3.5 3.14 0.5 5.7 3.5

13．３

21，１21，２．２，４，３4

3

14. -2.5 15．（1）-2，1 （2）13

12

（3）-1或-5

16． -2，6或-6，2 同侧2，10或-2，-10.

1.2.4--绝对值(第二课时)(新人教版七年级上洋思教案)

1．2．4 绝对值（第二课时） 学习目标：1．知识与技能 会利用绝对值比较两个负数的大小． 2．过程与方法 利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 重点：利用绝对值比较两个负数的大小． 难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小． 教学过程 一、板书课题，揭示目标 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记做|a|。 例如,+2的绝对值是2,记作|+2| = 2; -3的绝对值是3 ,记作|- 3| = 3. 一个数的绝对值与这个数的关系: 1.正数的绝对值是它本身,即当a是正数时,那么|a|=a; 2.负数的绝对值是它的相反数,即当a是正数时,那么|a|=-a; 3.0的绝对值是0,即当a=0,那么|a|=0。 二、讲授新知 图1.2-6给出了一周中每天的最高气温和最低气温,你能将这14个温度按从低到高的顺序排列吗? -4℃,-3 ℃,-2 ℃,-1 ℃,0 ℃,1 ℃,2℃, 3 ℃,4 ℃,5 ℃,6 ℃,7 ℃,8 ℃,9 ℃你能在数轴上按顺序把这些数表示出来吗? 在数轴上你有何发现? 你觉得两个有理数可以比较大小吗? 数学中规定:数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数大于右边的数。 由这个规定可知: -6<-5,-5<-4,……-2<0,-1<1,2<4,…… 正数大于0,0大于负数,正数大于负数。

( 1 )在数轴上表示下列各数,并比较它们的大小: - 1.5 , - 3 , - 1 , - 5 ( 2 ) 求出(1)中各数的绝对值,并比较它们的大小( 3 )你发现了什么? 解:(1)- 5 < - 3 <- 1.5 < - 1 (2)| -1.5 | = 1.5 ; | - 3 | = 3; | -1 | = 1 ; | - 5 | = 5. 1 < 1.5 <3 <5 (3)由以上知:两个负数比较大小,绝对值大的反而小 有理数大小比较法则 1.正数大于0,0大于负数,正数大于负数。 2.两个负数,绝对值大的反而小。 三、讲解例题 例1 比较下列各组数的大小 （1）－1和-5 （2）－5 6 和－2.7 解：（1）∵｜－1|＝1 │-5│=5，而1＜5 ∴－1>-5 （2）∵∵｜－5 6 ｜＝ 5 6 │-2.7│=2.7，而 5 6 ＜2.7 ∴－5 6 >-2.7 例3. 比较下列这组数的大小 -(-1)和–(+ 3) 解:先化简, -(-1)=1, –(+ 3)=-3 正数大于负数,1>2 即-(-1)>–(+ 3) 四、巩固拓展 1、按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来． -41 2 ，-（- 2 3 ），│-0.6│，-0.6，-│4.2│ 解：∵-（-2 3 ）= 2 3 ，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2

绝对值不等式(经典题型)

1．若a >0，且|x |>a ，则____________；若a >0，且|x |c (c >0)型不等式的解法： 3.解下列不等式． (1)|2x ＋5|<7. (2)|2x ＋5|>7＋x . (3)|x 2－3x ＋1|<5. (4)|2x －1|<2－3x . (5)1<|2－x |≤7. (6)1<|x －2|≤3 4.集合A ＝{x ||2－x |<5}，B ＝{x ||x ＋a |≥3}，且A ∪B ＝R ，求a 的取值范围 |x －a |＋|x －b |≥c |x －a |＋|x －b |≤c 5.解不等式 （1）|x －1|＋|x －2|>2. （2）|x ＋2|－|x －1|<2 |（3）x ＋2|－|x －1|<2x 6.恒成立问题 (1)对任意x ∈R ，若|x －3|＋|x ＋2|>a 恒成立，则实数a 的取值范围 ． (2)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|的解集非空，则实数a 的取值范围 ． (3)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|在R 上无解，则实数a 的取值范围 ． (4)若不等式|x ＋3|－|x －5|x －2x 的解集是________． 10.．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|，则f (x )的值域是________． 11. 对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为______ 12.设函数f(x)＝|3x －1|＋x ＋2. (1)解不等式f(x)≤3； (2)若不等式f(x)>a 的解集为R ，求a 的取值范围.

(完整版)绝对值三角不等式

1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5） 教学目标： 1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。 2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数 学 思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程： 一、复习引入： 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1．请同学们回忆一下绝对值的意义。 ?? ? ??<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。 2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。 （2）2 a a =， （3） b a b a ?=?， （4） )0(≠= b b a b a 那么? b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课： 结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时, 探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对值不等式的解法自我小测新人教A版选修4_5

1.2.2 绝对值不等式的解法 自我小测 1．不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )． A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 2．不等式|x＋3|－|x－3|＞3的解集是( )． A． B． C．{x|x≥3} D．{x|－3＜x≤0} 3．已知y＝log a(2－ax)在(0,1)上是增函数，则不等式log a|x＋1|＞log a|x－3|的解集为( )． A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1} C．{x|x＜1，且x≠－1} D．{x|x＞1} 4．x2－2|x|－15＞0的解集是____________． 5．不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为__________． 6．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，则f(－2)＝______；若f(x)≤5，则x的取值范围是______． 7．不等式4＜|3x－2|＜8的解集为______． 8．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤1． 9．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.如果对任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 10.设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． 参考答案 1.答案：D

解析： 所以不等式的解集是(－2,1]∪[4,7)． 2.答案：A 3.答案：C 解析：因为a＞0，且a≠1，所以2－ax为减函数．又因为y＝log a(2－ax)在[0,1]上是增函数， 所以0＜a＜1，则y＝log a x为减函数． 所以|x＋1|＜|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0. 由|x＋1|＜|x－3|，得(x＋1)2＜(x－3)2， 即x2＋2x＋1＜x2－6x＋9， 解得x＜1．又x≠－1，且x≠3， 所以解集为{x|x＜1，且x≠－1}． 4.答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞) 解析：∵x2－2|x|－15＞0，即|x|2－2|x|－15＞0，∴|x|＞5，或|x|＜－3(舍去)． ∴x＜－5，或x＞5. 5.答案：{x|x≥1} 解析：原不等式可化为或 或 ∴x∈，或1≤x＜2，或x≥2. ∴不等式的解集是{x|x≥1}． 6.答案：6 [－1,1] 解析：f(－2)＝|2×(－2)－1|＋(－2)＋3＝6. |2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x，

1.2.4 绝对值(第二课时)(新人教版七年级上洋思教案)

课题：1．2．4 绝对值（第二课时） 教材：新课标人教版 学习目标：1．知识与技能 会利用绝对值比较两个负数的大小． 2．过程与方法 利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观 敢于面对数学活动中的困难，有学好数学的自信心． 重点：利用绝对值比较两个负数的大小． 难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小． 教学过程 一．板书课题，揭示目标 同学们，本节课我们一同学习“1．2．4 绝对值（第二课时）”本节课的学习目标是(投影)． 学习目标 会利用绝对值比较两个负数的大小． 二．指导自学 自学指导 请认真看P.13—14的内容．思考P13页思考题中的问题， 5分钟后，比比谁的答案正确． 三．学生自学 1．学生按照自学指导看书，教师巡视，确保人人学得紧张高效． 2．检查自学效果 (1)投影练习 （1）│-3│与│-8│（2）4与-5 （3）0与3 （4）-7和0 （5）0.9和1.2 例1 比较下列各组数的大小 （1）－5 6 和－2.7

（2）－5 7 和－ 3 4 解：（1）∵｜－5 6 ｜＝ 5 6 │-2.7│=2.7，而 5 6 ＜2.7 ∴－5 6 >-2.7 （2）∵｜－5 7 ｜= 5 7 ＝ 20 28 ，｜－ 3 4 ｜＝ 3 4 ＝ 21 28 ，而 20 28 ＜ 21 28 ∴－ 5 7 ＞－ 3 4 例2 按从大到小的顺序，用“〈”号把下列数连接起来． -41 2 ，-（- 2 3 ），│-0.6│，-0.6，-│4.2│ 解：∵-（-2 3 ）= 2 3 ，│-0.6│=0.6，-│4.2│=-4.2 而|-41 2 |=4 1 2 ，│-0.6│=0.6，│-4.2│=4.2 且41 2 >4.2>0.6，0.6< 2 3 ∴ -41 2 <-│4.2│<-0.6<│-0.6│<-（- 2 3 ） 例3 自己任写三个数，使它大于-5 7 而小于- 1 8 ． 【点评】此题是一个开放型问题，培养学生发散性思维． 例4 已知│a│=4，│b│=3，且a>b，求a、b的值． 【答案】 a=4，b=±3 备选例题 （2004．江苏南通）如图1-2-11所示，在所给数轴上画出数-3，-1，│-2│的点．把这组数从小到大用“〈”号连接起来． 【提示】把它们分别在数轴上点出相关位置，并比较大小． 四．讨论更正，合作探究 1．学生自由更正，或写出不同解法； 2．评讲 讨论交流由以上各组数的大小比较可见：正数都大于0，0都大于负数，正数都大于负数．思考若任取两个负数，该如何比较它的大小呢？ 点拨若-7表示－7℃，-1表示－1℃，则两个温度谁高谁低？ 【总结】两个负数，绝对值大的反而小，或说，两个负数绝对值小的反而大．

第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)word版本

第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a -

例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。 5．(2008佛山二模)关于x 的不等式2121x x a a -+-≤++的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ____. 6. 若关于x 的不等式a x x ≥-++12的解集为R ，则实数a 的取值范围是_____________.

绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法 绝对值不等式 例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． ｛x ｜x>1｝． 例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ． 例3 解不等式｜3x-1｜>x+3． ｛x ｜ x<- ，或x>2｝． 例4 解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝ ｜x+3｜+｜x-3｜>8． 例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5． ｛x ｜-2????≥ ≥?> )()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1.解不等式0343>-- -x x 二.???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2.解不等式x x x 34232->-+- }256| {≤≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式 例1、解不等式 （1）12>x （2） ) 1(332)21(22--->+-a a a a x x x 且 （4）x x -->4)21(3 2 （5）222223 2≤+-x x （6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32 log 3x （2） 1log 2 1->x （3）6 24log log >x （4）)102(log )43(log 312 31+>--x x x 三角不等式 （1）21 cos >x （2） 3sin 2+πx

第1讲-绝对值和绝对值不等式的解法

第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法 5.1 绝对值的概念 定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 例如，2-到原点的距离等于2，所以22-=．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0a a a a a a >??==??-<<，，，原式11110=--+=； （2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 原式0=．

【例4】若42a b -=-+，则_______a b +=． 解：424204,2a b a b a b -=-+?-++=?==-，所以2a b +=． 结论：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =． 练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________ 解：1,2a b =-=． 练习2：若7322102 m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 解：由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922 p n m m +==+-=-＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值 对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零 点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例5】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()() 0000x x x x x x >??==??-

绝对值不等式讲义

解绝对值不等式 1、解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜0) ?-a2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值 3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2） 234 x x -≤1 变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 6．不等式|x+3|-|2x-1|<2 x +1的解集为 。 7．求不等式13 31log log 13x x +≥-的解集.

变形三 解含参绝对值不等式 8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x 10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 11、若不等式|x －4|+|3－x |；()f x a <解集为空集()m i n a f x ?≤；这两者互补。()f x a <恒成立 ()m a x a f x ?>。 ()f x a ≥有解()m a x a f x ?≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ?>；这两者互补。()f x a ≥恒成立 ()min a f x ?≤。

人教版高数选修4-5第1讲：不等式的性质与绝对值不等式(学生版)

不等式的性质与绝对值不等式 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法 1、基本不等式2 b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：_____________ (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3、算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为________ ，几何平均数为______，基本不等式可叙述为：两个 正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则

(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜0) ?-a-??求解。 ［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<， 即2 2 551(1)551 (2) x x x x ?-+-?? 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程 2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。 第1变 右边的常数变代数式 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x > 12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即22 2 226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ?－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <－()g x

124绝对值

§1.2.4 绝对值（第 1 课时） 年级：七年级（上）学科：数学执笔：鲁世凯审核：赵光洪 累计： 2 课时课型：新授执教者: 时间：年月日姓名：班级：学号： . 【学习目标】 ◇知识与能力：理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 ◇过程与方法：通过实际问题，掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. ◇情感、态度与价值观：体验运用直观知识解决数学问题的成功. 【学习重点】绝对值的概念 【学习难点】绝对值的概念与两个负数的大小比较 【教学过程】 一、学前准备 1.预习书P11——p14,写下疑难摘要： . 2. 回忆： （1）什么叫相反数？ （2）一个数a的相反数是，在数轴上表示与原点距离相等的点点数有个。（3）怎样化简一个数的符号？ 二、探索活动 （一）独立思考·解决问题 问题：如下图 小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近） (二)、师生探究·合作交流 1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 . 这时我们就说10的绝对值 ．．．是10，—10的绝对值 ．．．也是10. 例如，—3.8的绝对值是3.8；17的绝对值是17；—61 3 的绝对值是 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣2、练习： 1）、式子∣-5.7∣表示的意义是 . 2）、—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 . 3）、∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—1 3 ∣= ，∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 . 用式子表示就是：

专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式 一、知识点回顾 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） ()()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8） 5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 6、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax (3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

124绝对值教学反思-人教版七年级上册数学

《1.2.4绝对值》教学反思 本节课是在前一节学习了数轴及如何把一个有理数在数轴上表示出来的基础上学习的。其中最基本的内容是理解相反数、绝对值两个概念及它们之间的联系；掌握绝对值的相关性质，并能用符号语言来表示即讨论︱a︱与a之间的关系；利用绝对值比较两个负数的大小。教学中初步渗透了数形结合、分类讨论等重要的数学思想。 这节课设计了一个两只动物离原点距离的问题情境，使本节课一开始就充满趣味，让学生产生强烈的好奇心，进而积极主动地投入到学习之中，然后安排同学做互动游戏，给同学们创造了很好的学习氛围，激发了同学们参与学习的积极性，使原本难以理解的绝对值概念变得简单；另外，在整节课中我还给学生提供了很多探索问题的时间和空间、合作交流的时间和空间，并让学生自己归纳和总结获得新知识，锻炼了学生有条理地表达自己的思想以及在与他人交流中学会表达自己思想的能力。 一个数的绝对值实质上是数轴上该数所对应的点到原点的距离的数值，而这种几何解释反映了概念的本质，学生在对概念理解的基础上，最后再概括上升到形式定义上来，这样比较符合从感性认识上升到理性认识的规律，同时使得绝对值概念的非负性具有较扎实的基础。在传授知识的同时，一定要重视学科基本思想方法的教学，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能逐步形成和发展学生的数学能力。

在小组讨论之前，教师应该留给学生充分的独立思考的时间，并对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。 我个人认为还存在一些不足。首先，本节课站在学生的角度难度较大，因此如果创设生动具体的教学情景，让学生身临其境，通过情景让学生观察思考，发现绝对值的几何意义，体验数学是充满探索性和创造性的，同时体会到绝对值的引入是学习与生活的需要。这样能把学生轻松愉悦地带入课堂，活跃课堂气氛，激发学生的学习热情。其次，没有充分把握好学生对于字母表示数的理解程度。如果在本节课之前对字母a做一些细致的分析，分情况讨论-a所表示的意义，那么当出现|a|=-a时，学生的困惑可能会少一些，既节约时间又降低了本节课的难度。另外，关于“如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数”以及“如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数”这两种说法的判断。本节课知识容量比较大，时间紧张，并且学生的理解能力与思考能力都普遍偏低，因此安排上作为课后反思较好。一方面节省课堂时间，另一方面使学生在课后对所学知识有一个消化和升华的空间。如果这样安排，应该能圆满完成教学任务，并在下一节课做一个知识的巩固与拓展。我认为本节课条理清楚，结构紧凑，重视了学法指导，在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力。对整个学习过程，采用启发引导与讲授相结合的学习方式，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂上感悟知识的生成、发展与变化，培养了学生的创新思维能力。同

高1数学绝对值三角不等式知识点

高1数学绝对值三角不等式知识点 高1数学绝对值三角不等式知识点(一) 绝对值三角不等式 绝对值三角不等式： 1、基本形式 如果a，b都是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立; 2、变式 如果a，b都是实数，则 。 三角不等式的解法 利用三角函数线或正弦、余弦、正切函数的图象写出解集. 高1数学绝对值三角不等式知识点(二) 绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 二.教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 三.知识分析 [绝对值的三角不等式] 定理1若a，b为实数，则 ，当且仅当ab≥0时，等号成立。

几何说明：(1)当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与-b 的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2设a，b，c为实数，则 ，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“

第1讲绝对值不等式 (1)

第1讲 绝对值不等式 1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值. 解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4. 原不等式可化为： ?????x ＜－12，－x －5＞2或?????－12≤x ＜4，3x －3＞2 或???x ≥4，x ＋5＞2. 即?????x ＜－12，x ＜－7或?????－12≤x ＜4，x ＞53 或???x ≥4，x ＞－3， ∴x ＜－7或x ＞53. ∴原不等式的解集为???? ??x ???x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝?????－x －5 ? ?? ??x ＜－123x －3 ? ????－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4） 画出f (x )的图象，如图所示. 求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，? ?? ??53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为??????x ???x ＜－7或x ＞53. (2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时， 知：f (x )min ＝－92. 2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数. (1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.

证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|. (2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋ |cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数. (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a | 的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a | 的最小值为4. (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a | 恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤? ????|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min . 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a | 的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集. 解不等式得－2≤x ≤2. 故实数x 的取值范围为[－2，2]. 4.(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ). (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域； (2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值. 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7， ①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4. ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解. ③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3.