第八届全国中学生数理化学科能力展示活动 八年级数学解题技能展示试题(A 卷)及解答 试卷说明:1、本试卷共计15题,满分为120分 2、考试时间为120分钟 3、请在密封线内填写所在地区 学校、姓名和准考证号 4、成绩查询:2016年1月5日起,考生可通过活动官方网站www.xkslh 查询成绩及获奖情况 一、选择题(每题6分,共48分,每题只有一个选项是正确的) 1、20162-672×3×4030+162409×25=( ). A. 2015; B. 2016; C. 1; D. 0
解:20162-672×3×4030+162409×25=20162-2016×4030+403×403×25= =20162-10×2016×403 + 25×4032 =(2016-5×403)2 =1 选C 2、2015年10月在福建举行的首届全国青年运动会,传递火炬时火炬离主会场的距离y 与传递时间x 之间的函数关系如右图, 若用黑点表示主会场的位置,则火炬传递的路线可能是( ) A .B .C .D .
解:由已图形可知,:开始一段时间离主会场越来越远,然后有一段时间离主会场的距离不变,然后离主会场越来越近; A :行走路线是离家越来越远,不符合; B :行走路线没有一段时间离家的距离不变,不符; C :行走路线没有一段时间离家的距离不变,不符; 故选:D 3、
下列图案是用四种基本图形四种基本图形按照一定
规律拼成的,第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应
是( )
A.B.C.
D.
解:∵每个图案中从上往下,从左往右四种基本图形一个循环,
第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形是第47个图形,
47÷4=11…3,
∴第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是
故选C.
4、函数y=|x-4|+|x-6| 的最小值是().
A. 2
B. 2
C. 4
D. 6
解:像这种|x-R|的形式,可以画一条横坐标,看作点x到点R的距离,像
Y=|x-4|+|x-6|就可看作动点x到4的距离与到6的距离的和,当点位于4和6
之间时(包括4和6),距离之和最小,即函数Y=|x-4|+|x-6|取得最小值2,以
上通过草图能很容易看出,选A
5、如图所示:△ABC的面积为1平方厘米,AP垂直∠B的平分线BP于点P,则
△PBC的面积是().
A. 9/20;
B. 1/2;
C. 11/20;
D. 3/5
解:延长AP交BC与点D,则△ABP与△BPD全
等,AP=PD
所以△APC与△PCD面积相等
所以△PBC的面积等于1/2,选B
6、Using max(a1,a2,…,a n),min(a1,a2…,a n)rcprcsents the maximum
and minimum of a1,a2,…,a n, rcspectively,there are the
following conclusions :
①max (a ,b )+max (c ,d )=max (a+b ,c+d ,a+c ,b+d );
②min (a ,b )+min (c ,d )=min (a+c ,a+d ,b+c ,b+d );
③If max (a ,b )<max (c ,d ),then a <c ,b <d ;
④ If min (a ,b )<min (c ,d ),then a <c ,b <d .
The number of correct conclusions is ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
译文:用max (a 1,a 2,…,a n ),min (a 1,a 2…,a n )分别表示a 1,a 2,…,a n 中的最大与最小者,有下列结论:
①max (a ,b )+max (c ,d )=max (a+b ,c+d ,a+c ,b+d );
②min (a ,b )+min (c ,d )=min (a+c ,a+d ,b+c ,b+d );
③若max (a ,b )<max (c ,d ),则a <c ,b <d ;
④若min (a ,b )<min (c ,d ),则a <c ,b <d .
其中正确结论的个数是( )
解答:∵max (a 1,a 2,…,a n ),min (a 1,a 2…,a n )分别表示a 1,a 2,…,a n 中的最大与最小者,
∴①max (a ,b )+max (c ,d )=max (a+b ,c+d ,a+c ,b+d ),正确;
②min (a ,b )+min (c ,d )=min (a+c ,a+d ,b+c ,b+d ),正确;
③若max (a ,b )<max (c ,d ),则a <c ,b <d ,错误;
④若min (a ,b )<min (c ,d ),则a <c ,b <d ,错误.
故选:C
7、为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种密码加密系统,其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解
密)。现在加密匙为y=kx 3 ,若“4”通过加密后得到的明文是“2”,则接受方得到密文“1/256”
解密后得到的明文是( ).
A. 1/2 ;
B. 1/4;
C. 2;
D. 1/8
解:将x=4,y=2代人y=kx 3求得k=1/32,y=1/256 时,求得x=1/2 选A 。
8、在一个仓库里堆积着正方体货箱若干,若搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清点一下箱子的数量,于是想出一个办法:将这堆货箱的三视图(观测者从正面、左面、上面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形)画了出来.你能根据如图所示的三视图,帮他清点出箱子的数量吗?这些正方体货箱的个数为( )
A. 6;
B. 7;
C. 8;
D. 9
答案:C
解析:根据正视图和侧视图,可以在俯视图中标出每个位置上小正方体的个数,即这堆货箱每一列的箱子数,如下图所示,所以货箱共有8个.
继续下去…,第2016次输出的结果是_____.
3; 2
解:试题分析:根据题意得:开始输入x的值是7,可发现第1次输出的结果是7+5=12;第2次输出的结果是×12=6;
第3次输出的结果是×6=3;
第4次输出的结果为3+5=8;
第5次输出的结果为×8=4;
第6次输出的结果为×4=2;
第7次输出的结果为×2=1;
第8次输出的结果为1+5=6;
归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环,
∵(2016﹣1)÷6=335…5,
∴第2016次输出的结果与第6次输出的结果相同,为2。
10、如下图,上下底面为全等的正六边形礼盒,其主视图与左视图均由矩形构成,主视图中大矩形边长如图所示,左视图中包含两全等的矩形,如果用彩色胶带如图包扎礼盒,所需胶带长度至少为__________cm.(不计接缝,结果保留准确值)
答案:
(120+90).
解析
试题分析:根据题意,作出实际图形的上底,如图:AC,CD是上底面的两边.作CB⊥AD于点B,
则BC=10,AC=20,∠ACD=120°,
那么AB=AC×sin60°=10,
所以AD=2AB=20,
胶带的长至少=20×6+15×6=120+90(cm).
故答案是(120+90).
11、如图,在矩形ABCD中,AB的长度为a,BC的长度为b,其中b<a<b.将此矩形纸片按下列顺序折叠,则C′D′的长度为______(含a、b的代数式表示).
答案:3a﹣2b
解析:由轴对称可以得出A′B=AB=a,就有A′C=b﹣a,从而就有A′C′=b﹣a,就可以得出C′D′=a﹣2(b﹣a),化简就可以得出结论.
解:由轴对称可以得出A′B=AB=a,
∵BC=b,
∴A′C=b﹣a.
由轴对称可以得出A′C′=b﹣a,
∴C′D′=a﹣2(b﹣a),
∴C′D′=3a﹣2b.
故答案为:3a﹣2b
12、一动点沿着数轴向右平移3个单位,再向左平移2个单位,相当于向右平移1个单位,用实数加法表示为3+(-2)=1。
若坐标平面上的点作如下平移:沿x轴方向平移的数量为a(向右为正,向左为负,平移|a|个单位),沿y轴方向平移的数量为b(向上为正,向下为负,平移|b|个单位),则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量”;“平移量”{a,b}与“平移量”{c,d}的加法运算法则为{a,b}+{c,d}={a+c,b+d}。
(1)动点P从坐标原点O出发,先按照“平移量”{3,1}平移到A,再按照“平移量”{1,2} 平移到B;若先把动点P按照“平移量”{1,2}平移到C,再按照“平移量”{3,1}平移,最后的位置还是点B吗?_______ 在图1中画出四边形OABC;
(2)如图2,一艘船从码头O出发,先航行到湖心岛码头P(2,3),再从码头P航行到码头Q(5,5),最后回到出发点O;请用“平移量”加法算式表示它的航行过程。
解:
(1) 最后的位置仍是B
(2){2,3)+{3,2}+{-5,-5}={0,0}
三、解答题(每小题16分,共48分)
13、“国庆”假期,某火车客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排队等候检票.某一天在车站开始检票时,有640人排队检票.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.检票时,每分钟候车室新增排队检票进站16人,每分钟每个检票口检票14人.若等候检票的人数y(人)与检票时间
x(分钟)的关系如图所示。已知检票的前a 分钟只开放了两个检票口.
(1)求a 的值.
(2)求检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客人数.
(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站,以便后来到站的旅客随到随检,问检票一开始至少需要同时开放几个检票口?
分析:(1)根据原有的人数-a 分钟检票额人数+a 分钟增加的人数=520
建立方程求出其解就可以;
(2)设当a ≤x≤30时,y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ,由待定系数
法求出函数的解析式,再将x=20代入解析式就可以求出结论;
(3)设需同时开放n个检票口,根据原来的人数+15分进站人数≤n个检票口15分钟检票人数建立不等式,求出其解即可.
解:(1)由图象知,640+16a-2×14a=520,
∴a=10
(2)设当10≤x≤30时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意,得10k+b=520; 30k+b=0
解得:k=-26,b=780,
y=-26x+780,当x=20时,
y=260,
即检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客有260人.
(3)设需同时开放n个检票口,则由题意知
14n×15≥640+16×15
解得:n≥4.2
∵n为整数,
∴n最小=5.
答:至少需要同时开放5个检票口.
14、在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论。
解:
若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2<c2.
当△ABC是锐角三角形时,证明:
过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD为x,则有BD=a﹣x
根据勾股定理,得b2﹣x2=AD2=c2﹣(a﹣x)2
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2.
∴a2+b2=c2+2ax
∵a>0,x>0,
∴2ax>0.
∴a2+b2>c2.
当△ABC是钝角三角形时,证明:
过B作BD⊥AC,交AC的延长线于D.设CD为x,则有BD2=a2﹣x2
根据勾股定理,得(b+x)2+a2﹣x2=c2.
即a2+b2+2bx=c2.
∵b>0,x>0,
∴2bx>0,
∴a2+b2<c2.
15.设k为正整数,证明:
(1)如果k是两个连续正整数的乘积,则25k+6也是两个连续正整数的乘积。(2)如果25k+6是两个连续正整数的乘积,则k也是两个连续正整数的乘积。
证明:(1)由题意,可设k=n(n+1),其中n为任意正整数
∴25k+6=25n(n+1)+6=25n2+25n+6=(5n+2)(5n+3)
∴25k+6也是两个连续的正整数的乘积(证毕)
(2)证:由题意,可设25K+6=n(n+1),其中n为正整数
则 25k=(n2+n-6)=(n-2)(n+3)=(n-2)[(n-2)+5]
如果n-2不是5的整数倍,则(n-2)+5也不是5的整数倍,与k是正整数矛盾。∴n-2是5的整倍数,设n-2=5p(p为正整数),则n+3=5p+5=5(p+1)
∴25k=(n-2)(n+3)=5p·5(p+1),
k=p·(p+1)
∴k也是两个连续的正整数的乘积(证毕).
济宁高新区济东中学数学组供稿