LGD的定义和计算
PD：
违约率是指借款人出现违约风险的可能性，是决定信用风险的核心变量。●Z—Score模型:
Z= 1．2X1+1．4x2+3．3X3+0．6x4+1．0X5
其中，x 为营运资本与总资产的比率；x2为保留盈余与总资产的比率；X3为息税前收益与总资产的比率；x4为股权市值与债务面值的比率；x5为销售收入与总资产的比率。当z值<1．81时，企业违约；当z值>2．67时，企业不会违约；当z介于1．81和2．67之间时为灰色区域。
线性判别模型以财务指标为基础对企业信用进行分析，得到的企业信用评分值能反映企业在一定时期内的信用状况(如违约或不违约)，并且该模型具有较强的操作性、适用性及预测能力，是国内外预测企业违约的主流模型之一。许多金融机构用它预测信用风险.
●Logistic模型
Logistic模型的基本思路：将已违约和非违约样本进行分类(0—1分类)选取一组指标作为解释变量。取得这些先验数据的样本后，将PD设为违约率，取PD／(1一PD)的自然对数，即对PD作Logistic转换，建立回归方程进行分析，并根据银行、投资者的风险偏好程度设定违约边界，由此确定分析对象是否属于违约组.
从20世纪80年代起，Logistic模型开始成为判断企业是否违约的一种主流方法。与线性判别模型相比，它的主要优点是对破产的先验概率或样本数据分布不作任何假设。但Logistic模型也存在一些不足：(1)由于采用极大似然估计法来估计参数，该模型需要的样本数量较多；(2)对中间领域的判别敏感性较强，使模型预测结果不稳定；(3)在违约率接近1或0时，模型会出现低估现象，在违约率接近0．5时，模型会出现高估现象。
●KMV模型.
真正基于BSM模型的期权定价理论来预测企业违约率的是美国KMV公司开发的Credit—Monitor模型，并提出了理论预期违约率和经验预期违约率两个概念.
基于股票市场的结构化模型具有前瞻性，能够对上市公司信用价值进行逐日盯市的连续评估，其是对单个公司而言，该模型是一种有用的早期预警系统.
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BASLEII对PD的数据要求: 5年以上的数据.
LGD提纲：
一、LGD的基本范畴界定 (4)
(一)基本定义 (4)
(二)主要特征： (4)
(三)概念层次 (5)
二、违约损失率的估算方法 (5)
(一)历史数据平均法。 (5)
(二)数据回归分析法 (6)
(三)市场LGD法(Market LGD) (7)
(四)现金流分析法(Workout LGD)， (7)
(五)市场数据隐含分析法(Implied marketLGD) (8)
(六)其它非主流方法 (8)
三、LGD计算的整体现实约束 (9)
(一)法律程序和环境 (9)
(二)LGD数据库 (9)
(三)公司债券市场 (10)
一、LGD的基本范畴界定
(一) 基本定义
违约是指借款人不能按事先达成的协议履行其义务，使银行面临经济损失的状态。损失是指经济损失，在计量时应考虑所有的相关因素，包括重要的折扣效应．以及贷款清收过程中较大的直接成本和间接成本。违约风险暴露则是指因借款人可能违约而带来损失的预期暴露。因此，LGD定义可以定义为债务人(借款人)违约的情况下对债权人(银行)特定的一笔业务(债项)造成的经济损失和该笔业务的风险暴露的比值。用公式表示为：
LGD=违约损失/违约风险暴露
=1-(挽回值一挽回成本)／违约风险暴露；
=1-挽回概率
巴塞尔协议IRB基本法对监管部门提供的LGD值进行分类处理。主要内容为：所有无担保或抵押贷款的 LGD为 45%房地产抵押贷款和应收账款抵押贷款的LGD为 35%，由其他抵押品（不包括因贷款违约得到的实物资产）担保贷款的LGD 为 40%。
(二) 主要特征：
LGD有几个明显的特征：
LGD与抵押品情况和担保情况关系密切；
是与债项优先级别有关；
是和行业、资产特性有关；
是和PD正相关；
是研究历史短，量化较为困难；
实务工作中通常采用1-挽回概率(recovery rate，简称RR)来表示。
(三) 概念层次
一般认为，LGD的测算有4个层次：
第一层次：计算某一债项的LGD；
第二层次：计算某一债项等级的LGD。就是在一定时间内(通常是1年)，一个债项等级内所有发生违约的债项的损失之和与风险暴露之和的比率。
第三层次：对某一债项LGD均值的估算。通过打分卡确定某一债项的等级。然后用该债项等级的历史平均值作为估计值，也可以利用回归的方法对某一债项的LGD进行预测。预测的LGD属于平均违约损失率。传统的方法多属于这个层次的研究。
第四层次：对某一债项衰退期LGD。即条件LGD进行预测估计。根据巴塞尔新资本协议要求银行业在实施IRB法高级法时，银行必须估计每笔贷款的违约损失率。目的是反映经济衰退状况，把握相关风险。
二、违约损失率的估算方法
(一) 历史数据平均法。
历史数据平均法是根据实际损失率的历史数据进行加权平均，算出某一类资产的LGD历史平均值。再根据该债项等级的LGD平均值作为某一债项的违约损失率就是这种方法。
优点：
这种方法操作简单，也比较容易被业务部门接受。可以采用以下三个具体计算公式
1、货币加权法：某一时期内（如1年）该组合的全部损失/违约资产的全部暴露。
2、违约加权法：某一时期内（如1年）该组合LGD总和/LGD的总数。
3、时间加权法：该组合上述两种平均违约率在不同时间段内的平均数。
早期LGD的计算基本上都是建立在经验分析和历史数据分析基础上的。比如
拿穆迪公司来说，由于该公司有上百年的历史，积累了大量的历史数据，长期以来，它计算LGD的方法就是利用其信息优势求历史平均值。从统计学角度来看，这种方法实际上假定了企业的经营过程是平稳的，LGD的预测值和其历史平均值是一致的。
缺点：
由于不同的历史违约数据对应不同的资产组合，且贷款数据具有一定的敏感性，不同的时期、不同的贷款组合，可能会产生不同的LGD，因此，分析人员在采用这种方法估算LGD时，必须持谨慎的态度，如果仅估算一项数据，如平均RR或LGD，就可能得出错误的结果。而且，随着新数据累计量不断增加，每年必须重新计算历史平均损失率，以此作为未来LGD的估计值。
此外，历史数据平均值法的缺陷是由于LGD独特的概率分布特征决定的。穆迪公司研究表明，贷款和债券的回收率的概率分布一般呈现出双峰分布特征，即回收率要么往往较高（在80%左右），要么往往较低（在20%左右），在均值两侧呈现双峰状态，均值水平并非发生概率最大的水平。因此，使用平均数作为预测值可能产生误导。
(二) 数据回归分析法
这种方法根据债项实际损失率的历史数据，应用最小二乘法或极大似然法建立预测模型，然后将特定债项的相关数据输入模型得出LGD的预测值。具体操作上又可以分为对虚拟变量的直接回归和非线性多元回归的方法。所谓的虚拟变量包括优先级、抵押品质量档次(比如3档)、行业分类(比如8类)以及经济周期(繁荣抑或衰退)。
优点：
这种模型相对来说比较容易创建，对数据质量具有一定灵活性，还可以方便地转化(打分卡)形式。例如典型的是穆迪公司开发的LossCalc模型。穆迪认为其选取的因素之间的相关性较小，其预测能力在统计上也是显著的。在建模过程中，穆迪首先将原始数据进行处理。比如将某些宏观经济变量转换为复合指数，然后利用回归技术综合这些处理过的因素。得出尽可能准确的预测结果。对债券、贷
款和优先股的LGD建立了立即违约和1年后违约两种版本损失率的预测模型。返回检验证明，该模型对LGD的预测效果优于传统历史数据平均值法。
缺点：
这种方法在对变量的选取、虚拟变量的分档或分类上较难把握，需要进行大量的实证研究。
(三) 市场LGD法(Market LGD)
在市场上可公开交易的贷款或债券遭遇违约后．可通过其相关的市场价格来确定RR，再计算LGD。有些学者，如Carry和Hamilton(1998)．以及Keenan、Carty、Shtogrin和Fons(1998)就是将违约后债务的市场价值作为计算RR和LGD 水平的依据。
优点：
采用市场LGD法来量化LGD，反映了投资者不愿意或者不能够通过正常的破产清算程序来回收债权的实际情况。这种方法允许投资者根据自身的实际情况来对未来的RR进行判断，并可根据市场债务价格来计算债务回收值，因此对于投资者来说，具有操作简便的优点。
缺点：
但在采用市场LGD法估算RR水平时，分析人员需要取得违约债务的市场价格，这就要求贷款或债券具有发达的交易市场，并有足够多的投资者参与市场交易。这样，分析人员才能正确估计债务的RR水平。因此，在一些发展中国家和地区，由于债务工具交易市场不发达，采用这种方法也会受到一定的限制。
(四) 现金流分析法(Workout LGD)，
该方法是通过预测不良资产在清收过程的现金流，然后计算其贴现值而得出LGD。应用这种方法的关键在于两个方面，一是对清收现金流的数额及其时间分布的合理估计；二是确定采用与风险水平相当的贴现率。
优点：
由于这种方法不需要市场交易数据，因此比较适于估算银行贷款的LGD。 缺点：
由于违约后债务的回收通常需要隔一段时间，以上两个方面关键点都并非容易做到，尤其是对预期现金流贴现率的选用，对于已经违约的资产而言。采用多高的贴现率才能充分而又适当地反映其风险水平是非常困难的。所以应用主观判断是不可避免的。
(五) 市场数据隐含分析法(Implied marketLGD)
此方法使用资产定价模型．根据风险(而非违约)所涉及的价款来计算LGD。分析人员在采用这种方法估算LGD时，假设市场上的债券价格已经反映债务人的信用风险，因此可以采用市场上交易的大量尚未违约的债券价格，并使用复杂的资产定价模型来估算LGD。
优点：
市场数据隐含分析法具有一定的理论依据，因此得到投资者的青睐。
缺点：
由于采用这种方法必须运用复杂的资产定价模型，并且需要足够的数据来支持复杂的分析，同时要求分析人员拥有一定的数据统计和资产定价知识，因此运用范围受到一定的限制。目前，这种方法虽然还没有广泛应用于银行信贷风险管理，但作为检验信用评级模型的工具之一，该方法可适用来确定固定收益产品以及衍生产品的价格。
(六)其它非主流方法
通过神经网络算法来估计LGD
于立勇在论文《内部评级法中违约概率与违约损失率的测算研究》中提出了
用神经网络拟合EL的方法。再利用EL=P D×LGD来求出LGD。但其本质仍然是回归的方法，不过神经网络更适合处理一些分类变量，能更好地拟合数据。 基于ASRF模型思想的LGD测算方法
出依据渐进单风险因子模型(Asymptotic Single Risk Factor，ASRF)思想的测算方法．并对我国银行业的LGD测算提出相应的建议。然而，由于LGD的测算是相当复杂的，对数据要求比较高。
三、LGD计算的整体现实约束
(一) 法律程序和环境
企业破产清算的法律程序和环境。这些很大程度上影响着贷款LGD的高低，而且使得贷款的回收具有很大的不确定性，使LGD的计算预测更加困难。我国为处理四大银行而成立的四大资产管理公司在实践中遭遇的困难说明，影响贷款LGD的因素不仅包括借款企业的信用水平和银行内部的内控水平，而且还包括清收过程中的司法和地区利益等因素。
由于我国经济和金融体系的独特性质以及我国在企业破产方面的独特司法环境，受制度和法律影响显著的贷款LGD在我国必然表现出与西方发达市场经济国家和其它发展中国家不同的特性和规律。因此，独立开展我国银行业LGD 数据集合研究对发现我国银行信用风险管理和操作风险管理的自身规律具有重要意义。
(二) LGD数据库
对LGD的数据积累，尽早开始建立LGD数据库。无论是从银行内部管理需要的角度还是外部监管的角度，银行都必须尽早开始建立LGD数据库。尽管我国目前宣布在2007年之前不实施新巴塞尔资本协定，但为2007年以后实施该协定的准备现在就要开始做。因为，按照前述新协定对银行使用内部LGD数据的要求，对于批发贷款至少要有一个数据来源的最低数据观察期为7年。
(三) 公司债券市场
我国缺少发达完善的公司债券市场。在市场经济发达的国家，有效的公司债券市场是银行分析贷款LGD最为重要的市场基准和参照体系。前述LGD量化方法的对比分析已经充分说明了这一点。我国目前公司债券市场还很不发达，利率也没有市场化，通过债券价格变化和信用升水来分析LGD的方法缺乏市场基础。因此，开展LGD研究成为发展公司债券市场的又一条重要理由。
小升初数学专题训练小升初计算专题之定义新运算-word
定义新运算【知识要点】 加、减、乘、除这四种运算的意义和法则我们很熟悉。但重点中学在招生命题中除了考查四种混合运算的基本能力外，还要考查一些定义的其他的运算，一般占分在8~10分之间，特别是在2019年的小升初考试中，开始加大考察力度。 解定义新运算题的方法是认真审题、读懂题意、深刻理解新定义运算符号的含义，排除干扰条件，按照新定义运算的关系把新运算符号去掉，把问题转化成已有的数学知识。 【例题精讲】 例1 P 、Q 表示数，P*Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）的值。 例2 如果A B A B B A ?=+， 那么(32)(23)?-?=＿＿＿＿＿。 例3 定义“?”，a b a b a b +?= ?，()234=______??。 例 4 规定x y A x y ?=、()2÷x y x y ?=+，且()()133133=????。则()133_______??=。 例5 对于数a 、b 、c 、d 规定()2b c d d a ab c =- 、、、，已知 ()1232,,,x =，则x ______=。 例6 若规定112332234××*=，112344778910=*???，那么114325 *+=_____.*— 例7 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新的运算： ()()()121a b a a a a b *=?+?+?????+-，如果()323660x **=，则x _____=。 例8 如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果。下表为输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值。请你据此判断，当输入A 值2019，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是___________。 六年级数 学计算专 题(七)定
最新_新定义运算计算技巧
新定义运算解题技巧 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、 ◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，…… “Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
完整版定义新运算
第一讲定义新运算 一、 教学目标： 1、 知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、 过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的 +、-、X 、十数学式子的过程，培养学 生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、 情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方 法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功. 二、 教学重难点： 1、 教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、 教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、 教学方 法： 四、 教学过程： (一)导入： 1、 看图大比拼 2、 我做指挥官 3、 在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5 ( ) 2=7 6 ( ) 3=3 100 ( ) 2=50 13 ( )3=39 4、 趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时 ，狼要吃掉羊，所以当狼和羊在一起时， 我们用△符号表示 狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战 胜狼：羊☆狼 = 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、 已知符号“ #”表示a#b=a+b ,求：3#5、5#9、88#13的值？ (体现对应思想和解题的三 个步骤) 加强认识：已知符号“ *”表示：a*b=b-a ，求：3*9、60*72的值? 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式； 它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式； 解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤： (1)弄清新符号的算式意义； 义算式中字母的对应；(3)将对应数字代入算式计算 (二)例题引导： 第一类：(直接运算型) 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a ①b=(a+b)十2, 例 1：已知符号“△” 表示： a △ b= (a+b)x 6，求：10^3, 6 练习：(1)对定义运算※为 a 探b= (a+b)x 2。求5探7和17探5的结果? (2)对于任意的两个数 a 和b ,规定a b= 3a-b 十3。求6 9 和9^ 的值。☆ +、引导发现法 (准备几张生活中常见标志的图片) (用手势代替语言指挥) 。 (2)找准问题中数字与定 当a=5,b=15时，求a ①b ? △ 9的值?
小学数学 定义新运算.教师版
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
第4讲 定义新运算每周一卷-举一反三
第4讲 定义新运算提高卷 60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！ 1．对于任意两个正数x ，y ，定义一个运算“”，其规则为x y=2(2xy-x-y).若正整数a ，b 满足a b=188，则这样的有序对(a ，b)-共有 对． 2．对实数a ，b 规定运算的意义是a ,2 33b a b += 则方程35||=x 的解是 3．对于定义)12(2321)(+------=m m m F =++++)100(,242F m 则 4．对于不小于3的自然数n ，规定如下一种操作：>
四年级数学定义新运算
定义新运算一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a ×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
小学数学定义新运算典型例题完整版
小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
四年级奥数题新定义运算习题及答案(A)
一、新定义运算(B 卷) 年级 ______ 班_____ 姓名 _____ 得分_____ 1. 设b a,表示两个不同的数,规定b a b a 34.求2)34(. 2. 定义运算“”为x )(2y x xy y .求12(34). 3. 设b a,表示两个不同的数,规定b a b a 23,如果已知42b .求b. 4. 定义新的运算a ?b a b a b .求(1?2)?3. 5. 有一个数学运算符号“?”,使下列算式成立:2?4=10,5?3=18,3?5=14, 9?7=34.求7?3=? 6. 定义新运算为b a b a 1 .求)43(2的值. 7. 对于数y x,规定运算“○”为x ○)3()4(b a y .求7○(8○9)的值. 8. 设a b 表示a 的3倍减去b 的2倍,即a b =b a 23,已知x (41)=7.求x . 9. 定义两种运算“”、“”,对于任意两个整数b a,,1b a b a , 1b a b a .计算)]53()86[(4的值. 10. 对于数b a,规定运算“”为)1()1(b a b a ,若等式) 1()(a a a )()1(a a a 成立,求a 的值. 11. y x,表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:x ※y x y 45,x ○ xy y 6.求(3※4)○5的值.
12. 设b a,分别表示两个数,如果a b 表示 3b a ,照这样的规则,3[6(85)]的结果是什么? 13. 规定xy y Ax y x ,且56=65,求(32)×(110)的值. 14. 有一个数学运算符号 “○”,使下列算式成立:21○6332,54○451197,65○42671.求113○54 的值.
(完整版)定义新运算(可编辑修改word版)
第一讲定义新运算 一、教学目标： 1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功． 二、教学重难点： 1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、教学方法：引导发现法 四、教学过程： （一）导入： 1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。 2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。 3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（)3=39 4、趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、已知符号“#”表示 a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13 的值？（体现对应思想和解题的三个步骤） 加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72 的值？ 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算 （二）例题引导： 第一类：（直接运算型） 例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15 时，求a①b？例 1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3,6△9的值？ 练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。求5※7和17※5的结果？ （2）对于任意的两个数a 和b，规定a b= 3a-b÷3。求6 9 和9 6 的值。
奥数-新定义运算
奥数定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特 定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，严格按照新定义的计算顺 序，将数值代入算式中，再把它转化为一 般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。 它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、 ★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一 种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号 里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容；
三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） =42-13
小学数学定义新运算(教)
一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3
第七讲 定义新运算和找规律解题
第七讲 定义新运算和找规律解题 定义新运算 1. 如果对于任意非零有理数a 、b ，定义 运算如下：a ☉b =1+ab ，那么 （—5）☉（+4）☉（—3）=___________。 2. 已知：A □B 表示A 的3倍减去B 的2倍；求：①10□5；②15□5□10；③10□（4□1） 3. 已知:2*1= 4441 3*4,3312*3,21==。求：（6*3）÷（2*6） 4. 已知：433221321??=?，86756453453???=?。计算：=?+?38 5 452 5. 若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；…。则 100！÷99！=________。 6. “※”定义新运算：对于有理数a 、b 都有：a ※b =12 +b 。那么5※3=________； 当m 为有理数时，m ※（m ※2）=_________。 7. 已知有理数a 、b ，规定一种新运算符号“＃”，a ＃b = ab b a -，请根据＃的意义计 算：（1）4＃2=_______（2）（2＃3）＃（—2）=_________。 8. 形如 d b c a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示是： bc ad d b c a -=， 依此法则计算4 31 2-=_________。 找规律做题 1. 数字解密第一个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是 17=9+8，…，观察并猜想第六个数是__________________。 2. 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母 为正整数的分数） 第一行 1 1 第二行 21 21 第三行 31 61 3 1
奥数1定义新运算(精)
六年级举一反三教材 第一周 定义新运算 专题简析： 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“?、#、*、·”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例题1。 假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。 13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10 13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26 练习1 1..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。 2.设a*b=a 2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。 3.设a*b=3a －12 ×b ，求（25*12）*（10*5）。 例题2。 设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6). 3△(4△6). ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 练习2 1． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。 2． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p 2+（p －q ）×2。求30△（5△3）。 3． 设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M N +N M ，求10*20－14 。 例题3。 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？ 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420
小学六年级数学定义新运算
第三讲定义新运算 【精准诊查】 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为 4厘米的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案； 如果不能、说明理由。
【互动导学】 【导学】： 定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b +=e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5
【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】 【知识技巧回顾】 1、学习到哪些知识：
定义新运算完整版
定义新运算 知识要点： 定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础，用某种新的符号来表示新运算。见到这种新的运算符号所定义的运算后，就按照它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后的结果。 运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算，不得随意改变运算顺序，这是最关键的一点。 运算时，有括号的先算出括号里的值，再算出括号外的值，在没有确定新定义运算具有交换律，结合律之前，不能运用运算定律解题。运算的符号可以是※，也可以是○，□。§。。。。。等，符号的种类是次要的，符号定义的运算运算程序才是主要的。 例1：设a、b是两个自然数，定义a*b=2a+4b，计算4*5是多少？ 开心一练： 1设a、b是两个自然数，定义a*b=3a+5b，计算6*3是多少？ 2 对于自然数，定义a*b=3a+2b，求（1）10*11
（2）11*10 例2：定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算 （1）8*10（2）（3*4）*5 开心一练： 1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算 （1）4*6 （2）（4*6）*5 2对于整数a、b，设a*b=3a+b-1，求（1）4*（3*5）（2）（4*3）*5 3规定a△b=3a-b,求10△（2△5）。
例3：设a*b=4a-3b，求（1）5*（3*2）（2）x*（2*x）=15,求x。 开心一练： 1已知a*b=a×b+a，如果（3*x）*2=18求x。 2设a*b=5a+4b，求（1）4*（3*2）（2）已知x*（4*x）=122,求x。 例4：对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23，求3*2的值。 开心一练： 1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28，求5*2的值。 2 对于整数a、b，设a*b=3a-bx，已知5*4=7，求x。
新定义新运算
18．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时， 结果为n 2k （其中k 是使n 2k 为奇数的正整数），并且并且运算重复进行．例如：取n ＝26，则运算过程如图：那么当n ＝9时，第2019次“F 运算”的结果是_____________ 18．在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），则向量 可用点P 的坐标表示为 ＝（m ，n ）．己知＝（x 1，y 1），＝（x 2，y 2），若x 1x 2+y 1y 2＝0，则与 互相垂直．下面四组向量：① ＝（3，一9），＝（1，一）；②＝ （2，π0）， ＝（2﹣1，﹣1）；③＝（cos30°，tan45°），＝（sin30°， tan45°）；④＝（+2，），＝（﹣2，）．其中互相垂直的组有 ． 19．对于平面直角坐标系中任意两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为M ，N 两点的直角距离，作：d （M ，N ）．如：M （2，﹣3），N （1，4），则d （M ，N ）＝|2﹣1|+|﹣3﹣4|＝8．若P （x 0．y 0）是一定点，Q （x ，y ）是直线y ＝kx +b 上的一动点，称d （P ，Q ）的最小值为P 到直线y ＝kx +b 的直角距离．则P （0，﹣3）到直线x ＝﹣2的直角距离为 ． 18．在平面直角坐标系中，直线y ＝14x ＋c 过y 轴上的动点C ，直线：y ＝14x 、y ＝14x ＋c 的图象 分别与函数y ＝4x (x ＞0)交于点A 、点B ，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象y ＝4x (x ＞ 0)在点B 和点C 之间的部分与线段OA 、BC 、CD 围成的区域（不含边界）为S ．若区域S 内恰有4个整点，则b 的取值范围是__________； 12．己知二次函数y ＝－x 2 ＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 输上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图所示)，当直 线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是A ．－254＜m ＜－3 B ． －254 ＜m ＜－2 C ．－3＜m ＜－2 D ．－6＜m ＜－2
定义新运算(含答案)
七年级奥赛练习题:定义新运算 班级 姓名 规定新的代数运算是一类较新颖的数学问题，它是以近世代数为背景的。近年来，多次出现在国内外的数学竞赛题中。解这类问题的关键在于认识新运算的含义。在计算时严格遵照规定的法则代入数值。值得注意的是，这样规定的新运算未必满足通常的结合律及交换律。 一、填空题: 1．对任意有理数A 、B ，规定A*B= 2B A +，则1*9= 。 2．A ～B=1 ++?B A B A ，则2002～2003= 。 3．“*”表示一个运算符号，它的一个意思是：a*b= ab b a 22-，则5* (3*2)= 。 4．对于正有理数，运算“*”定义为a*b= b a ab +，则4* (4*4)= 。 5．规定f(a)=a 2＋2a ＋3, 则f(2)= 。 6．定义a △b=b a ＋ab ，则4△50= 。 7．若规定运算a*b=2(a ＋b)，则(a*b)*2= 。 8．若规定A △B=3A ＋4B ，则(4△5)△6= ，若7△B=45，则B= 。 9．对有理数a 、b ，规定a*b=ab －a －b ＋1，如果(x*x)*2=0，则 。 10．如果定义运算“*”，使得3*2=32＋42=25，4*3=42＋52＋62=77，则6*5= 。 二、解答题: 11．“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=xy 1＋) )(1(1A y x ++。 已知2*3=3 1，求2002*2003。 12． a 、b 为有理数，当a ≥b 时，a*b=b a ，当a ＜b 时，a*b=b －a 。若2*x=36,求x 的值。 13．x 是实数，﹤x ﹥表示不超过x 的素数的个数，如﹤5﹥=3，即不超过5的素数有2，3，5三个。求﹤﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥﹥的值。 14．对于有理数x 、y 定义一种运算“*”，规定x*y=ax ＋by －cxy ，其中a ，b ，c 为已知数，等式右边是加、减、乘法运算，又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x(m ≠0)。试求m 的值。
专题训练(三) 新定义运算问题的解法
1．新定义运算“*”，规定a *b ＝a (a －b )，则3*4的结果是( ) A ．12 B ．4 C ．3 D ．－3 2．定义一种新运算“?”，规定a ?b ＝a ＋b 2 ，则－2?6的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－12 D ．－4 3．定义新运算：对任意有理数a ，b ，都有a ⊕b ＝1a ＋1b ，例如，2⊕3＝12＋13＝56 ，那么3⊕(－4)的值是( ) A ．－712 B ．－112 C.112 D.712 4．现定义一种新运算“*”，规定a *b ＝ab ＋a －b ，如1*3＝1×3＋1－3＝1，则(－2*5)*6等于( ) A ．120 B ．125 C ．－120 D ．－125 5．2019·和县期中定义运算：a ?b ＝a (1－b )，则(－3)?5＝________． 6．2019·合肥模拟定义运算：a ?b ＝? ????a －b （a ≤b ），a ＋b （a >b ），则(－3)?(－2)＝________． 7．已知C 32＝3×21×2＝3，C 53＝5×4×31×2×3＝10，C 64＝6×5×4×31×2×3×4 ＝15，…，观察以上计算过程，寻找规律计算C 85＝________． 8．[2019·亳州九中月考] 对于有理数a ，b 定义运算“*”如下：a*b ＝ ab a ＋b ，则3*(－4*5)＝________． 9．2019·利辛期中规定一种运算“△”：a △b ＝a 2－b 2，求(－5)△(－2)的值． 10．将新运算“*”定义为a*b ＝b ＋a ，求(4*8)*(3*7)的值． 11．若定义一种新的运算为a*b ＝ab 1－ab ，计算(3*2)*16. 12．如果对于任何有理数a ，b 定义运算“△”如下：a △b ＝1a ÷(－b 2)，如2△3＝12 ÷(－32)＝－13 .求(－2△7)△4的值．
新定义运算计算技巧
新定义运算计算技巧 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
新定义运算解题技巧我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运 算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要 先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位 数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以 按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定?2=1×2×3，?3=2×3×4，?4=3×4×5，……计算（ 21?-3 1?）×32??。 分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为?X= （X-1）×X ×（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化 简算式后，再计算。
五年级奥数.计算综合.定义新运算
定义新运算 知识结构 一、定义新运算 （1）基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 （2）基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基 本运算过程、规律进行运算。 （3）关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 （4）注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二、定义新运算分类 （1）直接运算型 （2）反解未知数型 （3）观察规律型 （4）其他类型综合 重难点 （1）正确理解新运算的规律。 （2）把不熟悉的新运算变化成我们熟悉的运算。 （3）新运算也要遵守运算规律。
【例 1】 对于任意两个数x 和y ，定义新运算◆和?，规则如下：x ◆y = 22x y x y ++，3 x y x y x y ??=+÷ .如：1◆2= 212122?++?，1212123 ??=+÷. 由此计算：..0.36◆141__________.2???= ?? ? 【巩固】 对于任意两个数,x y ，定义新运算，运算，规则如下：x ◆y = 2x y x ?-÷，2x y x y ⊕=+÷ . 按此规则计算：3.6◆2=__________,.. 0.12◆()7.5 4.8_______.⊕= 【例 1】 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++。 现在规定一种运算"*"，它对于整数 a 、 b 、c 、d 满足： (,)*(,)(,)a b c d a c b d a c b d =?+??-?。 例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)=?+??-?= 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。 例题精讲