山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)
线性代数（经管类）综合试题一
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==
( B )．
A.－2M
B.2M
C.－6M
D.6M
2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则
A应满足
( D )．
A. A≠ O
B. A = O
C.|A|= 0
D. |A|≠0
3.设A，B均为n阶方阵，则( A)．
A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0
B.(A+B)2=A2+2AB+B2
C.当AB=O时，有A=O或B=O
D.(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．
A. B. C. D.
，则下列说法正确的是( B )．
A.若两向量组等价，则s = t .
B.若两向量组等价，则r()= r()
C.若s = t，则两向量组等价.
D.若r()=r()，则两向量组等价.
6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )．
A.中至少有一个零向量
B.中至少有两个向量对应分量成比例
C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D.可由线性表示
7.设向量组有两个极大无关组与
，则下列成立的是( C )．
A. r与s未必相等
B. r + s = m
C. r = s
D. r + s > m
8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．
A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.
B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.
C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.
D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.
9.设方程组有非零解，则k = ( D)．
A. 2
B. 3
C. -1
D. 1
10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．
A. |A|>0
B.存在n阶方阵C使A=C T C
C.负惯性指标为零
D.各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.四阶行列式D 中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D = -15 ． 12.若方阵A 满足A 2 = A ，且A ≠E ，则|A |= 0 . 13.若A 为3阶方阵，且
，则|2A |= 4 ．
14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．
15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,
)= 0 ．
16.设n 元齐次线性方程组A x = o ，r (A )= r < n ，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个. 17.设＝(1，1，0)，
＝(0，1，1)，
=(0，0，1)是R 3的基，
则
=(1，2，3)在此基下的坐标为 （1,1,2）
18.设A 为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A 2的特征值为
1,1,4 .
19.二次
型
的矩阵A =
???
?
?
??---11013
2022
20.若矩阵A 与B =相似，则A 的特征值为 1,2,3
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.求行列式
的值
解：
y y x x -+-+1111111111
111111=y
y
y x x
x
--+--+00
1111001
1
11 =xy
11
00
110000110011y x ++=xy 1
1000000
0110
00y x =x 2y 2 22.解矩阵方程：
.
解：令A=????? ??--111112111，B=???
?
? ??632
因为（AE ）=????? ??--100111010112001111→???
?
?
??---101200012130001111→
????????
?
?
-
-
210
211006131210103131
0001，所以A 1-=???????
? ??--
210
2
16131213131
由AX=B,得X= A 1-B=??????
?
?
??--
210
2
1613121
31310????? ??632=????? ??231
23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，
=(－1,－1, 1, 1 )，
=(1, 3, 3,
5 )，
=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用
该极大无关组线性表示.
解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：
（r
r r r 4321αααα） =??????? ??----6200311062004111→????
???
??----6240313
062004111 →??????? ??----6200311062004111→???????
??---000
0310
031104111→????
??
?
??-000
31000010
7001
所以，r （r
r r r 4321αααα）=3，极大无关组为1α，2α，3α；4α=71α-33α
24.a 取何值时，方程组有解？并求其通
解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：
A =????? ??---a 114712412111112→????? ??------273503735024121a →????
? ??-----500003735024121a
若方程有解，则r(A )=r （A ），故a=5 当a=5时，继续施以初等行变换得：
A →????
???
?
?
?-
00
000535753
105456510
1,原方程组的同解方程组为： ????
?-+=--=4
324315
75353565154x x x x x x ，x 3,x 4为自由未知量，令x 3=x 4=0得原方程组的一个特解：?
??
????
?
?
??005354与导出组同解的方程组为： ?????-=--=4
3243157535651x x x x x x
x 3,x 4为自由未知量，令???
?
??43x x
分别取???? ??01，???? ??10，得到导出组的基础解系：????????? ??-015351，???
???
??
? ??--105756，所以，方程组的全部解为v=????????? ??005354+c 1???????
?? ??-015351+c 2????
??
??
? ??--105756,其中c 1，c 2为任意常数。
25.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断A
能否对角化，若能，求可逆矩阵P ，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．
解：矩阵A 的特征多项式为：
A E -λ=1
1
1
2
1
00
2
-----λλλ=)1()2(2--λλ
所以，A 的特征值为:1,2321===λλλ
对于:221==λλ，求齐次线性方程组O x A E =-)2(的基础解系，
????? ??-→????? ??--=-0000001011011010002A E ,得基础解系：,101,010???
?? ??????? ??从而矩阵A
的对应于特征值221==λλ的全部特征向量为：???
?
?
??+????? ??10101021c c 21,c c 不
全为零。
对于13=λ，求齐次线性性方程组（E-A ）x=O 的基础解系，
????? ??-→????? ??----=-000110001001111001A E ，得基础解系：???
?? ??110，从而矩阵A
的对应于特征值13=λ的全部特征向量为：()0110≠???
?
?
??c c
因为三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量????? ??010，????? ??101，???
?? ??110，所
以，A 相似于对角矩阵，且???
?
? ??=Λ????? ??=100020002,110101010P
26.用配方法将下列二次型化为标准形：
解：3231212
322213214442),,(x x x x x x x x x x x x f --+-+= =[]3223222322323212142)(4)(4)(4x x x x x x x x x x x x --+---+-+ =23
32222321542)22(x x x x x x x -+--+ =2323322223213)2(2)22(x x x x x x x x -+---+ =23
23223213)(2)22(x x x x x x ----+ 令?????=-=-+=33322321122x y x x y x x x y ，即??
???=+=-=333222
112y x y y x y y x
得二次型的标准型为：2
3
222132y y y --.
四、证明题（本大题共6分）
27.设向量
，证明向量组
是R 3空间中的一个基.
证：因为021
000200111
11
011011≠==-，所以321,,ααα线性无关，所以向量组321,,ααα是3R 空间的一个基。
线性代数（经管类）综合试题二
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).
A．1 B．0 C．-1D．-2
2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D).
A．A可逆B．B可逆C．|A|=|B|D．AB=BA
3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵, 则( A).
A．B．
C．D．
4.矩阵的秩为2，则λ = ( B).
A．2 B．1 C．0 D．
5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为( D).
A．B．
C．D．
6.向量线性相关,则( C ).
A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 3
7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).
A．c1+c2 =1 B．c1= c2C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c2
8.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有( B ).
A．A的行列式等于1 B．A的秩等于n
C．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1
9.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1，则A-1的特征值为( D ).
A．1, 2 B．2, 1, 1C．, 1 D．, 1, 1
10.二次型是( A ).
A．正定的B．半正定的C．负定的D．不定的
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.=_______5__．
12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=_____32___．
13.设A
=, B
=, 则
A T B
=___???
?
? ??--1040011
011_______． 14.设A =,则A -1=____????
??--25
12______． 15.向量
表示为向量组
的线性组合式为
_32152e e e ++-_________．
16.如果方程
组有非零解, 则k
=___-1_______． 17.设向量
与
正交，则a =____2______．
18.已知实对称矩阵A =,写出矩阵A
对应的二次型
_31212
32221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=_________．
19.已知矩阵A 与对角矩阵Λ=相似，则A 2=___E_____．
20.设实二次型
的矩阵A 是满秩矩阵，且二次型的正
惯性指数为3，则其规范形为__2
4
232221y y y y -++________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式
的值.
解：原式=
x y
y y
x
y x y y x y y x y x
y y y y x 3333++++=x
y y
y x y y y x y y
y y x 1111)3(+ =y
x y x y
x y
y
y y x ---+0
00000
01)
3( =3))(3(y x y x -+
22.设矩阵A =，B =，求矩阵A -1B .
解：（AB ）=??
?
??
??--123222012111011????
? ??-→1341003111011011 ?????
??---→134100103010111011 ????
?
??----→13410010301092001 ????
?
??----=∴-134103921
B A
23.设矩阵，求k 的值，使A 的秩r (A )分别等于
1，2，3.
解：对矩阵A 施行初等变换：
当k=1时，???
??
??-=000000321A ，矩阵A 的秩r （A ）=1；
当k=-2时，???
?? ??----=000330621A ，矩阵A 的秩r （A ）=2；
当k 2k 且1-≠≠时，???
?
?
??-=100110321k A ，矩阵A 的秩r （A ）=3.
24.
求向量组的秩和一个
极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解：将所给列向量构成矩阵A ，然后实施初等行变换:
??
??
? ??-+---→????? ??-----→??
??
?
??-----→????? ??----=)1)(2(00110321336003322032133220332203213232132122k k k k k k k k k k k k k k k k k k A
???
????
??-→???????
??→???
???
?
??→??????? ??→???????
??=000
02100201
020
010000
210022102111210
04200221
021111812308620221021112013411073143
2
1
21
11)(4321αααα
所以，向量组的秩3),,,(4321=ααααr ，向量组的一个极大无关组为： ,,,321ααα且有3214222αααα+-=.
25.
求线性方程组的基础解系，并用基础
解系表示其通解.
解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：
????
? ??--→??
??? ??--→????? ??----→????? ??---=000043105401000043103221431043103221753121323221A
与原方程组同解的方程组为:???-=+-=4
324314354x x x x x x ,其中x 3,x 4为自
由未知量。
令???? ??43x x 分别取???? ??01 ，???? ??10 得基础解系：?
????
?
? ??-=??????? ??-=1045,013421v v 方程组的通解为：.10450134212
211??????
?
??-+??????? ??-=+c c v c v c （c 1，c 2为任意常数）
26.
已知矩阵，求正交矩阵P 和对角矩阵Λ，使
P -1AP =Λ.
解：矩阵A 的特征多项式为：
()31
1
1
1
1
111
1
2-=---------=
-λλλλλλA E
得矩阵A 的所有特征值为:3,0321===λλλ
对于 021==λλ，求方程组O x A E =-)0(的基础解系。
??
??? ??→????? ??---------000000111111111111 ，得基础解系为：
???
?
? ??-=????? ??-=101,01121αα ，
将此线性无关的特征向量正交化，得：
????? ??--→????? ??------000110101211121112 ，方程组的基础解系为????
? ??=1113α ，将其单位化，得?????
???
? ??
=3131313
γ ，
令()
?
????
??=Λ??
??????
? ?
?---==300000000,316
20
31
6121316121,,321γγγP 则P 是正交矩阵，且P 1-AP=Λ 四、证明题（本大题共6分）
27.设向量组线性无关，证明：向量组
也线性无关.
证：令
)()()(21321321211=++++++++++s s k k k k ααααααααα 整理得：
()0)(232121
=+++++++++s s s s k k k k k k k
ααα
因为s ααα ,,21线性无关，所以
????????
?==+=+++=++++--0000132121s s s s s s k k k k k k k k k k 解得: ?????
??
??====-0
000121s s k k k k 故s ααααααααα++++++ 21321211,,线性无关。
线性代数（经管类）综合试题三
（课程代码 4184）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.当( D )成立时，
阶行列式的值为零.
A.行列式主对角线上的元素全为零
B.行列式中有个元素等于零
C.行列式至少有一个阶子式为零
D.行列式所有阶子式全为零
2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是( B ).
A.ACB=E
B. BCA=E
C. CBA=E
D. BAC=E
3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( D ).
A. (AB)-1=A-1B-1
B.(A+B)-1=A-1+B-1
C.(AB)T=A T B T
D.
4.下列矩阵不是初等矩阵的是( B ).
A. B. C. D.
5.设是4维向量组，则
( D ).
A.线性无关
B.至少有两个向量成比例
C.只有一个向量能由其余向量线性表示
D.至少有两个向量可由其余向量线性表示
6.设A为m×n矩阵，且m A.无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能确定 7.已知4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，又 是Ax=b的两个解,则Ax=b的通解是( D ). A. B. C. D. 8.如果矩阵A与B满足( D )，则矩阵A与B相似. A.有相同的行列式 B.有相同的特征多项式 C.有相同的秩 D.有相同的特征值,且这些特征值各不相同 9.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 ( D ). A. |A|>0 B. A的每一个元素都大于零 C. D. A的正惯性指数为n 10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( C ). A. A与B相似 B. A与B合同 C. A与B等价 D.|A|=|B| 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。