截面问题上课讲义

截面问题

截面问题： 1. 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作平面，则截面图形不可能．．．是 .A .B .C .D

2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P BC 为的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。则下列命题正确的是 . ①当102CQ <<

时，S 为四边形 ②当12

CQ =时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足1113

C R = ④当314CQ <<时，S 为六边形 ⑤当1CQ =时，S 的面积为6

1. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交

1CC 与F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：

①四边形1BFD E 有可能是梯形；

②四边形1BFD E 有可能是菱形；

③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；

④四边形1BFD E 有可能垂直与平面11BB D D ；

⑤四边形1BFD E 面积的最小值为6. 其中正确的是（ ）

.A ①②③④ .B ②③④⑤ .C ①③④⑤ .D ①②④⑤

2. 正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，max min S S 和分别为S 的最大值和最小值，则

m in m ax S S 的值为 ( ) 3.

A 6.

B 23.

C 26.D

3. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）

.1A .2 .3C .2D

4. 如图，1111D C B A ABCD -为正方体。任作平面α与对角线C A '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）

.A S 为定值，l 不为定值 .B S 不为定值，l 为定值

.C S 与l 均为定值 .D S 与l 均不为定值

解三角形讲义

一、正弦定理 1、在ABC ?中： 2R sinC c sinB b sinA a ===（R 为△ABC 的外接圆半径） 。它的变式有：①a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；②； ，R c C R B R a A 2sin 2b sin 2sin ===③a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC 。 推论1：△ABC 的面积为：S △ABC =21absinC=21bcsinA=2 1 casinB （证明：由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC = C ab sin 2 1 ） 。 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a 。(证明：因为B+C=π－A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a)；还有两个式子为：acosC+ccosA=b ，bcosA+acosB=c 。 2、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 ①已知两角和任意一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。 例1 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a=2，?=45B ，分别求出下 式中角A 的值。①b= 2 1 ；②b=1；③b=332；④b=2；⑤b=2。【答①无解；②A=?90；③A=??12060或； ④A=?45；⑤A=?30。】 例2 在△ABC 中，已知AB=1，?=50C ，当B= 时，BC 的长取最大值。【答：?40】 3、推导并记住：42675cos 15sin -= = ，4 2 615cos 75sin +== 。 例3 在锐角△ABC 中，若C=2B ，则 b c 的范围是（ ） A 、（0，2） B 、)2,2( C 、)3,2( D 、)3,1( 【答：C 】 例4 在△ABC 中，c=3，C=?60，求a+b 的最大值。 【答：23】 例5 在等腰△ABC 中，已知 2 1 sinB sinA =，BC=3，则△ABC 的周长为 。 【答：15】 4、角平分线定理：在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD = 。 例6 已知△ABC 的三条边分别是3、4、6，则它较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比为（ ） A 、1:1 B 、1:2 C 、1:4 D 、3:4 【答：B 】 练习1 △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若x a =,2=b ,?=45B ,且此三角形有两解，则x 的取值范围为 ( ) A 、)22,2( B 、22 C 、),2(+∞ D 、]22,2( 【答：A 】

数据的收集、整理与描述讲义上课讲义

数据的收集、整理与 描述讲义

第十章数据的收集、整理与描述讲义 （一）、统计调查 1．统计调查的步骤：1)收集数据；2)整理数据；3）描述数据；4）分析数据；5）得出结论2.所要考察的叫做总体，组成总体的每一个称为个体，从总体中抽取的 ___________组成总体的一个样本，样本中_______ ____叫做样本容量． 3. （2015·福建漳州中考）下列调查中，适宜采用普查方式的是（） A.了解一批圆珠笔的使用寿命 B.了解全国九年级学生身高的现状 C.考查人们保护海洋的意识 D.检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 4.电视剧《铁血将军》在我市拍摄，该剧展示了抗日民族英雄范筑先的光辉形象．某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2 400名学生中随机抽取了100名学生进行调查．在这次调查中，样本是（） A．2 400名学生 B．100名学生 C．所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况 D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况 5．为了了解某校九年级学生的视力，从中抽取60名学生进行视力检查，在这个问题中，总体是( )． (A)每名学生的视力 (B)60名学生的视力 (C)60名学生 (D)该校九年级学生的双眼视力6．为了反映某地区的天气变化趋势，最好选择( )． (A)扇形统计图 (B)条形统计图 (C)折线统计图 (D)以上三种都不行 7．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是( )． (A)选取一个班级的学生(B)选取50名男生 (C)选取50名女生(D)随机选取50名七年级学生

8．某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，让若干名学生从足球、乒乓球、篮球、排球四种球类运动中选择自己最喜欢的一种，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类运动；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢该项目的学生人数)． 图1 图2 请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了多少名学生? (2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的扇形圆心角是多少度? (3)补全折线统计图． 9．下图是根据某乡2009年第一季度“家电下乡”产品的购买情况绘制成的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题： (1)第一季度购买的“家电下乡”产品的总台数为______； (2)把两幅统计图补充完整．

5.2平行线及其判定讲义【精】(可编辑修改word版)

1、平行线的概念：第五章相交线与平行线 5.2.1平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥ b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，∵ b ∥ a ，c ∥ a b ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这c 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有交点，若平行则交点. 2.在内，两条直线的位置关系只有、两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4.在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落二靠三移四画 5.读下列语句,并画出图形. (1)直线AB、CD 是相交直线,点P 是直线AB、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直 线CD 相交于点E； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图(1)，过A 点画AF∥CE 交BC 于F； （2）如图(2)，过C 点画CE∥AD 交BA 的延长线于E. 类型三、平行公理及其推论 7.如图5.2.1-2,∵AB∥CD(已知),过点F 可画EF∥AB,∴EF∥DC, 理由是.

高中数学竞赛_解三角形【讲义】

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长， 2 c b a p ++= 为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB C 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1 sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足 ) sin(sin a b a a -= θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1 ；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =， 所以) sin() sin(sin sin A a A a --= θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1 -[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2 +pb 2 =(p+q)AD 2 +pq(p+q)，即AD 2 =.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= （2）海伦公式：因为412 =? ABC S b 2c 2 sin 2 A=4 1b 2c 2 (1-cos 2 A)= 4 1 b 2 c 2 16 14)(12 22222=??????-+-c b a c b [(b+c)2-a 2 ][a 2 -(b-c) 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 .2 c b a p ++= 所以S △ABC =).)()((c p b p a p p --- 二、方法与例题

最全面的解三角形讲义

解三角形 【高考会这样考】 1．考查正、余弦定理的推导过程． 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变 形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦定 理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接 圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

七下 平行线的判定及其性质一对一讲义

博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：七年级日期：2013.3.2 辅导科目：数学学科教师：刘云风时间：课题七下第一章平行线的判定及其性质 授课课时 2课时 教学目标1、复习平行线的判定和性质，体会几何说理的过程。 2、灵活运用平行线的判定和性质，提高分析和解决问题的能力。 3、激发学生学习数学的兴趣，体会合作学习的快乐与成功。 教学内容 平行线的判定及其性质 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：平行线的判定和性质的灵活运用。 掌握平行线的判定和性质之间的区别与联系。 ◆教学难点：平行线的判定和性质的灵活运用。 〖教学过程〗 复习回忆知识检索 1、填表 平行线的平行线的 ，两直线平行。，两直线平行。，两直线平行。两直线平行，。两直线平行，。两直线平行，。 平行公理：经过一点，一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与平行，那么这两条直线。

【知识要点】 一.余角和补角: 1、如果两个角的和是直角，称这两个角互余. ∵αβ += 90o∴αβ 与互为角2、如果两个角的和是平角，称这两个角互补. ∵αβ += 180o∴αβ 与互为角 二.余角和补角的性质:同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等. 三.对顶角的性质:对角相等. 四.“三线八角”：1、同位角 2、内错角 3、同旁内角 五.平行线的判定: 1、同位角相等, 两直线行. 2、内错角相等, 两直线平行. 3、同旁内角互补, 两线平行. 4、同平行于一条直线的两条直线平行. 5、同垂直一条直线的两条直线平行. 六.平行线的性质：1.两直线平行,同位角相等； 2.两直线平行,内错角相等； 3.两直线平行,同旁内角互补. 【典型例题】 一、余角和补角 例1. 如图所示， 互余的角有__________________________________；互补的角有__________________________________； 1 2 3 4

解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点: 1、正弦定理：或变形: 2、余弦定理：或 3、解斜三角形的常规思维方法是： （1 ）已知两角和一边（如A、B C）,由A+B+C = n求C,由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = n求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C = n求C, 再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = n求角C。 4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式? 5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 6、已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S = 1/2 * absinC 7、三角学中的射影定理：在△ ABC中，，… &两内角与其正弦值：在△ ABC中,,… 【例题】在锐角三角形ABC中，有（B ） A. cosA>sinB 且cosB>sinA B. cosAsinB 且cosBsinA 9、三角形内切圆的半径：，特别地, 正弦定理 专题：公式的直接应用 1、已知中，，，，那么角等于（） A. B. C. D. 2、在厶AB（中, a=, b =, B= 45°贝U A 等于（C ） A. 30 ° B. 60 ° C. 60 或120 ° D 30 或150 3、的内角的对边分别为，若，则等于（） A. B. 2 C. D. 4、已知△ AB（中,,,则a等于（B ） A. B. C. D. 5、在△ AB（中, = 10 , B=60° ,C=4则等于（B ） A. B. C. D. 6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于.（） 7、△ AB（中,,,,则最短边的边长等于（A ） A . B. C . D . & △ AB（中,,的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ） A . B . C . D . 9、在△ AB（中，证明：。 证明： 由正弦定理得： 专题：两边之和 1、在厶AB(中, A= 60 ° B= 45 则a = （,）

(完整版)5.2平行线及其判定讲义【精】

第五章 相交线与平行线 5.2.1 平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。 2、两条直线的位置关系 （1）在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 （2）因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） （3）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这 两条直线都平行。 【典型例题】 类型一、两条直线的位置关系 1.同一平面内的两条直线若相交，那么有_________交点，若平行则______交点. 2.在______内，两条直线的位置关系只有______、________两种. 3.下列叙述的图形是平行线的是（ ） A.在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线. B.在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线. C.在同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线. D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 4. 在同一平面内的两条直线的位置可能是( ) A.相交或垂直 B.垂直或平行 C.平行或相交 D.相交或垂直或平行 类型二、平行线的画法：一落 二靠 三移 四画 5. 读下列语句,并画出图形. (1)直线AB 、CD 是相交直线,点P 是直线AB 、CD 外的一点,直线EF 经过点P 与直线AB 平行,与直线CD 相交于点E ； (2)点P 是直线AB 外一点,直线CD 经过点P ,且与直线AB 平行. 6.读下列语句，并作图： （1）如图 (1)，过A 点画AF ∥CE 交BC 于F ； （2）如图 (2)，过C 点画CE ∥AD 交BA 的延长线于E . 类型三、平行公理及其推论 7. 如图5.2.1-2,∵AB ∥CD (已知),过点F 可画EF ∥AB ,∴EF ∥DC , 理由是________________________. a b c

必修5 解三角形复习讲义

解三角形复习 【知识梳理】 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3.解决以下两类问题： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =；（唯一解） ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 (一解或两解) 4、三角形面积公式：111sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 5．余弦定理： 形式一：A cos bc 2c b a 222?-+=，B cos ac 2c a b 222?-+=，C cos ab 2b a c 222?-+= 形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换） 6.解决以下两类问题： 1）、已知三边，求三个角；（唯一解） 2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

(完整版)七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型

平行线四大模型 平行线的判定与性质 l、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行． 判定方法l： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简称：同位角相等，两直线平行． 判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简称：同旁内角互补，两直线平行， 如上图： 若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； 若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 2、平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同 旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质． 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若∥，则∠=∠-∠或∠=∠-∠； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

相似三角形完整讲义(教师版)

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段 的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

平行线的判定(复习讲义)01(教师版)

平行线的判定（复习讲义）01 【知识点讲解】 一、知识点：平行线的判定 1、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平 行，即同位角相等，两直线平行。 如图：如果∠1＝∠2，那么AB∥CD。 2、判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平 行，即内错角相等，两直线平行。 如图：如果∠2＝∠3，那么AB∥CD。 3、判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线 平行，即同旁内角互补，两直线平行。 如图：如果∠2＋∠4＝180°，那么AB∥CD。 4、在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，即：若a、b、c为同一平面内三 条直线，且a⊥b，a⊥c，则b∥c。 例：如图，直线AB、CD被直线EF所截。 1)若∠1＝80°，∠2＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由； 2)若∠2＝100°，∠3＝100°，由此你可以判定AB和CD平行吗？说明理由。 解： 1)可以； 2)可以。

【知识点复习】 一、 知识点：平行线的判定 1、如图，下列条件中能判定直线1l ∥2l 的是( C ) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠5 C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠3＝∠5 2、如图，已知直线c 与a 、b 分别交于点A 、B ，且∠1＝120°，则当∠2＝ 时，直线a ∥b( B ) A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 3、如图所示，直线a 与直线b 被直线c 所截，b ⊥c ，垂足为点A ，∠1＝70°。若使 直线b 与直线a 平行，则可将直线b 绕着点A 顺时针旋转( D ) A. 70° B. 50° C. 30° D. 20° 4、如图，小明在两块含30°角的直角三角板的边缘画直线AB 和CD ，得到AB ∥CD ，这是根据 内错角相等 ，两直线平行。 三、题型分析 题型一：平行线判定方法的综合运用 例1：如图所示，点E 在BC 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是( A ) A. ∠3＝∠4 B. ∠1＝∠2 C. ∠B ＝∠DCE D. ∠D ＋∠DAB ＝180°

解三角形讲义(提高版)

解三角形讲义(提高版) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

必修5 第一章 解三角形 1、正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ?外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素； ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。 2、余弦定理： ??????-+=?-+=?-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222????? ?????-+=-+=-+=ab c b a C a c b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222 22 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素； ⑵已知三角形三边，求其它元素。 3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=?=-+ 基础巩固: 1. 在ABC ?中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________. 2. 在ABC ?中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________. 3. 在ABC ?中，若A b a sin 23=，则B=___________. 5. 在ABC ?中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________. 6. 在ABC ?中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________. 7. 在ABC ?中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________. 8. 在ABC ?中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________. 9.在ABC ?中，060=A ，AB=2，且ABC ?的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ?中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ?的面积为__________. 能力提升: 例1 在ABC ?中，若bcosA=acosB,试判断ABC ?的形状.

神经病学复习资料上课讲义

神经病学复习资料

一、名词解释 1、癫痫持续状态：或称癫痫状态，是癫痫连续发作之间意识尚未完全恢复又频繁复发，或癫痫发作持续30min以上未自行消失。 2、脊髓半切综合征：主要特点是病变节段以下同侧上运动神经元瘫痪、深感觉障碍、精细触觉障碍及血管舒缩障碍，对侧痛温觉障碍。 3 、昏睡：比嗜睡较重的意识障碍，处于沉睡状态，正常的外界刺激不能使其觉醒，需经过高声呼唤或其他比较强烈的刺激方可唤醒，对言语的反应能力尚未完全消失，可作含糊、简单而不完全的答话，停止刺激后又很快入睡。 4、脑血管病二级预防：是指正对以放生过一次或多次脑卒中患者，寻找卒中事件病因并加以纠正，从而达到降低卒中复发的目的。 5、TIA：短暂性脑缺血发作，指因为脑血管病变引起的短暂性、局限性脑功能缺失或视网膜功能障碍，临床症状一般持续10到20min，所在一小时内缓解，最长不超过24h，不遗留神经功能缺损症状，结构性影像学检查无病灶，凡临床症状持续超过1h且神经影像学检查有明确病症者不宜称作TIA 6、horner征：主要表现为眼裂缩小，眼球轻微内陷、瞳孔缩小或伴同侧面部少汗或无汗 7、hunt综合征：表现为周围性神经麻痹，舌头前三分之二味觉障碍以及泪腺、唾液腺分泌障碍，可伴有味觉过敏；耳后部剧烈疼痛，鼓膜和外耳道疱疹，见于膝状神经节带状疱疹病毒感染。 二、单项选择题 1、脑梗死急性期治疗原则以下哪一条不妥当：（A） A立即降低高血压 B积极控制高血糖 C个体化选择抗栓治疗

D支持和对症治疗 E脑保护 2、以下不是帕金森病病因的是：（A） A、脑外伤 B、神经系统老化 C、遗传因素 D、环境毒素 3、为明确诊断，脑出血患者首选的检查是（A）： A头颅CT B脑电图 C腰穿 D 头颅MRI 4、脑血栓形成最常见的病因是：（B） A. 红细胞增多症 B. 脑动脉粥样硬化 C. 各种脑动脉炎 D. 血压偏低 5、腰膨大横贯性损害时会出现（D）： A 四肢上运动神经元瘫痪 B 双上肢下运动神经元瘫痪，双下肢上运动神经元瘫痪 C 双下肢下运动神经元瘫痪，双上肢正常 D 双下肢上运动神经元瘫痪，双上肢正常 6、癫痫的诊断主要依靠（A） A详细的病史B脑电图C头颅CT D头颅MRI E腰穿 7、最有效、最基本的治疗帕金森病的药物是( A ) A复方左旋多巴B金刚烷胺C安坦D司来吉 兰E普拉克索 8、帕金森病步态属( C) A. 跨阈步态 B. 醉酒步态C慌张步态D痉挛性偏瘫步态E鸭步 9、三叉神经痛治疗首选（E）

平行线的性质和判定培优讲义全

平行线的性质与判定培优讲义 教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧， 每个梦想都会超越你的目标。——佚名 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。

必修五 解三角形 讲义

1 人教版数学必修五 第一章解三角形重难点解析 【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 【要点内容】 一、正弦定理： 在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin = C c sin =2R （R为△ABC外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB= c b ， sinC=1 即c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴ A a sin = B b sin = C c sin 2．斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 S△ABC=A bc B ac C ab sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = 两边同除以abc 2 1 即得： A a sin = B b sin = C c sin a b c O B C A D

生本课程上课讲义

新泰市小学生本课程实施方案 一、指导思想 为全面贯彻落实国家、省、市中长期教育改革和发展规划纲要，提高学生的综合素养，落实素质教育，根据教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（教基二〔2014〕4号），山东省《关于推进基础教育综合改革的意见》(鲁办发〔2014〕55号)精神，改变原来单一的学科课程模式，建立国家课程、校本课程联动发展的立体课程模式，为学生的持续、全面发展奠定基础。 二、基本原则 义务教育课程分为基础性课程和拓展性课程。基础性课程指国家和地方课程标准规定的统一学习内容；拓展性课程指学校提供给学生自主选择的学习内容，也就是我们提出的生本课程。各学校要按规定开齐开好基础性课程，确保每一位学生具备适应社会必需的思想道德素质、科学文化素质和健康素质。积极探索生本课程的开发、实施、评价和共享机制，体现地域和学校特色，突出生本课程的兴趣性、活动性、层次性和选择性，满足学生的个性化学习需求。应遵循以下原则： 1、自主性原则 自主、独立是生本课程的主要特征。教学中以学生自己观察、操作、体验、交流为主，最大限度地发展学生的自主意识、创造意识和合作意识。教师可根据学生需要有针对性地进行因材施教，随时给予学生必要的指导和帮助，鼓励学生独立思考、独立

活动，自己发现问题、解决问题，真正成为学习的主人，同时，鼓励标新立异、发明创造，使学生能力得到充分地发展。 2、实践性原则 生本课程应以探究体验为主，把智力活动与实践操作结合起来，在“做”中学，在“学”中做。鼓励学生自觉进行实践活动，大胆地动手、动口、动脑，多种感官并用，广泛接触事物、接触自然、接触社会。积极创造条件，让学生体验现实生活，获得直接的知识经验，培养学生的综合实践能力。 3、综合性原则 生本课程以综合性的学习为主，它的学习内容可以不受学科知识体系的局限，是跨学科的、多学科的综合学习。这种学习有助于弥补分科学习的不足，有利于知识的整合运用，有助于学生能力的均衡发展。 4、过程性原则 通过开展生本课程学习活动，给学生提供一个进行自主、综合学习的空间、机会，使学生的知识学习、实际体验、态度养成、能力培养统一起来，全面发展学生的能力和个性。 5、开放性原则 生本课程的教学可以不受时间、空间的局限，积极推进基于现代教育技术和网络教育资源的新型教学模式，创设有利于个性化学习的开放性学习环境，促进信息技术和课堂教学的深度融合。让学生开阔视野、接触实际、丰富知识、增长才干，使学生的个性有一个自主发展的空间。 6、安全性原则 各学校在生本课程的实施过程中，要做好安全应急预案，明确责任，充分预估教学活动中可能存在的安全隐患，提高风险预

解三角形(讲义)

解三角形（讲义） ?知识点睛 1.解三角形 （1）在三角形中，由已知的边、角出发，求未知边、角的过程叫做解三角形．已知边指已知该边的长度，已知角指已知该角的三角函数值．解三角形时，往往会通过作高的方式将三角形分割为2个直角三角形进行研究；作高时，一般要保留已知三角函数值的角． （2）常见的可解三角形 ①2边1角 ②2角1边 ③3边 ④1边1角表达 AB=mACAB+BC=n ?精讲精练

1.如图，在△ABC中，AB=BC=11，tan B=1 2 ，则AC=________， sin C=________． 2.如图，在△ABC中，AC=ABC=150°，BC=8，则AB=______，sin A=________． 3.如图，在钝角三角形ABC中，∠CAB＞90°，AB=10，BC=14，∠C=45°，则 AC=_______． 4.如图，在△ABC中，tan B=1 2 ，∠C=45°，BC=12，则AB=_________． 5.如图，在△ABC中，tan A=1 2 ，∠ABC=135°，BC=AB=___________．

6.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=6，则∠B的正切值为_________． 7.如图，在△ABC中，BC∠C=45°，AB AC，则AC的长为_________． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4，E为CD边上一点，将△BCE沿BE 折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF=1 2 ，则CE=_______．

9. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到 △BDC′，DC′与AB 交于点E ，连接AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为（） A ． 2 B ．7 C D 10. 如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA =CB ，CE =CD ，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ，AD ，则两个三角形重叠部分的面积为________． 第10题图第11题图 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE = 12 ∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =23，点E ，点D 分别是边AB ，AC 上一 点，AE =3，AD =4，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ．若EF =2ED ，则AC 的长为__________． 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =BC △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连接B′C ，则sin ∠ACB′=________．

平行线的性质和判定培优讲义

平行线的性质和判定培 优讲义 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

平行线的性质与判定培优讲义 教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧， 每个梦想都会超越你的目标。——佚名 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 _______ .

7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 例2．已知：如图(2)， AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D =192°， ∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。 G