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第一章函数极限与连续练习题

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性分段函数的极限和连续性例设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？（2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？（3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限．（2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在．函数的图象及连续性例已知函数2 4)(2 +-= x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ．因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ．（3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲一、函数知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？（1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？解成本函数C （x ）=固定成本+可变成本所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x

第一章函数、极限、连续

第一章函数极限连续 1.1 数列极限的求法一基本概念数列极限、数列收敛、数列发散 1. 数列极限：lim n n x a →∞ = 描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限． “N ε-”语言：0ε?>，N ?，当n N >时，有n x a ε-<．二基本结论 1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性． 2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限． 3. 夹逼法则：若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==，则lim n n x a →∞ =． 4. 数列极限运算法则：设lim n n x A →∞ =，lim n n y B →∞ =，那么（1）lim()n n n x y A B →∞ ±=±；（2）lim n n n x y AB →∞ ?=；（3）lim (0)n n n x A B y B →∞ =≠．（4）lim() n y B n n x A →∞ = 5. 两个重要极限：10 lim(1)e x x x →+=；0sin lim 1x x x →=．这两个极限公式可以推广为：当0x x →时，()0f x →，则 1() lim(1()) e f x x x f x →+=；0sin () lim 1() x x f x f x →=．三基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式： 00；∞∞ ；0?∞；∞±∞；1∞；0 ∞；00；无限个无穷小的和．

第十三章多元函数的极限与连续性习题(学生用)

班级：_______________ 学号：______________ 姓名：________________ 第十三章多元函数的极限与连续性 §1. 平面点集 1.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2 ,|E x y y x =<； (2)(){}2 2,|1E x y x y =+≠；(3)(){},|0E x y xy =≠； (4)(){},|0E x y xy ==；(5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；(6)()1,|sin ,0E x y y x x ?? ==>???? ； (7)(){}2 2,|10,01E x y x y y x =+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 2．证明：平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数 N ，使得当n N >时，对一切正整数p ，都有(,)n n p P P ρε+<. （其中(,)n n p P P ρ+表,n n p P P +之间的距离）

§2. 多元函数的极限和连续性 1.求下列极限（包括非正常极限）： (1) 2200lim x y x y x y →→++； (2) ()332200 sin lim x y x y x y →→++； (3) 2200 x y →→； (4) ()22 00 1 lim sin x y x y x y →→++； (5) ()2 2 2 2 lim ln x y x y x y →→+； (6) 00lim cos sin x y x y e e x y →→+-； (7) 3 2 2 4200 lim x y x y x y →→+； (8) ()02 sin lim x y xy x →→； (9) 10 ln y x y x e →→+ (10) 12 1 lim 2x y x y →→-； (11) 4400 1 lim x y xy x y →→++； (12) 2222001lim x y x y x y →→+++；

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章函数与极限

第一章函数与极限教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数一、集合 1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则()lim x f x →∞ 为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。五、指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。六、设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。七、设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。函数与极限测试题答案（一）一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ；二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

第一章函数与极限的练习解答

一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，），【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？（1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。（2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。（3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。（4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：

（1） 23+=x y ；解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。（3）211x x y --=；解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。（5） x y sin =；解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ；解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。（9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x

1第一章函数与极限答案

第一章函数与极限第一节映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________；（3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为。（7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（）

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。二、典型例题例 1 ．求下列极限解：由可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。例 3 ．讨论函数例 4 ．已知函数， ∴ f(x)在 x=1 处连续。解析： ∴ a=1, b=0 。例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使存在，只需 ∴ 2k=1 ，故时，存在。例7．求函数在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。三、训练题： 2．的值是 3. 已知，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。，求 a 的值。 5．已知参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设，问常数k 为何值时，有存在？解析：∵ 4．已知解析：由 1．已知

第十六章多元函数的极限与连续习题集课

第十六章多元函数的极限与连续习题课一概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<

函数及极限习题及答案

第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2 x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数 a= 。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）2 11 x y -= ；（2）x y sin = ；（3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性（1）)1(2 2 x x y -= ；（2）3 2 3x x y -= ；

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

(完整版)函数极限与连续习题含答案.docx

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（ 1）若 f (x) 在 x 0 点连续，则 f ( x) 在 x x 0 点必有极限（2）若 f ( x) 在 x x 0 点有极限，则 f ( x) 在 x 0 点必连续（3）若 f ( x) 在 x x 0 点无极限，则 f ( x) 在 x x 0 点一定不连续（4）若 f ( x) 在 x x 0 点不连续，则 f (x) 在 x x 0 点一定无极限。其中正确的命题个数是（ B ） A 、 1 B 、2 C 、 3 D 、 4 2、若 lim f ( x) a ，则下列说法正确的是（ C ） x x 0 A 、 f ( x) 在 x x 0 处有意义 B 、 f ( x 0 ) a C 、 f ( x) 在 x x 0 处可以无意义 D 、 x 可以只从一侧无限趋近于 x 0 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点 x 0 处连续的充要条件是在点 x 0 左、右连续 B 、函数 f ( x) 在点 x 0 处连续，则 lim f ( x) f ( lim x) x x 0 x x 0 C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数 f (x) 有 lim f ( x) f ( x 0 ) x x 0 4、已知 f ( x) 1 ，则 lim f ( x x) f ( x) 的值是（ C ） x x 0 x 1 1 B 、 x D 、 x A 、 C 、 x 2 x 2 5、下列式子中，正确的是（ B ） x x 2 1 x 1 x A 、 lim 1 B 、 lim 1 C 、 lim D 、 lim 0 1 x 0 x x 1 2(x 1) x1 x 1 x 0 x 6、 lim x 2 ax b ，则 a 、 b 的值分别为（ A ） 1 x 5 x 1 A 、 7和 6 B 、 7和 6 C 、 7和 6 D 、 7和 6 7、已知 f (3) 2, f (3) 2, 则 lim 2x 3 f ( x) 的值是（ C ） x 3 x 3 A 、 4 B 、 0 C 、 8 D 、不存在 8、 lim x a （ D ） 3 3 x a x a

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一）一、填空题二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。六、单选题七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（）八、 A 、无穷小 B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在十九、例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、求下列极限二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

(整理)多元函数的极限与连续习题.

多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限（1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→；（2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ；（3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→；（4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。

1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ，有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-?ε，要使不等式 ε<-+-<-+|]1||2[|15|1423|2 y x y x 成立取}1,30 min{ ε δ=，于是 0>?ε， 0}1,30 min{ >=?ε δ，),(y x ?：δδ<-<-|1|,|2|y x 且 )1,2(),(≠y x ，有ε<-+|1423|2 y x ，即证。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）y x y x y x f +-= ),(； 1lim lim 00=+-→→y x y x y x ， 1l i m l i m 00-=+-→→y x y x x y ，二重极限不存在。或 0l i m 0=+-=→y x y x x y x ， 3 1l i m 20-=+-=→y x y x x y x 。

第一章 函数极限与连续练习题