第二十八屆全國奧林匹克數學競賽試題 ◎請將答案及過程寫在答案卷上,否則不予計分。
(每題10分,共150分)
1. 因式分解下列各式:
(1)(x +2)(x +3)(x -4)(x -5)-60
(2)(xy +1)(x +1)(y +1)+xy
2. 若a +b +c =0,abc ≠0,求a (b 1+c 1)+b (a 1+c 1)+c (a 1+b
1)=?
3. 若x 2-xy -2y 2+2x +5y +k 可分解為x 、y 的兩個一次因式之乘積,試求k 的值, 並因式分解原來的式子。(各佔5分)
4. 如圖,平面上一矩形ABCD ,AB =1,BC =3,今分別以AB 、BC 為邊各作正 三角形ABE 及正三角形BCF ,則△DEF 的面積為多少?
國 中 二 年 級 第 二 節
5. 已知實數m 滿足| m -2006 |+2007-m =m ,則m -20062之值為多少?
6. 設a 、b 都是正整數,且滿足1544+a +1368+a =b ,則b 的最大值為何?
7. 化簡
8. 若12--x x 與44--y y 互為相反數,求y
x 的值。
9. 已知:3481=-x ,計算 x
x x x ---1+11++1的值。
※背面有題,請翻至背面做答
10. 如圖是一個3×3的正方形,試求圖中9∠+...+3∠+2∠+1∠的度數。
11. 如圖有一直角三角形,其兩股長分別為6cm 、8cm ,現欲從這個直角三角形中 剪下一個最大的正方形,則此正方形的邊長是多少cm ?
12. 直角△ABC 中,C ∠=90° 且斜邊長為35。如果邊長為12的正方形CEDF 內接於 △ABC (如圖所示),試求△ABC 最小邊的長度。
13. 設n為正整數且24+27+2n為完全平方數,試求n之值。
14. 桌子上有一堆小石子共1001粒,第一個步驟先從這堆小石子中拿走一粒小石
子,並將剩下的小石子任意分成兩堆,以後的每一個步驟,都從數目多於3粒的某堆小石子中拿走一粒,再把該堆小石子任意分成兩堆。試問,能否在經過有限次步驟之後使得桌上的每一堆小石子中都恰好有3粒小石子?並請證明你的結論。(拿走的石子不放在桌上)
15. 如圖,△ABC中,點D,G分別在AB與AC上,且點E,F在邊BC上,使得四邊
形DEFG是正方形。如果△ADG、△BED及△CGF的面積分別為2、3、5,則正方形DEFG的邊長為多少?
A
D
G
C