第二十八届全国奥林匹克数学竞赛试题非选择部分

第二十八屆全國奧林匹克數學競賽試題 ◎請將答案及過程寫在答案卷上，否則不予計分。

(每題10分，共150分)

1. 因式分解下列各式：

(1)(x ＋2)(x ＋3)(x －4)(x －5)－60

(2)(xy ＋1)(x ＋1)(y ＋1)＋xy

2. 若a ＋b ＋c ＝0，abc ≠0，求a (b 1＋c 1)＋b (a 1＋c 1)＋c (a 1＋b

1)＝？

3. 若x 2－xy －2y 2＋2x ＋5y ＋k 可分解為x 、y 的兩個一次因式之乘積，試求k 的值， 並因式分解原來的式子。(各佔5分)

4. 如圖，平面上一矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝3，今分別以AB 、BC 為邊各作正 三角形ABE 及正三角形BCF ，則△DEF 的面積為多少？

國 中 二 年 級 第 二 節

5. 已知實數m 滿足| m －2006 |＋2007－m ＝m ，則m －20062之值為多少？

6. 設a 、b 都是正整數，且滿足1544+a ＋1368+a ＝b ，則b 的最大值為何？

7. 化簡

8. 若12－－x x 與44－－y y 互為相反數，求y

x 的值。

9. 已知：3481=－x ，計算 x

x x x －－－1+11++1的值。

※背面有題，請翻至背面做答

10. 如圖是一個3×3的正方形，試求圖中9∠+...+3∠+2∠+1∠的度數。

11. 如圖有一直角三角形，其兩股長分別為6cm 、8cm ，現欲從這個直角三角形中 剪下一個最大的正方形，則此正方形的邊長是多少cm ？

12. 直角△ABC 中，C ∠＝90° 且斜邊長為35。如果邊長為12的正方形CEDF 內接於 △ABC (如圖所示)，試求△ABC 最小邊的長度。

13. 設n為正整數且24＋27＋2n為完全平方數，試求n之值。

14. 桌子上有一堆小石子共1001粒，第一個步驟先從這堆小石子中拿走一粒小石

子，並將剩下的小石子任意分成兩堆，以後的每一個步驟，都從數目多於3粒的某堆小石子中拿走一粒，再把該堆小石子任意分成兩堆。試問，能否在經過有限次步驟之後使得桌上的每一堆小石子中都恰好有3粒小石子？並請證明你的結論。(拿走的石子不放在桌上)

15. 如圖，△ABC中，點D，G分別在AB與AC上，且點E，F在邊BC上，使得四邊

形DEFG是正方形。如果△ADG、△BED及△CGF的面積分別為2、3、5，則正方形DEFG的邊長為多少？

A

D

G

C