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高中数学解题思想方法汇总

高中数学解题思想方法汇总
高中数学解题思想方法汇总

Contents

前言 (2)

第一章高中数学解题基本方法 (3)

一、配方法 (3)

二、换元法 (7)

三、待定系数法 (14)

四、定义法 (19)

五、数学归纳法 (23)

六、参数法 (28)

七、反证法 (32)

八、消去法………………………………………

九、分析与综合法………………………………

十、特殊与一般法………………………………

十一、类比与归纳法…………………………

十二、观察与实验法…………………………

第二章高中数学常用的数学思想 (35)

一、数形结合思想 (35)

二、分类讨论思想 (41)

三、函数与方程思想 (47)

四、转化(化归)思想 (54)

第三章高考热点问题和解题策略 (59)

一、应用问题 (59)

二、探索性问题 (65)

三、选择题解答策略 (71)

四、填空题解答策略 (77)

附录………………………………………………………

一、高考数学试卷分析…………………………

二、两套高考模拟试卷…………………………

三、参考答案……………………………………

前言

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:

①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等;

②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;

③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和

演绎等;

④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想

等。

数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

第一章高中数学解题基本方法

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;

a2+ab+b2=(a+b)2-ab=(a-b)2+3ab=(a+b

2

)2+(

3

2

b)2;

a2+b2+c2+ab+bc+ca=1

2

[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)2-2(ab-bc-ca)=…结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:

1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2;

x2+1

2

x

=(x+

1

x

)2-2=(x-

1

x

)2+2 ;……等等。

Ⅰ、再现性题组:

1. 在正项等比数列{a

n }中,a

1

?a

5

+2a

3

?a

5

+a

3

?a

7

=25,则 a

3

+a

5

=_______。

2. 方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。

A. 14

B. k<14或k>1

C. k∈R

D. k=14或k=1

3. 已知sin4α+cos4α=1,则sinα+cosα的值为______。

A. 1

B. -1

C. 1或-1

D. 0

4. 函数y=log

1

2

(-2x2+5x+3)的单调递增区间是_____。

A. (-∞, 54]

B. [54,+∞)

C. (-12,54]

D. [54,3)

5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x

1、x

2

,则点P(x

1

,x

2

)在圆x2+y2=4上,则

实数a=_____。

【简解】 1小题:利用等比数列性质a

m p

-a

m p

+

=a

m

2,将已知等式左边后配方(a

3

a

5

)2易求。答案是:5。

2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)2+(y-b)2=r2,解r2>0即可,选B。

3小题:已知等式经配方成(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。

4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题:答案3-11。

Ⅱ、示范性题组:

例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23

B. 14

C. 5

D. 6

【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z ,则

211

424()()xy yz xz x y z ++=++=??

?

,而欲求对角线长x y z 222++,将其配凑成两已知式的组合形式

可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度

之和为24”而得:211

424()()xy yz xz x y z ++=++=???

长方体所求对角线长为:

x y z 222++=()()x y z xy yz xz ++-++22=

6112-=5

所以选B 。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x 2+kx +2=0的两实根为p 、q ,若(p q )2+(q p

)2

≤7成立,求实数k 的取值范围。

【解】方程x 2

+kx +2=0的两实根为p 、q ,由韦达定理得:p +q =-k ,pq =2 ,

(p q )2+(q p )2=p q pq 442+()=()()

p q p q pq 22222

2

2+-=[()]()p q pq p q pq +--2222222=()k 2248

4

--≤7, 解得k ≤-10或k ≥10 。

又 ∵p 、q 为方程x 2+kx +2=0的两实根, ∴ △=k 2

-8≥0即k ≥22或k ≤-22

综合起来,k 的取值范围是:-10≤k ≤-22 或者 22≤k ≤10。

【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p +q 、pq 后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p +q 与pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。

例3. 设非零复数a 、b 满足a 2

+ab +b 2

=0,求(

a a

b +)1998+(b a b

+)1998

。 【分析】 对已知式可以联想:变形为(a b )2+(a b )+1=0,则a

b

=ω (ω为1的立方

虚根);或配方为(a +b)2

=ab 。则代入所求式即得。

【解】由a 2

+ab +b 2

=0变形得:(

a b )2+(a

b

)+1=0 ,

设ω=

a b ,则ω2+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:1ω=b

a

,ω3=ω3=1。 又由a 2+ab +b 2=0变形得:(a +b)2=ab ,

所以 (a a b +)1998+(b a b

+)1998

=(a ab 2)999+(b ab 2)999=(a b )999+(b a )999=ω

999

ω

999

=2 。

【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。

【另解】由a 2+ab +b 2=0变形得:(

a b )2+(a b )+1=0 ,解出b a

=-±132i 后,化

成三角形式,代入所求表达式的变形式(a b )999+(b

a

)999后,完成后面的运算。此方法用于

只是未-±132

i 联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a 2+ab +b 2=0解出:a =-±132

i

b ,

直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 函数y =(x -a)2+(x -b)2

(a 、b 为常数)的最小值为_____。

A. 8

B. ()a b -2

2 C. a b 222

+ D.最小值不存在

2. α、β是方程x 2-2ax +a +6=0的两实根,则(α-1)2 +(β-1)2

的最小值是_____。

A. -494

B. 8

C. 18

D.不存在

3. 已知x 、y ∈R +

,且满足x +3y -1=0,则函数t =2x

+8y

有_____。

A.最大值22

B.最大值22

C.最小值22 B.最小值22

4. 椭圆x 2-2ax +3y 2+a 2

-6=0的一个焦点在直线x +y +4=0上,则a =_____。

A. 2

B. -6

C. -2或-6

D. 2或6 5. 化简:218-sin +228+cos 的结果是_____。

A. 2sin4

B. 2sin4-4cos4

C. -2sin4

D. 4cos4-2sin4 6. 设F 1和F 2为双曲线x 2

4

-y 2

=1的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,

则△F 1PF 2的面积是_________。

7. 若x>-1,则f(x)=x 2

+2x +11

x +的最小值为___________。

8. 已知π2

〈β<α〈34

π,cos(α-β)=1213

,sin(α+β)=-35

,求sin2α的值。(92

年高考题)

9. 设二次函数f(x)=Ax 2

+Bx +C ,给定m 、n (m

[(m+n)2

+ m 2

n 2

]+2A[B(m+n)-Cmn]+B 2

+C 2

=0 。

①解不等式f(x)>0;

②是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。

10. 设s>1,t>1,m∈R,x=log

s t+log

t

s,y=log

s

4t+log

t

4s+m(log

s

2t+log

t

2s),

①将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;

②若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=x+1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x

=sin2α,α∈[0,π

2

],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中

主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=S

2

+t,y=

S

2

-t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例

中的t>0和α∈[0,π

2

]。

Ⅰ、再现性题组:

1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2+1)=log

a

(4-x4) (a>1),则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a

n }中,a

1

=-1,a

n+1

·a

n

=a

n+1

-a

n

,则数列通项a

n

=___________。

4.设实数x、y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

=3的解是_______________。

6.不等式log

2(2x-1) ·log

2

(2x+1-2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-2,2],则y=t2

2

+t-

1

2

,对称轴t=-1,

当t=2,y

max =

1

2

+2;

2小题:设x2+1=t (t≥1),则f(t)=log

a [-(t-1)2+4],所以值域为(-∞,log

a

4];

3小题:已知变形为

1

1a n +-

1a n =-1,设b n =1a n

,则b 1=-1,b n =-1+(n -1)(-1)=-n ,所以a n =-1

n

4小题:设x +y =k ,则x 2-2kx +1=0, △=4k 2-4≥0,所以k ≥1或k ≤-1; 5小题:设3x =y ,则3y 2+2y -1=0,解得y =

1

3

,所以x =-1; 6小题:设log 2(2x -1)=y ,则y(y +1)<2,解得-2

4,log 23)。 Ⅱ、示范性题组:

例1. 实数x 、y 满足4x 2-5xy +4y 2=5 ( ①式) ,设S =x 2+y 2,求1S m a x

1S min

的值。(93年全国高中数学联赛题)

【分析】 由S =x 2+y 2联想到cos 2α+sin 2α=1,于是进行三角换元,设

x S y S ==??

???c os si n α

α

代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin α

α

代入①式得: 4S -5S ·sin αcos α=5

解得 S =10

852-sin α

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴ 1013≤1085-sin α≤10

3

∴ 1S max +1S min =310+1310=1610=85

此种解法后面求S 最大值和最小值,还可由sin2α=810

S S

-的有界性而求,即解不等

式:|810S S

-|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S =x 2+y 2,设x 2=S 2+t ,y 2

=S 2-t ,t ∈[-S 2,S 2

],

则xy =±S t 224-代入①式得:4S ±5S t 2

24

-=5, 移项平方整理得 100t 2+39S 2

-160S +100=0 。

∴ 39S 2

-160S +100≤0 解得:1013≤S ≤10

3

1S max

1S min

310+1310=1610=85

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S =x 2+y 2与三角公式cos 2α+sin 2α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S =x 2+y 2而按照均值换元的思路,设x 2=S 2

+t 、y 2=S 2

-t ,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种

方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x 、y 时,可以设x =a +b ,y =a -b ,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x =a +b ,y =a -b ,代入①式整理得3a 2+13b 2=5 ,求得a 2∈[0,5

3

],所以S =(a -b)2+(a +b)2=2(a 2+b 2)=

1013+2013a 2∈[1013,10

3],再求1S max +1S min

的值。

例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足:A +C =2B ,

1

cos A +1cos C

=-2cos B ,求

cos A C

-2

的值。(96年全国理)

【分析】 由已知“A +C =2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得

A C

B +=??

?12060°=°;由“A +C =120°”进行均值换元,则设A C =°α

=°-α6060+???

,再代入可求cos α即cos A C

-2

【解】由△ABC 中已知A +C =2B ,可得 A C B +=???12060°

=°

,

由A +C =120°,设A C =°α

=°-α

6060+???,代入已知等式得:

1

cos A +1cos C =160cos()?+α+160cos()?-α=1123

2

cos sin αα-+

1123

2

cos sin αα+=cos cos sin ααα143422-=cos cos α

α234-=-22, 解得:cos α=22, 即:cos A C

-2

=22。

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以

1

cos A

1

cos C

=-

2

cos B

=-22,设

1

cos A

=-2+m,

1

cos C

=-2-m ,

所以cosA=

1

2

-+m

,cosC=

1

2

--m

,两式分别相加、相减得:

cosA+cosC=2cos A C

+

2

cos

A C

-

2

=cos

A C

-

2

22

2

2

m-

cosA-cosC=-2sin A C

+

2

sin

A C

-

2

=-3sin

A C

-

2

2

2

2

m

m-

即:sin A C

-

2

=-

2

32

2

m

m

()

-

,=-

22

2

2

m-

,代入sin2

A C

-

2

+cos2

A C

-

2

=1整理

得:3m4-16m-12=0,解出m2=6,代入cos A C

-

2

22

2

2

m-

2

2

【注】本题两种解法由“A+C=120°”、“

1

cos A

1

cos C

=-22”分别进行均值

换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C=

2B,得A+C=120°,B=60°。所以

1

cos A

1

cos C

=-

2

cos B

=-22,即cosA+cosC

=-22cosAcosC,和积互化得:

2cos A C

+

2

cos

A C

-

2

=-2[cos(A+C)+cos(A-C),即cos

A C

-

2

2

2

-2cos(A-C)

2

2

-2(2cos2

A C

-

2

-1),整理得:42cos2

A C

-

2

+2cos

A C

-

2

-32=0,

解得:cos A C

-

2

2

2

例3. 设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的最大值和最小值。【解】设sinx+cosx=t,则t∈[-2,2],由(sinx+

cosx)2=1+2sinx·cosx得:sinx·cosx=t21 2 -

∴ f(x)=g(t)=-1

2

(t-2a)2+

1

2

(a>0),t∈[-2,2]

t=-2时,取最小值:-2a2-22a-1 2

当2a≥2时,t=2,取最大值:-2a2+22a

-1

2

当0<2a ≤2时,t =2a ,取最大值:

1

2

。 ∴ f(x)的最小值为-2a 2-22a -12,最大值为12022

22212222

()()<<-+-≥?????

??a a a a 。

【注】 此题属于局部换元法,设sinx +cosx =t 后,抓住sinx +cosx 与sinx ·cosx 的

内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t ∈[-2,2])与sinx +cosx 对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx ±cosx ,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x ,不等式x 2

log 241()a a ++2x log 221

a

a ++log 2()a a +1422

>0恒成立,求a 的取值范围。(87年全国理)

【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221

a

a +、log 2()a a +1422三项有何联系?进行对

数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。

【解】 设log 221a a +=t ,则log 241()a a +=log 2812()a a +=3+log 2a a

+1

2=3-

log 221a a +=3-t ,log 2()a a +1422=2log 2

a a

+1

2=-2t , 代入后原不等式简化为(3-t )x 2

+2tx -2t>0,它对一切实数x 恒成立,所以:

3048302

->=+-

t t t t ?(),解得t t t <<>???306或 ∴ t<0即log 221a a +<0 0<21

a a +<1,解得0

设元,关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221

a

a +、log 2()a a +1422三项之间的联

系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。另外,本题还要求对数运算十分熟

练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。

例5. 已知sin θx =cos θy ,且c o s 22θx +sin 22

θ

y =10322()x y + (②式),求x y 的值。

【解】 设

sin θx

=cos θ

y =k ,则sin θ=kx ,cos θ=ky ,且sin 2θ+cos 2θ=

k 2

(x 2

+y 2

)=1,代入②式得: k y x 222+k x y 222=10

322()x y +=1032k 即:y x 22+x y 22=103

设x y 22=t ,则t +1t =103

, 解得:t =3或1

3 ∴x y =±3或±33

【另解】 由x y =sin cos θθ=tg θ,将等式②两边同时除以cos 22

θ

x ,再表示成含tg θ的

式子:1+tg 4θ=()()

11031122+?+tg tg θθ

=103tg 2θ,设tg 2θ=t ,则3t 2

—10t +3=0,

∴t =3或

1

3

, 解得x y =±3或±33。

【注】 第一种解法由

sin θx

=cos θ

y 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。

第二种解法将已知变形为x y =sin cos θ

θ

,不难发现进行结果为tg θ,再进行换元和变形。两

种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x 、y 满足()x -192+()y +1162

=1,若x +y -k>0恒成立,求k 的范围。

【分析】由已知条件()x -192+()y +116

2=1,可以发现它与a 2+b 2

=1有相似之处,于

是实施三角换元。

【解】由()x -192+()y +1162=1,设x -13=cos θ,y +1

4

=sin θ,

即:x y =+=-+???

1314cos sin θθ 代入不等式x +y -k>0得:

3cos θ+4sin θ-k>0,即k<3cos θ+4sin θ=5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”。

+by +c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax +by +c =0此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终

位于平面上x +y -k>0的区域。即当直线x +y -k =0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组16191144

22()()x y x y k -++=+-=???有相等的一组实数解,消元后由△=0可求得k =-3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 已知f(x 3)=lgx (x>0),则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 13

lg2 C. 23

lg2 D. 23

lg4

2. 函数y =(x +1)4+2的单调增区间是______。

A. [-2,+∞)

B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)

C. (-∞,-1]

3. 设等差数列{a n }的公差d =12

,且S 100=145,则a 1+a 3+a 5+……+a 99的值为

_____。

A. 85

B. 72.5

C. 60

D. 52.5 4. 已知x 2+4y 2=4x ,则x +y 的范围是_________________。

5. 已知a ≥0,b ≥0,a +b =1,则a +12

+b +12

的范围是____________。

6. 不等式x >ax +32

的解集是(4,b),则a =________,b =_______。

7. 函数y =2x +x +1的值域是________________。

8. 在等比数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 10=2,a 11+a 12+…+a 30=12,求a 31+a 32+…+a 60。

9. 实数m 在什么范围内取值,对任意实数x ,不等式sin 2

x +2mcosx +4m -1<0恒成立。 10. 已知矩形ABCD ,顶点C(4,4),A 点在曲线

x 2+y 2

=2 (x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴,求矩形ABCD 的最小面积。

x +y -k>0 k 平面区域

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法,它解题的基本步骤是:

第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;

第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;

第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:

①利用对应系数相等列方程;

②由恒等的概念用数值代入法列方程;

③利用定义本身的属性列方程;

④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组:

1.设f(x)=x

2

+m,f(x)的反函数f-1(x)=nx-5,那么m、n的值依次为_____。

A. 5

2

, -2 B. -

5

2

, 2 C.

5

2

, 2 D. -

5

2

,-2

2.二次不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1

2

,

1

3

),则a+b的值是_____。

A. 10

B. -10

C. 14

D. -14

3.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是_____。

A. -297

B.-252

C. 297

D. 207

4.函数y=a-bcos3x (b<0)的最大值为3

2

,最小值为-

1

2

,则y=-4asin3bx的最小

正周期是_____。

5.与直线L:2x+3y+5=0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

6.与双曲线x2-y2

4

=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是

____________。

【简解】1小题:由f(x)=x

2

+m求出f-1(x)=2x-2m,比较系数易求,选C;

2小题:由不等式解集(-

12,13),可知-12、1

3

是方程ax 2+bx +2=0的两根,代入两根,列出关于系数a 、b 的方程组,易求得a +b ,选D ;

3小题:分析x 5的系数由C 105

与(-1)C 102

两项组成,相加后得x 5的系数,选D ; 4小题:由已知最大值和最小值列出a 、b 的方程组求出a 、b 的值,再代入求得答案

23

π

; 5小题:设直线L ’方程2x +3y +c =0,点A(1,-4)代入求得C =10,即得2x +3y +10=0;

6小题:设双曲线方程x 2

-y 24=λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程x 23-y 212

=1。

Ⅱ、示范性题组:

例1. 已知函数y =mx x n

x 22431

+++的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。

【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m 、n 的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为: (y -m)x 2

-43x +(y -n)=0, x ∈R, 由已知得y -m ≠0

∴ △=(-43)2-4(y -m)(y -n)≥0 即: y 2-(m +n)y +(mn -12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7),则-1、7是方程y 2

-(m +n)y +(mn -12)=0的两根,

代入两根得:1120

497120+++-=-++-=???()()m n mn m n mn 解得:m n ==???51或m n ==???

15

∴ y =5431122x x x +++或者y =x x x 22435

1

+++

此题也可由解集(-1,7)而设(y +1)(y -7)≤0,即y 2

-6y -7≤0,然后与不等式①比较系数而得:m n mn +=-=-??

?

6

127,解出m 、n 而求得函数式y 。

【注】 在所求函数式中有两个系数m 、n 需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域

问题,得到了含参数m 、n 的关于y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m 、n 。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m 、n 的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m 、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y 视为参数,函数式化成含参数y 的关于x 的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y 的不等式,解出y 的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

例2. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10-5,求椭圆的方程。

【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一

个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a-c的

值后列出第二个方程。

【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF’|

=a

a b c

a a b

a c

222

222

2

105

=+

+=

-=-

?

?

?

?

?

()解得:

a

b

=

=

?

?

?

??

10

5

∴所求椭圆方程是:x2

10

y2

5

=1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后,由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’,再进行如

下列式:

b c

a c

a b c

=

-=-

=+

?

?

?

?

?

105

222

,更容易求出a、b的值。

【注】圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本题就利用了这一特征,列出关于a-c的等式。

一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几何数据)→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

例3. 是否存在常数a、b、c,使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=n n()

+1

12

(an2

+bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。(89年全国高考题)【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n=1、2、3列出关于a、b、c的方程组,解方程组求出a、b、c的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在a、b、c使得等式成立,令:n=1,得4=1

6

(a+b+c);n=2,得22

=1

2

(4a+2b+c);n=3,得70=9a+3b+c。整理得:

a b c

a b c

a b C

++=

++=

++=

?

?

?

?

?

24

4244

9370

,解得

a

b

c

=

=

=

?

?

?

?

?

3

11

10

于是对n=1、2、3,等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n n()

+1

12

(3n2+11n+10)成

立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立:

假设对n=k时等式成立,即1·22+2·32+…+k(k+1)2=k k()

+1

12

(3k2+11k+10);

B

当n=k+1时,1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k k()

+1

12

(3k2+11k

+10) +(k+1)(k+2)2=k k()

+1

12

(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=

()()

k k

++

12

12

(3k2

+5k+12k+24)=()()

k k

++

12

12

[3(k+1)2+11(k+1)+10],

也就是说,等式对n=k+1也成立。

综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列13+23+…+n3、12+22+…+n2求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由n(n+1)2=n3+2n2+n得S

n

=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1

+2+…+n)=n n

22

1

4

()

+

+2×

n n n

()()

++

121

6

n n()

+1

2

n n()

+1

12

(3n2+11n+10),

综上所述,当a=8、b=11、c=10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?

【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

【解】依题意,矩形盒子底边边长为(30-2x)cm,底边宽为(14-2x)cm,高为xcm。

∴盒子容积 V=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x ,

显然:15-x>0,7-x>0,x>0。

设V=4

ab

(15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0)

要使用均值不等式,则

--+=

-=-=?

?

?

a b

a ax

b bx x

10

157

解得:a=1

4

, b=

3

4

, x=3 。

从而V=64

3

(

15

4

x

4

)(

21

4

3

4

x)x≤

64

3

(

15

4

21

4

3

+

)3=

64

3

×27=576。

所以当x=3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm3。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用

“待定系数法”求。本题解答中也可以令V=4

ab

(15a-ax)(7-x)bx 或

4

ab

(15-x)(7a-

ax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组:

1. 函数y =log a x 的x ∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a 的取值范围是_____。

A. 2>a>12

且a ≠1 B. 0

或12或0

2. 方程x 2+px +q =0与x 2

+qx +p =0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____。

A. 1

B. -1

C. p +q

D. 无法确定 3. 如果函数y =sin2x +a ·cos2x 的图像关于直线x =-π8

对称,那么a =_____。

A. 2

B. -2

C. 1

D. -1

4. 满足C n 0+1·C n 1+2·C n 2+…+n ·C n n

<500的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n =a -12

n , 则所有项的和等于_____。

A. -12

B. 1

C. 12

D.与a 有关

6. (1+kx)9=b 0+b 1x +b 2x 2+…+b 9x 9

,若b 0+b 1+b 2+…+b 9=-1,则k =______。

7. 经过两直线11x -3y -9=0与12x +y -19=0的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________。

8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60°,过底面一边作截面,使其与底面成30°角,则截面面积为______________。

9. 设y =f(x)是一次函数,已知f(8)=15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列,求f(1)+f(2)+…+f(m)的值。

10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2),对称轴与x 轴平行,开口向右,直线y =2x +7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。

四、定义法

所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组:

1.已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。

A. 2≤n≤9

B. 7≤n≤9

C. 5≤n≤9

D. 5≤n≤7

2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。

A. MP

B. OM

C. AT<

D. OM

3.复数z

1=a+2i,z

2

=-2+i,如果|z

1

|< |z

2

|,则实数a的取值范围是_____。

A. -1

B. a>1

C. a>0

D. a<-1或a>1

4.椭圆x2

25

y2

9

=1上有一点P,它到左准线的距离为

5

2

,那么P点到右焦点的距离为

_____。

A. 8 C. 7.5 C. 75

4

D. 3

5.奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(-T

2

)的值为_____。

A. T

B. 0

C. T

2

D. 不能确定

6.正三棱台的侧棱与底面成45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。【简解】1小题:利用并集定义,选B;

2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B;

3小题:利用复数模的定义得a222

+<5,选A;

4小题:利用椭圆的第二定义得到||

PF

5

2

=e=

4

5

,选A;

5小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(-T

2

)=f(

T

2

)=-f(-

T

2

),选B;

6小题:利用线面角、面面角的定义,答案2。Ⅱ、示范性题组:

例1. 已知z=1+i,①设w=z2+3z-4,求w的三角形式;②如果z az b z z

2

21

++

-+

=1-i,求实数a、b的值。(94年全国理)

【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。

【解】由z=1+i,有w=z2+3z-4=(1+i)2+3()

1+i-4=2i+3(1-i)-4=

-1-i,w的三角形式是2(cos 5

4

π

+isin

5

4

π

);

由z =1+i,有z az b z z 221++-+=()()()()1111122+++++-++i a i b i i =()()a b a i

i

+++2=(a +2)-(a

+b)i。

由题设条件知:(a +2)-(a +b)i=1+i;

根据复数相等的定义,得:a a b +=-+=-???

21

1(),

解得a b =-=???12

【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)=-x n +cx ,f(2)=-14,f(4)=-252,求y =log

22

f(x)的定义域,

判定在(

2

2

3

,1)上的单调性。 【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n 与c 的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。

【解】 f c f c n

n

()()22214

444252

=-+=-=-+=-????? 解得:n c ==???41 ∴ f(x)=-x 4

+x 解f(x)>0得:0

2

2

3

2

<1, 则f(x

1

)-f(x

2

)=-x

1

4+x

1

-(-x

2

4+x

2

=(x 1-x 2)[1-(x 1+x 2)( x 12

+x 22

)],

∵ x 1+x 2>23

, x 12+x 22

>423

∴ (x 1+x 2)( x 12+x 22)〉23

×423

=1

∴ f(x 1)-f(x 2)>0即f(x)在(2

23,1)上是减函数

∵ 2

2<1 ∴ y =log 22

f(x) 在(22

3,1)上是增函数。

【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性

的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求n 、c

的过程中,运用了待定系数法和换元法。

例3. 如图,已知A ’B ’C ’—ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点。

① 证明:AB ’∥平面DBC ’; ② 假设AB ’⊥BC ’,求二面角D —BC ’—C 的度数。(94年全国理)

【分析】 由线面平行的定义来证①问,即通过证AB ’平行平面DBC ’内的一条直线而得;由二面角的平面角的定义作出平面角,通过解三角形而求②问。

B’

高中数学必修一求函数解析式解题方法大全及配套练习

高中数学必修一求函数解析式解题 方法大全及配套练习 一、 定义法: 根据函数的定义求解析式用定义法。 【例1】设23)1(2 +-=+x x x f ,求)(x f . 2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2 ++-+x x 65)(2+-=∴x x x f 【例2】设2 1 )]([++= x x x f f ,求)(x f . 解:设x x x x x x f f ++=+++=++=11111 11 21)]([ x x f += ∴11)( 【例3】设3 3 22 1)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++ =+,求)]([x g f . 解:2)(2)1 (1)1(2222-=∴-+=+=+ x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x x x x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([2 4 6 2 3 -+-=--=x x x x x x g f 【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=. 解:)2 ( 17cos )]2 [cos()(sin x x f x f -=-=π π x x x 17sin )172 cos()1728cos(=-=-+ =π π π.

二、 待定系数法:(主要用于二次函数) 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程, 从而求出函数解析式。 它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 【例1】 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴????? ?=-===32 1 2b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ?? ?=++=+8 2 2b a b b a 解得 ?? ?==. 7, 1b a 故f (x )= x 2+7x. 【例3】已知1392)2(2 +-=-x x x f ,求)(x f . 解:显然,)(x f 是一个一元二次函数。设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 则c x b x a x f +-+-=-)2()2()2(2 )24()4(2c b a x a b ax +-+-+= 又1392)2(2 +-=-x x x f 比较系数得:?????=+--=-=1324942c b a a b a 解得:?? ???=-==312c b a 32)(2 +-=∴x x x f

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。 进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组: 1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|≤a,x∈R},若A?B,那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1,p=log a (a3+a+1),q=log a (a2+a+1),则p、q的大小关系是 _____。 A. p=q B. pq D.当a>1时,p>q;当0

高中数学解题方法大全

第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a +b) =a +2ab +b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 + b 2=(a +b)2 -2ab =(a -b)2 +2ab ; a 2 +a b +b 2 =(a +b)2 -ab =(a -b)2 +3ab ; a 2 + b 2 + c 2 +ab +bc +ca = 2 1[(a +b)2 +(b +c) 2+(c +a) 2] a 2+b 2+c 2=(a +b +c) 2-2(ab +bc +ca)=(a +b -c)2 -2(ab -bc -ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sin αcos α=(sin α+cos α) ; x + =(x + ) -2=(x - ) +2 ;…… 等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a }中,a ?a +2a ?a +a ?a =25,则 a +a =_______。 2. 方程x +y -4kx -2y +5k =0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 C. k ∈R D. k = 或k =1 3. 已知sin α+cos α=1,则sin α+cos α的值为______。

高考数学思想方法汇总(80页)

高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法

高中数学知识点以及解题方法大全

前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化 归)思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化( 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=(a-b) 2 +2ab; a 2 +ab+b 2 =(a+b) 2 -ab=(a-b) 2 +3ab=(a+ b 2) 2 +( 3 2b) 2 ; a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca= 1 2[(a+b) 2 +(b+c) 2 +(c+a) 2 ] a 2 +b 2 +c 2 =(a+b+c) 2 -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) 2 -2(ab-bc-ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα) 2 ; x 2 + 1 2 x=(x+ 1 x) 2 -2=(x- 1 x) 2 +2 ;……等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n}中,a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25,则 a3+a5=_______。 2. 方程x 2 +y 2 -4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k= 1 4或k=1 3. 已知sin 4 α+cos 4 α=1,则sinα+cosα的值为______。 A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0 4. 函数y=log1 2 (-2x 2 +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (- 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2,则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上,则实数a=_____。 【简解】 1小题:利用等比数列性质a m p -a m p +=a m 2 ,将已知等式左边后配方(a3+a5) 2 易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 ,解r 2 >0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sin 2 α+cos 2 α) 2 -2sin 2 αcos 2 α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3-11。 Ⅱ、示范性题组: 例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想 姓名: 方法1 构造函数关系,利用函数性质解题 班别: 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论,从而使问题得到解决,称为构造函数解题。通过构造函数,利用函数的单调性解题,在解方程和证明不等式中最为广泛,解题思路简洁明快。 例1 (10安徽)设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是( ) ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> (1) 讨论函数()f x 的单调性; (2) 证明:若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量,揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中,对变量的理解要选择更加合适的角度,先选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系,再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ,使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程,求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式,我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是( ) 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

高中数学解题基本方法——换元法

高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=x+1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x =sin2α,α∈[0,π 2 ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中 主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。 均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=S 2 +t,y= S 2 -t等等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组: 1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2+1)=log a (4-x4) (a>1),则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中,a 1 =-1,a n+1 ·a n =a n+1 -a n ,则数列通项a n =___________。 4.设实数x、y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x =3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x-1) ·log 2 (2x+1-2)〈2的解集是_______________。

高中数学解题方法之构造法(含答案)

十、构造法 解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难,甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向,换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家,如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人,都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术,蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝,能为数学问题的解决增添色彩,更具研究和欣赏价值。近几年来, 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视,在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础,较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提, 根据题目的特征,对问题进行深入分析,找出“已知”与“所求(所证)”之间的联系纽带, 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时,被构造的对象是多种多样的,按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等,从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的,没有固定的程序和模式,不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律:在运用构造法时,一要明确构造的目的,即为什么目的而构造;二要弄清楚问题的特 点,以便依据特点确定方案,实现构造。 再现性题组 1、求证: 3 10910 22≥++=x x y (构造函数) 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1,则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x (构造函数) 3、已知01a <<,01b <<,求证: 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a (构造图形、复数) 4、求证:9)9(272≤-+x x ,并指出等号成立的条件。(构造向量) 5、已知:a>0、b>0、c>0 ,求证:222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。(构造图形) 6 、求函数y = 再现性题组简解: 1、解:设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==,用定义法可证:f (t )在),3[+∞上单调递增,令:3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y

高中数学解题的21个典型方法和技巧

高中数学解题的21个典型方法与技巧 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是:把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有: ①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ①零点分段讨论法:适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ①两边平方法:适用于两边非负的方程或不等式。 ①几何意义法:适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是:提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法,它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有: ①()2 222a ab b a b ±+=± ①()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ①()()()22222212 a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++?? ①222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是:设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是:①设①列①解①写

6、复杂代数等式条件的使用技巧:右边化为零,左边变形。 ①因式分解型:()()0---?---=,两种情况为或型。 ①配成平方型:()()22 0---+---=,两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路: ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ①求取值范围的思路 ??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 8的基本思路:把m 化成完全平方式。 即 2 m a a a =???=??????→按的情况分类讨论结果 9()2 a x y ±=±其中220xy x y a x y =+=>>且。 10、代数式求值的方法有:①直接代入法①化简代入法①适当变形法(和积代入法)。注意:当求值的代数式是字母的“对称式”时,通常可以化为字母“和与积”的形式,从而用和积代入法求值。 11、方程中除未知数以外,含有的其他字母叫做参数,这种方程叫做含参方程。解含参方程一般要用“分类讨论法”,其原则是:①按照类型求解①根据需要讨论①分类写出结论。 12、恒等成立的条件: ①0ax b +=对于任意x 都成立?关于x 的方程0ax b +=有无数个解?00a b ==且。 ①20ax bx c ++=对于任意x 都成立?关于x 的方程20ax bx c ++=有无数个解?

高中数学解题思想方法技巧:西瓜开门 滚到成功

第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球. 因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容,二是思想方法. 基本的数学思想并不多,只有五种:①函数方程思想,②数形结合思想,③划分讨论思想,④等价交换思想,⑤特殊一般思想. 数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 [题1] (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -1)f '(x )≥0,则必有 A. f (0)+f (2)< 2f (1) B. f (0)+f (2)≤2 f (1) C. f (0)+f (2)≥ 2f (1) D. f (0)+f (2)>2f (1) [分析] 用五种数学思想进行“滚动”,最容易找到感觉应是③:分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f '(x )≥0中暗示得极为显目. 其一,对f '(x )有大于、等于和小于0三种情况; 其二,对x -1,也有大于、等于、小于0三种情况. 因此,本题破门,首先想到的是划分讨论. [解一] (i)若f '(x ) ≡ 0时,则f (x )为常数:此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f '(x )不恒为0时. 则f '(x )≥0时有x ≥1,f (x )在[)∞,1上为增函数;f '(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时,选项C 、D 符合条件. 综合(i),(ii),本题的正确答案为C. [插语] 考场上多见的错误是选D. 忽略了f '(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f '(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0,其实x-1=0与f '(x )=0的意义是不同的:前者只涉x 的一个值,即x =1,而后是对x 的所有可取值,有f '(x ) ≡ 0. [再析] 本题f (x )是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中,又是一些具体的函数值f (0),f (1),f (2). 因此容易使人联想到数学⑤:一般特殊思想. [解二] (i)若f '(x )=0,可设f (x )=1. 选项B、C符合条件. (ii)f '(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f '(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f '(x ) =2 (x-1)2≥0,而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1,f (1)=0 选项C ,D 符合条件. 综合(i),(ii)答案为C. [插语] 在这类 f (x )的函数中,我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ,(x-1)3 4 ,自然要麻烦些. 由此看到,特殊化就是简单化. [再析] 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终,如由f '(x )= 0找最值点x =0,由f '(x )>0(<0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到. [解三] (i)若f (0)= f (1)= f (2),即选B ,C ,则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线),但不满足条件(x -1)

高中数学19种答题方法及6种解题思想

高中数学19种答题方法及6种解题思想一.十九种数学解题方法 1.函数 函数题目,先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域,其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式,优先选择数形结合的思想方法; 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说,在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点,二次函数的对称轴或是……; 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目,优选特殊值法; 5.参数的取值范围 求参数的取值范围,应该建立关于参数的等式或是不等式,用函数的定义域或是值域或是解不等式完成,在对式子变形的过程中,优先选择分离参数的方法; 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面,可以转化为最值问题,注意二次函数的应用,灵活使用闭区间上的最值,分类讨论的思想,分类讨论应该不重复不遗漏; 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成,直线与圆锥曲线相交问题,若与弦的中点有关,选择设而不求点差法,与弦的中点无关,选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式; 8.曲线方程 求曲线方程的题目,如果知道曲线的形状,则可选择待定系数法,如果不知道曲线的形状,则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点); 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率,建立关于a、b、c之间的关系等式即可; 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值,优先考虑化为一次同角弦函数,然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目,重视内角和定理的使用;与向量联系的题目,注意向量角的范围; 11.数列问题 数列的题目与和有关,优选和通公式,优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式,体会方程的思想; 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的,一定用传统做法完成,如果不是,可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同,熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3,而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防,注意连接“心心距”创造直角三角形解题; 13.导数 导数的题目常规的一般不难,但要注意解题的层次与步骤,如果要用构造函数证明不等式,可从已知或是前问中找到突破口,必要时应该放弃;重视几何意义的应用,注意点是否在曲线上;

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念,了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一:函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求.

[数学][高中数学解题思维与思想](课件)

[数学][高中数学解题思维与 思想] 《高中数学解题思维与思想》 导读 数学家G. 波利亚在《怎样解题》中说过:数学教 学的目的在于培养学生的思维能力,培养良好思维品质 的途径,是进行有效的训练,本策略结合数学教学的实 际情况,从以下四个方面进行讲解:...文档交流仅供参考... 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识,提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解,检查思维过程,不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变,从而培养他们的思维能力。

《思维与思想》的即时性、针对性、实用性,已在 教学实践中得到了全面验证。 一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练:...文档交流 仅供参考... (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。...文档交流 仅供参考... 任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。...文档交流 仅供参考... 例如,求和) 1(1431321211+++?+?+?n n .

高中数学解题思想方法大全

目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

高中数学解题方法及解析大全

最全面的高考复习资料 目录 前言 (2) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化(化归)思想 (54) 第一章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………

前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查: ①常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等; ②数学逻辑方法:分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等; ③数学思维方法:观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等; ④常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

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