第七章向量代数与空间解析几何复习题

第七章 向量代数与空间解析几何

(一) 空间直角坐标系、向量及其线性运算

一、判断题

1. 点(-1,-2,-3)是在第八卦限。 ( ) 2. 任何向量都有确定的方向。 ( ) 3. 任二向量b a ,

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=则a =b 同向。 ( ) 4. 若二向量,

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,则,同向。 ( ) 5. 若c a b a +=+,则c b = ( ) 6. 向量,

,则,同向。 ( )

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7.若={

z y x a a a ,,},则平行于向量的单位向量为|

|a x ,

a |

|a z 。( )

8.若一向量在另一向量上的投影为零,则此二向量共线。 ( )

二、填空题

1. 点(2,1,-3)关于坐标原点对称的点是

2. 点(4,3,-5)在 坐标面上的投影点是M (0,3,-5) 3. 点(5,-3,2)关于 的对称点是M (5,-3,-2)。

4. 设向量与有共同的始点,则与,共面且平分与的夹角的向量为 5. 已知向量与方向相反,且||2|a b =,则由表示为= 。 6.

=4,a 与轴l 的夹角为

6

π,则a

l prj =

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7. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A (2,-3,-5)、B (-1,3,2)。 以及它的对角线

交点E (4,-1,7),则顶点C 的坐标为 ,则顶点D 的坐标为 。 8. 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ,且已知α =

60,β=

120。则γ=

9. 设的方向角为α、β、γ,满足cos α=1时,垂直于 坐标面。 三、选择题

1.点(4,-3,5)到oy 轴的距离为

(A )2

225)3(4+-+ (B )

225)3(+-

(C )2

2)3(4-+ (D )2254+

2.已知梯形OABC 、CB //

OA 且=2

1

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,=,则 =

(A )

2

1

- (B )b a 21- (C )a b -21 (D )a b 21-

3.设有非零向量,,若⊥ b ,则必有

(A + (B +

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(C <- (D +>

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四、试证明以三点A (4,1,9)、B (10,-1,6)、C (2,4,3)为顶点的三角形为等腰直

角三角形。

五、在yoz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)、B (4,-2,-2)、C (0,5,1)等距离的点D 。

六、用向量方法证明:三角形两边中点的连线平行与第三边,且长度为第三边的一半。 七、设A (4,2 ,1)、B (3,0,2),求AB 的模、方向余弦及与AB 反向的单位向量。 八、已知OA ={2,-3,6},OB ={-1,2,-2}。OD 为AOB ∠的平分线,在OD 上求一长度为342的向量。

(二)向量的乘积运算

一、判断题

1.2

2

2

)(b a b a ?=? ( )

2.a (b a

?)=2b ? ( )

3.若a

?b

=c a ?且0

≠a ,则c b

=。 ( ) 4.若b a

==1,则b a

?=1 ( )

5+=2

2

2b a +?+ ( )

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6.a b b a

?=? ( ) 7.若c b a 、、满足a c b c b a

?=?=,,则c b a 、、两两垂直。 ( )

8.设非零向量b a

,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则

cos ∧

()=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ ( ) 二、填空题

1.设)(b a ∧

=3π,,8,5==b a 则b a

-= 。

2.若24,19,13=+==b a b a 。则a b -

= 。

3.若32)(π=∧

b a ,且2,1==b a 。则a b ?

= 。

4.已知72,26,3=?==b a b a ,则b a

?= 。

5.设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a

,则Prj a = 。 6.设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a

,则)(b a ∧= 。

7.设b a ,为不共线向量,则当λ= 时。b a P 5+=λ与b a Q

-=3共线。

三、选择题

1.设空间三点的坐标分别为M (1,-3,4)、N (-2,1,-1)、P (-3,-1,1)。则MNP ∠= (A )、π (B )、

43π (C )、2π (D )、4

π

2.下列结论正确的是

(A )、

2

a = (B )、若0=?

b a 则必0

=a 或0

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=b (C )、c a b a c b a

-=-)( (D )、若0

≠a ,且c a b a

=则c b

=

3.设}.4,4,1{},2,3,{-==b x a

若b a //,则

(A )、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 四、设}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a

,求与b a

、均垂直的单位向量。

五、设向量}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a 、、,向量d 与b a ,均垂直,且在向量

.14d c

,求向量上的投影是

六、用向量证明:

3

12123

a a a

b b b ==时,2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++ 七、设AD 为?ABC 中BC 边上的高,记..a C B

c A B

==证明:

c a c a S

ABD

??=

?

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(三)平面及其方程

一、填空题

1.过点M(3,0,1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 。 2.三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是 。

3.过点(2,-5,3)且平行与XOZ平面的平面方程是 。 4.过点M1(4,0,-2)和M2(5,1,7)且平行于OX轴的平面方程是 。 5.点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 。

6.当l = ,及m= 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。

二、选择题

1.平面x -2z = 0的位置是 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 2.下列平面中通过坐标原点的平面是 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 3.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 4.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= 。 (A)、

2

π

(B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 三、求通过三点(1,1,1)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)的平面方程。 四、求通过点P(2,-1,-1)、Q(1,2,3)且垂直于平面2x+3y-5z+6=0平面方

程。 五、求通过Z轴且与平面2x+y-5z-7=0的夹角为π/3的平面方程。 六、证明:二平行平面Ax+By+Cz+D 1=0 , Ax+By+Cz+D 2=0之间的距离公式: d =

2

2

2

12C

B A D D ++-

(四)直线及其方程

一、填空题

1.过点P(4,-1,3)且平行于直线5

1

232-==-z y x 的直线方程为 。 2。.过点P(2,0,-3)且与直线

{

7

421

253=+--=-+z y x z y x 垂直的平面方程为 。

3.过点P(0,2,4)且与二平面x + 2z = 1和y - 3z = 2平行的直线方程是 。 4.当m= 时,直线1

3241z

y x =+=-与平面mx+3y-5z+1=0平行。 5.直线

300

{

x y z x y z ++=--=与x-y-z+1=0的夹角为 。

6.点P(2,0,-1)关于直线

{

1240

322=+--=+-+z y x z y x 的对称点坐标为 。

二、选择题

1.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 。 (A )

233211+=+=-z y x (C )1

0101z

y x =-=+ (B )

{

0440

4=--=--y x z x (D )??

??

?==+=4321z t y t

x

2.直线L 1:

{

7

27

2=-+=++-z y x z y x 与L 2:

{

83630

2=-+=--z y x z y x 的关系是 。

(A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1//L 2 (C )、L 1与L 2相交但不垂直。(D )、L 1与L 2为异面直线。 3.直线L :

3

7423z

y x =-+=-+与平面π:4x-2y-2z=3的关系是 。 (A )、平行 (B )、垂直相交 (C )、L 在π上 (D )、相交但不垂直 4.两平行线t z t y t x =+=+=,12,1与

1

1

2112-=+=-z y x 之间的距离是 。 (A)、1 (B)、2 (C)、2/3 (D)、

3

3

2 三、设直线L 通过(1,1,1)且与1L :z y x 236==相交,又与2L :

4

3

1221-=-=-z y x 垂直,求直线L 的方程。

四、求通过点P(2,0,-1)且又通过直线3

2

121-=-=+z y x 的平面方程。 五、求通过点P(2,1,0)且与直线2

25

235-+==-z y x 垂直相交的直线。 六、设直线L:0322

1111=--+-=-=-z y x z y x :与平面π (1). 求证L与π相交,并求交点坐标

(2). 求L与π交角。

(3). 通过L与π交点且与L垂直的平面方程。 (4). 通过L且与π垂直的平面方程。 (5).L在π上的投影直线方程。

(五)空间曲线及其方程

一、

填空题

1.方程组

{

153

2+=-=x y x y 在平面解析几何中表示 ,在空间解析几何表示 。

2.曲面x 2

+y 2

-9

2

z =0与平面z=3的交线圆的方程是 ,其圆心坐标是 ,

圆的半径为 。

3.曲线22222

1

(1)(1)1

x y x y z ?+=?+-+-=?在YOZ面上的投影曲线为 。 4.螺旋线x=acos θ,y=asin θ,z=b θ在YOZ面上的投影曲线为 。

5.上半锥面Z=2

2y x +(01≤≤z )在XOY面上的投影为 ,

在XOZ面上的投影为 ,在YOZ面上的投影为 。

6. 曲线2

1

21x t y t z t =+??=??=+?

的一般式方程为 。

二、 选择题

1.方程

{

1

942

2

=+=y

x z

y 在空间解析几何中表示 。

(A)、椭圆柱面 (B)、椭圆曲线 (C)、两个平行平面 (D)、两条平行直线 2.已知曲线

{

2

2

2

2

=++=++z

y x a

z y x 在YOZ坐标面上的投影曲线为

{

1

2

2

=+

+=z

y

yz x ,则a = 。

(A)、-1 (B)、0 (C)、1 (D)、2 4.参数方程??

???===θθ

θb z a y a x sin cos 的一般方程是 。 (A)、x 2

+y 2

=a 2

(B)、x=acos b z (C)、y=asin b z (D)、cos sin {z

x a b

z y a b

== 三、化曲线

2

2

2

9{

y x

y x z +

+==为参数方程。

(六) 曲面及其方程

一、填空题

1.以原点为球心,且过点P(1,1,1)的球面方程是 。

2.设球面的方程为x 2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0,则该球面的球心坐标是 ,球面的 半径 为 。

3.将zox 面上的抛物线z 2=5x,绕ox 轴旋转而成的曲面方程是 。 4.圆锥为x 2+y 2=3z 2的半顶角α= 。

5.方程y 2=z 表示的曲面是平行与 轴的 柱面。

6.方程y=x+1在平面解析几何中表示 ,而在空间解析几何中表示 。 7.抛物面Z=x 2+y 2与平面y+z=1的交线在XOY 面上的投影曲线方程是 。

8.当k= 时,平面x = k 与曲面14

942

22=-+z y x 的交线是一对相交直线。 9.圆

{

25

3

2

2

2

=++

=z y x x 的圆心坐标为 ,半径为 。

二、选择题

1.设球面的方程是x 2+y 2+z 2+Dx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切,则方程 的系数应满足条件 。

(A)、D=E=F=0 (B)、D2+E2+F2

=6G

(C)、D2+E2+F2

+6G=0 (D)G=0

2.XOZ 坐标面上的直线x=z-1 绕oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。 (A)x 2+y 2=z-1 (B)2

z =x 2+y 2+1 (C)2)1(-z = x 2+y 2 ( D )2

)1(+x =y 2+z 2 3.方程x=2在空间表示 。 (A)、YOZ坐标面。 (B)、一个点。 (C)、一条直线。 (D)、与YOZ面平行的平面。

4.下列方程中 表示母线平行与oy 轴的双曲柱面。

(A) x 2-y 2=1 (B) x 2 +z 2=1 (C) x 2+z=1 (D) xz=1 5.方程y 2+z 2-4x+8=0 表示 。 (A)、单叶双曲面 (B )、双叶双曲面 (C )、锥面 (D )、旋转抛物面

6.二次曲面Z = 22

22b

y a x +与平面y = h 相截其截痕是空间中的 。

(A )、抛物线 (B )、双曲线 (C )、椭圆 (D )、直线

7.双曲抛物面x 2-y 2=z 在XOZ 坐标面上的截痕是 。

(A )、x 2

=z (B)、???=-=02x z y (C )、???==02y z x (D )、???==-0

22z y x

8.曲面x 2 + y 2 + z 2 = a 与x 2+y 2 = 2 a z (a>0) 的交线是 。

(A )、抛物线 (B )、双曲线 (C )、圆周 (D )、椭圆

9.旋转双叶双曲面122

2222-=+-a

z b y a x 的旋转轴是 。

(A )、OX 轴 (B )、OY 轴 (C )、OZ 轴 (D )、直线?

?

?==0x z

y

第七章向量代数与空间解析几何复习题

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三、已知两点A(5,4,0)、B(-4,3,4)=的轨迹方程。

四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。

1.Z=2( x 2+y 2) 2. 4x 2+9y 2+9z 2=36

五、证明:单叶双曲面

03215

4162

22=+-=-+z x z y x 与平面的交线在XOY 坐标面上的投影曲线是椭圆。并求出该椭圆的中心和长、短半轴的大小。

六、画出下列方程表示的曲面。

1.4

42

2y x z += 2。64416222=-+z y x 3。Y 2=2px (p>0)

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