2018届高三复习三角函数与解三角形复习资料
2018届高三复习：三角函数与解三角形部分
本章节常用的公式有： 1、终边相同的角
①与角(0360)αα≤≤?终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}
Z k k ∈+?=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}
Z k k ∈?=,180| ββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}
Z k k ∈+?=,90180| ββ; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}
Z k k ∈?=,90| ββ.
2、扇形的弧长与面积公式
扇形的半径为R ，弧度为l ，圆心角为α（πα20<<），则
扇形的弧长l =r α 面积公式 211
||22
S R R α== 其中（α为弧所对圆心角的弧度数）。
3、常见的特殊角的三角函数值；
4、三角函数的定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α
终边上任意一点P （除了原点）的坐标为
(,)x y
，
它与原点的距离为(0)r r ==
>，那么
（1）比值y
r
叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；
（2）比值x
r
叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；
（3）比值y
x 叫做α的正切，记作tan α，即
tan y x α=
；
5、同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ
θ
cos sin ，
6、正弦、余弦的诱导公式
纵变横不变，符号看象限（奇变偶不变，符号看象限）
7、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+; sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-
cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-; cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-. tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
--=+
8、辅助角公式
sin cos a b αα+
)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?= ).
9、二倍角公式
sin 22sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
2
2tan tan 21tan α
αα
=-.
10、降幂公式
1sin cos sin 22ααα=， 221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+==
11、三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+，及函数cos()y x ω?=+，的周期2||T π
ω=；
函数tan()y x ω?=+，,2
x k k Z π
π≠+∈的周期||T πω=.
12、三角函数的图像：
13、正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===.()R ABC 是指三角形的外接圆半径 推广：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C === ::sin :sin :sin a b c A B C =
14、余弦定理
2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.
推广：222
2b c a CosA bc
+-=， 2222a c b CosB ac +-= 2222a b c CosC ab +-=
15、面积定理
（1）111
222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=
16、三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222
C A B
π+?=-222()C A B π?=-+.
(),()SinA Sin B C CosA Cos B C =+=-+
考点一：三角函数的化简
1、三角函数()sin(
2)cos 26
f x x x π
=-+的振幅和最小正周期分别为（ ）
A 2
π
B π
C 2
π
D π
2、已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在ABC ?中，若()22
A f =，边1,2AC A
B ==，求边B
C 的长及sin B 的值.
3、已知向量2
(2sin ,2sin 1)4
4
x x
m =-，(cos ,4x n =，函数()f x m n =?．
（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应x 的取值集合；
（2）若()3
f π
α+=
(0,)απ∈，求tan α的值．
4、已知函数2()sin (2cos sin )cos f x x x x x =?-+． （1）讨论函数()f x 在[0,]π上的单调性；
（2）设4
2
π
π
α<<
，且()f α=，求sin 2α的值．
5、已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=
．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）设[,]33
x ππ
∈-，求()f x 的值域和单调递增区间．
6、设函数()sin(
)64x f x ππ
=-＋212
x
π- （1）求()f x 的最小正周期。
（2）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，
当110,2x ??
∈????
时，求函数()y g x =的最小值与相应的自变量x 的值。
1、已知函数()2sin cos())cos sin()cos 22
f x x x x x x x π
π
π=-+++
2、已知函数.cos 2)6
2sin()62sin()(2x x x x f +-++=π
π
3、已知函数2
π()2sin 24f x x x ??
=+
???
，
4、已知函数2())2sin ()()6
12
f x x x x R π
π
=-+-
∈
5、2()2cos(2)cos(
)()sin sin()62
f x x x x x x π
π
ππ=--++-
6、已知函数()2cos()cos()244
f x x x x π
π
=+
-+
（知识点2三角函数的求值） 一、三角函数的定义的使用
1、已知α
是第二象限的角，其终边上的一点为(P x
，且cos 4
x α=
，则tan α=（ ） A
B
C
． D
．2、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3
π
θ+
=
（A
） （B ）
（C
（D
3、已知角α的终边在直线2y x =上，则sin(2)cos(2)44
π
π
αα-
+-=______________.
二、三角函数的同角三角函数关系
1
、已知cos ,32πθθπ??
=-
∈ ???
，求
2cos sin 2sin θθθ-的值. 2、已知θ是第四象限角，且3sin()45π
θ+=，则tan()4
π
θ-= ；. 3、已知3sin 5?=
，且2?π??
∈π ???
，，函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2
π
，则4f π??
???
的值为（ ） （A ）35- （B ）45
-
（C ）35 （D ）45
三、sin cos ,sin cos ,sin cos .x x x x x x +-?“知一求二”
1、已知4
sin cos ,3
αα-=
，则sin 2α=() 7.9A - 2.9B - 2.9C
7.9D 2、已知),2
(
ππ
α∈
，且sin
cos
2
2
3
α
α
+=
. （Ⅰ）求αcos 的值；
（Ⅱ）若5
3)sin(-=+βα，)2
,0(π
β∈，求βsin 的值.
四、三角函数的诱导公式的使用
1、设31
sin (), tan(),522πααππβ=
<<-=则tan(2)αβ-的值等于__ ； 2、已知3
(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-＝__________．
3、已知3
1)4sin(=-πα，则)4cos(απ
+的值等于__ ；
4、已知()1
cos 3
θ+π=-，则sin 22θπ??
+
= ???
． 15.cos(),cos()63ππ
ααα+=-=3
已知为锐角，且则 .
五、三角函数的辅助角公式的使用
1、已知当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则sin(2)4
π
θ+
=（ ）
A B C ．-
D ．
2、已知cos()sin 6
π
αα-
+=
，则7sin()6
πα+的值是（ ） (A)-
532 (B)532 (C)-54 (D) 5
4
六、切化弦，弦化切的技巧
1、若1tan 3α=
，则44
sin cos 6sin cos cos 22ααααα-+=（ ） A. 1 B. 13 C. 19 D.1
10
2、已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）
（A ）4
3
-
（B ）
54 （C ）34- （D ）4
5 3、若3sin cos 0αα+=,则2
1
cos sin 2αα
+的值为（ ） （A ）103 （B ）53 （C ）2
3
(D) 2-
七、三角函数角的配凑
4、已知x x 2sin ,13)4sin(则-=+的值等于__ ；
5、已知3
cos 4x =,则cos2x =
A.14-
B.14
C.18-
D.18
6、已知2
cos 423πθ??-= ??
?，则sin θ=（ ） A ．
79 B ．19
C ．19-
D ．79
- 7、已知213sin -=???
?
?
+
πα，??
?
?
?∈ππα，32，则=αsin 8、已知cos 1123πθ??-=
???， 则5sin 12πθ??+ ???
的值是（ ） (A)
13 (B) 3 (C)
13- (D) 3-
9、已知向量)sin ,(cos αα=a
, )sin ,(cos ββ=b , 5
52||=-b a .
（Ⅰ）求cos()αβ-的值;
（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5
sin 13
β=-, 求sin α.
（知识点3三角函数的变换）
1、若将函数2sin(2)6
y x π
=+的图像向右平移
1
4
个周期后，所得图像对应的函数为（ ） （A ）2sin(2)4y x π=+
（B ）2sin(2)3y x π=+ （C ）2sin(2)4y x π=- （D ）2sin(2)3y x π
=- 2、将函数cos(2)6
y x π=-的图象向左平移1
4个周期后，所得图象对应的解析式（ ）
.cos(2)12A y x π=+ .cos(2)3B y x π=+ 2.cos(2)3C y x π=- 5.cos(2)12
D y x π
=-
3、要得到函数sin 26y x π?
?=+ ??
?的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象( )
（A ）向左平移π12
个单位 （B ）向右平移
π12
个单位
（C ）向左平移
π6个单位 （D ）向右平移π
6
个单位 4、已知函数)0,0)(sin()(<<->+=?πω?ωx x f 的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移
3
π
个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则函数)sin()(?ω+=x x f （ ） （A ）在区间[,]63ππ-上单调递减 （B ）在区间[,]63
ππ
-上单调递增 （C ）在区间[,]36ππ
-
上单调递减 （D ）在区间[,]36
ππ
-上单调递增 5、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数4cos(2)3
y x π
=-的图象（ ）
（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
6、要得到函数sin 26y x π?
?
=+ ??
?
的图象，只需将cos 26y x π??
=-
??
?
的图象( ) A. 向左平移
6π个单位长度 B. 向右平移6π
个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D. 向右平移12
π
个单位长度
7、函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移12
π
个单位得到函数()y g x =的图像，
且函数()g x 在区间,63ππ??????
上单调递增，在区间,32ππ??
????
上单调递减，则实数ω的值( )
（A ）74 （B ） 32 （C ） 2 （D ） 54
8、设0>ω，函数4)3
sin(++=π
ωx y 的图象向右平移
4
3π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是
（ ）
)(A
83
)(B 34
)(C 4
3
)(D
3
8 9、将函数(
)cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，
若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．
23π B ．3π C ．8π D ．56
π
（知识点4三角函数的()()sin f x A x ω?=+的确定）
1、已知函数()()2sin 0,2
2f x x π
πω?ω??
?
=+>-<<
??
?
的部分图象如图所示， 则把函数()f x 的图像向左平移
6
π
后得到的函数图象的解析式是（ ） A ．2sin 2y x = B ．2sin 23y x π??
=-
??
?
C ．2sin 26y x π??
=-
??
?
D ．2sin 6y x π??
=-
??
?
2
、函数())(,0,)2
f x x x R π
ω?ω?=+∈><的部分图象如图所示，
则,ω?的值分别是 （ ） A ．2,3
π
- B.2,6
π
-
C.4,6
π
-
D. 4,
3
π
3、已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω???
=+><
??
?
的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间；
（Ⅱ）已知ABC ?的内角分别是,,A B C ，A 为锐角，且
1
4,cos sin 2122
5A f B C π??-== ???，求的值.
4、已知函数(
))(0)3
f x wx w π
=+
>在平面直角坐标系中
的部分图象如图所示，若0
90ABC ∠=，则w =( ) πππ
π第1题图
5、将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π????
<< ??
?
个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6π B ．3
π
C ．12π
D ．23π
6、已知函数)sin()(?ω+=x A x f （2
,0,0π
?ω<>>A ）
在一个周期内的图象如图所示，则=)4(π
f （ ）
（A ）1 （B ）21 （C ）1- （D ）2
1
-
（知识点5三角函数的图像与性质；）
1、已知直线6
x π
=是函数()sin(2)f x x φ=+(||2
π
φ<
)图象的一条对称轴，则()y f x =取得最小值时x 的集合为
A ．7{|,}12
x x k k Z π
π=+∈ B ．11{|,}12
x x k k Z π
π=+∈ C ．2{|,}3
x x k k Z π
π=
+∈
D ．5{|,}6
x x k k Z π
π=
+∈ 2、已知函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）
（A ）关于直线8
x π
=
对称（B ）关于点(
,0)8
π
对称（C ）关于直线4
x π
=
对称 （D ）关于点(
,0)4
π
对称
3、已知函数)2
0(sin 2sin cos 2cos )(π
???<<-=x x x f 的图像的一个对称中心为（
6
π
，0）， 则下列说法正确的个数是（ ）
①直线π12
5
=x 是函数)(x f 的图像的一条对称轴 ②函数)(x f 在]6,0[π上单调递减
③函数)(x f 的图像向右平移6
π
个单位可得到x y 2cos =的图像
④函数()f x 在[0,
]2
π
的最小值为1-
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4、已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πω?ω???
=+≠><< ??
?
，若()203
f f π??
=-
???
，则ω的最小值是（ ）
A ． 2
B ．
32 C. 1 D ．12
5、函数）
0)(3
sin()(>+
=ωπ
ωx x f 相邻两个对称中心的距离为2π
，以下哪个区间是函数)(x f 的单调减区间 A ．]0,3[π- B ．]3,0[π C ．]2
,12[ππ D ．]65,2[π
π 6、已知函数()sin()(0),2
4
f x x+x π
π
ω?ω?=>≤=-
，
为()f x 的零点，4
x π
=
为()y f x =图像的对称轴，
且()f x 在51836ππ??
??
?，单调，则ω的最大值为（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 7、已知函数()()1
7sin cos 0326f x x x ππωωω?
???=+
--> ? ??
???的最小正周期为2π，则6f π??
-= ???
（ ）
A. 34
B. 3
2
8、下列命题中正确的是（ ）
A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数
B ．函数y sin
26x π
=-（））在区间-63ππ??
????
，上单调递减 C ．函数y 2sin(
2)cos 2()36x x x R π
π??
=--+∈ ???
的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为1 9、已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ??
?
?=+
+- ? ??
??
?的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）
A.
2017
π
B.
22017π C. 42017π D.4034
π 10、设函数()9sin 20,48f x x x ππ?
?????=+
∈ ??????
?????
，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x ， 则123x x x ++的取值范围是（ ） A.95,84ππ????
?? B. 511,48ππ?????? C. 313,28ππ?????? D. 715,48ππ??
????
11、已知函数()2sin 4f x x πω?
?
=+
??
?
（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，
则ω的取值范围为（ ） A ．1927,44ππ????
?? B ．913,22ππ?????? C ．1725,44ππ??
????
D ．[)4,6ππ 12、函数x b x a x f cos sin )(-=（0≠a ）的图象关于4
π
=
x 对称，则)4
3(
x f y -=π
是（ ） A ．图象关于点)0,(π对称的函数 B ．图象关于点)0,2
3(π
对称的函数 C ．图象关于点(
,0)2π
对称的函数 D ．图象关于点(,0)4
π
对称的函数 13、函数x x x x y 2
2sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，
则实数m 的取值范围是 ．
（知识点6与解三角形有关的问题；）
1、在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1
2,sin sin sin 2
c a b B a A a C =-=
，则sin B 为（ ）
（A （B ）34 （C （D ）13
2、已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 的对边，2a =，sin cos c C c A =-，
若ABC △b =____________．
3、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1,4
a B π
==
，ABC ?的面积2S =，
则
sin b
B
的值为_____________．
4、ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,若cos 3
C =
，cos cos 2b A a B +=， 则ABC ?的外接圆面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．9π
D ．36π 5、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
4cos 5A =
，
5
cos 13C =
，1a =，则b = ． 6、在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，1
cos 9
C =
,且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ?面积的最大值为 .
7、在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
cos 3cos B C
b c
=-
，则角A 的最大值为（ ） A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π
8、在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
cos cos cos A a
B C b c
=
++，
2sin C B -的最小值为 .
9、在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(22)cos ()cos cos a c b C a c B b A +-=++，
若3c =，则a b +的最大值为 ．
10、在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，4a c +=，()2cos tan
sin 2
B
A A -=， 则△ABC 的面积的最大值为 .
11、已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线， 其余各边均在此直线的同侧），且2=AB ，4=BC ，5=CD ，3=DA ， 则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．
12、已知顶点在单位圆上的ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且C b B c A a co s co s co s 2+=． （1）A cos 的值；
（2）若42
2
=+c b ，求ABC ?的面积．
13、在△ABC 中内角角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；
（II ）若c ABC =ABC 的周长．
14、在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知1(sin sin )()()sin 2
A B a b a c C -+=- (Ⅰ)求cos B 的值；
（Ⅱ）若1b =,求ABC ?面积的最大值.
15、在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6
b C a
c π
+
=+．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．
16、已知ABC ?中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c
，且a b +=，2
2sin 3sin sin .C A B =
（Ⅰ）求C ∠；
（Ⅱ）若ABC S ?=c .
17、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且C A B C A sin sin sin sin sin 2
2
2
-=+． （1）求B 的大小；
（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D
，AD =1BD =，求BAC ∠sin 的值．
A
B C
D
18、如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6BC =，1cos 3
ABC ∠=-.
(Ⅰ)若4
BAC π
∠=
，求AC 的长；
(Ⅱ)若9BD =，求BCD ?的面积.
19、在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B
++=．
（1）求a ； （2）若1
cos 3
A =，求ABC ?面积的最大值．
20、如图，D 是ABC ?内一点，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2D B ∠=∠，1
cos 3
D ∠=-
，2AD =，
ACD ?的面积是（1）求线段AC 的长；
（2）若BC =AB 的长.
21、在ABC ?中，内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，8=?AC AB ,θ=∠BAC .
（I ）若2
3
12cos 234sin 2+=+?
??
?
?+
θπθ，求三角形的面积； （II ）若4=a ，求bc 的最大值.
22、ABC △中的内角A ，B ，C 的对边分别是 a b c ，，4c =，2B C =. （1）求cos B ；
（2）若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC △的面积.
23、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin a A B c b C B -=-+ .
（Ⅰ）求角C ；
（Ⅱ）若c =ABC △ABC △的周长．
24、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2cos 20C a c --=．
(Ⅰ)求角B 的大小；
(Ⅱ)求ABC ?外接圆的圆心到AC 边的距离．
25、在ABC ?中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =
，求cos cos sin sin A C A C
+的值； （2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ?的周长为l ，求()l f α=的最大值.
26、在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c ac bc ca ++=++. （1）证明：ABC ?是正三角形；
（2）如图，点D 的边BC 的延长线上，且2BC CD =，AD =，求sin BAD ∠的值.
三角函数解三角形综合
1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，
∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3．
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高三数学三角函数、解三角形章末复习测试_题型归纳
高三数学三角函数、解三角形章末复习测试_题型归纳 高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于() A.45 B.35 C．－45 D．－35 解析B由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35. 2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是() A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 解析A sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1， 又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为() A．25 B．51 C．493 D．49 解析D由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理， 有BC2＝162＋552－21655cos 60＝2 401，得BC＝49. 4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是() A．sin(＋sin ＋sin B．cos(＋cos cos C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－) 解析C△sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ， 又△、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)．
5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是() A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km 解析B如图，由条件知AB＝241560＝6 .在△ABS中，BAS＝30， AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45. 由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45， 所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B. (2011威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2， 直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是() A．y＝4sin4x＋B．y＝2sin2x＋3＋2 C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2 解析D△A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2. △T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2. △x＝3是其对称轴，sin43＋＝1. 43＋2＋kZ)．＝k6(kZ)． 当k＝1时，6，故选D. 7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是() A．0 B. C. D． 解析C当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数． 8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的()
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
三角函数-解三角形的综合应用
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析
教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°
三角函数与解三角形
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足
必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)
必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ）
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例
高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R 1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求； （2 ）求的周长的取值范围． 【答案】（1 ）；（2 ）. 所以： 中，利用正弦定理得： 由于： 则： ，， 由于：，则：， 得到：， 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 高三数学第二轮专题复习 三角函数 题型一 三角函数与三角恒等变换 例1．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ? ???ωx ＋π 3(ω＞0). (1)若f (x )在[0，π]上的值域为? ?? ? － 32，1，求ω的取值范围； (2)若f (x )在????0，π3上单调，且f (0)＋f ????π 3＝0，求ω的值． 例2．已知a ＝(sin x ，3cos x)，b ＝(cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b ＋ 3 2 . (1)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程； (2)若方程f(x)＝1 3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 例3.已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ? ?=-+- ?? ? ⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑴设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域． 【过关练习】 1．已知函数ππ()sin cos 63f x x x ????=- +- ? ?? ?? ?，2()2sin 2x g x =. （1）若α 是第一象限角，且()5 f α= .求()g α的值； （2）求使()()f x g x …成立的x 的取值集合. 2.已知函数()πsin ,4f x A x x ? ?=+∈ ?? ?R ，且 5π3 122 f ??= ???. （1）求 A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，π0,2θ??∈ ???，求3π4f θ??- ??? . 3.已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，ππ,22 θ??∈- ??? . （1）当a = ，4 θπ = 时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值； （2）若02f π?? = ??? ，()1f π=，求,a θ的值.最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
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