运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析

运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析

湖北省监利县朱河中学黄尚鹏

摘要：牛顿运动定律只在惯性系中成立。但有时需要考察质点相对非惯性系的运动，如何处理这种问题呢？当然可以先在惯性系中用牛顿运动定律考察质点的运动，然后用相对运动的公式把它变换到非惯性系中，求得质点在非惯性系中的运动。但这样做有时很麻烦，其实只要引进适当的虚拟力即惯性力，就可以在非惯性系中用牛顿运动定律求解质点的运动。

关键词：惯性系非惯性系惯性力速度合成公式加速度合成公式

一、非惯性系与惯性力

牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性系。实验表明：地球上的物体相对于地球的运动并不完全遵守牛顿运动定律，所以地球不是惯性系，不过这种偏差一般是比较微小的。因此，我们常常把地球看做近似程度相当好的惯性系。一般情况下，相对地面静止或做匀速运动的参照系都可作为惯性系。

牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，可以人为地引进一个虚拟的惯性力

。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受

到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用，证明如下：

设非惯性系相对惯性系有平动加速度（牵连加速度），质点相对于系的加速度为（绝对加速度），质点相对于系的加速度为（相对加速度），根据加速度合成公式，有（1）

在惯性系中牛顿运动定律成立，即（2）

是作用在质点上的合外力，是质点的质量。

在非惯性系中，为使牛顿运动定律成立，引入虚拟的惯性力，使（3）联立（1）（2）（3）知惯性力，证毕。

二、竞赛题例析

例题1．如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做匀加速直线运动，其重心

离开前轮和后轮的水平距离分别为和（），重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑，求：汽车以多大的加速度前进时其前、后轮对地面的压力相等？

图1

解析：选汽车为参照系，汽车处于静止状态，但由于其为非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一个向右的惯性力。假设汽车的前轮为从动轮，则前轮受到向后的静摩擦力（阻碍汽车的运动，是阻力），汽车的后轮为主动轮，后轮受到向前的静摩擦力（是汽车运动的动力，也是我们常说的汽车的牵引力），对汽车受力分析如图2所示。

图2

竖直方向由平衡条件：（1）

取后轮上与地接触的那一点为转轴，由力矩平衡条件得

（2）

联立（1）（2）解得，

当，即时，汽车前、后轮对地面的压力相等。

显然以上解答过程中由于恰当引入惯性力，使该动力学问题变成静力学问题，从而使问题简化。

例题2．如图3所示，一质量为的光滑斜面放在光滑的水平面上，斜面上放一质量为的滑块（可视为质点）。求滑块从斜面顶端由静止开始下滑到斜面底端所需的时间。（已知斜面倾角为、高为）

图3 图4

解析：对斜面受力分析可知斜面有水平向右的加速度（1）

选斜面为参照系（非惯性系）来研究滑块的运动，为使牛顿运动定律成立，必须

引入惯性力，故可认为滑块受三个力：重力、对的弹力和水平向左的惯性力

（2）

在斜面的参照系中，滑块在垂直于斜面的方向上是平衡的，由平衡条件得

（和是一对作用力与反作用力）（3）联立（1）（2）（3）解得（4）

在斜面的参照系中，滑块在沿斜面的方向上做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得

（5）联立（1）（2）（4）（5）解得（6）

由运动学公式有（7）

联立（6）（7）解得

显然在解决这道题的过程中，惯性力的引入带来了很大的方便。

例题3．如图5所示，长为的轻绳，两端各系一个质量为的小球，中央系一个质量为的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳处于拉直状态，三球在一直线上。今给小球一瞬时冲量使之获得水平初速度，的方向与绳垂直。求在两端的小球发生碰撞前且绳与原方向成角时绳中的张力。

图5

图6 图7解析：如图6所示，选为参照系（非惯性系），相对于做圆周运动，根据速度合成公式有，其中与绳垂直。

以为坐标原点，绳的初始方向为方向建立如图所示的平面直角坐标系，则

左端的，（１）

方向由动量守恒定律：（２）由机械能守恒定律：（３）

联立（１）（２）（３）解得（４）

对受力分析可求得，方向沿轴的负方向。

研究相对的运动，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力

（５），方向沿轴的正方向。

相对的径向运动方程：（６）

联立（4）（5）（6）解得

以上解答过程的思路是先运用速度合成公式、动量守恒定律和机械能守恒定律正确求解相对速度，然后在非惯性系中恰当引入惯性力，从而使问题迎刃而解，笔者不妨再举一例。

例题4．如图8所示，一质量为的小珠套在光滑的水平金属丝上，另一质量为的质点通过无质量的不可伸长的长度为的绳子连在小珠上。握住小珠与质点，使绳子沿金属丝拉直，然后突然由静止释放，求此后绳子的张力与绳子和水平金属丝间的夹角的关系。

图8

图9 图10

解析：如图9所示，选为参照系（非惯性系），相对于做圆周运动，根据速度合成公式有，其中与绳垂直。

以为坐标原点，绳的初始方向为方向建立如图所示的平面直角坐标系，则的, （1）

方向由动量守恒定律：（2）

由机械能守恒定律：（3）

联立（1）（2）（3）解得（4）

对受力分析可求得, 方向沿轴的正方向。

研究相对的运动，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力

（５），方向沿轴的负方向。

相对的径向运动方程：（6）

联立（４）（５）（６）解得

通过以上四道例题解答可知，运用非惯性系的观点能使复杂的动力学问题简单化，从而可以比较圆满地解决一些问题，但是特别注意，在非惯性系中引入的惯性力与真实力不同，

惯性力不是物体与物体间的相互作用，它没有施力物体，因而也没有反作用力，惯性力是为了解决问题的方便而人为地引入的假想的力。

参考文献：

1．周衍柏编《理论力学教程》高等教育出版社（1986年3月第2版）

2．郑永令贾起民编著普通物理学教程丛书《力学》复旦大学出版社（1989年10月第一版）

3．张大同编《高中物理竞赛辅导》陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）